complement alg lin

PSI Complément d’ algèbre linéaire
Plan
1Produit et Somme d’ espaces vectoriels 1
1.1 Produit d’ espaces vectoriels ....... 1
1.2 Somme d’ espaces vectoriels ...... 2
1.2.1 Définition .............. 2
1.2.2 Somme directe - sous espaces
supplémentaires .......... 3
1.2.3 Cas de la dimension finie .... 5
1.2.4 Applications linéaires et décom-
position en somme directe .... 8
2Formes linéaires - Hyperplans 11
2.1 Formes Linéaires ............. 11
2.2 Hyperplans ................. 12
2.3 Équation d’un hyperplan ......... 14
2.4 Détermination pratiques de l’équation
d’un hyperplan ............... 15
2.5 Exercices ................... 15
3Matrices et endomorphismes 16
3.1 Matrices définies par blocs ........ 16
3.2 Matrice semblables ............ 17
3.3 Trace d’une matrice ............ 19
3.4 Trace d’un endomorphisme ....... 20
3.5 Polynômes d’ une matrice ,d’un endomor-
phisme .................... 20
4Sous espaces stables 21
4.1 Définition .................. 21
4.2 Décomposition en somme directe de sous
espace stables ................ 22
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
Dans tout ce chapitre Kdésigne Rou C.
1Produit et Somme d’ espaces vectoriels
1.1 Produit d’ espaces vectoriels
Soient E1,...,Endes espace vectoriels sur K. On pose
E=
n
Y
i=1
Ei={(x1,..., xn) / ∀i∈[[1,n]] xi∈Ei}.
pour u=(x1,...,xn)∈E,v=(y1,...,yn)∈Eet λ∈Kon définit u+vet λvpar :
u+v=(x1+y1,...,xn+yn)
λv=(λy1,...,λyn)to
Théorème 1.1. E=
n
Y
i=1
Eiest un espace vectoriels sur K
Si de plus chaque Eiest de dimension finie alors Eest aussi de dimension finie et on :a
dimE=
n
X
i=1
dimEi
Remarque 1.1. Si (e1,..., en) est une base de Eet (f1,...,fp) est une base de Falors ,
¡(e1,0),...,(en,0),(0,f1),...,(0,fp)¢
est une base E×F
Remarque 1.2. Lorsque E1=... =En=Ealors l’espace vectoriel n
Y
i=1
Eiest noté En.Si Eest de
dimension finie alors dimEn=ndim E
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1.2 Somme d’ espaces vectoriels
1.2.1 Définition
Définition 1.1. Soient E1,E2,...,Endes sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E.
On appelle somme des espaces vectoriels E1,E2,...,Enle sous espace vectoriel de de E
E1+E2+ · · · + En=©x1+x2+ · · · + xn¯¯(x1,x2,..., xn)∈E1×E2× · · · × Enª
On le note également n
X
k=1
Ei.
Proposition 1.1. Soient E1,E2,...,Endes sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E.
Alors
•
n
X
k=1
Eiest un sous-espace vectoriel de E.
•
n
X
k=1
Eiest le plus petit sous espace vectoriel de Equi contient n
[
i=1
Ei. On ecrit alors
n
X
i=1
Ei=VectÃn
[
i=1
Ei!
Preuve :
•
n
X
k=1
Eiest l’image de l’application linéaire
ϕ:E1×E2× · · · × En−→ E
(x1,x2,... , xn)7−→ x1+x2+ · · · + xn
Ce qui montre que n
X
k=1
Eiest bien un sous-espace vectoriel de E.
•En prenant xj=0 pour tout j6= ion constate que n
X
i=1
Eicontient chacun des Ei. Ainsi
∀j∈[[1,n]] Ej⊂
n
X
i=1
Ei
•Si un sous espace vectoriel Fcontient tous les Ei, il contient tous les vecteurs de la forme x1+x2+ · · · + xnoù
xi∈Ei, donc Fcontient n
X
i=1
Ei. Ainsi n
X
i=1
Eiest le plus petit sous espace vectoriel de Equi contient tous les
Eiet on écrit
n
X
i=1
Ei=VectÃn
[
i=1
Ei!
Attention 1.1. On rappelle que l’union d’espaces vectoriels n’est pas, en générale, un espace vectoriel .
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Proposition 1.2 (associativité et commutativité).Soient E1,E2,...,Endes
sous-espaces vectoriels d’un K-espaces vectoriel E. On a pour 1 ≤p<n:
n
X
i=1
Ei=
p
X
i=1
Ei+
n
X
i=p+1
Ei(associativité)
et
n
X
i=1
Ei=
n
X
i=p+1
Ei+
p
X
i=1
Ei(Commutativité)
Exemples 1.1. 1. R3=Vect(1,0,0)+Vect(0,1,0)+Vect(0,0,1)
En effet ∀(x,y,z)∈R3,(x,y,z)=x(1,0,0)
| {z }
∈Vect(1,0,0)
+y(0,1,0)
| {z }
∈Vect(0,1,0)
+z(0,0,1)
| {z }
∈Vect(0,0,1)
2. R2=Vect(1,0)+Vect(0,1) +Vect(1,1)
En effet ∀(x,y)∈R2,(x,y)=x(1,0)
| {z }
∈Vect(1,0)
+y(0,1)
| {z }
∈Vect(0,1)
+0(1,1)
| {z }
∈Vect(1,1)
Remarquons qu’on a aussi la décomposition (x,y)= − y(1,0)
| {z }
∈Vect(1,0)
−x(0,1)
| {z }
∈Vect(0,1)
+(x+y)(1,1)
| {z }
∈Vect(1,1)
3. Dans E=R3, le plan d’équation (x=0) et celui d’équation (y=0) vérifient R3=P1+P2. En
effet ∀(x,y,z)∈R3, (0,y,z)
| {z }
∈P1
+(x,0,0)
| {z }
∈P2
=(x,y,z).
