Cours maths L2 .

Cours n°1 21 septembre 2020
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CHAPITRE I
RESOLUTIONS DE SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES PAR LA METHODE DU PIVOT DE GAUSS
I. Rappels sur les équations linéaires
Pour commencer, rappelons qu’une équation est une égalité de la forme :
membre de gauche = membre de droite (noté )
ou
1er membre = 2nd membre.
Par exemple, les équations du second degré sont de la forme : ax² + bx + c = 0.
Quand qualifie-t-on une équation de linéaire ? Avant de donner une définition, quelques exemples.
Exemple 1 – équation E1 : 5x = – 3
L’équation 5x = – 3 (appelée E1) est linéaire.
Les réels 5 et – 3 sont les coefficients ou paramètres de cette équation, x en est l’inconnue ou la
variable. Cette équation a donc une seule inconnue et est de la forme :
un réel  l’inconnue = un réel
ou
ax = u.
On la résout en déterminant la (ou les) valeur(s) de x qui la vérifie(nt). Ici, comme :
5x = – 3 
,
l’équation E1 a pour unique solution : 
.
Géométriquement, il s’agit d’un point sur la droite des réels.
Exemple 2 – équation E2 : x + 2y = 10
L’équation E2 est également linéaire. Les réels 1, 2 et 10 en sont les coefficients (ou paramètres) ; x et y
en sont les inconnues.
On peut aussi dire que le point ou couple 
 est l’inconnue de E2.
Cette équation est donc plus généralement de la forme : ax + by = u. On aura reconnu l’équation d’une
droite. Et, comme :
x + 2y = 10 
,
l’équation E2 a une infinité de solutions : ce sont tous les couples de la forme 
.
Géométriquement, ce sont tous les points de la droite d’équation : x + 2y = 10 ou 
.
Exemple 3 – équation E3 : 2x  3y + z = 1
L’équation E3 est linéaire. Les réels 2, – 3, 1 et 1 en sont les coefficients (ou paramètres) ; x, y et z en sont
les inconnues.
On dit aussi que le point ou triplet 
 est l’inconnue de E3.
Cette équation est donc plus généralement de la forme : ax + by + cz = u. C’est l’équation d’un plan.
Et comme :
2x  3y + z = 1 ,
l’équation E3 a une infinité de solutions : ce sont tous les triplets de la forme 
.
Géométriquement, ce sont tous les points du plan d’équation 2x  3y + z = 1.

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Définition I.1
On appelle équations linéaires, les équations de la forme :
ou, ce qui revient au même, de la forme : 
 ,
où les ai (i = 1, …, n) et u sont les paramètres (réels) et où les xi (i = 1, …, n) sont les inconnues à
déterminer en fonction des paramètres.
Remarque : on note ici les inconnues  mais en pratique, on peut leur donner le nom que
l’on souhaite. Par exemple, pour une équation à quatre inconnues on pourra nommer ces dernières
. On aura dans ce cas : .
Or on sait (voir votre cours de L1) que l’expression  est appelée combinaison linéaire
des inconnues x1, …, xn affectée des paramètres a1, … , an. D’où :
Définition I.1bis
On appelle équations linéaires, les équations dont le membre de gauche est une combinaison linéaire
de variables (ou inconnues) et dont le membre de droite est un paramètre.
II. Systèmes d’équations linéaires
A. Présentation
Un système d’équations linéaires est composé d’équations linéaires ayant les mêmes inconnues. Plus
précisément :
Définitions I.2
Un système de m équations linéaires à n inconnues est un système du type :
S 
où Li désigne la ième équation, les inconnues de ce système étant les n nombres xi, les coefficients aij et
bi (i = 1, …, m ; j = 1, …, n) étant donnés.
Lorsque u1 = … = un = 0, on dit que le système est homogène.
Cas particuliers :
Pour un système de trois équations à trois inconnues, cela s’écrit :
S 
 si les inconnues sont nommées 
ou S 
 si les inconnues sont nommées 

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Par exemple les systèmes S1 et S2 ci-dessous sont des systèmes d’équations linéaires :
Remarques :
✓ On notera les équations d’un système L1, L2, etc. On a choisi la lettre « L » pour « Ligne ».
✓ Alors que S1 est un système de deux équations à deux inconnues, le système S2 est un système de
trois équations à trois inconnues.
✓ Comme le sous-entend la définition, un système d’équations linéaires peut très bien avoir plus
d’équations que d’inconnues ou plus d’inconnues que d’équations.
Résoudre un système d’équations linéaires consiste à trouver la (les) valeur(s) des inconnues pour
laquelle (lesquelles) toutes les équations du système sont vérifiées simultanément ou à démontrer que
de telles valeurs n’existent pas, auquel cas le système n’a aucune solution.
Plusieurs méthodes de résolutions existent : la méthode de résolution par substitution, la méthode de
Carmer, celle du pivot de Gauss, ... C’est cette dernière que nous allons pour l’instant présenter et utiliser.
B. La méthode du pivot de Gauss
La méthode du pivot de Gauss permet de résoudre très facilement les systèmes d’équations linéaires,
et ce, quel que soit leur nombre d’équations ou d’inconnues. Elle est basée sur l’utilisation de
combinaisons linéaires de deux équations. Comment fait-on de telles combinaisons linéaires ?
Considérons les deux équations suivantes :
Une combinaison linéaire de  et  est une équation  de la forme  qui s’écrit :
Exemple – Soit le système     
• Calculons par exemple  :
• Calculons maintenant 
On remarque que l’inconnue  a « disparu » de l’équation. C’est cette possibilité de faire « disparaître
des inconnues » par la combinaison linéaire d’équations qui est au cœur de la résolution du système
par la méthode du pivot de Gauss.
PRINCIPE DE LA METHODE DU PIVOT
La méthode du pivot de Gauss — ou méthode du pivot — consiste à garder une équation du système
inchangée, appelée le pivot, et à remplacer chacune des autres équations par une combinaison linéaire
d’elle-même (avec un coefficient non nul) et du pivot, ce, dans le but d’y faire disparaître l’une des
inconnues ou, ce qui revient au même, d’y faire apparaître un zéro à la place du coefficient précédant
l’une des inconnues.

