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Chap3 Optique

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COURS D’OPTIQUE/ Licence/Parcours Physique/Semestre 1 (S1)
Chapitre 3 : Stigmatisme. Notions d’objet et d’image
A la fin de ce chapitre, l’apprenant doit être capable de définir :
•
•
•
•
Les espaces objets réel et virtuel ;
Les espaces images réelle et virtuelles ;
Le stigmatisme rigoureux et approché ;
Les conditions de conservation du stigmatisme : Aplanétisme, condition d’Abbe,
de Herschel l et de Gauss.
Un système optique (Σ) peut être complexe, formé par des surfaces réfléchissantes
(miroirs) et des surfaces réfractantes (dioptres) destinées à fournir des images à partir
d’objets.
Le système (Σ) est dit dioptrique s’il est formé uniquement par des dioptres, et il est
dit catadioptrique, s’il comporte aussi des miroirs.
Un système optique est donc un ensemble de milieux homogènes, transparents et
isotropes, ou réflecteurs. En pratique, les surfaces séparant ces milieux sont de forme
géométrique simple.
3.1. Espace objet et Espace image. Réalité et virtualité
Considérons un système optique (Σ) composé de deux faces extrêmes (Σ ) et (Σ ). Il
se compose alors :
- d’une face d’entrée (Σ ) qui est la face par laquelle la lumière entre dans le système ;
- d’une face de sortie (Σ ) qui est la face par laquelle la lumière sort du système.
(Σ )
Espace objet réel
Espace objet virtuel
Espace image virtuelle
(Σ )
Espace image réelle
Figure 1
L’espace objet réel est l’espace situé en avant de la face d’entrée de (Σ ). Tous les objets qui
s’y trouvent sont dits réels.
L’espace objet virtuel est l’espace qui se trouve en arrière (i.e. à droite) de la face de sortie de
(Σ ). Tous les objets qui s’y trouvent sont dits virtuels.
L’espace image réelle est l’espace situé en arrière (i.e. à droite) de la face de sortie de (Σ ).
Toutes les images qui s’y trouvent sont dites réelles.
L’espace image virtuelle est l’espace qui se trouve en avant (i.e. à gauche) de la face d’entrée
de (Σ ).
1
3.1.1. Objet réel ou virtuel
(Σ )
(Σ )
A
A
(a)
(b)
Figure 2 : Objets définis par rapport à la face d’entrée (Σ )
(a) : Objet A réel ; (b) : Objet A virtuel
3.1.2. Image réelle ou virtuelle
(Σ )
(Σ )
A’
A’
(a)
(b)
Figure 3: Images définies par rapport à la face de sortie (Σ )
(a) Image A’ réelle ; (b) Image A’ virtuelle
3.2. Stigmatisme
3.2.1.
Définition du stigmatisme rigoureux
Si tous les rayons émis par un objet ponctuel réel A (ou qui forment un objet ponctuel virtuel
A) convergent à la sortie du système optique au même point A’ (ou divergent du même point
A’), on dit que le système optique est rigoureusement stigmatique pour le couple de points
A et A’.
(b)
(a)
A
A’
A
A’
Figure 4 : Condition de stigmatisme dans le cas: (a) d’un objet réel et d’une image réelle ;
(b) d’un objet réel et d’une image virtuelle
A l’exception des miroirs plans, tous les systèmes optiques sont, dans le meilleur des cas,
approximativement stigmatiques. Les rayons issus d’un point objet A émergent du système
en passant approximativement par le même point A’ ou en semblant provenir de A’.
2
D’après le principe de retour inverse de la lumière, tout rayon passant par A’ passe par A
après avoir traversé le système optique. On dit que les points A et A’ sont des points
conjugués par le système optique et la relation qui lie les positions relatives de A et A’ est
appelée la relation de conjugaison.
3.2.2. Condition du stigmatisme
1°) Cas d’un objet réel et d’une image réelle
Le système optique sépare deux milieux d’indice
d’indice et l’image A’ dans le milieu d’indice
et
. Le point objet A est dans le milieu
.
