1 1 – Introduction En ING2, dans le cours de conception générale des systèmes spatiaux, nous avons étudié le mouvement d un mobile au voisinage d un corps céleste comme étant le mouvement képlérien non perturbé. La réalité est hélas un peu différente. Le mouvement d un mobile autour d un corps, notamment la Terre, est en effet perturbé par des forces d origines diverses. Toutefois, l ampleur des perturbations induites reste suffisamment faible et le mouvement garde globalement ses caractéristiques képlériennes, et ceci explique pourquoi l on parle de mouvement képlérien perturbé. Dans ce premier chapitre du cours de mécanique spatiale en ING3, nous allons nous attacher à : -recenser les forces perturbatrices rencontrées par un satellite gravitant autour de la Terre; - à déduire des équations mathématiques de chacune de ces forces la physique du phénomène; - montrer quels seront les moyens nécessaires de représentation de ces forces. Ces éléments nous permettront au chapitre suivant de représenter au mieux le mouvement du satellite. Nous terminerons ce chapitre par une comparaison de l importance relative de ces forces suivant le type d orbite parcourue par le satellite. Ceci nous permettra de mieux cerner les forces à prendre en compte dans les calculs selon le projet à étudier. 2 3 4 5 Irrégularités du potentiel terrestre Perturbations dues aux irrégularités de forme de la Terre (notamment l aplatissement de la Terre aux pôles) mais aussi aux irrégularités de concentration de masse. 6 Attraction différentielle subie par le satellite dans un repère lié à la Terre due à la Lune et au Soleil. 7 Attraction différentielle subie par le satellite dans un repère lié à la Terre due aux autres planètes. L accélération correspondante étant très faible (1010 m.s-2 dû à Vénus, 10-11 m.s-2 dû à Jupiter), nous ne nous attarderons pas plus sur ce type de perturbations dans le présent chapitre ainsi que le chapitre suivant. 8 Effet des marées Les marées océaniques sont provoquées par l action perturbatrice de la Lune et du Soleil. L explication en a été donné par Newton puis Bernoulli, la théorie étant achevée par Laplace et Kelvin. Ce phénomène est familier et facilement observable. Ce qui est moins connu, c est que cette action perturbatrice s applique aussi à la croûte terrestre : l enveloppe terrestre solide se soulève deux fois par jour, avec une amplitude de l ordre du décimètre. Le phénomène des marées (océanique ou terrestre) provoque des frottements : ce n est donc pas un phénomène conservatif (c est ce phénomène qui explique le lent ralentissement de la vitesse de rotation terrestre). Mais l effet de ces marées sur le satellite peut se résoudre en utilisant le fait que les forces de déformation qui entrent en jeu dérivent d un potentiel. On montre que le potentiel d interaction est en r-3, d où une accélération perturbatrice en r-4. A titre indicatif, pour r=R (rayon de la Terre, c est-à-dire satellite à l altitude de 0 km), l accélération perturbatrice est de 5 10-7m.s-2. Comme pour l attraction des autres planètes, nous ne nous attarderons pas plus sur ce type de perturbations dans le présent chapitre ainsi que le chapitre suivant. 9 Effet relativiste La vitesse V d un satellite n excède pas quelques kilomètres par seconde. Elle est donc très petite devant la vitesse c de la lumière : un traitement relativiste est généralement inutile. Cependant, depuis TOPEX-POSEIDON, l effet relativiste est pris en compte pour les satellites d altimétrie et ceux de navigation (type GPS). Nous reviendrons sur cet effet dans ce chapitre et le suivant. 10 Frottement atmosphérique Pour les satellites en orbite basse (h < 800 km), le frottement sur les molécules et atomes de gaz atmosphériques résiduels est important. Il est très difficile à modéliser. Cette difficulté est à l origine de la limitation de la fiabilité des logiciels de prédiction d évolution des orbites. Nous reviendrons longuement sur cette force perturbatrice dans le présent chapitre. L effet de l atmosphère décroît très rapidement avec l altitude et devient très faible à partir de 1000 km d altitude. 