5-Le ménage représentatif

159
Thème II
Les microfondements de la macroéconomie
• Dans l’analyse macroéconomique moderne, les ménages et les firmes
sont considérés comme les principaux acteurs de l’économie. Ces
agents économiques agissent de manière autonome et rationnelle :
1) ils sont guidés par la recherche de l’intérêt personnel ;
2) ils se livrent à un calcul économique consistant à comparer les
pertes et les gains qui résulteraient de leurs choix ou décisions.
• La rationalité implique notamment de s’abstenir d’une situation donnée
lorsque les pertes (ou les peines) sont supérieures aux gains (ou aux
plaisirs) escomptés.
160
Thème II
Les microfondements de la macroéconomie
• Par ailleurs, la rationalité économique implique de s’engager dans une
situation donnée tant que les gains (ou les plaisirs) sont supérieurs aux
pertes (ou aux peines), et ce, jusqu’à l’atteinte de son point d’équilibre.
• Les ménages et les firmes prennent des décisions « à la marge », qui sont
dictées, selon les cas, par l’utilité ou la valeur d’une unité supplémentaire
d’un article sur le marché.
• Cette démarche analytique est à la base des concepts de surplus du
consommateur (SC) et de surplus du producteur (SP) illustrés ci-après.
161
Thème II
Les microfondements de la macroéconomie
• Le surplus du consommateur est la différence entre le montant maximal
qu’il est prêt à payer pour un produit et le montant qu’il paie réellement
(SC = utilité marginale – prix du marché).
• Le surplus du producteur est la différence entre le prix de vente de chaque
unité produite et le coût marginal de production de cette unité (SP = prix
du marché – coût marginal).
• La relation entre la quantité d’un bien donné et son utilité marginale est
décroissante, tandis qu’elle est croissante par rapport au coût marginal.
Le calcul à la marge
(Surplus du consommateur et surplus du producteur)
Prix
Prix
162
Coût marginal
S.C.
E
E
S.P.
Utilité marginale
Quantité
Quantité
163
5. Le ménage représentatif
I. Analyse statique du comportement du ménage
• Nous considérons le ménage comme un consommateur représentatif
dont le principal objectif est de maximiser la satisfaction tirée des biens
acquis sur le marché. Nous supposons que son revenu est exogène.
• Deux outils sont utilisés pour caractériser le comportement d’un
consommateur : la fonction d’utilité et la contrainte budgétaire.
• Le choix des quantités optimales de biens découle de l’interaction
des deux outils précités.
164
5. Le ménage représentatif
a) La fonction d’utilité
• Les individus augmentent leur satisfaction ou bien-être en acquérant
des objets qui leur plaisent et en évitant ceux qui leur déplaisent.
• Une fonction d’utilité est une relation qui associe un niveau de
satisfaction à chaque panier de biens x1 et x2 :
U = U(x1, x2)
(5.1)
165
5. Le ménage représentatif
• La théorie du consommateur repose sur l’hypothèse que les
consommateurs peuvent classer les paniers de biens les uns par
rapport aux autres.
• Une fonction d’utilité peut donc être représentée par un ensemble de
courbes d’indifférence.
• Supposons que l’utilité du consommateur Albert pour les biens x1 et x2
est donnée par U = x1 + 2x2. Un panier de biens comportant 8 unités
de x1 et 3 unités de x2 produira une utilité de 8 + 2(3) = 14.
166
5. Le ménage représentatif
• Albert est indifférent entre le panier précédent et un autre panier
contenant 6 unités de x1 et 4 unités de x2, du fait qu’il aboutit à la même
utilité : 6 + 2(4) = 14.
• Mais les deux paniers précédents sont préférés à un troisième, contenant
4 unités de x1 et 4 unités de x2, car ce dernier implique une utilité de
seulement 4 + 2(4) = 12.
• Une carte d’indifférence est la représentation d’un ensemble de
courbes d’indifférence qui décrivent les préférences d’un consommateur.
