Signaux & systèmes 2006 / 2007
EISTI Guy Almouzni
SIGNAUX & SYSTEMES
Signaux & systèmes 0. Préambule
0.
0. Préambule
Signaux &
systèmes
. Traitement du Signal (TS)
. Conditionnement
( Mise en forme, Prétraitement, Amplification, Filtrage...)
. Caractérisation
( Transformations fréquentielles)
. Détection - Estimation
(Moyenne quadratique...)
. Optimisation
(Filtrage optimal, Débruitage...)
. Modèlisation - Identification
(Prédiction linéaire, modèles Markoviens...)
. Codage - Décodage
(Modulation, Démodulation, Brouillage...)
. Synthèse de signal
(Génération de signaux analytiques, aléatoires, bruit ...)
. Reconnaissance - Décision - Compréhension - Interprétation
(RDF - Reconnaissances Des Formes, Classification...)
. Automatique
. Commande des systèmes
(Commande linéaire, adaptative, optimale...)
. Asservissement (système bouclé) - Performances - Correction
(Régulation, Suivi (Poursuite) automatique de trajectoires...)
Le signal, support de l’information, est à la base de la communication entre les hommes et avec leur environnement. La
théorie du signal a pour objectif la modélisation mathématique des signaux et leurs traitements malgré leur très grande
diversité. Elle s’appuie essentiellement sur l’analyse fonctionnelle, l’algèbre linéaire et le calcul des probabilités.
L’automatique s’intéresse aux systèmes et à leur contrôle, leur commande. La modélisation mathématique intervient
aussi constamment pour caractériser les systèmes, prévoir leur réponse à différentes commandes et évaluer leur
performances en termes de rapidité, stabilité et précision. On peut classer les systèmes par leur niveau de complexité,
traduit par le nombre des variables nécessaires pour décrire leur état. On peut opérer à une autre classification des
systèmes selon le type du signal utilisé pour leur commande.
Exemples :
- TS (Filtrage) : Si on mesure la température au cours des dernières décennies, il n'est pas évident pour autant
d'en déduire un réchauffement de la planète dû à l'homme au vu des valeurs croissantes de la température.
En effet, la terre est soumise depuis des millénaires à des fluctuations climatiques naturelles qu'il est nécessaire de
gommer ( filtrage) pour mettre en évidence les fluctuations artificielles dûes à l'homme.
En Traitement du Signal, c’est le signal qui nous intéresse en premier lieu, qui constitue notre objectif (caractérisation,
filtrage ...)
- Automatique (Asservissement) : Régulation de la température d'une salle :
- analogique : la température est mesurée en permanence.
- numérique : la température est mesurée à intervalles de temps réguliers.
En Automatique, c’est le système qui est au coeur des préoccupations. On cherche alors à le caractériser, le synthétiser,
le corriger ... pour qu’il fournisse une réponse (un signal) satisfaisant certaines contraintes (en régulation: sortie
entrée, en poursuite ...).
Signaux & systèmes 0. Préambule
0. 1
Plan du cours
1. Représentations Temporelles des Signaux & des Systèmes à Temps Continu & à Temps Discret.
2. Tutorial Mathcad.
3. Représentations Fréquentielles des Signaux & des Systèmes à Temps Continu.
4. Représentations Fréquentielles des Signaux & des Systèmes à Temps Discret.
4. Annexe. Voir Annexe
5. Echantillonnage - Interpolation - Quantification.
6. Transformée de Fourier Discrète (TFD) et Rapide (TFR).
7. Filtrage linéaire. Analyse & Synthèse des filtres numériques.
8. Annexe. Voir Annexe
Annexe
4. Annexe. Représentation d'Etat des Systèmes.
8. Annexe. Signaux Aléatoires.
Bibliographie
[1] F. de Coulon « Théorie et traitement des signaux » Dunod
[2] P. Duvaut « Traitement du signal » Hermès
[3] M. Kunt « Traitement numérique des signaux » Dunod
[4] J. Max « Méthodes et techniques de traitement du signal » Masson
[5] A.V. Oppenheim « Applications of digital signal processing » Prentice-Hall
[6] A.V. Oppenheim / R.W. Schafer « Digital signal processing » Prentice-Hall
[7] A.V. Oppenheim / A.S. Willsky « Digital signal processing » Prentice-Hall
[8] A.V. Oppenheim / A.S. Willsky / Y.T. Young « Signals and systems » Prentice-Hall
[9] A. Papoulis « Signal analysis » McGraw-Hill
[10] M. Rivoire / J.L. Ferrier « Automatique » Eyrolles
[11] Y. Thomas « Signaux & systèmes linéaires » Masson
__________
Signaux & systèmes 1. Représentations Temporelles des Signaux & des Systèmes à TC & à TD
1. 1
1. Représentations Temporelles des Signaux & des Systèmes à TC & à TD
I. SIGNAUX
1. Représentations Temporelles des Signaux
Il existe de très nombreux types de signaux.