11 Pression de radiation Directe : c est la pression exercée par le rayonnement émis par le soleil sur le satellite. Les effets dépendent de la forme, du revêtement, de la configuration du satellite. Ils s annulent naturellement lorsque le satellite est caché du Soleil par la Terre. Rediffusée : Les effets de la pression de radiation rediffusée (rayonnement visible – ondes courtes – renvoyé par la Terre, dit effet d albédo, et rayonnement infrarouge – ondes longues – émis par la Terre) dépendent de la région survolée et de l altitude. Nous reviendrons plus longuement sur ces points plus avant dans ce chapitre. 12 13 1 – Ce développement normalisé en harmoniques sphériques du potentiel terrestre a été effectué pour la première fois à l initiative du Smithsonian Astrophysical Observatory. 14 Cl,m et Sl,m sont des coefficients normalisés du développement. (coefficients de Stokes), nous reviendrons sur ceux-ci dans le paragraphe suivant. 15 16 Dans la partie entre accolades on distingue 3 groupes de termes : - le premier, constitué du seul nombre 1, représente le potentiel central - le second, avec les termes Jl et Pl , représente la contribution des harmoniques zonaux que sont les termes Jl. Les coefficients Jl sont liés à la latitude. Le premier terme J1 correspondrait à un décentrage du centre de masse de la Terre, il est rendu nul par le choix de l origine des coordonnées. Le premier harmonique non nul, J2, représente la variation du potentiel terrestre dû à l aplatissement de la Terre aux pôles (les pôles sont 21 km plus proches du centre de la Terre que l équateur). Le terme de degré 3 et les suivants rendent compte des écarts du géoïde à l ellipsoïde terrestre. Nous reviendrons plus tard sur cette notion de géoïde. Ainsi le terme J3 représente la dissymétrie Nord-Sud du géoïde (forme de poire tête inversée) 17 Le troisième groupe de termes , avec les Clm, Slm et Plm, liés à la longitude représente la contribution des harmoniques sectoriels et tesseraux. Par rapport au potentiel central, le 1er harmonique zonal J2 est de l ordre de 10-3, alors que tous les autres coefficients sont de l ordre ou inférieur à 10-6. 18 Les modèles intègrent les mesures spatiales (trajectoires des satellites, mesures altimétriques faîtes par les satellites) et terrestres (mesures gravimétriques de surface dont la précision actuelle atteint 10-9 g0). Géoïde : C est la surface normale en tous points aux verticales locales sur la Terre. La pesanteur est la résultante de la gravité et de la force centrifuge terrestre. Le géoïde est une surface complexe suivant de façon atténuée le relief terrestre (conséquence de l attraction irrégulière exercée par les masses terrestres due aux variations de densité et de répartition des masses). Les nombreuses observations faites depuis plusieurs siècles, en particulier depuis le lancement de satellites artificiels, est très proche d un ellipsoïde de révolution dont le petit axe est la ligne des pôles. 19 Un exemple de modèle de potentiel : Modèle GRIM 2 établi par le groupe de Recherche de géodésie Spatiale. 20 Exemple de géoïde sans prise en compte des effets de marées (la hauteur est mesurée par rapport à l ellipsoïde de référence) On note sur l image de gauche que l hémisphère pacifique est caractérisé par une bosse de plusieurs milliers de kilomètres d envergure, s étendant d Est en Ouest depuis l Asie du Sud-Est jusqu à la fosse océanique des TongaKermadec au Nord de la Nouvelle-Zélande. On aperçoit à gauche un creux localisé au Sud du continent indien. Sur l image de droite, centrée sur l Afrique, on note deux grandes bosses, l une centrée sur l Islande, englobant toute l Atlantique Nord, l autre située au Sud de l Afrique entre Madagascar et l Antarctique. On distingue de nouveau à l extrême droite le creux situé au Sud de l Inde. Les creux et les bosses sont exagérés d environ 100 000 fois par rapport aux dimensions réelles de la Terre. On sait aujourd hui que les grandes bosses du géoïde correspondent à des courants ascendants de matière chaude qui existent dans le manteau terrestre. Inversement, les creux du géoïde sont associés aux courants froids dirigés vers l intérieur de la Terre. Ces mouvements de matière mantelliques ascendants ou descendants résultent d un phénomène physique qui nous est familier : la convection. 