Electrocintique2

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Electrocinétique : Cours et applications
Presentation · April 2019
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Jamal Baliti
Université Sultan Moulay Slimane
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Université Sultan Moulay Slimane
Faculté Polydisciplinaire - Beni Mellal
Département de Physique
Filière : SVI
Module 12 : Physique II
Electricité :
Electrocinétique : Cours et applications
Jamal BALITI
Année universitaire
2018/2019
Concepts de base
L’électrocinétique est l’étude du mouvement d’ensemble des charges dans un circuit que
l’on appelle courant électrique. Les charges se déplacent sous l’effet d’un champ
électrique extérieur créé par une différence du potentiel.
1-Courant et tension électrique
1.1-Courant électrique
a-Définition
Le courant électrique est le déplacement des porteurs de
charges dans un conducteur sous l’effet d’un champ
électrique externe. Le sens du courant électrique
(représenté par une flèche) est, par convention, celui dans
lequel se déplaceraient les charges positives (donc sens
inverse des électrons). Il est généralement compté positif
Fig .1
de la borne + du générateur à la borne – dans le circuit extérieur (Fig.1).
L’intensité d’un courant (notée I) est un débit de charges (quantité de charges par unité du
temps) donnée par :
. L’intensité du courant est donnée en Ampère (A), qui
correspond à 1 C.s-1. Le courant électrique se mesure par l’ampèremètre.
Application : Une batterie se charge pendant une durée de 4 heures, par un chargeur qui
délivre un courant d’intensité I=5mA, sous une tension U=12V. Quel est le nombre de
porteurs de charge circulant dans le circuit pendant la période de charge.
b-Loi des nœuds
Un nœud d’un réseau est une interconnexion où arrivent trois fils
ou plus. Un nœud n'est jamais connecté à un autre nœud que luimême.
Dans un circuit quelconque la quantité de charge électrique est
Fig.2
conservée et cette conservation dans un nœud se traduit par la
conservation du courant. Donc, le courant qui entre un doit être égale à celui qui en sorte.
Dans cette exemple (Fig.2)
.
En général, pour un nœuds qui contient plusieurs courants entrants
et sortant du
∑
nœud
la loi des nœuds se traduit par : ∑
.
Application : Identifier les nœuds dans le circuit, et donner les
équations liant les courants (Fig.3).
Fig.3
1
1.2-Tension électrique
b-Définition
La tension électrique est une différence du potentiel électrique entre deux points d’un
circuit. La tension est mesurée avec un voltmètre qui la donne en Volt (V).
c-Loi des mailles
-Une branche est constituée d’une association en série d’un ou
plusieurs dipôles (fils, résistance, bobine, ...), c’est une portion
de circuit située entre deux nœuds : dans le circuit ci-contre
(Fig.4), BAFE est une branche, BCDE et BE également.
-Une maille est une partie du réseau constituée d’un ensemble
de branches formant un circuit fermé dans lequel un nœud
n’est rencontré qu’une seule fois. Dans le circuit ci-contre,
ABEFA est une maille et BCDEB également.
Fig.4
A partir de la conservation de la quantité des charges dans une
maille la somme des différences de potentiel aux bornes des
branches formant cette maille est nulle. Dans cet exemple,
.
Application : Identifier les mailles dans le circuit, et donner les
équations liant les tensions (Fig.5).
1.3- Dipôle
On appelle dipôle électrocinétique tout système relié à
l'extérieur par deux conducteurs uniquement.
Fig.5
a- Dipôle passif
Un dipôle passif est un dipôle qui convertit toute l’énergie électrique qu’il reçoit en énergie
thermique (conducteur ohmique, diode, ...). Sa caractéristique passera forcément par
l’origine (Chapitre suivant).
b- Dipôle actif
Un dipôle actif fournit à l’extérieur de l’énergie électrique et une autre forme d’énergie
(générateur).
2- Conducteur ohmique (Résistance)
2.1- Définition
2
Une résistance est un dipôle linéaire passif (récepteur) qui transforme toute l’énergie qu’il
reçoit sous forme de chaleur. La résistance est mesurée par l’Ohmètre et donnée en Ohm
(𝛺).