J
I
A
A’
Lorsque l’on considère la figure ci-dessus, tous les trajets joignant A et A’ par le système
optique sont effectivement suivi par la lumière. D’après le principe de Fermat, les chemins
optiques entre A et A’ sont tous extrémums donc égaux. On écrira alors :
(
′) = (
(
′) =
)+ ( )+ (
′) =
(3.1)
′=
(3.2)
+( )+
2°) Cas d’un objet réel et d’une image virtuelle
Q
I
J
A’
A
(Σ)
Définissons une surface d’onde (Σ) passant par le point Q. Nous avons :
(
)=(
(
)=
)+ ( )+ (
+( )+
3
)=
(3.3)
=
(3.4)
En remarquant que la quantité ( ′ ) est la même pour tous les rayons du fait qu’elle se trouve
entre deux surfaces d’onde, il vient que :
( ′ )=
(3.5)
′
On en déduit des équations (3.4) et (3.5) :
(
)−( ′ )=
(
)+ (
+( )+
′) = (
′)
=
−
′ =
+( )−
′ =
(3.6)
Pour calculer ( ′), on voit que la partie virtuelle est affectée de l’indice
de l’espace image
et elle est comptée négativement. On peut donc utiliser la convention suivante qui englobe
tous les cas : Pour calculer le chemin optique entre deux points conjugués A et ′ dans un
système optique, on oriente positivement les trajectoires dans le sens de propagation de la
lumière et on compte algébriquement les longueurs parcourues :
(
-
′) =
(AI) + (IJ) +
(
′)
(3.7)
Si A et A’ sont réels : (AI) = +
et ( ′) = + ′
Si A est réel et ′ virtuelle : (AI) = +
et ( ′) = − ′
Si A est virtuel et ′ réelle : (AI) = −
et ( ′) = + ′
Si A est virtuel et ′ virtuelle : (AI) = −
et ( ′) = − ′
(3.8)
3.2.3. Exemples d’application. Stigmatisme rigoureux
1°) Réflexion
Considérons deux points A et A’. La lumière part de A, se réfléchit en I sur une surface (Σ) et
passe par A’. Nous nous proposons de déterminer cette surface pour qu’elle soit stigmatique
pour le couple de points A et A’. Nous écrirons (quelque soit le point I) alors :
(
i)
)=
A et A’ sont réels
(
I
′) = (AI) + (
D’où : AI +
A
′) = n AI +
′ = cte
′= cte
(3.9)
La surface est un ellipsoïde de révolution
de foyers A et A’. L’instrument est un
miroir elliptique.
A’
4
ii)
A réel et A’ virtuel
(AIA’) = (AI) + (IA’) = nAI - nIA’ = cte
I
D’où : AI - IA’ = cte
(3.10)
La surface est une hyperboloïde de
révolution de foyers A et A’. L’instrument
est un miroir hyperboloïde
A
A’
Lorsque la constante est nulle, on a :
AI = IA’
(3.11)
et le lieu de I est une médiatrice de AA’. L’instrument est alors un miroir plan.
iii)
A réel et A’ à l’infini
H
M
I
A
Les rayons émergents sont des droites parallèles ; donc les surfaces d’onde sont des plans
d’après le théorème de Malus. Donc
(AIM) = cte
par définition des surfaces d’ondes :
+
=
=
⇒
= −
Menons le plan parallèle à la surface d’onde à la distance :
=
Il vient :
=
−
=
(3.12)
Le lieu de I est un paraboloïde de révolution de foyer A. On l’utilise comme miroir du
télescope ou de projecteur.
5
2°) Réfraction
i)
A et A’ sont réels
Les points A et A’ sont dans les milieux
différents d’indices
et . Il y aura
stigmatisme (quelque soit le point I) si :
I
(
ii)
)+ (
)=
1
+
2
=
La méridienne de la surface, appelée ovale de
Descartes, n’est pas réalisable en pratique par
voie mécanique simple.