21 Le phénomène de convection est caractérisé par le transport vertical de matière dans un milieu fluide chauffé (pour ce qui concerne le manteau les sources de chaleur peuvent être soit internes (radioactivité naturelle des roches), soit externes (refroidissement du noyau). Les mouvements de matière dans le manteau sont très lents, de l ordre du centimètre par an. La durée du cycle convectif est de plusieurs centaines de millions d années. ‹N › Le modèle GEM (Goddard Earth Model) a été établi par le GFSC (Goddard Space Flight Center) de la NASA, en réaction aux modèles militaires américains « classifiés ». Le premier modèle, GEM-1, fut publié en 1972, avec un développement du potentiel de degré 12, suivi de GEM-2,…, jusqu à GEM-10 (développement de degré 20) en 1977, puis de GEM-L, en 1983 (enrichi des données de LAGEOS-1) 22 Le modèle GEM (Goddard Earth Model) et GEM-T, en 1984 (préparation pour TOPEX-POSEIDON). Le modèle GEM-T2, publié en 1990, est obtenu à partir de 31 satellites et 2,4 millions d observations (1130 arcs d orbites). Il donne un modèle avec tous les coefficients jusqu au degré 36, et d autres jusqu au degré 50. Il donne aussi un développement de degré très élevé pour les marées. Ce modèle utilise des satellites prévus ou non pour la géodésie, avec des caractéristiques d orbite très variées. La dernière version de ce modèle est GEM-T3. 23 Le modèle JGM (Joint Gravity Model) est un modèle commun à la NASA et à l Université du Texas. En 1994, JGM-2 reprend GEM-T3 avec les premiers résultats de TOPEXPOSEIDON. En 1996, JGM-3 intègre des données de satellites supplémentaires comme LAGEOS-2. 24 Le modèle EGM (Earth Gravity Model) est une collaboration GSFC (NASA), de la NIMA (National imagery and Mapping Agency), OSU (Ohio State University). En 1996 sont produits EGM96S, de degré et ordre 70 (données provenant uniquement de satellites) et EGM 96, de degré et ordre 360 (par adjonction de données géophysiques). Ces modèles utilisent les données de 40 satellites, dont les mesures de satellite à satellite, avec les constellations GPS et TDRSS. Dernier modèle : 2GM 2008 Sur la diapositive : géopotentiel terrestre obtenu par le modèle EGM 2008 . Représentation de la différence en mètres, entre le géoïde et l ellipsoïde terrestre 25 Le modèle GRIM est établi conjointement par le GRGS (Groupe en Recherche en Géodésie Spatiale) en France et le DGFI (Deutsches Geodätisches Forschunginstitut) en Allemagne. Le premier modèle, GRIM 1, en 1976 (jusqu au degré 10), est suivi de de GRIM2,…, jusqu au GRIM4. Le modèle GRIM4-S2, obtenu avec 27 satellites, donne les harmoniques jusqu au degré 50 et des développements élevés pour les marées, poussés encore plus loin avec le GRIM4-S4. Satellite français STARLETTE lancé depuis Kourou le 6 février 1975. De forme sphérique de 0,24 m de diamètre, pour une masse de 47 kg, il est recouvert de 60 réflecteurs. Il orbite sur une trajectoire inclinée à 50 , avec une altitude variant de 810 km à 1105 km. 26 Le modèle GRIM En 2000, sont établis les modèles GRIM5-S1 et GRIM5-C1, le premier à base de données de satellites uniquement, le second avec toutes données.. Ce modèle C1 présente une matrice complète de degré et d ordre 120, incomplète pour les degrés de 121 à 360. Cela correspond à une précision de 50 cm en terme de hauteur de géoïde et de 5,5 milligal (1 gal = 1cm.s-2, le gal est encore utilisé en géophysique, un milligal correspond environ à un millionième de la valeur du champ de gravité terrestre g0) en terme de gravité de surface. L établissement de GRIM5 a été fait pour préparer les missions océanographiques (satellite franco-américain JASON-1, européen ENVISAT) 27 Missions spécifiques pour l’’étude du géopotentiel (les satellites CHAMP (Allemagne) lancé le 15 juillet 2000, GRACE-A et B (USA/Allemagne) lancés en mars 2002, GOCE (ESA) lancé par une fusée Rockot le 17 mars 2009. La géodésie, en développement rapide par l apport des satellites, devrait connaître des succès encore plus spectaculaires avec l exploitation prochaine des données