MATH321

MATH 321 - Licence de math´ematiques
Georges COMTE
Laboratoire de Math´ ematiques de l’Universit´ e de Savoie, UMR CNRS
5127, Bˆ atiment Chablais, Campus scientifique, 73376 Le Bourget-du-
Lac cedex, France
E-mail address:[email protected]
URL:http://gcomte.perso.math.cnrs.fr/

2 mars 2017

Table des mati`eres
Chapitre 1. Ensembles et fonctions convexes 5
1. Rappels 5
2. Ensembles convexes 7
3. Fonctions convexes 9
4. In´egalit´es de convexit´e 34
Chapitre 2. ´ Etude locale de fonctions 41
1. Rappels 41
2. Domination, pr´epond´erance, ´equivalence de fonctions 43
3. ´ Echelles de comparaison et d´eveloppements asymptotiques 56
4. D´eveloppement limit´es 62
Chapitre 3. S´eries num´eriques 83
1. Rappels 83
2. Introduction 84
3. D´efinitions g´en´erales 85
4. Convergence absolue et s´eries de terme g´en´eral positif 95
5. S´eries de terme g´en´eral ayant un signe non constant 149
Chapitre 4. Annexe : approximation des r´eels par les rationnels 157
1. Approximation des r´eels par des rationnels 157
2. Approximation par les fractions continues 159
Bibliographie 167
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CHAPITRE 1
Ensembles et fonctions convexes
1. Rappels
On rappelle bri`evement dans cette section des notions de base qui seront utiles
dans la suite du chapitre.
Commen¸cons par rappeler que pour montrer que deux ensembles Eet Fsont
´egaux ont montre souvent que E⊂Fet F⊂E. Et pour montrer une inclusion
E⊂F, on consid`ere un ´el´ement x∈E, dont on montre qu’il est aussi dans F. Cet
´el´ement x´etant choisi sans contrainte dans E. Pour une illustration de ce principe,
voir par exemple l’Exemple 1.7 ci-dessous. On dira souvent qu’un sous-ensemble de
Rnest une partie de Rn. On utilisera ces deux mots comme des synonymes.
1.1. D´efinition.L’intervalle [a, b] de Rest l’ensemble suivant
[a, b] = {x∈R;a≤x≤b}.
De mˆeme
]a, b[= {x∈R;a<x<b}.
]a, b] = {x∈R;a < x ≤b}.
[a, b[= {x∈R;a≤x<b}.
Rappelons que tout sous-ensemble Cde Rposs`ede une borne inf´erieure αet
une borne sup´erieure β, avec α, β ∈R∪{−∞,+∞}. Les quantit´es αet βpeuvent
appartenir `a Cou ne pas y appartenir. Par d´efinition αest le plus grand minorant
de C, c’est-`a-dire que
∀x∈ C, α ≤xet si a∈Rest tel que ∀x∈ C, a ≤x, alors a≤α.
De mˆeme, βest le plus petit majorant de C, c’est-`a-dire que
∀x∈ C, β ≥xet si b∈Rest tel que ∀x∈ C, b ≥x, alors b≥β.
Une autre d´efinition utile des bornes inf et sup est la suivante :
∀x∈ C, α ≤xet ∀ > 0,∃x∈ C tel que α≤x<α+
∀x∈ C, β ≥xet ∀ > 0,∃x∈ C tel que β− < x ≤β.
Cette derni`ere d´efinition montre que l’on peut construire une suite (αn)n∈Nd’´el´ements
de Cqui converge (en d´ecroissant si l’on veut) vers α. De mˆeme, on peut construire
une suite (βn)n∈Nd’´el´ements de Cqui converge (en croissant si l’on veut) vers β.
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