Oscillations libres RLC série : Cours et exercices

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 Situation-problème : @Chtoukaphysique
Nous avons vu qu’un condensateur peut emmagasiner de l’énergie électrique (voir le chapitre 6) et
une bobine de l’énergie magnétique ( voir le chapitre 7) . Donc ces deux composants électriques
constituent des réservoirs d’énergies .
 Que se produit-il lorsqu’on relie un condensateur chargé aux bornes d’une bobine ?
 Quelles sont les propriétés des oscillations électriques dans un circuit RLC série ?
 Objectifs : Connaissances et savoir-faire exigibles et expérimentaux
 Connaissances et savoir-faire exigibles :
- Définir et reconnaitre les régimes périodique, pseudo-périodique, critique et apériodique
- Savoir tracer l’allure de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps pour les régimes périodique, pseudo-
périodique, critique et apériodique
- Dans le cas d’un amortissement négligeable , effectuer la résolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur
ou la charge de celui-ci.
- En déduire l’expression de l’intensité du courant électrique dans le circuit
- Connaitre l’expression de la période propre, la signification de chacun des termes et leur unité .
- Savoir que le dispositif qui entretient les oscillations fournit l’énergie évacuée par transfert thermique .
- Savoir interpréter en terme d’énergie les régimes périodique ,pseudo-périodique, apériodique et entretenu.
- Savoir exploiter un document expérimental pour :
 Identifier les tensions observées
 Reconnaitre un régime
 Montrer l’influence de R et de L ou C sur le phénomène d’oscillations
 Déterminer une pseudo-période
 Savoir-faire expérimentaux
- Réaliser un montage électrique à partir d’un schéma
- Réaliser les branchements pour visualiser la tension aux bornes du condensateur et de la résistance supplémentaire éventuelle.
- Montrer l’influence de R , L et C sur le phénomène observé .
- Mesurer une pseudo-période et une période
- Utiliser un oscilloscope :
 Le régler : mode balayage , finesse du trait , réglage du « zéro» , choix de sensibilité verticale et choix d’une base de
temps , sélection des voies .
 Repérer les tensions observables simultanément dans un circuit
 Visualiser et déterminer les caractéristiques d’une tenion
 Visualiser l’image d’une intensité
 Visualiser simultanément deux tenions
Chapitre 8 
8RLC 

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I. Décharge d’un condensateur dans une bobine :
1. Étude expérimentale : Régimes des oscillations dans un circuit RLC série
Activité 1 : Qu’observe-t-on lorsqu’un condensateur chargé est branché aux bornes d’une bobine ?
On réalise le montage exprérimental schématisé sur la figure ci-contre :
On charge le condensateur en plaçant le commutateur K en position (1)
On bascule le commutateur K sur la position (2 ) pour réaliser un circuit
(R ,L , C ) série . R représente la résistance totale du circuit R = r + R’
et à l’aide d’un oscilloscope , on visualise la tension uc(t) aux bornes du
condensateur (figure 2)
 Exploitation :
1. Décrire et interpréter ce que l’on observe sur l’écran de l’oscilloscope,
comment l’amplitude et le signal de la tension uc(t)varient –ils ? uc(t)
est-il périodique ?
2. On appelle pseudo-période T la durée séparant deux
valeurs maximales successives de la tension uc(t) ou
bien la durée entre deux passage par zéro dans le
même sens . sa valeur demeure constante lorsque le
temps s’écoule . déterminer graphiquement la valeur
de T des oscillations
3. Quelle est l’influence de la résistance R sur la tension
uc(t) ? (Compléter le tableau ci-dessous )
4. Quelle est l’influence de la résistance R sur la
pseudo-période T ?
5. Qu’observe-t-on lorsqu’on modifie la capacité C du
condensateur ? l’inductance L de la bobine ? quelle
est l’influence de C et L sur T ?
Si R = …ou ………....... : Régime ……………
Si R est …………: Régime ……………………..
Si la résistance totale R du circuit est ……….
( R = …… ) ou très ………. , l’amplitude des
oscillations reste …………… durant le temps .
Donc la tension uc(t) est une fonction
….......... .c’est le régime ……………..., il est
caractérisé par sa ……………………………
Si R est ………….. , l’amplitude des oscillations
……………………………………… durant le
temps jusqu’à ce qu’il ………………. ( c’est le
cas de l’amortissement ………… ) . ce régime est
appelé régime …………………………. , il est
caractérisé par ………………….... avec T  ….

