Trigonométrie : I. Repérage sur un cercle. a. Le cercle trigonométrique. Def : Sur un cercle, on appelle sens direct ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d’une montre. Def : On munit le plan d’un repère orthonormé (O, 𝑖⃗, 𝑗⃗ ). On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O, de raon 1 orienté dans le sens direct. b. Enroulement de la droite des nombres réels sur le cercle trigonométrique. On munit le plan d’un repère orthonormé (O ; I, J) et on considère le cercle trigonométrique. On appelle D la droite passant par I et parallèle à l’axe des ordonnées. Elle est donc tangente au cercle C en I. On appelle A le point de coordonnées (1 ;1). On munit ainsi la droite D du repère (I ; A). En enroulant cette droite sur le cercle, on fait correspondre pour tout réel x, au point M de cordonnées (1 ; x) de la droite D un unique point M’ du cercle. Propriété 1 : A tout réel x, il existe donc un unique point M’ du cercle associé à ce réel x. On dit alors que le point M’ est l’image du réel x et on note parfois M(x). Remarque : A caque point M’ du cercle, il existe une infinité de réel ayant le point M’ comme image Propriété 2 : Si M’ est associé au réel x alors il est également l’image de tous les réels de la forme x + k × 2π où k est un entier relatif. Remarque : ̂. Si x appartient à l’intervalle [0 ; 2π] alors x représente la longueur de l’arc 𝐼𝑀′ c. Quelques valeurs particulières. Avec comme représentation dans le cercle : Remarque : On définit ainsi une nouvelle unité d’angle qu’on nomme « les radians », notée rad. Un radian est la mesure d’un angle IOM’ où M’ est l’image du réel 1. d. Quelques exemples d’utilisantion. II. Cosinus et sinus d’un nombre réel. Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ; I, J), on appelle M un point du cercle trigonométrie associé à un réel x. o Le cosinus du nombre x représente l’abscisse du point M. On le note cos(x) ou, quand il n’y a pas de possibles ambiguïtés cos x. o L’ordonnée du point M est représenté par le sinus du nombre x. On le note sin(x) sinon sin x sans ambiguïté. Propriété 3 : Pour tout réel x, nous avons : - 1 ≤ cos x ≤ 1 - 1 ≤ sin x ≤ 1 (cos x)² + (sin x)² = 1 Remarque : On note souvent (cos x)² = cos²x et (sin x)² = sin²x. Voici quelques valeurs remarquable sà connaître :