167
5. Le ménage représentatif
• Les paniers situés sur des courbes d’indifférence de niveau supérieur
sont supposés engendrer plus de satisfaction que les paniers
appartenant à des courbes d’indifférence de niveau inférieur (critère
des choix dominants et critère des choix élargis).
• Les courbes d’indifférence ne peuvent pas se croiser (critère de choix
non contradictoires).
• Les courbes d’indifférence sont de pente négative, reflétant l’hypothèse
selon laquelle plus est préféré à moins.
168
5. Le ménage représentatif
• Le taux marginal de substitution (TMS) mesure la quantité d’un
bien auquel un consommateur est prêt à renoncer pour obtenir une
quantité plus importante d’un autre bien.
• Les courbes d’indifférence sont convexes : nous supposons qu’au fur et
à mesure qu’augmente la quantité consommée d’un bien (disons x1), le
consommateur est prêt à renoncer à des quantités de plus en plus
faibles du bien x2 pour obtenir des unités additionnelles du premier.
169
5. Le ménage représentatif
b) La contrainte budgétaire
• Le fait que le consommateur tienne compte des prix et qu’ils dispose
des ressources limitées, ces deux éléments restreignent la quantité de
biens qu’il peut acheter.
• La droite de budget est l’ensemble des combinaisons des biens x1 et x2
telles que les dépenses totales aux prix p1 et p2 soient égales au revenu :
p1x1 + p2x2 = R
(5.2)
170
5. Le ménage représentatif
• De l’expression précédente, on déduit l’équation de la droite de
budget ci-après :
x2 = R/p2 – (p1/p2).x1
(5.3)
où R/p2 représente l’ordonnée à l’origine, tandis que le terme – (p1/p2)
est la pente de la droite de budget.
• Alternativement, l’abscisse à l’origine est donnée par le terme R/p1.
171
5. Le ménage représentatif
• Admettons que le consommateur dispose d’un revenu de 80 $ par
semaine, et que le prix du bien x1 est de 1 $ par unité et celui du bien x2
est de 2 $ par unité. Le tableau 5.1 représente quelques combinaisons
de x1 et x2 qu’il peut acheter avec son revenu de 80 $.
• La figure 5.1 représente la droite de budget AG associée aux paniers de
biens du tableau précité. Elle passe par les points B, D et E. La valeur de
sa pente est -1/2. Le point A représente son ordonnée à l’origine.
Tableau 5.1- Paniers de biens
172
Paniers de
biens
Bien
x1
Bien
x2
Dépense
totale
A
0
40
80 $
B
20
30
80 $
D
40
20
80 $
E
60
10
80 $
G
80
0
80 $
Figure 5.1- Droite de budget
173
50
Bien x2
40
A
B
30
D
20
E
10
G
0
0
10
20
30
40
50
Bien x1
60
70
80
90
174
5. Le ménage représentatif
• La position de la droite de budget dépend à la fois du revenu et des
prix des biens, p1 et p2.
• Une variation du seul revenu entraîne une modification de l’ordonnée à
l’origine, mais n’influe pas sur la pente de la droite, puisque les prix des
biens demeurent inchangés.
• Une variation du prix p1 fait pivoter la droite de budget autour du point
A, tandis qu’elle pivoterait autour du point G en cas de variation du prix
p2.
175
5. Le ménage représentatif
c) Le choix des quantités optimales de consommation
• Un consommateur rationnel choisit les biens de manière à maximiser
sa satisfaction avec un budget limité. Le panier optimal doit satisfaire
deux conditions :
1. Il doit appartenir à la droite de budget.
2. Il doit fournir au consommateur la combinaison préférée de biens
et services.
176
5. Le ménage représentatif
• La figure 5.2 présente trois courbes d’indifférence décrivant les
préférence du consommateur pour les biens x1 et x2. La courbe U3
représente le plus haut niveau de satisfaction, U2 un niveau
intermédiaire, et U1 le plus bas.
