5 Sous-espaces vectoriels

5 Sous-espaces vectoriels
5.1 Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer
que F∩Gest un sous-espace vectoriel de E.
5.2 Donner un exemple d’un espace vectoriel Eet de deux sous-espaces vectoriels F
et Gtels que F∪Gne soit pas un sous-espace vectoriel de E.
Soient Eun espace vectoriel, Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
La somme de Fet de Gest l’ensemble des éléments de Equi peuvent s’écrire
comme somme d’un élément de Fet d’un élément de G:
F + G = {v+w:v∈F, w ∈G}
5.3 1) Montrer que F + G est un sous-espace vectoriel de E.
2) Montrer que F⊂F + G et G⊂F + G.
3) Montrer que tout sous espace-vectoriel contenant F∪Gcontient F + G.
Ainsi F + G est le plus petit sous-espace vectoriel contenant Fet G.
Relation de Grassmann
Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un espace
vectoriel E. Alors dim(F + G) = dim(F) + dim(G) −dim(F ∩G) .
Preuve On pose k= dim(F ∩G),m= dim(F) et n= dim(G).
Soit B= (e1;... ;ek)une base de F∩G.
On la complète en une base B′= (e1;... ;ek;e′
1;... ;e′
m−k)de Fet en une
base B′′ = (e1;. . . ;ek;e′′
1;... ;e′′
n−k)de G.
Montrons que B⋆= (e1;... ;ek;e′
1;... ;e′
m−k;e′′
1;... ;e′′
n−k)est une base de
F + G.
1) B⋆engendre F + G.
Soit u∈F + G. Il existe v∈Fet w∈Gtels que u=v+w.
Il existe des scalaires α1,...,αk, α′
1,...,α′
m−ktels que
v=α1·e1+...+αk·ek+α′
1·e′ 1+...+α′
m−k·e′ m−k.
Il existe des scalaires β1,...,βk, β′′
1,...,β′′
n−ktels que
w=β1·e1+...+βk·ek+β′′
1·e′ 1+...+β′′
n−k·e′ n−k.
Alors u= (α1+β1)·e1+...+ (αk+βk)·ek+α′
1·e′ 1+...+α′
m−k·e′ m−k+
β′′
1·e′ 1+. . . +β′′
n−k·e′ n−kest une combinaison linéaire d’éléments de B⋆.
2) B⋆est une famille libre.
Soient α1...,αk, α′
1,...,α′
m−k, α′′
1,...,α′′
n−kdes scalaires tels que
α1·e1+...+αk·ek+α′
1·e′ 1+...+α′
m−k·e′ m−k+α′′
1·e′′ 1+...+α′′
n−k·e′′ n−k= 0.
Algèbre linéaire : sous-espaces vectoriels 5.1

Posons u=α1·e1+...+αk·ek+α′
1·e′ 1+...+α′
m−k·e′ m−k
=−α′′
1·e′′ 1−...−α′′
n−k·e′′
n−k.
On a u∈ he1;... ;ek;e′
1;... ;e′
m−ki= F et u∈ he′′
1;... ;e′′
n−ki ⊂ G.
Puisque u∈F∩G, il existe des scalaires β1,...,βktels que
u=β1·e1+...+βk·ek.
Alors 0 = u−u=β1·e1+. . . βk·ek+α′′
1·e′′ 1+α′′
n−k·e′′ n−k.
Comme B′′ = (e1;... ;ek;e′′
1;... ;e′′
n−k)est une base de G, on doit avoir
β1=...=βk=α′′
1=...=α′′
n−k= 0 .
Il reste ainsi α1·e1+...+αk·ek+α′
1·e′ 1+...+α′
m−k·e′ m−k= 0 .
Mais B′= (e1;... ;ek;e′
1;... ;e′
m−k)étant une base de F, on obtient
α1=...=αk=α′
1=...=α′
m−k= 0 .
Puisque B⋆= (e1;... ;ek;e′
1;... ;e′
m−k;e′′
1;... ;e′′
n−k)est une base de F + G,
dim(F+G) = k+(m−k)+(n−k) = m+n−k= dim(F)+dim(G)−dim(F∩G) .
5.4 Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un espace
vectoriel E. Montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes :
1) F∩G = {0};
2) dim(F + G) = dim(F) + dim(G) ;
3) la décomposition de tout élément de F + G en somme d’un élément de F
et d’un élément de Gest unique.
On dit que la somme F + G de deux sous-espaces vectoriels Fet Gd’un espace
vectoriel Eest directe si F∩G = {0}. Dans ce cas, on la note F⊕G.
Existence d’un sous-espace supplémentaire
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie. Pour tout sous-espace vectoriel F
de E, il existe un sous-espace vectoriel Gde E(non unique) tel que E = F ⊕G.
On dit que Gest un sous espace supplémentaire de Fdans E.
5.5 Preuve de l’existence d’un sous espace supplémentaire
On pose n= dim(E) et k= dim(F).
Considérons une base (e1;... ;ek)de Fque nous complétons en une base
(e1;... ;ek;ek+1 ;... ;en)de E. Posons G = hek+1 ;... ;eni.
1) Montrer que E = F + G .
2) Montrer que F∩G = {0}.
Remarques :
Soit F = (v1;... ;vp)une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E.
La matrice Aengendrée par la famille Fdans une base Best la matrice dont
les lignes sont les composantes des vecteurs de F.
1) L’espace engendré par la famille de vecteurs Fne change pas si l’on effec-
tue sur les vecteurs de la famille les opérations élémentaires suivantes :
Algèbre linéaire : sous-espaces vectoriels 5.2

