arithmétique

Ipest
2022-2023
Prof.Bouaziz
Classe MPSI1
ARITHM´ ETIQUE DANS L’ENSEMBLE DES ENTIERS
RELATIFS
Exercice n◦1:
(1) Soit n∈N. Montrer que
(a) 7 |32n+1 + 2n+2.
(b) 6 |5n3+n.
(c) 512 |n12 −n8−n4+ 1, n impair.
(d) 24 |n2−1, n ≥5 premier.
(2) Quel est le reste de la division euclidienne de 2792217 par 5?
Exercice n◦2:
(1) R´esoudre dans N3le syst`eme suivant : S:
a∨b= 42
a∧c= 3
a+b+c= 29
(2) R´esoudre dans Zl’´equation suivante :
256x−80y= 32
(3) R´esoudre dans Z, S :3x≡2[5]
5x≡1[6]
Exercice n◦3:
Les questions suivantes sont ind´ependantes .
(1) Soit n≥1. Montrer qu’il existe toujours un nombre premier
strictement compris entre net n! + 2.
Indication : On pourra utiliser l’entier n! + 1 .
(2) Construire des intervalles de Nde longueur aussi grande que
l’on veut qui ne contiennent aucun nombre premier.
1

2 ARITHM´ ETIQUE DANS L’ENSEMBLE DES ENTIERS RELATIFS
Indication: Penser au factorielle d’un entier.
Exercice n◦4: Indicatrice d’Euler
Soit n∈N∗. On pose
ϕ(n) = Card{k∈ {1, . . . , n}, k ∧n= 1}.
(1) Calculer ϕ(3), ϕ(4), ϕ(5).
(2) Montrer que ∀n≥3, ϕ(n) est pair.
(3) Soit pun nombre premier et r∈N∗. Montrer que
ϕ(pr) = pr−pr−1
(4) Soit n=Qs
k=1 prk
k(d´ecomposition en nombres premiers)
Calculer ϕ(n).
On admet que ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) pour tout aet bpremiers entre
eux.
(5) Calculer ϕ(360).
Exercice n◦5: Nombres de Mersenne (Centrale)
Soit a≥2 et n≥2 deux entiers.
(1) Montrer que si an−1 est un nombre premier, alors a= 2 et n
est un nombre premier.
(2) La r´eciproque est - elle vraie ?
”On appelle nombre de Mersenne tout nombre de la
forme 2n−1avec npremier.
Exercice n◦6: Nombres de Fermat (Mines-Ponts)
On appelle n-i´eme nombre de Fermat l’entier naturel d´efini par :
Fn= 22n+ 1.
(1) Calculer F0, F1et F2.
(2) D´emontrer par r´ecurrence que

ARITHM´ ETIQUE DANS L’ENSEMBLE DES ENTIERS RELATIFS 3
∀n∈N∗, Fn=
n−1
Y
i=0
Fi+ 2.
(3) En d´eduire que Fn≡2[Fm] si n > m.
(4) Que peut-on dire du pgcd(Fn, Fm) si n6=m.
Exercice n◦7: Nombres de Carmichael
Soit nun entier sup´erieur `a 2.
On suppose que pour tout facteur premier pde n,p2ne divise pas n
mais p−1 divise n−1.
Etablir
∀a∈Z, an≡a[n].
Remarque : Les nombres non premiers satisfaisant le petit
th´eor`eme de Fermat sont les nombres de Carmichael.
Exercice n◦8:
Soit σ:Z−→ Nqui `a n∈Zassocie la somme des diviseurs positifs
de n.
(1) Soit p∈Pet α∈N∗. Calculer σ(pα).
(2) Soient a, b ∈Zpremiers entre eux.
Montrer que tout diviseur positif ddu produit ab s’´ecrit de
mani´ere
unique d=d1d2avec d1et d2sont deux diviseurs positifs
respectivement de aet b.
(3) En d´eduire que si a∧b= 1 alors
σ(ab) = σ(a)σ(b).
(4) Exprimer σ(n) en fonction de la d´ecomposition primaire de n.

4 ARITHM´ ETIQUE DANS L’ENSEMBLE DES ENTIERS RELATIFS
Exercice n◦9:Fonction de Mobius (Mines-Ponts)
On d´efinit sur N∗une fonction µ, dite fonction de Mobius, par
•µ(1) = 1
•µ(n)=(−1)rsi nest le produit de rnombres premiers dis-
tinctes
•µ(n) = 0 sinon
(1) Calculer µ(n) pour n≤10.
(2) Montrer que si n∧m= 1 alors µ(nm) = µ(n)µ(m).
(3) Calculer
Sn=X
d|n
µ(d).
Exercice n◦10 (Mines-Ponts)
Montrer que l’ensemble des nombres premiers congrus `a −1 modulo
4 est infini.
Indication: Supposer que cet ensemble Fest fini, puis consid´erer
N= 4 Y
p∈F
p−1.
Exercice n◦11 (Mines-Ponts)
On d´esire ´etablir qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la
forme 4n+ 1.
Pour cela on raisonne par l’absurde et on suppose que ceux- ci sont
en nombre fini et on les num´erote pour former la liste p1, . . . , pr.
On pose alors N= (2p1. . . pr)2+ 1.
(1) On suppose qu’il existe un facteur premier qde Nde la forme
4n+ 3.
Etablir (2p1. . . pr)q−1≡ −1[q].
(2) Conclure en exploitant le petit th´eor`eme de Fermat.

ARITHM´ ETIQUE DANS L’ENSEMBLE DES ENTIERS RELATIFS 5
Exercice n◦12: (X-Polytechnique)
Soit n≥2. On note
Sn=
n
X
k=1
1
k.
(1) Montrer l’existence d’un entier q≥1 telque 2q≤n < 2q+1.
(2) Montrer que Snpeut s’´ecrire
Sn=1
2q+r 2q−1s
avec rest un entier naturel et sest un entier naturel impair
.
(3) Montrer que Snn’est pas entier .
Exercice n◦13: Th´eor`eme de Legendre (1808) (X-Polytechnique)
Soient nun entier sup´erieur `a 2 ,pun nombre premier et qle plus
grand entier telque pq≤n.
Montrer que la valuation p-adique de n! est ´egale `a
Vp(n!) =
q
X
k=1
bn
pkc.
Indication : Le nombre de multiples de pknon multiples de pk+1
est
bn
pkc−b n pk+1 c.