• Le panier B qui appartient à la courbe d’indifférence U1 n’est pas
optimal, car une réaffectation du revenu en faveur de x1 permettrait
d’augmenter la satisfaction du consommateur.
• Bien que situé sur U3, le panier D exige une dépense exorbitante.
Figure 5.2- La maximisation de l’utilité du consommateur
177
50
Bien x2
40
A
D
B
30
U3
E
20
U2
10
U1
G
0
0
10
20
30
40
50
Bien x1
60
70
80
90
178
5. Le ménage représentatif
• Le panier E est celui qui maximise la satisfaction du consommateur. Il
appartient à la plus haute courbe d’indifférence qui touche la droite de
budget. En ce point de tangence, la pente de la droite de budget est
exactement égale à la pente de la courbe d’indifférence :
TMS = p1/p2
• Autrement dit, l’utilité est maximisée lorsque le taux marginal de
substitution de x1 à x2 est égal au au rapport de leurs prix.
(5.4)
179
5. Le ménage représentatif
II. Analyse dynamique du comportement du ménage
• Le ménage vit et prend ses décisions généralement sur plusieurs
périodes. Sans perte de généralité, nous considérons ici deux moments
majeurs dans sa vie : le présent (période 1) et le futur (période 2). Il n’y
a pas de troisième période.
• Ces restrictions permettent d’examiner deux cas de choix spécifiques :
a) les choix inter-temporels (entre consommation et épargne); et b)
les choix intra-temporels (entre consommation et loisir).
180
5. Le ménage représentatif
a) Choix entre consommation et épargne
• Les quantités de biens consommées par le ménage à la période 1 et la
période 2 sont notées respectivement !1 et !2. Sa fonction d’utilité
intertemporelle s’écrit :
" = # (!1, !2)
(5.5)
• Le revenu présent du ménage est Y1 et son revenu futur $2.
• Le ménage peut décider du niveau de richesse qu’il compte avoir à
chaque période.
181
5. Le ménage représentatif
• La richesse est rémunérée par un taux d’intérêt !. Elle peut être
positive ou négative.
• Admettons que le ménage hérite d’une richesse initiale, notée #0.
• Il choisit de consommer la quantité $% , chaque unité de bien coûtant '% .
Ainsi, sa contrainte budgétaire à la période 1 s’écrit :
'% $% + #% = 1 + ! #+ + ,%
(5.6)
182
5. Le ménage représentatif
• La richesse du ménage à la période 1 est telle que :
!" = 1 + & !' + (" − *" +"
(5.7)
• L’expression en (5.7) décrit l’ensemble des ressources disponibles à la
fin de la période 1.
• Étant donné que la richesse !" n’est pas dépensée à la période 1, elle
sera rapportée à la période 2.
183
5. Le ménage représentatif
• Ainsi, on peut définir deux notions importantes liées à l’accumulation
de la richesse du ménage : l’épargne lorsque !. #$ + &' > )' *' , et la
dette lorsque !. #$ + &' < )' *' .
• La contrainte budgétaire à la période 2 s’écrit :
), *, + #, = 1 + ! #' + &,
(5.8)
• Puisque le ménage ne vit que deux périodes, #, = 0. Ainsi donc, le
ménage dépense toutes ses ressources de la période 2.
184
5. Le ménage représentatif
• Les contraintes budgétaires à la période 1 et à la période 2 ont en
commun le terme !" . Par ce biais, en combinant les deux équations
(5.6) et (5.8), on dérive la contrainte budgétaire intertemporelle du
ménage :
$" %" +
'( )(
"*+
= -" +
.(
"*+
+ 1 + 0 !1 .
(5.9)
• La partie à gauche représente la valeur actualisée du profil des
dépenses de consommation (présentes et futures) du ménage, et celle à
droite mesure la valeur actualisée du profil de ses ressources.
185
5. Le ménage représentatif
• La contrainte budgétaire intertemporelle représente les combinaisons
de consommation courante (c1) et de consommation future (c2)
accessibles au ménage.
