annales de méca

Annales de mécanique.
Exercice 2 : la panne d’essence (35 min)
En panne d’essence, Antoine pousse son véhicule en ligne droite sur une route horizontale. La
voiture est repérée par sa position x de son centre d’inertie G sur l’axe (Ox) horizontal et orienté
dans le sens du déplacement du véhicule.
A t = 0, G est en O et la vitesse de la voiture est nulle.
La poussée d’Archimède et les frottements dus à l’air sont négligés.
La force horizontale exercée par Antoine est supposée constante et de valeur F = 2,23 × 102N.
La force des frottements solides est supposée également constante et vaut f = 2,20 × 102N.
La masse du véhicule est de M = 0,830 tonnes.
1. Après avoir défini le référentiel, faire le bilan des forces extérieures s’exerçant sur la
voiture et les représenter dans le modèle du point matériel. (1 pt)
2. a) Enoncer la 2ème loi de Newton par une phrase. (0,5 pt)
b) Qualifier le mouvement du système en raisonnant sur la 2ème loi de Newton (sans
calculs). (0,5 pt)
c) Etablir rigoureusement l’expression de la coordonnée ax de l’accélération du
véhicule en fonction de F, f et M. Calculer ensuite sa valeur. (1,25 pts)
d) En déduire l’équation horaire de vitesse. (0,5 pt)
3. On donne les courbes horaires suivantes pour le système étudié. Préciser à quoi
chacune correspond en justifiant. (1 pts)
Courbe 1
Courbe 2
Courbe 3
4. Le garage se situe à une distance d = 0,50 km du lieu de la panne. Au bout de combien
de temps Antoine y arrive-t-il en poussant le véhicule ? (0,75 pt)
Correction exercice 2 : la panne d’essence
1.
Référentiel terrestre supposé galiléen.
Système : {voiture}
Bilan des forces extérieures : poids P, force du conducteur F, force f de frottements
solides et réaction du support R.
Le poids et la réaction du support se compensent car le mouvement est rectiligne
horizontal.
Conditions initiales :
0
0
OG0   et v0  
0
0
2.
a. cf cours
b. Le vecteur accélération est colinéaire et de même sens à la somme vectorielle des forces
extérieures. Or la construction de la somme vectorielle des quatre vecteurs forces donne un
vecteur dirigé vers la droite et horizontal (car norme de F > norme de f).
Ainsi le vecteur accélération est dirigée vers la droite et horizontal. Ce vecteur est dans la même
direction et le même sens que le vecteur vitesse et donc on a un mouvement rectiligne accéléré.
De plus, comme toutes les forces sont des vecteurs constants alors le vecteur accélération est
aussi constant et on peut qualifier le mouvement d’uniformément accéléré.
c. 2ème loi de Newton : P  R  F  f  M .a soit F  f  M .a
On projette la loi selon l’axe (Ox) : Fx + fx = M.ax.
Or Fx >0 avec Fx = + F et d’autre part , fx <0 avec fx = -f.
On en déduit que : ax = (F - f )/ M = (2,23-2,20) × 102 / 830 = 3,6.10-3 m/s².
d. Comme ax = dvx/dt alors en faisant la primitive de ax par rapport au temps et en utilisant la
condition initiale sur la vitesse, on trouve : vx = ax.t
3.
On a montré que ax est constant au cours du temps donc courbe 3 : ax(t)
On a montré en 2.d. que vx est une fonction linéaire du temps donc courbe 1 : vx(t).
L’équation horaire de position est une équation du second degré car mvt uniformément accéléré
donc courbe 2 (parabole) : x(t)
4.
Il faut trouver la date t1 pour laquelle Antoine a parcouru la distance d. Il faut donc
l’équation x(t). On l’obtient par primitive de vx(t) par rapport au temps car vx=dx/dt.
Après utilisation de la condition initiale pour avoir la constante, on aboutit à x(t) = ½ ax.t².
On résout donc d = ½ ax.t1² soit t1 = racine (2.d/ax) = 5,3.102 s soit presque 9 min.
Exercice 1 : saut en moto (45 min).
SANS CALCULATRICE
Dans tout ce problème, les frottements de l’air et la poussée d’Archimède seront négligés.
Un motard avec sa moto s’élance sans vitesse initiale depuis le point A sur une portion rectiligne
et horizontale. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on repère la position du système
{motard + moto}, de masse m = 280 kg, à l’aide de son centre de gravité G. Arrivé 10 s plus tard
au point B, la vitesse du système est alors vB = 40 m.s-1.
Puis il s’engage sur un tremplin faisant un angle  = 30° avec l’horizontale. Il y maintient sa
vitesse constante à la valeur vB jusqu’en C où il décolle à la hauteur h = 4,0 m.
Les parties sont indépendantes.
I.
Phase d’élan.
1. Sur le trajet AB, le système est-il pseudo-isolé ? Justifier brièvement avec la loi appropriée. (0,75)
2. Déterminer les caractéristiques du vecteur accélération sur la portion AB. (0,75)
II.
Tremplin BC.
Le système est alors notamment soumis à une force de frottements solides (= force motrice) qui
est dans ce cas dans la même direction et même sens que le mouvement.
1. Enoncer la 1ère loi de Newton. (0,25)
2. Sans souci d’échelle mais en respectant les proportions relatives, faire un schéma de la
pente OBC et des vecteurs forces en modélisant le système par son centre de gravité G.
(0,75)
3. En posant sur le schéma précédent un repère (Ox’y’) convenablement orienté, déterminer
l’expression (en fonction de m, g et β ) de la force f de frottements solides puis sa valeur. (1,5)
III.
Phase de saut
On prend comme nouvelle origine des dates le moment où le motard quitte le tremplin en C avec