L'exemple le plus général de signal peut être écrit sous la forme : x = f[v ; w]
:
x : vecteur de dim. n
v : vecteur de dim. m
f : distribution
w : vecteur de dim. p; indique que le signal peut être aléatoire en faisant apparaître une
dépendance statistique ( en fonction du tirage, de l’épreuve).
Une distribution généralise la notion de fonction.
Exemple de distribution : l'impulsion de Dirac :
δ
δ
()
()
tt
t
=∞ =
=
si
sinon
0
0
δ
εε
() lim ()tt=0 avec comme fonction
ε
()t possible :
t
0
t
ε
()
1/ε
/2
ε
-/2
ε
δ
()t n'est pas une fonction car
δ
()tdt
−∞
=1, alors que l'intégrale d'une fonction presque nulle partout est nulle.
On va se limiter au cas où :
x : scalaire ( réel)
v : scalaire, et ce sera généralement le temps t
f : appelée fonction ( parfois abusivement notamment pour
δ
(t) )
w : fixé signal déterministe ( non aléatoire)
Exemples de signaux monodimensionnels (
1D) : Température, compte bancaire, ligne d’image, ...
Exemples de signaux complexes (
2D) : Image , champ de forces (amplitude et direction) ...
2. Signal à Temps Continu, à Temps Discret - Signal quantifié ou non.
Un signal s'écrit donc : )()( tftx = :
. si t varie continuement, au moins par morceaux (on dira abusivement mais plus simplement t réel), )(tx est un signal
à Temps Continu (TC).
. si t est discret ( t ne peut prendre qu'un nombre fini limité de valeurs (ou un infini dénombrable)), noté généralement
nT avec n entier et
T
réel (dans le cas par exemple de l’échantillonnage périodique à la période
T
),
)(nTx noté aussi )(nx ou encore n
x, est un signal à Temps Discret (TD).
(Un signal à TD est souvent appelé plus simplement mais abusivement signal discret).
Qu'il soit à TC ou à TD, le signal x peut être :
. à valeurs réelles:
x
est un réel (l'amplitude de x varie continuement).
. à valeurs discrètes:
x
est un nombre codé sur m bits et peut ainsi avoir m
2 valeurs possibles (l'amplitude de x est discrète).
Signaux & systèmes 1. Représentations Temporelles des Signaux & des Systèmes à TC & à TD
1. 2
t
x (t)
signal quantifié
0
(1)
x (t)
0
t
(3)
(2)
-1 012345
x (n)
-1 012345
x (n)
(4)signal numérique
TC TD
ECHANTILLONNAGE
Amplitude
Continue
Amplitude
Discrète
Q
U
A
N
T
I
F
I
C
A
T
I
O
N
n
n
qq
6
6
signal échantillonnésignal analogique
Exemples : (1) : Vitesse d’un mobile.
(2) : Taille d’un être humain évaluée régulièrement (chaque année par exemple)
(3) : Compte bancaire (arrondi au centime près).
(4) : Population humaine évaluée régulièrement, ou encore niveau de gris des pixels d’une
ligne (1D) d’image (2D) (l’échantillonnage est alors spatial et non temporel).
Un signal à TD peut être à TD par nature :
Ex.: les notes d’un élève dans une matière (ou dans plusieurs, donnant alors un signal vectoriel à
plusieurs dimensions) tous les mois.
Il peut aussi s'obtenir à partir d'un signal à TC par échantillonnage le plus souvent périodique, de période T
Ex.: température mesurée à intervalles de temps réguliers et non en permanence.
On note alors généralement ces signaux par x(nT) plutôt que x(n) pour faire apparaître explicitement la
période d'échantillonnage
T. Pour alléger les écritures, on notera souvent x(nT) par xn.
En ce qui concerne les signaux à TD, on pourra noter de préférence (mais on ne le fera pas
systématiquement, le contexte étant souvent assez explicite) une séquence d’échantillons par {x(n)} plutôt
que
x(n) qui désigne un échantillon particulier (d’indice n) du signal x, en même temps que la séquence
elle-même (idem pour les signaux à TC).
3. Classification des signaux
- Signaux physiques : ils ne présentent que très rarement des discontinuités (physique quantique).
Exemple : Signal carré de tension électrique :
t
v(t)
- Signaux mathématiques : un modèle mathématique d’un signal (économique, démographique, ou
purement mathématique) présente souvent des discontinuités.
Exemple : Montant d’un compte bancaire :
m(t)
Crédit Débit
t
- Signaux à énergie finie : se reporter à la définition de l’énergie d’un signal.
- Signaux à puissance finie : se reporter à la définition de la puissance d’un signal.
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