• L’équation de la contrainte budgétaire intertemporelle du
ménage s’écrit :
!" = −
%&
%'
1 + * !+ +
,&
%'
1+* +
,'
%'
+
-.
%'
1+*
"
(5.10)
186
5. Le ménage représentatif
• Sans perte de généralité, considérons en (5.6) que !" = 0. En
différentiant l’équation de la droite de budget, on dérive la pente de la
droite de budget intertemporelle :
& '(
& ')
+)
= −+ 1 + . .
(
(5.11)
• Comme dans le cas du modèle statique, pour dériver la droite de budget
intertemporelle du ménage, on se sert des trois coordonnées reprises
dans le tableau 5.2, à savoir : a) la pente, b) l’abscisse à l’origine et c)
l’ordonnée à l’origine.
Tableau 5.2-Modèle statique contre modèle dynamique
187
Pente de la droite de
budget
Modèle statique
Modèle dynamique
d "#
'$
=−
d "$
'#
–
–
d "#
'$
=−
1+*
d "$
'#
:
'$
-$ -# 1
+
'$ '$ 1 + *
:
'#
-$
-#
1+* +
'#
'#
:
Pente de la droite de
:
budget intertemporelle
Abscisse à l’origine
"$, 0
Ordonnée à l’origine
0, "#
188
5. Le ménage représentatif
• La pente de la contrainte budgétaire est déterminée par le prix relatif et
le taux d’intérêt.
• L’ordonnée à l’origine indique la consommation maximale que le ménage
peut effectuer à la période 2, s’il s’abstient de consommer à la période 1.
• L’abscisse à l’origine indique la consommation maximale que le ménage
peut effectuer à la période 1, s’il s’abstient de consommer à la période 2.
189
5. Le ménage représentatif
Conseil de Polonius à son fils
« Donne à tous ton oreille ; à très peu ta voix.
Prends l’avis de chacun, mais réserve le tien.…
N’emprunte ni ne prête ; car prêter c’est souvent perdre et l’argent
et l’ami, et emprunter use l’esprit d’épargne ».
(Tiré de Hamlet, Acte I, scène III, p. 29.)
Figure 5.3-La droite de budget intertemporelle
190
C2
CONTRAINTE BUDGETAIRE INTERTEMPORELLE
Pente = – P1(1 + i)/P2
C2*
(Y1/P1, Y2/P2)
POINT DE POLINIUS
C1*
C1
191
5. Le ménage représentatif
• Au point de Polonius, le ménage n’est ni prêteur ni emprunteur. Il
consomme exactement son revenu : "# ⁄$# = &# et "' ⁄$' = &' .
• À gauche du point de Polonius, le ménage est prêteur (épargne).
• À droite du point de Polonius, le ménages est emprunteur.
• Le taux d’intérêt qui permet au ménage de consommer au point de
Polonius est unique et tel que :
)*+ &# , &' =
-.
-/
1+2
∗
⟹ 2 = −1 +
-/
-.
)*+ &# , &' .
(5.12)
C2
C2
B
B'
192
B
B''
∆P2 < 0
∆P2 > 0
∆P1 < 0
∆P1 > 0
Figure 5.4- Analyse de
sensibilité : variation des
prix et du taux d’intérêt
A''
A'
A
A
C1
C2
C1
C2
B
B'
∆i > 0 : i ' > i
∆i < 0 : i ' < i
B'
B
Point de Polonius
Point de Polonius
A
Note : A
B
(Y1/P1, Y2/P2)
∆X
:
:
:
:
A'
C1
Abcisse à l'origine = Y1/P1 + [Y2/(1 + i)P1]
Ordonnée à l'origine = [(1 + i)Y1/P2] + Y2/P2
Point de Polinius
Accroissement de X = X' - X
A'
A
C1
Baisse
193 Prix à la période 1 Pivotement de la droite
Hausse
budgétaire intertemporelle
autour de l’ordonnée vers la
droite
Pivotement de la droite
budgétaire intertemporelle
autour de l’ordonnée vers la
gauche
Prix à la période 2
Pivotement de la droite
budgétaire intertemporelle
autour de l’ordonnée vers le
haut
Pivotement de la droite
budgétaire intertemporelle
autour de l’ordonnée vers le
bas
Taux d’intérêt
Rotation de la droite
budgétaire intertemporelle
autour du point de Polonius
suivant le sens contraire des
aiguilles d’une montre
Rotation de la droite
budgétaire intertemporelle
autour du point de Polonius
suivant le sens des aiguilles
d’une montre
194
5. Le ménage représentatif
• Une hausse de prix implique un pivotement de la droite budgétaire
intertemporelle autour de l’abscisse à l’origine ou de l’ordonnée à
l’origine selon que le prix dans la période 1 ou dans la période 2 a
changé.