un vecteur vitesse v0 faisant avec l’horizontale le même angle β que la pente. Son mouvement
est étudié dans le repère (Oxy) indiqué.
1. A partir de la 2ème loi de Newton, déterminer les coordonnées du vecteur accélération
dans le repère indiqué.
On montre que le vecteur position dans le repère (O, x, y) a pour coordonnées :
x (t ) = v0 . cos (β) . t
1
y (t ) = –
. g . t ² + v0 . sin (β ). t
2
2. Donner les allures des courbes horaires de vitesse vx(t) et vy(t). (0,5)
3. Exprimer la norme de la vitesse vS de la moto au sommet de sa trajectoire.
Correction exercice 1 : saut en moto (45 min).
Phase d’élan.
1. On a un mouvement rectiligne accéléré sur le trajet AB car la moto passe d’une vitesse nulle à
une vitesse non nulle. Ainsi d’après la 2ème loi de Newton, si l’accélération est non nulle alors
la somme vectorielle des forces extérieures est non nulle et donc le système ne peut être
pseudo-isolé. (on peut aussi utiliser la contraposée de la 1ère loi de Newton)
2. Caractéristiques du vecteur accélération sur la portion AB :
Origine : centre de gravité G
Direction : horizontal
Sens : vers la droite car mouvement rectiligne accéléré donc vecteur accélération et
vecteur vitesse dans le même sens.
Norme : ax = dvx/dt et ay =0 (pas de mvt selon y)
Si on suppose l’accélération constante alors ax = Δvx/Δt = (40-0) / (10-0) = 4,0 m/s²
Donc a = racine(ax²+ ay²) = 4,0 m/s²
Tremplin BC.
1. Cf cours
2. Ref terrestre supposé galiléen.
Système {moto+motard}
Forces extérieures : poids, réaction du support et force de frottements solides.
D’après la 1ère loi de Newton, le mouvement est rectiligne uniforme donc les trois
forces doivent se compenser (utiliser la méthode du parallélogramme)
.
.
G
β
.
3. Eléments de correction :
- on choisit un repère centréen G. Axe (Ox’) selon la pente et dans le sens du
mouvement. Axe (Oy’) perpendiculaire à la pente et vers le haut.
- on applique le principe d’inertie pour écrie la relation vectorielle entre les forces.
- on projette sur chacun des axes pour obtenir un système de deux équations avec les
coordonnées selon x’ et selon y’
- on exprime les coordonnées en fonction des normes et éventuellement de l’angle 
(pour le poids)
On aboutit au final à :
f = m.g.sin ()
R = m.g.cos ()
Application numérique : f = 280 x 10 x sin(30°) = 280 x 10 x 0,5 = 1,4.103 N
Phase de saut
1. Ref terrestre supposé galiléen.
Système {moto+motard}
Forces extérieures : uniquement le poids (chute libre)
D’après la 2ème loi de Newton :
donc
.
On projette selon les axes (Ox) et (Oy) en se rappelant que le vecteur champ de
pesanteur est vertical et vers le bas :
ax = gx donc ax= 0
ay = gy donc ay= - g
2. On exprime d’abord le vecteur vitesse en dérivant, par définition, le vecteur position
par rapport au temps et en se rappelant que l’angle β est une constante. On aboutit à :