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Si R est très ……….. : Régime …………
Si R est ……. et R =…. =…..: Régime ...............
Si la résistance totale R du circuit est…………
………….. , les oscillations ……………………
(car l’amortissement est ………..) et la tension
tend lentement ……….……… , c’est le régime
……………………………
Il existe un régime frontière entre les deux
régimes pseudo-périodique et apériodique,
appelée régime ……………….. la valeur
correspondante de la résistance est appelée
résistance …………….. avec R = RC = 
Pour R =RC , la tension uc(t) ………………….
……………………………………....... : c’est le
régime ……………………..
 Interprétation :
1. Observations expérimentales :
- Lorsqu’on bascule l’interrupteur K à la position ( 2 ) , on obtient un circuit RLC série .
- La tension uc(t) prend au cours du temps des valeurs alternativement positives et négatives ,
elle oscille autour de uc = 0 : on dit que la décharge du condensateur est oscillante .
- Le circuit RLC ne comporte pas de générateur : on dit que les oscillations sont libres
- L’amplitude de la tension uc(t) décroit avec le temps : les oscillations sont dites amorties . et
l’amortissement des oscillations est dû aux pertes d’énergie sous forme de chaleur au niveau de la
résistance du circuit par effet Joule
 Alors la tension uc(t) est une fonction non périodique , elle est pseudo-périodique et le circuit
RLC constitue un oscillateur électrique libre amorti , il est le siège d’oscillations électriques
libres amorties
2. D’après la courbe : T = 2 ms
3. Selon la valeur de la résistance on distingue 4 régime : ( voir le tableau ci-dessous )
4. La pseudo-période ne dépend pas de la résistance R
5. Lorsqu’on modifie la capacité C ou l’inductance L , la pseudo-période T varie donc T ne dépend
que de L et C
Lorsque C augmente T augmente
Quand L augmente , T augmente
 Donc la pseudo-période augmente avec la valeur de la capacité C du condensateur et de
l’inductance L de la bobine

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Si R = 0 ou négligeable : Régime périodique :
Si R est faible : Régime pseudo-périodique
Si la résistance totale R du circuit est nulle ( R
= 0 ) ou très faible , l’amplitude des oscillations
reste contant durant le temps . Donc la tension
uc(t) est une fonction périodique .c’est le
régime périodique, il est caractérisé par sa
période propre T0
Si R est faible , l’amplitude des oscillations
diminue progressivement durant le temps jusqu’à
ce qu’il s’annule ( c’est le cas de l’amortissement
faible ) . ce régime est appelé régime pseudo-
périodique , il est caractérisé par la pseudo-
période T avec T  T0
Si R est très grande : Régime apériodique
Si R est grande et R =RC =
 : Régime critique
Si la résistance totale R du circuit est très
grande , les oscillations disparaissent (car
l’amortissement est fort ) et la tension tend
lentement vers 0 , c’est le régime apériodique.
Il existe un régime frontière entre les deux
régimes pseudo-périodique et apériodique,
appelée régime critique . la valeur
correspondante de la résistance est appelée
résistance critique Rc . avec R = RC = 
Pour R =RC , la tension uc(t) tend rapidement
vers zéro sans oscillations : c’est le régime
critique ,

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2. Étude théorique (analytique) : Équation différentielle d’un circuit RLC en série
Activité 2 : établissement de l’équation différentielle d’un circuit RLC en série
on réalise le montage expérimental suivant dans lequel le
condensateur est initialement chargé
1. En appliquant la loi d’additivité des tensions, établir
l’équation différentielle vérifiée par la tension uc(t)
2. Déterminer la grandeur qui traduit l’amortissement des
oscillations électriques et permettant de définir la nature du
régime observé selon sa valeur
3. Déduire l’équation différentielle vérifiée par uc(t) dans le
circuit idéal LC en précisant le régime correspondant
4. trouver l’équation différentielle vérifiée par la charge q(t) du
condensateur d’un circuit RLC série
 Exploitation :
1. D’après la loi d’additivité des tenions on a : uL(t) + uR (t) + uc(t) = 0 , alors :
L
 + r i(t) +R’ i(t) + uc (t) = 0 donc L  + R i(t) + uc (t) = 0 , avec R = R’ + r
Comme i(t) = 
 = C   , alors L ( C   ) + R C   + uc (t) = 0 ,
Donc LC 
 + R C   + uc (t) = 0 , d’où   +  +   uc (t) = 0
5. Le terme 
 est la grandeur qui traduit l’amortissement des oscillations électriques et
permettant de définir la nature du régime observé selon la valeur de R
2. l’équation différentielle vérifiée par uc(t) dans le circuit idéal LC :
pour le circuit idéal LC , la résistance totale R est nulle R = 0 (absence d’amortissement ) donc
l’équation différentielle vérifiée par par uc(t) s’écrit sous la forme : 
 +   uc (t) = 0 ; c’est
l’équation différentielle qui correspond au régime périodique
3. l’équation différentielle vérifiée par la charge q(t) du condensateur d’un circuit RLC série est :
4. on a 
 +  +   uc (t) = 0 et q(t) = C . uc(t) alors   +  +   q (t) = 0
 Remarque : La résolution mathématique de cette équation différentielle n’est pas envisageable en
classe de 2 BAC . nous étudierons ici le cas limite pour lequel la valeur de R est nulle ( régime
périodique )
II. Oscillations non amorties dans un circuit idéal LC
Activité 3 : étude analytique d’un circuit idéal LC : Équation différentielle et sa solution
On considère le montage expérimental suivant constitué d’un
condensateur de capacité C initialement chargé et d’une bobine idéal
d’inductance L et de résistance interne nulle r = 0 . il s’agit d’un cas
théorique, irréalisable dans la pratique , car quelque soit la bobine ,
sa résistance interne est non nulle donc c’est un circuit idéal .
 Exploitation :
 Établissement de l’équation différentielle
1. Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension uc(t)
2. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par la charge q(t)
du condensateur s’écrit sous la forme : 
 +
 q(t) = 0 en
précisant l’expression de w0 . w0 est la pulsation propre du circuit LC avec w0 = 
3. Déduire l’expression de la période propre T0 des oscillations du circuit LC