(a) changer l’ordre des vecteurs ;
(b) multiplier un vecteur par un nombre non nul ;
(c) ajouter à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs.
Il en résulte que les vecteurs lignes d’une matrice et les vecteurs lignes
de sa matrice échelonnée engendrent le même espace vectoriel.
2) Les lignes non nulles de la matrice échelonnée fournissent une base de
l’espace vectoriel engendré par F.
3) Le rang de la matrice engendrée par la famille Fest égal à la dimension
du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs de F.
Exemple
Soit Fle sous-espace vectoriel de R4engendré par les vecteurs 
1
−2
5
−3
,
2
3
1
−4
et 
3
8
−3
−5
.
1−2 5 −3
2 3 1 −4
3 8 −3−5
L2→L2−2 L1
L3→L3−3 L1
=⇒
1−2 5 −3
0 7 −9 2
0 14 −18 4 
L3→L3−2 L2
=⇒
1−2 5 −3
0 7 −9 2
0 0 0 0 
Fadmet pour base 
1
−2
5
−3
;
0
7
−9
2
et dim(F) = 2 .
Puisque 
1−2 5 −3
0 7 −9 2
0 0 1 0
0 0 0 1
est une matrice échelonnée, les vecteurs 
0
0
1
0
et 
0
0
0
1
forment
une base du supplémentaire de F.
5.6 Soit (e1;e2;e3;e4)une base d’un espace vectoriel E. Déterminer la dimension
du sous-espace vectoriel Ude Eengendré par les quatre vecteurs :
u1=−e1+e2+ 2 e3−e4u2= 2 e1+ 3 e2−e3+e4
u3= 3 e1+ 7 e2+e4u4=e1+ 9 e2+ 4 e3−e4
Extraire de la famille (u1;u2;u3;u4)une base de U.
5.7 Calculer la dimension du sous-espace h4x2−x+2 ; 2 x2+6 x+3 ; −4x2+10 x+2i
de R3[x].
5.8 Dans R4, on considère le sous-espace S = *
2
0
4
−3
;
0
2
0
3
;
2
−2
4
−6
+, ainsi que
le sous-espace T = *
1
−2
1
−3
;
1
2
1
3
+.
Déterminer les dimensions de S,T,S + T et S∩T.
Algèbre linéaire : sous-espaces vectoriels 5.3

5.9 Soient F = *
1
3
−3
−1
−4
;
1
4
−1
−2
−2
;
2
9
0
−5
−2
+et G = *
1
6
2
−2
3
;
2
8
−1
−6
−5
;
1
3
−1
−5
−6
+
deux sous-espaces de R5. Calculer dim(F + G) et dim(F ∩G).
5.10 Dans M2(R), on considère les matrices :
A = 1 0
1 1,B = −3 3
7 1,C = −1 3
9 3et D = −5 3
5−1
Calculer dimhA ; B ; C ; Diet trouver une base du supplémentaire de ce sous-
espace.
5.11 Dans R3[x], on considère les polynômes :
p1=x3−2x2+ 4 x+ 1 p2= 2 x3−3x2+ 9 x−1
p3=x3+ 6 x−5p4= 2 x3−5x2+ 7 x+ 5
Calculer dimhp1;p2;p3;p4iet trouver une base du supplémentaire de ce
sous-espace.
5.12 Dans R4, on considère les sous-espaces vectoriels F = (x;y;z;t)∈R4:
y+z+t= 0et G = (x;y;z;t)∈R4:x+y= 0 et z= 2 t.
Déterminer la dimension et une base de F,Get F∩G.
5.13 Soit Fle sous-espace vectoriel de R3défini par F = (x;y;z)∈R3:x= 0
et soit Gle sous-espace vectoriel de R3engendré par 
4
3
2
et 
2
−1
2
.
Donner une base de F∩Get une base de F + G.
5.14 Dans R3, on considère la famille F = 
m
2
4
;
1
m−1
−4
;
1
2
1
où m∈R.
1) Calculer les deux valeurs de mpour lesquelles la famille Fest liée.
2) Déterminer les sous-espaces vectoriels E1et E2engendrés par Florsque
cette famille est liée.
3) Déterminer une base de E1∩E2.
Algèbre linéaire : sous-espaces vectoriels 5.4

Réponses
5.6 dim(U) = 2 (u1;u2)est une base de U.
5.7 dimh4x2−x+ 2 ; 2 x2+ 6 x+ 3 ; −4x2+ 10 x+ 2i= 3
5.8 dim(S) = 2 dim(T) = 2 dim(S + T) = 3 dim(S ∩T) = 1
5.9 dim(F + G) = 3 dim(F ∩G) = 2
5.10 dimhA ; B ; C ; Di= 2 base du supplémentaire : 0 0
1 0;0 0
0 1!
5.11 dimhp1;p2;p3;p4i= 2 base du supplémentaire : (x; 1)
5.12 dim(F) = 3 base de F:
1
0
0
0
;
0
−1
1
0
;
0
−1
0
1
dim(G) = 2 base de G:
−1
1
0
0
;
0
0
2
1
dim(F ∩G) = 1 base de F∩G:
3
−3
2
1
5.13 base de F∩G:
0
5
−2
base de F + G :
1
0
0
;
0
1
0
;
0
0
1
5.14 1) m1=−1et m2=−2
2) E1=(x;y;z)∈R3: 6 x−5y+ 4 z= 0
E2=(x;y;z)∈R3:x−y+z= 0
3) base de E1∩E2:
1
2
1
Algèbre linéaire : sous-espaces vectoriels 5.5