5 Sous-espaces vectoriels

5
Sous-espaces vectoriels
5.1
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer
que F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E.
5.2
Donner un exemple d’un espace vectoriel E et de deux sous-espaces vectoriels F
et G tels que F ∪ G ne soit pas un sous-espace vectoriel de E.
Soient E un espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
La somme de F et de G est l’ensemble des éléments de E qui peuvent s’écrire
comme somme d’un élément de F et d’un élément de G :
F + G = {v + w : v ∈ F, w ∈ G}
5.3
1) Montrer que F + G est un sous-espace vectoriel de E.
2) Montrer que F ⊂ F + G et G ⊂ F + G.
3) Montrer que tout sous espace-vectoriel contenant F ∪ G contient F + G.
Ainsi F + G est le plus petit sous-espace vectoriel contenant F et G.
Relation de Grassmann
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un espace
vectoriel E. Alors dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G) .
Preuve On pose k = dim(F ∩ G), m = dim(F) et n = dim(G).
Soit B = (e1 ; . . . ; ek ) une base de F ∩ G.
On la complète en une base B′ = (e1 ; . . . ; ek ; e′1 ; . . . ; e′m−k ) de F et en une
base B′′ = (e1 ; . . . ; ek ; e′′1 ; . . . ; e′′n−k ) de G.
Montrons que B⋆ = (e1 ; . . . ; ek ; e′1 ; . . . ; e′m−k ; e′′1 ; . . . ; e′′n−k ) est une base de
F + G.
1) B⋆ engendre F + G.
Soit u ∈ F + G. Il existe v ∈ F et w ∈ G tels que u = v + w.
′
Il existe des scalaires α1 , . . . , αk , α1′ , . . . , αm−k
tels que
′
′
′
v = α1 · e1 + . . . + αk · ek + α1 · e1 + . . . + αm−k
· e′m−k .
′′
Il existe des scalaires β1 , . . . , βk , β1′′ , . . . , βn−k
tels que
′′
′
′′
w = β1 · e1 + . . . + βk · ek + β1 · e1 + . . . + βn−k
· e′n−k .
′
Alors u = (α1 + β1 ) · e1 + . . . + (αk + βk ) · ek + α1′ · e′1 + . . . + αm−k
· e′m−k +
′′
β1′′ · e′1 + . . . + βn−k
· e′n−k est une combinaison linéaire d’éléments de B⋆ .
2) B⋆ est une famille libre.
′
′′
Soient α1 . . . , αk , α1′ , . . . , αm−k
, α1′′, . . . , αn−k
des scalaires tels que
′
′′
α1 ·e1 +. . .+αk ·ek +α1′ ·e′1 +. . .+αm−k
·e′m−k +α1′′ ·e′′1 +. . .+αn−k
·e′′n−k = 0.
Algèbre linéaire : sous-espaces vectoriels
5.1
′
Posons u = α1 · e1 + . . . + αk · ek + α1′ · e′1 + . . . + αm−k
· e′m−k
′′
′′
′′
′′
= −α1 · e1 − . . . − αn−k · en−k .
On a u ∈ he1 ; . . . ; ek ; e′1 ; . . . ; e′m−k i = F et u ∈ he′′1 ; . . . ; e′′n−k i ⊂ G .
Puisque u ∈ F ∩ G, il existe des scalaires β1 , . . . , βk tels que
u = β1 · e1 + . . . + βk · ek .
′′
Alors 0 = u − u = β1 · e1 + . . . βk · ek + α1′′ · e′′1 + αn−k
· e′′n−k .
Comme B′′ = (e1 ; . . . ; ek ; e′′1 ; . . . ; e′′n−k ) est une base de G, on doit avoir
′′
β1 = . . . = βk = α1′′ = . . . = αn−k
= 0.
′
′
′
Il reste ainsi α1 · e1 + . . . + αk · ek + α1 · e1 + . . . + αm−k
· e′m−k = 0 .
Mais B′ = (e1 ; . . . ; ek ; e′1 ; . . . ; e′m−k ) étant une base de F, on obtient
′
α1 = . . . = αk = α1′ = . . . = αm−k
= 0.
Puisque B⋆ = (e1 ; . . . ; ek ; e′1 ; . . . ; e′m−k ; e′′1 ; . . . ; e′′n−k ) est une base de F + G,
dim(F+G) = k+(m−k)+(n−k) = m+n−k = dim(F)+dim(G)−dim(F∩G) .
5.4
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un espace
vectoriel E. Montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes :
1) F ∩ G = {0} ;
2) dim(F + G) = dim(F) + dim(G) ;
3) la décomposition de tout élément de F + G en somme d’un élément de F
et d’un élément de G est unique.
On dit que la somme F + G de deux sous-espaces vectoriels F et G d’un espace
vectoriel E est directe si F ∩ G = {0} . Dans ce cas, on la note F ⊕ G .
Existence d’un sous-espace supplémentaire
Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Pour tout sous-espace vectoriel F
de E, il existe un sous-espace vectoriel G de E (non unique) tel que E = F ⊕ G .
On dit que G est un sous espace supplémentaire de F dans E.
5.5
Preuve de l’existence d’un sous espace supplémentaire
On pose n = dim(E) et k = dim(F).
Considérons une base (e1 ; . . . ; ek ) de F que nous complétons en une base
(e1 ; . . . ; ek ; ek+1 ; . . . ; en ) de E. Posons G = hek+1 ; . . . ; en i.
1) Montrer que E = F + G .
2) Montrer que F ∩ G = {0} .
Remarques :
Soit F = (v1 ; . . . ; vp ) une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E.
La matrice A engendrée par la famille F dans une base B est la matrice dont
les lignes sont les composantes des vecteurs de F.
1) L’espace engendré par la famille de vecteurs F ne change pas si l’on effectue sur les vecteurs de la famille les opérations élémentaires suivantes :
Algèbre linéaire : sous-espaces vectoriels
5.2
(a) changer l’ordre des vecteurs ;
(b) multiplier un vecteur par un nombre non nul ;
(c) ajouter à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs.
Il en résulte que les vecteurs lignes d’une matrice et les vecteurs lignes
de sa matrice échelonnée engendrent le même espace vectoriel.
2) Les lignes non nulles de la matrice échelonnée fournissent une base de
l’espace vectoriel engendré par F.
3) Le rang de la matrice engendrée par la famille F est égal à la dimension
du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs de F.
Exemple
    