• En cas de variation du taux d’intérêt, la droite budgétaire
intertemporelle subit une rotation autour du point de Polonius.
195
5. Le ménage représentatif
• Synthétiquement, le problème du ménage revient à ceci :
max ( )* , )+
$% ,$'
sujet à :
,+ )+
1+
,* )* +
= 1* +
+ 1 + / 23 ,
1+/
1+/
avec ,* > 0 et ,+ > 0.
196
5. Le ménage représentatif
• Le Lagrangien du modèle de consommation intertemporel est tel que :
ℒ = # $% , $'
+'
1' $'
+ )* +% +
+ 1 + - ./ − 1% $% −
,
1+1+-
où )* est le multiplicateur de Lagrange dynamique.
• Les conditions du premier ordre d’optimisation :
2# $% , $'
= #3% $% , $' − )* 1% = 0
2$%
197
5. Le ménage représentatif
!" #$ , #&
,&
= "(& #$ , #& − *+
=0
!#&
1+/
!" #$ , #&
1&
,& #&
= 1$ +
+ 1 + / 23 − ,$ #$ −
=0
!*+
1+/
1+/
198
5. Le ménage représentatif
Solution :
#$% &% , &(
!=
)%
#$( &% , &(
!=
1+,
)(
#$% &% , &(
)%
⟹
=
1+, ,
#$( &% , &(
)(
où #$% ⁄#$( = /01 &% , &( dénote le taux marginal de substitution
intertemporel.
Figure 5.5- Choix optimal dans le modèle consommation intertemporel
199
C2
B = [(1 + i)Y1/P2] + Y2/P2
B
CHOIX OPTIMAL
Point de Polonius
C2*
Pente = – P1/P2(1 + i)
Y2/P2
C1*
Y1/P1
A = Y1/P1 + [Y2/(1 + i)P1]
A
C1
200
5. Le ménage représentatif
• Le choix optimal dans le modèle de consommation intertemporel
implique une égalité entre le taux marginal de substitution
intertemporel (pente de la courbe d’utilité) et la pente de la droite de
budget.
• Pour une fonction d’utilité logarithmique telle que ! "# , "% = ln "# +
* ln "% , on que :
+
,+
+
,.
=
/+
/.
1+1
⟹
3.
3+
=*
/+
/.
1+1 .
(5.13)
201
5. Le ménage représentatif
• L’expression en (5.13) est appelée « équation d’Euler » ou encore
« condition de Ramsey-Keynes ».
• Elle pose qu’à l’optimum de consommation le ratio des utilités
marginales (c’est-à-dire le taux marginal de substitution intertemporel)
est égal au produit entre le facteur d’escompte (!), le prix relatif
(#$ ⁄#% ) et le facteur d’intérêt (1 + ().
• Plus simplement, l’équation d’Euler n’est rien d’autre que l’équation
résumant la condition d’équilibre du ménage.
202
5. Le ménage représentatif
• L’équation d’Euler est dite « intertemporelle » car elle met en relation
la consommation de la période 1 et celle de la période 2 :
!" = $
%&'
%&()
!%
(5.14)
où *" = ," − ,% ⁄,% mesure la variation du prix entre la période 1
et la période 2.