4. Mn(K)=T+
n+Dn+T− n
1.2.2 Somme directe - sous espaces supplémentaires
Définition 1.2. On dit que les sous-espaces E1,E2,...,Ensont en somme directe, (ou encore que
la somme
p
X
i=1
Eiest directe) si pour tout (x1,x2,...,xn)∈E1×E2× · · · × En
x1+x2+...+xn=0=⇒ x1=x2=... =xn=0
la somme est alors notée
n
X
i=1
Ei=E1⊕E2⊕ · · · ⊕ En=
n
M
i=1
Ei
Propriétés 1.1. Si la somme
p
X
i=1
Eiest directe alors X
i∈J
Eiest directe pour tout J⊂[[1,n]] et
J6= ;
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Proposition 1.3. La somme
p
X
i=1
Eiest directe si et seulement si l’application
ϕ:E1×E2× · · · × En−→
n
X
i=1
Ei
(x1,x2,..., xn)7−→ x1+x2+ · · · + xn
est un isomorphisme.
Preuve : Remarquons d’abord que que par définition de la somme
p
X
i=1
Ei,l’application ϕest une application
linéaire surjective donc :
ϕisomorphisme ⇔ϕinjective
⇔kerϕ={0}
⇔ ∀(x1,x2,...,xn)∈E1×E2× · · · × En,x1+x2+...+xn=0=⇒ x1=x2=... =xn=0
⇔
p
X
i=1
Eiest directe
Proposition 1.4. La somme
p
X
i=1
Eiest directe si et seulement si tout vecteur xde
p
X
i=1
Eise dé-
compose de manière unique sous la forme x=
n
X
i=1
xiavec (x1,x2,..., xn)∈E1×E2×... ×En. En
d’autre termes :
∀x∈
p
X
i=1
Ei,∃!(x1,x2,...,xn)∈E1×E2× · · · × En,x=x1+x2+...+xn
Preuve : Conséquence directe de l’isomorphisme ϕdans la proposition précédente.
Exemple 1.1. la somme Vect(1,0)+Vect(0,1)+Vect(1,1) n’est pas directe puisqu’on a pas unicité
de la décomposition
∀(x,y)∈R2,(x,y)=x(1,0)
| {z }
∈Vect(1,0)
+y(0,1)
| {z }
∈Vect(0,1)
+0(1,1)
| {z }
∈Vect(1,1)
= − y(1,0)
| {z }
∈Vect(1,0)
−x(0,1)
| {z }
∈Vect(0,1)
+(x+y)(1,1)
| {z }
∈Vect(1,1)
Proposition 1.5. Si la somme n
X
i=1
Eiest directe alors
∀i∈[[1,n]];Ei∩
n
M
j=1; j6=i
Ej={0}
Notamment pour tout j6= i
Ei∩Ej={0}
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Preuve :
•Soit x∈Ei∩
n
M
j=1; j6=i
Ejdonc x∈Eiet x=x1+...xi−1+xi+1+...+xnavec xi∈Ei, en faisant passer xde l’autre
cotée de l’égalité on obtient
x1+...xi−1+(−x)
|{z}
∈Ei
+xi+1+...+xn=0
Or la somme n
X
i=1
Eiest directe donc xet tous les xisont nuls.
•Si j6= ialors Ei∩Ej⊂Ei∩
n
M
k=1; k6=i
Ek={0}.
Attention 1.2. La réciproque est fausse pour n≥3est vrais pour n=2
Exemple 1.2. Considérons l’exemple R2=Vect(1,0) +Vect(0,1) +Vect(1,1). La somme n’est pas
directe mais
Vect(1,0)∩Vect(0,1) =Vect(1,0) ∩Vect(1,1) =Vect(0,1)∩Vect(1,1) ={0}
1.2.3 Cas de la dimension finie
Proposition 1.6. Si les sous-espaces vectoriels E1,...,Ersont de dimensions finies alors
p
X
i=1
Ei
est de dimension finie et on a
dimÃn
X
i=1
Ei!≤
n
X
i=1
dimEi
avec égalité si et seulement si la somme est directe ; c’est à dire :
dimÃn
X
i=1
Ei!=
n
X
i=1
dimEi⇔la somme
n
X
i=1
Eiest directe
Preuve : Considérons l’application linéaire surjective ϕ:E1×E2× · · · × En−→
n
X
i=1
Ei
(x1,x2,...,xn)7−→ x1+x2+ · · · + xn
•La formule du rang appliquée à ϕdonne
dimÃn
X
i=1
Ei!=dimÃn
Y
i=1
Ei!−dimkerϕ≤dimÃn
Y
i=1
Ei!=
n
X
i=1
dimE
•Si la somme est directe alors, daprès la proposition 1.3,ϕest bijective. D’où dim(E1×E2× · · · × En)=
dimÃn
X
i=1
Ei!. Mais dim(E1×E2× · · · × En)=
n
X
i=1
dimEi, d’où le résultat.
•Réciproquement l’application ϕest, par définition de n
X
i=1
Ei, surjective.
Si dimÃn
X
i=1
Ei!=
n
X
i=1
dimEi,alors dim(E1×E2× · · · × En)=dimÃn
X
i=1
Ei!, par suite ϕest un isomorphisme et
donc la somme est directe.
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