de ces trois satellites géodésiques. Les modèles ont été remplacés par les modèles EIGEN. L’ESA imposel’emploi de la version EIGEN-GL04C. 28 Pour un résultat final très voisin, deux modèles peuvent avoir des termes assez différents : des pondérations différentes des harmoniques sphériques peuvent conduire à des résultats très voisins. Au-delà du degré 16, même les signes des coefficients peuvent changer d un modèle à l autre, ce qui n empêche pas un bon accord pour la restitution du géoïde et le suivi des satellites. Cela met en évidence le problème des troncatures : les coefficients d un modèle de degré 10 ne correspondent pas aux coefficients des 10 premiers degrés d un modèle de degré 20. 29 Les modèles sont utilisés directement par les programmes en entrant le jeu des coefficients du modèle. En fonction de la précision que l on veut obtenir, on peut tronquer ces modèles ou plus astucieusement (Cf. remarque sur les troncatures 2.4), on peut utiliser des modèles des degrés moins élevés, et gagner en temps de calcul. De manière plus astucieuse encore, on peut n introduire que les coefficients dont l action déterminée à l avance dépasse une certaine valeur. On peut aussi spécialiser le modèle notamment en affinant certaines harmoniques particulièrement importantes dans l évolution de l orbite étudiée notamment les harmoniques de résonance. 30 Image éruption solaire du 21 août 1973 prise par un des télescopes solaires emportés par la station orbitale américaine Skylab. 31 XX’+YY’+ZZ4 : produit scalaire 32 Cette force gravitationnelle ne modifie pas l énergie de l orbite, elle n engendre donc pas de perturbation (longueur) sur le 1/2 grand–axe de l orbite d un satellite artificiel. Par contre, elle est très importante par son effet sur l inclinaison. Son effet est donc à prendre en compte pour le maintien à poste des satellites géostationnaires. Nous y reviendrons donc dans le prochain chapitre. Par ailleurs, son effet de décentrement (attraction de la ligne des apsides [1/2 grand-axe]) est tel que pour un satellite sur une orbite à forte excentricité et périgée à faible altitude, elle peut provoquer sa rentrée dans l atmosphère. Ce résultat a une conséquence pratique sur les créneaux de tir d un satellite sur une orbite de transfert géostationnaire (nous y reviendrons lors du prochain chapitre). 33 L approche purement analytique de la force et surtout du développement des perturbations se révèle très complexe. Par contre,grâce à l intégration numérique on peut contourner aisément la difficulté. Pour le calcul, on a seulement besoin des coordonnées de l astre considéré et des différences 2ème et 4ème toutes les 1/2 journées. Les positions de l astre sont calculées alors à chaque pas de calcul par des formules d interpolation de type formule d EVERETT puis calcul des perturbations induites. 34 35 La vitesse V d un satellite n excède pas quelques kilomètres par seconde. Elle est donc très petite devant la vitesse c de la lumière : un traitement relativiste est généralement inutile. Cependant, depuis TOPEX/Poséidon, l effet relativiste est pris en compte pour les satellites d altimétrie et ceux de positionnement (type GPS). 36 37 Le calcul de cette force par intégration numérique ne pose pas de problème. Par contre, la modélisation des éléments rho, CD, A, m et V* se révèle elle, par contre, très délicate. Nous allons y revenir plus longuement au 5.3. 38 Dès le premier coup d oeil, la relation (4) nous apprend que la traînée atmosphérique produit une décélération pratiquement dans le plan de l orbite. En effet, la composante principale de la vitesse relative est naturellement la vitesse du satellite lui-même (V), la vitesse de l atmosphère (Va) se révélant bien plus faible. On peut donc dire que la force de freinage est quasiment portée par la direction de V et en sens inverse de cette dernière. La composante en dehors du plan de l orbite sera fonction de l inclinaison de l orbite et ne commencera à devenir très sensible que lorsque le satellite est sur une orbite très basse. 