• L’équation d’Euler nous renseigne sur trois faits majeurs concernant la
dynamique de la consommation du ménage.
203
5. Le ménage représentatif
1) Dans le cas d’un facteur d’escompte élevé, le ménage est davantage
disposé à renoncer à consommer dans le présent pour consommer
plus dans le futur.
2) Dans le cas d’un taux d’intérêt élevé, le ménage est davantage incité
à réduire sa consommation courante, à épargner plus pour
consommer plus dans le futur.
3) Si le taux d’inflation est faible et inférieur au taux d’intérêt, dans ce
cas, le prix relatif des biens est approximativement stable et ne nuit
pas à la capacité budgétaire du ménage.
204
5. Le ménage représentatif
b) Choix entre consommation et loisir
• Supposons à présent qu’à chaque période, le ménage doit choisir entre :
(i) consommation et épargne ; (ii) travail et loisir. Dès lors, la fonction
d’utilité devient :
! = # $% , '% , $( , '(
(5.15)
où pour chaque période ), $* dénote la quantité de biens consommés,
'* le nombre d’heures que le ménage consacre au loisir, tel que '* =
1 − -* . La variable -* mesure le nombre d’heures de travail.
205
5. Le ménage représentatif
• Pour simplifier, considérons une fonction d’utilité additivement séparable
telle que :
! "# , %# , "& , %& = ! "# , %# + ! "& , %2
(5.16)
• La contrainte budgétaire du ménage période par période s’écrit :
Pour la période 1 : *# "# + +# = 1 + - +. + /# 1 − %#
(5.17)
Pour la période 2 : *& "& + +& = 1 + - +# + /& 1 − %&
(5.18)
Dans chaque contrainte, / dénote le salaire horaire.
206
5. Le ménage représentatif
• Ces contraintes stipulent qu’à chaque période le ménage dispose d’un
niveau donné de richesse et d’un revenu qu’il est censé répartir entre la
consommation et l’épargne. Remarquons que, dans ce cas, le niveau du
revenu du ménage dépend également de son salaire, en plus des intérêts
perçus.
• En combinant les deux dernières équations et sous l’hypothèse que !" = 0,
on dérive ainsi la contrainte budgétaire intertemporelle du ménage :
%& '& +
)* +*
&,-
= .& 1 − 1& +
2*
&,-
1 − 1" + 1 + 3 !4 .
(5.19)
207
5. Le ménage représentatif
• L’équation de la contrainte budgétaire intertemporelle du ménage s’écrit :
%&
*&
*"
,!" = −
1 + ) !& +
1 − +& 1 + ) +
1 − +" +
1 + ) ".
%"
%"
%"
%"
• Si ,- = 0, en différentiant l’équation de la droite de budget, on obtient la
pente de la droite de budget intertemporelle :
0 12
0 13
=−
43
42
1+)
(5.20)
• Graphiquement, la droite de budget est obtenue comme ci-après.
208
5. Le ménage représentatif
• Pour !" = 0, l’abscisse à l’origine (A) s’écrit :
!& =
'(
)(
1 − ,& + )
'.
( &/0
1 − ,"
(5.22)
• Pour !& = 0, l’ordonnée à l’origine (B) s’écrit :
!" =
'( &/0
).
1 − ,& +
'.
).
1 − ,"
(5.23)
• On peut voir que le niveau consommation dépend désormais du nombre
d’heures que le ménage consacre au travail (cf. figure 5.6).
Figure 5.6- Droite budgétaire dans l’espace (C1, C2)
209
B = [(w1/P2)(1 + i)](1 - L1) + (w2/P2)(1 - L2)
C2
B
CONTRAINTE BUDGETAIRE INTERTEMPORELLE
Pente = – P1(1 + i)/P2
POINT DE POLINIUS
C2*
C1*
A
A = (w1/P1)(1 - L1) + [w2/(1 + i)P1](1 - L2)
C1
210
5. Le ménage représentatif
• Alternativement, comme illustré dans la figure 5.7, on peut également
exprimer le choix du ménage dans un espace consommation et loisir
(!" , $" ).