3
2
1






3
−2
,   et  8 .
Soit F le sous-espace vectoriel de R4 engendré par les vecteurs 
 5   1  −3
−5
−4
−3

 L2 → L2 − 2 L1 



1 −2 5 −3
1 −2
5
−3
1 −2 5 −3
L3 → L3 − 3 L1
L3 → L3 − 2 L2
2 3
0 7
0 7 −9 2 
1 −4
−9
2
=⇒
=⇒
3 8 −3 −5
0 14 −18 4
0 0
0
0
    
1
0
    
 −2  7 
F admet pour base    ;   et dim(F) = 2 .
−9 
 5
−3
2

   

0
0
1 −2 5 −3
0 0
0 7 −9 2 
 est une matrice échelonnée, les vecteurs   et   forment
Puisque 
1 0
0 0
1
0
1
0
0 0
0
1
une base du supplémentaire de F.

5.6
Soit (e1 ; e2 ; e3 ; e4 ) une base d’un espace vectoriel E. Déterminer la dimension
du sous-espace vectoriel U de E engendré par les quatre vecteurs :
u1 = −e1 + e2 + 2 e3 − e4
u2 = 2 e1 + 3 e2 − e3 + e4
u3 = 3 e1 + 7 e2 + e4
u4 = e1 + 9 e2 + 4 e3 − e4
Extraire de la famille (u1 ; u2 ; u3 ; u4 ) une base de U.
5.7
Calculer la dimension du sous-espace h4 x2 −x+2 ; 2 x2 +6 x+3 ; −4 x2 +10 x+2i
de R3 [x].
5.8
   