A’
A
)=(
A réel et A’ virtuel
On a :
(
I
)=(
)+ (
)=
1
−
2
=
La méridienne de la surface est encore un ovale
de Descartes. Mais la surface est simple si la cte
est nulle :
′
=
A
iii)
⇒
′
=
A’
Le lieu de I est une sphère qui admet A et A’
comme points conjugués.
A réel et A’ à l’infini
Les rayons émergents étant parallèles, on a :
I
H
(
M
)=(
)+ (
Posons que la
=
K
)=
=
2
( −
1
+
2
=
; il vient :
)
Prenons un plan parallèle au plan d’onde à la
distance :
=
alors :
= (
− )=
A
il reste :
=
!"
!#
C’est une forme de la définition d’une quadratique. La surface est un ellipsoïde de foyer A si
>
et de plan directeur HK (voir figure ci-dessus). C’est un hyperboloïde si
<
(voir figure ci-dessous)
6
.
H
A
3.3. Conservation du stigmatisme dans l’espace
3.3.1. Aplanétisme
Ce terme, quoique consacré par l’usage, est mal choisi ; il laisse penser que nous allons
chercher la condition pour que l’image d’un objet plan soit plane. En réalité, le problème est
le suivant : considérons deux points stigmatiques A et A’ sur l’axe d’un système optique.
Dans le plan perpendiculaire à l’axe en A prenons une source ponctuelle B très voisine de A
(voir figure ci-dessous)
B
J
H
I
A’
u
u’
A
K’
B’
Si B n’envoie qu’un pinceau, il y aura une image B’ qui sera située dans la plan normal à
l’axe en A’. Autrement dit si ce système est stigmatique à la fois pour le couple de points (A,
A’) et pour un autre couple (B, B’) respectivement très voisins de A et A’, on dit que le
système est aplanétique pour le couple (A, A’).
3.3.2. Condition des sinus d’Abbe
Considérons la figure représentant l’aplanétisme. Nous nous proposons d’établir la condition
nécessaire pour que l’image B’ de B, très voisin de l’axe, soit bonne i.e. pour que B et B’
soient eux aussi stigmatiques.
A et A’ sont stigmatiques, donc :
(
)=(
)+ (
7
)=
+
=
(3.13)
Nous voulons que B et B’ soient stigmatiques, soit :
($ $ ) =
(3.14)
Maintenant, il faut utiliser le principe de Fermat. Pour cela, considérons le chemin optique
fictif (BIB’) infiniment voisin du chemin optique (BJB’) ; donc :
($ $ ) = ($ $ ) = ($ ) + ( $ ) =
$ +
$ =
(3.15)
Calculons la différence des trajets entre (3.15) et (3.13) :
($ −
)+
( $ −
)=
(3.16)
Dans le triangle ABI, abaissons la perpendiculaire de B sur AI ; AB étant infiniment petit, on
a:
= $
Alors :
$ −
Dans le triangle ABH, on a :
(3.17)
= −
%& ' =
Ainsi :
$ −
(
−
⇒
= −
(3.18)
= $%& '
(3.19)
= − $%& '
(3.20)
De même, dans le triangle IA’B’, abaissons la perpendiculaire de B’ sur IA’ ; A’B’ étant
infiniment petit, on a :
)′ = $′
Alors :
(3.21)
$ −
Dans le triangle A’B’K’, on a :
= )′ −
%& '′ =
* +*
* (*
= ′)′
⇒ ′)′ = ′$′%& '′
(3.22)
(3.23)
En portant (3.20) et (3.23) dans (3.16), on obtient (lorsque ' varie) :
−
$%& ' +
′$′%& '′ =
(3.24)
Nous pouvons prendre ' = 0 pour calculer la
; le rayon porté par l’axe du système n’est
pas dévié, donc ' = 0 , la constante est nulle. La relation (3.24) devient :
---$ %& ' =
-----′$′%& '′
(3.25)
Ceci est la condition d’Abbe ou condition des sinus pour qu’il y ait aplanétisme
En posant :
./ =
-----(
---(
(3.26)
8
le grandissement transversal, la condition d’Abbe devient :
01!2
01!2
!