• Connaissant l’équation de la contrainte budgétaire intertemporelle du
ménage, la pente est telle que :
% &'
% ('
=−
+'
,'
⋅
(5.24)
211
5. Le ménage représentatif
• Les coordonnées à l’origine sont telles que pour !" = 0, l’abscisse à
l’origine (A) est :
&" = −
()
(*
1 + - &. + 1 + -
/)
(*
1 − !. +
/*
(*
,
(5.25)
• Et pour &" = 0, l’ordonnée à l’origine (B) est :
!" = 1 −
()
/*
1 + - &. + 1 + -
/)
/*
1 − !. .
(5.26)
Figure 5.7- Droite budgétaire dans l’espace (C2, L2)
212
B = [(P1/P2)(1 + i)]c1 + (1 + i)(w1/P2)(1 - L1) + (w2/P2)
C2
B
CONTRAINTE BUDGETAIRE INTERTEMPORELLE
Pente = – w2/P2
POINT DE POLINIUS
C2*
L2*
A
A = 1 - (P1/w2)(1 + i)c1 + (1 + i)(w1/w2)(1 - L1)
L2
213
5. Le ménage représentatif
• Le principal point qui émerge de cette analyse est que dans le modèle de
consommation-loisir :
Øle choix entre consommation et épargne dépend de la décision prise
sur le marché du travail, c’est-à-dire du nombre d’heures de travail ;
Øle choix entre travail et loisir dépend également de la décision prise par
le ménage sur le marché des produits.
• ll y a donc une interdépendance entre les décisions prises sur le marché
des produits et celles prises sur le marché du travail.
214
5. Le ménage représentatif
c) Passage du modèle dynamique nominal au modèle dynamique réel
• L’inflation mesure une hausse générale du niveau de prix dans une
économie d’une période à une autre. À la période t, le taux d’inflation
relatif à la période t – 1 est tel que
!" =
$" −$"−1
$"−1
où !" est le taux d’inflation et $" , le niveau général des prix.
(5.27)
215
5. Le ménage représentatif
• Nous avons vu plus haut que le taux d’inflation affecte négativement
l’équilibre du consommateur lorsqu’il est supérieur au taux d’intérêt.
• Par définition, on établit que :
1+#$
1+%$
= 1 + '$ ,
(5.28)
où '$ est appelé taux d’intérêt réel. L’équation précédente peut également
s’écrire comme suit :
1 + #$ = 1 + '$ 1 + %$ .
(5.29)
216
5. Le ménage représentatif
• L’expression en (5.29) est appelée « équation de Fisher exacte ». Après
réaménagement, elle devient :
1 + #$ = 1 + &$ + '$ + '$ &$ .
(5.30)
• Pour des valeurs '$ et &$ faibles, '$ &$ ≈ 0. Ainsi dérive-t-on l’équation de
Fisher approximative :
'$ ≈ #$ − &$ ,
(5.31)
217
5. Le ménage représentatif
• Le taux d’inflation !" est tel que :
!" =
$" −$"−1
⟹ 1 + !" =
$"−1
$"
$"−1
⋅
(5.32)
• Dans un modèle à deux périodes, il suit que :
1 + !2 =
$2
$1
⋅
(5.33)
• Pour rappel, la contrainte budgétaire intertemporelle nominale du modèle
à deux périodes est telle que :
218
5. Le ménage représentatif
!1 #1 +
!2 #2
1+&
= (1 +
(2
1+&
+ 1 + & )0
(5.34)
• En divisant l’équation précédente par le prix !1 , on obtient la contrainte
budgétaire intertemporelle exprimée en termes réels :
#1 +
!2
#2
!1 1+&
= ,1 +
1
(2
1+& !1
+ 1+&
)0
!1
où ,1 = (1 ⁄!1 dénote le salaire réel à la période 1.