0
* 2



0  2

Dans R4 , on considère le sous-espace S = 
 4  ; 0
3
−3
   
1 +
* 1
−2 2
  
le sous-espace T = 
 1  ; 1 .
3
−3
Déterminer les dimensions de S, T, S + T et S ∩ T.
Algèbre linéaire : sous-espaces vectoriels

2 +
−2

;
 4  , ainsi que
−6

5.3
5.9

1
* 3 
 

Soient F = 
−3
−1
−4
deux sous-espaces de

   
  
2
1
2
1
* 6   8 
 4   9 +
   
   
   
  
;
−1 ;  0  et G =  2  ; −1
−2 −6
−2 −5
−5
3
−2
−2
R5 . Calculer dim(F + G) et dim(F ∩ G).


1
 3 +
 

;
−1
−5
−6

5.10
Dans M2 (R), on considère les matrices :
−5 3
−1 3
−3 3
1 0
et D =
,C =
,B =
A=
5 −1
9 3
7 1
1 1
Calculer dim hA ; B ; C ; Di et trouver une base du supplémentaire de ce sousespace.
5.11
Dans R3 [x], on considère les polynômes :
p1 = x3 − 2 x2 + 4 x + 1
p2 = 2 x3 − 3 x2 + 9 x − 1
p3 = x3 + 6 x − 5
p4 = 2 x3 − 5 x2 + 7 x + 5
Calculer dim hp1 ; p2 ; p3 ; p4 i et trouver une base du supplémentaire de ce
sous-espace.
5.12
Dans R4 , on considère les sous-espaces vectoriels F = (x ;y ; z ; t) ∈ R4 :
y + z + t = 0 et G = (x ; y ; z ; t) ∈ R4 : x + y = 0 et z = 2 t .
Déterminer la dimension et une base de F, G et F ∩ G.
5.13
3
Soit F le sous-espace vectoriel de R3 défini par F = 
(x 
; y ; z)∈ R
:x=0
2
4
3



et soit G le sous-espace vectoriel de R engendré par 3 et −1.
2
2
Donner une base de F ∩ G et une base de F + G.
5.14
  
  
m
1
1

  
3


Dans R , on considère la famille F =  2 ; m − 1 ; 2 où m ∈ R.
4
−4
1
1) Calculer les deux valeurs de m pour lesquelles la famille F est liée.
2) Déterminer les sous-espaces vectoriels E1 et E2 engendrés par F lorsque
cette famille est liée.
3) Déterminer une base de E1 ∩ E2 .
Algèbre linéaire : sous-espaces vectoriels
5.4
Réponses
(u1 ; u2) est une base de U.
5.6
dim(U) = 2
5.7
5.8
dim h4 x2 − x + 2 ; 2 x2 + 6 x + 3 ; −4 x2 + 10 x + 2i = 3
5.9
dim(F + G) = 3
dim(S) = 2
dim(T) = 2
dim hA ; B ; C ; Di = 2
5.11
dim hp1 ; p2 ; p3 ; p4 i = 2
5.13
5.14
dim(S ∩ T) = 1
dim(F ∩ G) = 2
5.10
5.12
dim(S + T) = 3
base du supplémentaire :
!
0 0
0 0
;
0 1
1 0
base du supplémentaire : (x ; 1)
      
0
0
1
      
 0 −1 −1
;
;
dim(F) = 3
base de F :  

 0  1   0 
1
0
0
    
0
−1
    
 1  0
;
dim(G) = 2
base de G :  

  0  2
1
0
  
3
  
−3


dim(F ∩ G) = 1
base de F ∩ G :  

  2 
1

0


base de F ∩ G :   5 
−2

      
1
0
0
      
base de F + G :  0 ; 1 ; 0 
0
0
1
1) m1 = −1 et m2 = −2
2) E1 = (x ; y ; z) ∈ R3 : 6 x − 5 y + 4 z = 0
E2 = (x ; y ; z) ∈ R3 : x − y + z = 0
  
1


3) base de E1 ∩ E2 :  2
1
Algèbre linéaire : sous-espaces vectoriels
5.5