= !# ./
(3.27)
"
3.3.3. Condition de Herschell
Elle exprime la conservation du stigmatisme suivant l’axe optique. On considère pour cela
deux points C et C’ voisins de A et A’ et tel que le système est stigmatique pour le couple de
points C et C’.
I
H
'
A
K’
C
A’
C’
'’
Nous avons :
De même :
On en déduit :
(
)=
+
=
(3.28)
(33 ) = (3 ) + ( 3 ) =
3 +
3 =
(3.29)
(
)=(
)+(
) − (33 ) =
(
−3 )+
(
− 3)=
(3.30)
Dans le triangle ACI, abaissons la perpendiculaire de C sur AI ; AC étant infiniment petit, on
a:
3 =
(3.31)
de telle sorte :
−3 =
−
=
= 3 4%'
(3.32)
De même, dans le triangle IA’C’, abaissons la perpendiculaire de A’ sur IC’ ; A’C’ étant
infiniment petit, on a :
= )′
(3.33)
de telle sorte que :
− 3 = ) − 3 = −) 3 = − ′3′ 4%'′
(3.34)
En portant (3.33) et (3.34) dans (3.30), il vient :
3 4%' −
′3′ 4%'′ =
9
(3.35)
On détermine la constante pour ' = ' = 0. On trouve :
=
3−
′3′
(3.36)
En portant (3.36) dans (3.35), on obtient :
3 4%' −
Soit,
′3′ 4%'′ =
3( 4%' − 1) =
3−
′3′
(3.37)
′3 ( 4%' − 1)
Soit,
En posant :
----′3′%&
2
---3 %&
5 6=
2
5 6
-----9
---9
78 =
(3.38)
(3.39)
le grandissement axial (ou longitudinal), la condition de Herschell devient :
:
#
:*
01!# ( )
01!# ( )
#
!
= !# 7;
(3.40)
"
3.3.4. Condition de Gauss
Les conditions d’approximations de Gauss expriment la conservation du stigmatisme
approché. Pour exprimer celle-ci autour de A et A’, les relations d’Abbe et Herschell doivent
être compatibles.
On a vu, d’après Abbe (cf. éq. 3.27) :
01!2
=
01!2
⇒
:
#
:*
:
#
:*
<=>A [email protected]< ( )
#
#
<=>5 [email protected]< ( )
:
#
:*
:
#
:*
#
#
01! A BCD0 ( )
#
#
01!# 5 6CD0# ( )
=
!
= !# ./
!##
!"#
"
./
(3.41)
En portant (3.40) dans (3.41), il vient :
:
#
:*
CD0# ( )
CD0# ( )
#
! E#
= !# GF
"
(3.42)
H
Cette compatibilité doit, en particulier, être réalisée pour ' = ' = 0 ; on a ainsi :
!# EF#
!" GI
=1
(3.43)
10
Autrement dit, nous devons avoir, chaque fois :
:
#
:*
CD0# ( )
CD0# ( )
#
=1
(3.44)
La compatibilité n’est rigoureusement réalisée que si le système optique « travaille » dans les
conditions sévères qui correspondent à :
' = ±'
(3.45)
ce qui limite l’intérêt du système.
Des conditions de compatibilité moins sévères sont réalisées pour :
:
#
:*
[email protected]< ( )
#
[email protected]< ( )
=
K 2 # ⁄L
K 2 # ⁄L
≅1
(3.46)
Autrement dit pour des angles ' et '′ très petit, c’est-à-dire pour des faisceaux peu inclinés
par rapport à l’axe principal (faisceaux paraxiaux). Ces conditions constituent l’approximation
de Gauss. Dans ces conditions, la relation d’Abbe (éq. 3.25) devient :
----$'=
-----$′'′
qui est la relation de Lagrange-Helmholtz.
11
(3.47)
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