(5.35)
219
5. Le ménage représentatif
• Après une manipulation mathématique simple, la contrainte budgétaire
intertemporelle réelle peut s’exprimer comme suit :
!1 +
$2
!2
$1 1+&
= (1 +
)2 $2 1
$1 $2 1+&
+ 1+&
* 0 $0
(5.36)
$1 $0
• Et finalement :
!1 + !2
1+,2
1+&
= (1 + (2
où (2 = )2 ⁄$2 et -0 = *0 ⁄$0 .
1+,2
1+&
+ -0
1+&
1+,1
.
(5.37)
220
5. Le ménage représentatif
• En utilisant l’équation de Fisher exacte, il découle que :
!1 +
!2
1+%
= '1 +
'2
1+%
+ 1 + % (0 .
(5.38)
• Il en ressort donc que la contrainte budgétaire intertemporelle réelle est
quasi analogue à la contrainte budgétaire intertemporelle nominale.
• L’équation de la contrainte budgétaire intertemporelle réelle est telle que :
!2 = − 1 + % !1 + 1 + % '1 + '2 + 1 + % 2 (0 .
(5.39)
221
5. Le ménage représentatif
• Sans perte de généralité, nous posons !0 = 0. En différentiant l’équation de
la droite de budget, on dérive ainsi la pente de la droite de budget
intertemporelle :
d &2
d &1
=− 1++ .
(5.40)
• Grâce à l’équation de Fisher exacte, la pente de l’équation de la contrainte
budgétaire intertemporelle réelle peut être obtenue directement à partir
de la pente de l’équation de la contrainte budgétaire intertemporelle
nominale :
1+,
1+-2
= 1 + +.
222
5. Le ménage représentatif
• Considérant le cas spécifique d’une fonction d’utilité logarithmique telle
que ! "1 , "2 = ln "1 + * ln "2 , le rapport des utilités marginales est tel
que :
!+1 "1 ,"2
!+2 "1 ,"2
1 "2
= *" ⋅
1
(5.41)
• Et donc, l’équation d’Euler intertemporelle réelle, mettant en relation la
consommation de la période 1 et celle de la période 2, s’écrit :
"2 = * 1 + - "1 .
(5.42)
223
5. Le ménage représentatif
• La fonction d’offre d’actifs peut être caractérisée, en considérant le budget
du ménage période par période. En termes réels, la contrainte budgétaire
s’écrit :
!1 + $1 = 1 + & $0 + (1 ,
(5.43)
où & est le taux d’intérêt réel. La richesse réelle du ménage à la période 1
est telle que :
$1 = 1 + & $0 + (1 − !1 .
(5.44)
• Cette dernière expression décrit l’ensemble de ressources disponibles à la
fin de la période 1.
224
5. Le ménage représentatif
• Ainsi, la fonction d’offre d’actifs est telle que :
!1 − !0 = &!0 + (1 − )1 .
(5.45)
• Pour tout !0 > 0, il suit que toute hausse du taux d’intérêt réel implique
une hausse d’offre d’actifs (épargne) :
- !1 −!0
-&
= !0 > 0.
(5.46)
• Le ménage ne peut être offreur net d’actifs financiers, si et seulement si
!1 − !0 > 0. Par contre, pour !1 − !0 < 0, le ménage est emprunteur.
225
5. Le ménage représentatif
• En conclusion, le choix optimal d’un ménage peut être caractérisé à partir de
l’équation d’Euler. D’où les comportements suivants :
ØLe ménage est l’agent demandeur sur le marché des produits et sa
fonction de demande dépend négativement du niveau général des prix.
ØLe ménage est l’agent offreur sur le marché du travail et sa fonction
d’offre dépend positivement du salaire réel, si et seulement si l’effet
revenu est supérieur à l’effet de substitution.
ØLe ménage ayant une richesse nette positive, sa fonction d’offre sur le
marché des fonds prêtables dépend positivement du taux d’intérêt réel.