39 L effet de la traînée atmosphérique est donc une usure de l orbite (perte d énergie) accompagnée d une circularisation de cette dernière. En effet sur une orbite elliptique, l effet le plus marqué de cette force au périgée induit naturellement une diminution de l apogée. 40 41 Nous allons développé cette partie car l effet cumulatif de cette force, pour les satellites orbitant sur des orbites d altitude ≤ 800 km d altitude, et la difficulté de sa modélisation en font une des principales limites sur la prédiction à moyen et long terme du mouvement futur du satellite (l exemple des prévisions de chute de la station Skylab, et même plus récemment de la station MIR, reste mémorable). 42 En général, cette masse est très bien connue. Il faut cependant signaler qu elle varie toutefois au cours de la vie du satellite si ce dernier effectue des manœuvres et/ou utilise des moteurs-fusées pour son contrôle d attitude. 43 La section de choc du satellite varie en fonction de la position du satellite sur son orbite et surtout de son attitude. Quand les satellites sont stabilisés dans une direction inertielle (Soleil, étoile, spinné), on peut assez aisément déterminer leur attitude et donc la section de choc. Pour des satellites stabilisés par gradient de gravité ou dans une direction direction terrestre, la section de choc est aussi assez bien connue et de plus assez constante. La difficulté majeure dans la détermination de la section de choc vient des panneaux solaires. Si ces derniers sont du type 2 axes, les calculs deviennent complexes. 44 La modélisation de ce coefficient se révèle elle aussi complexe. Il dépend, en effet, de la géométrie du satellite, des qualités réflexives et émissives des différentes surfaces, de la température, de la densité atmosphérique (qui conditionne le type d écoulement des molécules et atomes et leur interaction avec le satellite : réflexion spéculaire ou diffuse). Dans les modèles simplifiés, on prend une valeur moyenne de ce coefficient (voisine de 2). 45 La variation du type d écoulement autour du satellite peut être modélisée par un coefficient variable avec l altitude, donc, avec la densité atmosphérique (Cf. courbe de la diapositive). Dans les modèles les plus sophistiqués, on intègre la force sur tous les éléments du satellite en faisant dans ce cas l hypothèse d une réflexion spéculaire pure. Ce calcul est alors fait conjointement avec celui de la section de choc. 46 C est sans nul doute le paramètre le plus complexe. En effet, il dépend de l altitude, de la latitude, de la géométrie par rapport au Soleil, de la saison et de l activité solaire. Photographie prise le 9 novembre 1967 lors du premier essai en vol de la fusée saturne V (opération Apollo-4). La capsule a été récupérée d où la très bonne qualité de cette photographie qui est la première prise depuis 17 000 km d altitude. 47 L observation de l effet de la traînée atmosphérique sur un grand nombre de satellites gravitant avec des inclinaisons et des excentricités très variées a permis de dégager les grandes lois à partir desquelles ont été construits les modèles atmosphériques utilisés dans les codes de calcul orbitographiques. NRLMSISE : NRL Mass Spectrometer Incoherent Scatter Radar Extended Model JB-2006 : Jacchia-Bowman 2006 48 Ainsi le modèle DTM a pu être validé très précisément par l observation de l évolution de l orbite du satellite français D5B « Castor » (satellite en dessous du satellite Pollux sur la diapositive de gauche) lancé par une fusée Diamant BP4 le 17 mai 1975 depuis Kourou( photo au centre). Ce satellite était équipé d un accéléromètre ultrasensible développé par l ONERA dénommé « CACTUS » (photo de droite montre cet accéléromètre en cours de calibration). 49 On admet dans tous les modèles atmosphériques que ce pilote en tout premier lieu la densité atmosphérique en fonction de l altitude n est autre que la température à l infini encore appelée température exosphérique. 50 Aussi les modèles se présentent généralement dans les programmes comme des tableaux à 2 entrées donnant la densité en fonction de l altitude et de la température exosphérique. L abaque de droite est un exemple (modèle atmosphérique Jacchia 65). 