v



vx = v0  cos()
vy = -g  t + v0  sin()
Allure de vx(t) : dessiner une fonction constante coupant l’axe des ordonnées en v0.cos ()
Allure de vy(t) : dessiner une fonction affine d’ordonnée à l’origine égale à v0. sin () et de
pente égale à – g.
3. Au sommet de la trajectoire, la coordonnée vy de la vitesse s’annule mais pas la
coordonnée vx qui reste toujours constante (cf question précédente) !!
Ainsi au sommet : vS = racine (vx²+ 0²) = v0. cos ()
Exercice 3 : physique et médecine (35 min)
Depuis le XIVème siècle, il est d’usage d’utiliser des cordes et poulies pour exercer des tractions
sur des membres cassés.
On considère une jambe immobile de masse m = 15,0 kg suspendue à l’aide de deux cordes
identiques attachées à une barre fixe comme indiqué schématiquement ci-dessous :
y
Barre fixe
α = 25 °
α = 25 °
J
x
Un repère (J,x,y) est défini comme indiqué sur le schéma.
1. Enoncer la 1ère loi de Newton par une phrase. (0,5)
2. Réaliser un bilan des forces sur le système {jambe} puis sur l’annexe 3, faire un schéma
des vecteurs forces sans souci d’échelle mais en respectant les proportions relatives des
forces. La jambe sera modélisée par le point matériel J. On négligera l’action du reste du
corps. (1,75)
3. a. A l’aide de la 1ère loi de Newton, déterminer littéralement la valeur de la force F exercée
par chacun des fils sur la jambe immobile en fonction de m, g et α puis calculer sa valeur.
(1,75)
b. Que vaut la force F’ exercée par la jambe sur un des fils ? Justifier. (0,5)
c. Choisir une corde adaptée pour réaliser cette traction à l’aide du document ci-dessous.
(1)
Document : tensions de rupture de matériaux.
Chaque matériau est caractérisé par sa tension de rupture indiquée souvent en kiloNewton.
Tresse de nylon
Filament de dacron
Câble d’acier
Diamètre de 0,48
cm
4,6
4,0
19
Diamètre de 0,25
cm
1,2
1,0
5,0
Diamètre de 0,10
cm
0,4
0,3
1,2
Tensions de rupture (en kN) de différents matériaux selon leur diamètre.
Règle de sécurité importante : la force exercée sur la corde ne doit pas dépasser un sixième de
la tension de rupture.
Extrait de « Physique », E.Hecht, éd. De Boeck, 1ère édition
Exercice 3 : physique et médecine (5,5 points, 30 min)
1. Cf cours.
2. Référentiel terrestre supposé galiléen.
Système : {jambe}
Forces extérieures :
-
Poids P appliquée au point matériel J, vertical vers le bas, de valeur P = m.g
-
Force du fil de droite F1 appliquée au point matériel J, à 25 ° par rapport à l’horizontale,
vers la droite, de valeur F1 inconnue
-
Force du fil de gauche F2 appliquée au point matériel J, à 25 ° par rapport à l’horizontale,
vers la gauche, de valeur F2 inconnue et de même valeur que F1 car cordes identiques.
y
Barre fixe
α = 25 °
-P
F1
F2
α = 25 °
J
x
P poids
Attention, le tracé des vecteurs doit respecter la condition d’immobilité vectorielle
P + F1 + F2 = 0 . Pour cela, on trace l’opposé de P et obtient par la méthode du
parallèlogramme les vecteurs F1 et F2 (cf ci-dessus).
3. a. 1ère loi de Newton appliquée au système immobile : P + F1 + F2 = 0
On projette selon les axes pour passer aux coordonnées :
Px + F1 x + F2 x = 0
Py + F1 y + F2 y = 0
Soit, en faisant attention aux signes des coordonnées et en notant F la valeur de F1 et F2
(même valeur car cordes et angles identiques donc F1 = F2 = F mais F1 ≠ F2 ) :
0 +F. cos(α) – F. cos(α) = 0
–P +F. sin (α) + F.sin (α) = 0
Donc la deuxième équation aboutit à : 2.F.sin(α) = P
D’où F 
m.g
15,0  9,81

=174 N ≈1,7.102 N
2.sin(  ) 2  sin( 25)
b. D’après la 3ème loi de Newton (principe des actions réciproques) : F’ = F = 1,7.102 N
c. Soit Fmax la tension de rupture = force maximale supportée par le matériau d’après le doc.
Pour respecter la règle de sécurité : F’ =
1
Fmax soit Fmax = 6 x 174 = 1,0.103 N soit 1,0 kN
6
Tout matériau ayant une tension de rupture supérieure à 1,0 kN sera adapté.
Ceux -ci qui conviennent sont grisés dans le tableau.
.
Diamètre de 0,48 cm Diamètre de 0,25 cm Diamètre de 0,10 cm
Tresse de nylon
4,6
1,2
0,4
Filament de dacron
4,0
1,0
0,3
Câble d’acier
19
5,0
1,2