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1. Cas des systèmes de deux équations à deux inconnues
Reprenons le système S1 :   
   .
Dans le système S1, si on garde L1 comme pivot, on peut faire disparaître x dans L2 en remplaçant cette
équation par 
 = L2 – 2L1, par exemple
1
. Le système S1 devient alors :
L’intérêt de cette méthode est que les systèmes S1 et  ont le même ensemble de solutions
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: on dit qu’ils
sont équivalents. Il s’ensuit que, pour déterminer l’ensemble des solutions du système S1, il suffit de
résoudre le système , ce qui se fait, très facilement, en commençant par la seconde équation, qui n’a
plus qu’une inconnue, y, qu’il est dès lors facile de déterminer. En effet, de 
, on déduit aisément que :
 .
On peut alors déduire la valeur de x, en remplaçant y par sa valeur dans  :
Le système S1 a ainsi pour unique solution :  = 4 et y = 3, ce que l’on peut écrire : 
.
Géométriquement, 
 est l’intersection des deux droites d’équations L1 et L2 (voir graphique).
Remarque : toute égalité de la forme ax + by = u peut s’interpréter comme l’équation d’une droite dans
le plan. La solution d’un système de deux équations linéaires à deux inconnues est donc donnée par
l’intersection de deux droites. Or, en règle générale, deux droites se coupent en un seul point (comme
dans le cas de S1, le système a alors une unique solution). Il n’en est cependant pas ainsi dans les cas
particuliers où
• les droites sont confondues. C’est le cas lorsque les deux équations sont proportionnelles,
autrement dit lorsque L2 = αL1. Le système a alors une infinité de solutions, qui sont tous les
points de l’unique droite dont L1 et L2 sont l’équation.
• les droites sont parallèles sans être confondues (elles ont le même coefficient directeur, mais
pas la même ordonnée à l’origine). Le système n’a alors aucune solution puisqu’aucun point
n’est commun aux deux droites.
1
On aurait tout aussi bien pu remplacer  par 
 ou par 
, entre autres. L’important étant simplement de
faire disparaître x.
2
Pour les ‘experts’, la démonstration de cette proposition se trouve dans (Gun & Jallais, 2018, p. 21-22.
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5
4
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2. Cas des systèmes de trois équations à trois inconnues
Qu’en est-il lorsque le système a plus de deux équations ? Appliquons la méthode du pivot au système
S2 pour voir ce qu’il en est :      
Conseil : pour simplifier, on choisira toujours de garder, dans un premier temps, la première équation
comme pivot (ici L1) et de faire disparaître la première inconnue (ici ).
Dans le système S1, si l’on garde L1 comme pivot, on peut faire disparaître  dans le reste du système en
remplaçant L2 par 
 = L2 + L1, et L3 par   = L3  2L1 par exemple.
Le système S2 devient alors :
Attention :
✓ Chacune des deux équations  et  est remplacée par une combinaison linéaire d’elle-même
(avec un coefficient non nul) et du pivot (ici L1).
✓ Il est impératif de faire disparaître la même inconnue (ici ) des autres équations que le pivot.
On remarque alors que le système  est composé du pivot, L1, et d’un sous-système de deux équations
(
 et  ) à deux inconnues ( et ), en bleu ci-dessous. En éliminant la même inconnue, dans les autres
équations que le pivot, on a ainsi fait apparaître un sous-système comportant une inconnue () de
moins :
A ce sous-système, de deux équations à deux inconnues, on peut alors appliquer la méthode du pivot.
Pour ce faire, on procède exactement comme on l’a fait pour le système S1 : on choisit 
 comme pivot
et on remplace 
 par une combinaison linéaire d’elle-même (avec un coefficient non nul) et de ce
nouveau pivot (
) de façon à y faire disparaître l’inconnue y. On peut par exemple remplacer  par
 =  , ce qui donne :
.
En éliminant ainsi les variables, on « triangularise » le membre de gauche du système (voir triangle
orange sur le système ). Comme dans le cas précédent, les systèmes  sont équivalents. Ils
ont le même ensemble de solutions. Or  est très facile à résoudre, en commençant par la 3e équation,
puis en remontant. La 3e équation permet de déterminer z :
,
Après avoir remplacé z par 0 dans les deux
autres équations, la 2e équation permet de
déterminer y :
.
En remplaçant y par  dans L1, on trouve
alors x :
 .
Le système S2 a ainsi 
 pour unique solution.