Cours n°1 21 septembre 2020
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Par exemple les systèmes S1 et S2 ci-dessous sont des systèmes d’équations linéaires :
Remarques :
✓ On notera les équations d’un système L1, L2, etc. On a choisi la lettre « L » pour « Ligne ».
✓ Alors que S1 est un système de deux équations à deux inconnues, le système S2 est un système de
trois équations à trois inconnues.
✓ Comme le sous-entend la définition, un système d’équations linéaires peut très bien avoir plus
d’équations que d’inconnues ou plus d’inconnues que d’équations.
Résoudre un système d’équations linéaires consiste à trouver la (les) valeur(s) des inconnues pour
laquelle (lesquelles) toutes les équations du système sont vérifiées simultanément ou à démontrer que
de telles valeurs n’existent pas, auquel cas le système n’a aucune solution.
Plusieurs méthodes de résolutions existent : la méthode de résolution par substitution, la méthode de
Carmer, celle du pivot de Gauss, ... C’est cette dernière que nous allons pour l’instant présenter et utiliser.
B. La méthode du pivot de Gauss
La méthode du pivot de Gauss permet de résoudre très facilement les systèmes d’équations linéaires,
et ce, quel que soit leur nombre d’équations ou d’inconnues. Elle est basée sur l’utilisation de
combinaisons linéaires de deux équations. Comment fait-on de telles combinaisons linéaires ?
Considérons les deux équations suivantes :
Une combinaison linéaire de et est une équation de la forme qui s’écrit :
Exemple – Soit le système
• Calculons par exemple :
• Calculons maintenant
On remarque que l’inconnue a « disparu » de l’équation. C’est cette possibilité de faire « disparaître
des inconnues » par la combinaison linéaire d’équations qui est au cœur de la résolution du système
par la méthode du pivot de Gauss.
PRINCIPE DE LA METHODE DU PIVOT
La méthode du pivot de Gauss — ou méthode du pivot — consiste à garder une équation du système
inchangée, appelée le pivot, et à remplacer chacune des autres équations par une combinaison linéaire
d’elle-même (avec un coefficient non nul) et du pivot, ce, dans le but d’y faire disparaître l’une des
inconnues ou, ce qui revient au même, d’y faire apparaître un zéro à la place du coefficient précédant
l’une des inconnues.