a

Prof.Bouaziz
Classe MPSI2
Ipest
2020-2021
ARITHMÉTIQUE DANS L’ENSEMBLE DES ENTIERS
RELATIFS
Exercice n◦ 1:
(1) Soit n ∈ N. Montrer que
(a) 7 | 32n+1 + 2n+2 .
(b) 6 | 5n3 + n.
(c) 512 | n12 − n8 − n4 + 1,
(d) 24 | n2 − 1,
n impair.
n ≥ 5 premier.
(2) Quel est le reste de la division euclidienne de 2792217 par 5?
Exercice n◦ 2:


a∨b
= 42
a∧c
= 3
(1) Résoudre dans N le système suivant : S :
 a + b + c = 29
3
(2) Résoudre dans Z l’équation suivante :
256x − 80y = 32
3x ≡ 2[5]
(3) Résoudre dans Z, S :
5x ≡ 1[6]
Exercice n◦ 3:
Les questions suivantes sont indépendantes .
(1) Soit n ≥ 1. Montrer qu’il existe toujours un nombre premier
strictement compris entre n et n! + 2.
Indication : On pourra utiliser l’entier n! + 1 .
(2) Construire des intervalles de N de longueur aussi grande que
l’on veut qui ne contiennent aucun nombre premier.
1
2
ARITHMÉTIQUE DANS L’ENSEMBLE DES ENTIERS RELATIFS
Indication: Penser au factorielle d’un entier.
Exercice n◦ 4: Indicatrice d’Euler
Soit n ∈ N∗ . On pose
ϕ(n) = Card{k ∈ {1, . . . , n},
k ∧ n = 1}.
(1) Calculer ϕ(3), ϕ(4), ϕ(5).
(2) Montrer que ∀n ≥ 3,
ϕ(n) est pair.
(3) Soit p un nombre premier et r ∈ N∗ . Montrer que
ϕ(pr ) = pr − pr−1
Q
(4) Soit n = sk=1 prkk (décomposition en nombres premiers)
Calculer ϕ(n).
On admet que ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) pour tout a et b premiers entre
eux.
(5) Calculer ϕ(360).
Exercice n◦ 5: Nombres de Mersenne (Centrale)
Soit a ≥ 2 et n ≥ 2 deux entiers.
(1) Montrer que si an − 1 est un nombre premier, alors a = 2 et n
est un nombre premier.
(2) La réciproque est - elle vraie ?
”On appelle nombre de Mersenne tout nombre de la
forme 2n − 1 avec n premier.
Exercice n◦ 6: Nombres de Fermat (Mines-Ponts)
On appelle n-iéme nombre de Fermat l’entier naturel défini par :
n
Fn = 22 + 1.
(1) Calculer F0 , F1 et F2 .
(2) Démontrer par récurrence que
ARITHMÉTIQUE DANS L’ENSEMBLE DES ENTIERS RELATIFS
∀n ∈ N∗ , Fn =
n−1
Y
3
Fi + 2.
i=0
(3) En déduire que Fn ≡ 2[Fm ] si n > m.
(4) Que peut-on dire du pgcd(Fn , Fm ) si n 6= m.
Exercice n◦ 7: Nombres de Carmichael
Soit n un entier supérieur à 2.
On suppose que pour tout facteur premier p de n, p2 ne divise pas n
mais p − 1 divise n − 1.
Etablir
∀a ∈ Z, an ≡ a[n].
Remarque : Les nombres non premiers satisfaisant le petit
théorème de Fermat sont les nombres de Carmichael.
Exercice n◦ 8:
Soit σ : Z −→ N qui à n ∈ Z associe la somme des diviseurs positifs
de n.
(1) Soit p ∈ P et α ∈ N∗ . Calculer σ(pα ).
(2) Soient a, b ∈ Z premiers entre eux.
Montrer que tout diviseur positif d du produit ab s’écrit de
maniére
unique d = d1 d2 avec d1 et d2 sont deux diviseurs positifs
respectivement de a et b.
(3) En déduire que si a ∧ b = 1 alors
σ(ab) = σ(a)σ(b).
(4) Exprimer σ(n) en fonction de la décomposition primaire de n.
4
ARITHMÉTIQUE DANS L’ENSEMBLE DES ENTIERS RELATIFS
Exercice n◦ 9:Fonction de Mobius (Mines-Ponts)
On définit sur N∗ une fonction µ, dite fonction de Mobius, par
• µ(1) = 1
• µ(n) = (−1)r si n est le produit de r nombres premiers distinctes
• µ(n) = 0 sinon
(1) Calculer µ(n) pour n ≤ 10.
(2) Montrer que si n ∧ m = 1 alors µ(nm) = µ(n)µ(m).
(3) Calculer
Sn =
X
µ(d).
d|n
Exercice n◦ 10 (Mines-Ponts)
Montrer que l’ensemble des nombres premiers congrus à −1 modulo
4 est infini.
Indication: Supposer que cet ensemble F est fini, puis considérer
N =4
Y
p − 1.
p∈F
Exercice n◦ 11 (Mines-Ponts)
On désire établir qu’il existe une infinité de nombres premiers de la
forme 4n + 1.
Pour cela on raisonne par l’absurde et on suppose que ceux- ci sont
en nombre fini et on les numérote pour former la liste p1 , . . . , pr .
On pose alors N = (2p1 . . . pr )2 + 1.
(1) On suppose qu’il existe un facteur premier q de N de la forme
4n + 3.
Etablir (2p1 . . . pr )q−1 ≡ −1[q].
(2) Conclure en exploitant le petit théorème de Fermat.
ARITHMÉTIQUE DANS L’ENSEMBLE DES ENTIERS RELATIFS
5
Exercice n◦ 12: (X-Polytechnique)
Soit n ≥ 2. On note
Sn =
n
X
1
k=1
k
.
(1) Montrer l’existence d’un entier q ≥ 1 telque 2q ≤ n < 2q+1 .
(2) Montrer que Sn peut s’écrire
1
r
+ q−1
q
2
2 s
avec r est un entier naturel et s est un entier naturel impair
Sn =
.
(3) Montrer que Sn n’est pas entier .
Exercice n◦ 13: Théorème de Legendre (1808) (X-Polytechnique)
Soient n un entier supérieur à 2 ,p un nombre premier et q le plus
grand entier telque pq ≤ n.
Montrer que la valuation p-adique de n! est égale à
q
X
n
Vp (n!) =
b k c.
p
k=1
Indication : Le nombre de multiples de pk non multiples de pk+1
est
b
n
n
c − b k+1 c.
k
p
p