51 Pour connaître r, il faut toutefois connaître la température exosphérique. On la calcule grâce à des relations empiriques fonction de : - l activité solaire; - l heure locale solaire (effet diurne); - la latitude; - l époque de l année (effet saisonnier). Ces relations ne seront pas détaillées dans ce cours. Je vous renvoie à la littérature spécialisée. 52 L utilisation d un modèle d atmosphère est la suivante : 53 Il serait trop long de vouloir comparer finement les modèles. L abaque de la diapositive montre les variations de température exosphérique et de densité atmosphérique en fonction du flux solaire moyen pour différents modèles d atmosphère. En étudiant de manière précise les erreurs de prédiction de densité atmosphérique, on note que ces dernières peuvent être localement de 10 à 20 %. Compte tenu des autres incertitudes sur les autres coefficients (CD et A) et l impossibilité de prévoir l activité solaire, il est très difficile d améliorer la précision de ces prédictions. 54 Toutefois, plus l altitude du satellite est élevée, meilleure est la prédiction.Il en est de même lorsque le coefficient balistique (A/m) du satellite est faible et constant (exemple : satellites sphériques denses STARLETTE et LAGEOS). Pour les erreurs systématiques de modèle, on peut cependant les compenser par l ajustement de facteurs d échelle dans les programmes de calcul d orbite. 55 56 57 Pour ce qui concerne la pression de radiation solaire rediffusée, on y intègre aussi la pression de radiation émise naturellement par la Terre dans le domaine de l infrarouge (émission d un corps noir porté à une certaine température). 58 59 Cette pression a un effet cumulatif sensible sur les satellites dotés de grands panneaux solaires orientés en permanence vers le Soleil. C est notamment le cas des satellites de télécommunications en orbite géostationnaire (tel le satellite ANIK F2 lancé en Juillet 2004). 60 Lancement sondes Akatsuki et Ikaros le 20 mai 2010 par une fusée H2A 61 Véhicule japonais Ikaros (masse : 308 kg) lancé sur une trajectoire Terre-Vénus le 20 mai 2010 par une fusée H-2A avec la sonde vénusienne Akatsuki. La voile solaire a été déployée le 9 juin 2010. Depuis cette date, la pression de radiation solaire sur cette voile permet de créer une poussée de 1,12 millinewtons. Matériau de la voile solaire : résine polymide L épaisseur de la voile est de 7,5 microns soit 13 fois plus fin qu un cheveu humain. Dimension voile carré de 14 mètres de côté. Un des côtés de la voile est recouvert d aluminium pour améliorer la réflexion de la lumière solaire et améliorer le rendement de la pression de radiation solaire. Des cellules solaires ultrafines et ultralégères recouvrent la surface de la voile pour produire l énergie nécessaire au fonctionnement d Ikaros (première mondiale). 62 63 64 65 66 Attention la surface de choc A pour la pression de radiation rediffusée est différente de la surface de choc pour la pression de radiation solaire directe. 67 68 Le calcul est ici très complexe (découpage en éléments de la surface terrestre et calcul de leur contribution individuelle en tenant compte de la distance et de l angle sous lequel l élément voit le Soleil. Photo : Vue des Andes depuis la capsule Gemini 7 (décembre 1965) 69 Le graphique de cette diapositive donne l importance relative des différentes forces décrites dans ce chapitre. Ce graphique n est à considérer que comme des ordres de grandeur. Pour un calcul précis de prédiction d orbite, il faut analyser finement l influence de chaque type de perturbations sur l orbite étudiée et notamment les effets cumulatifs de certaines d entre elles (frottement atmosphérique, pression solaire, résonance). 70 Dans ce chapitre nous avons brossé le tableau des différentes forces agissant sur un satellite en orbite terrestre et dont la modélisation a été effectuée. Or un des derniers satellites géodésiques lancés, en l occurrence le satellite LAGEOS (orbite moyenne à 5000 km d altitude, coefficient balistique A/m très faible), a permis de déceler une force de traînée électrique due à l interaction du satellite avec des particules de charge électrique positive. Cette force reste toutefois à modéliser de façon précise. Terre vue par Météosat. 71