2.2- Loi d’Ohm
Lorsqu’on applique une différence du potentiel (Fig.6)
au bornes de larésistance électrique il y
a passage d’un courant de la borne A vers la borne B à
travers la résistance. La résistance qui lie ces paramètre
est dite loi d’Ohm :
.
Cette loi peut être mise sous la forme
, avec
Fig.6
est la conductance qui s'exprime
en Siemens (S).
Dans une résistance le courant électrique qui la parcoure est de sens inverse à la tension à
ses bornes.
2.3- Résistivité et conductivité
Soit un conducteur ohmique qui est sous forme cylindrique de section et de longueur
présentant des charges libres assurant la conduction. Par application de différence du
potentiel entre les bornes du conducteur, il y aura un mouvement des porteurs des charges.
La quantité de charges transportée
par application d’une différence du potentiel est
donnée par
, où est la densité volumique de charge et le volume du
conducteur, avec
et la vitesse des porteurs de charges.
Donc,
. La vitesse est proportionnelle à la différence du potentiel entre les
extrémités du conducteur de longueur
, avec est la mobilité des électrons.
Résistivité
x 10-8 𝛺.m
argent
1,6
cuivre
1,7
or
2,4
aluminium 2,7
magnésium 4,6
tungstène
5,6
zinc
6
nickel
7
laiton
7
cadmium
7,6
Résistivité
x 10-8 𝛺.m
platine
10
fer
10
silicium
10
étain
18
plomb
21
germanium 46
constantan 49
mercure
96
nichrome
100
carbone
3500
Matériau
Matériau
3
Selon la loi d’Ohm on a
, donc
, avec
la résistivité en
, donnée en (S.m-1).
(𝛺.m). La conductivité est l’inverse de la résistivité
Application : Calculer la résistance d’un fil en cuivre de longeur
de section
. Quelle est la tension à ses bornes s’il est traversée par un courant I=1mA.
2.4- Association des résistances
a- Association en série
Soient trois résistances
et
montées en série entre deux bornes A
et D (Fig.7). Ces trois résistances sont
parcourues par un courant I par effet
d’une différence du potentiel
.
Fig.7
Les trois résistances sont parcourues
par le même courant I alors que chacune à sa propre différence du potentiel entre ses
bornes.
La tension entre les bornes A et D est donnée par la loi des mailles :
.
Soit R la résistance équivalente à ces trois résistances. Donc, par application de la loi d’Ohm
on a :
,
,
et
,
Alors
(
) , ce qui donne
.
En général, si un circuit contient N résistance
résistance equivalente est :
montées en série alors la
∑
b- Association en parallèle
Soient trois résistances
et
montées en parallèle entre
deux bornes A et B (Fig.8). Ces trois résistances soumises à une
même différence du potentiel
. Les trois résistances ont
une même différence du potentiel entre leur bornes, alors que
chacune est parcourue par son propre courant.
Le courant I est donné par la loi des noeuds :
.
Soit R la résistance équivalente à ces trois résistances. Donc, par
Fig.8
4
application de la loi d’Ohm on a :
Alors
(
,
,
) , ce qui donne
et
,
.
En général, si un circuit contient N résistance
résistance equivalente est :
montées en parallèle, alors la
∑
Application : Calculer la résistance équivalente de le montage de la figure(Fig.9). Que
devient sa valeur si les cinq résistances sont égales ?
Fig.9
5
Réseaux linéaires en régime continu
1-Générateur
C'est un dipôle capable d'imposer une tension constante, appelée force électromotrice
quelle que soit la charge reliée à ses bornes. Il est également appelé source de tension.
,
1.1-Générateur en circuit ouvert et en charge
En circuit ouvert, la tension qui existe à ses bornes lorsqu'il ne débite aucun
courant est la tension à vide. Le générateur de tension est donc un dipôle
virtuel dont la tension à ses bornes (force électromotrice f.é.m) est toujours
égale à la tension à vide quelle que soit la valeur du courant donné. Dans un
générateur, le courant circule de la borne positive vers la borne négative à
travers le circuit extérieur.
La différence de potentiel aux bornes d'un générateur à vide est égale à sa
f.é.m, alors que La différence de potentiel aux bornes d'un générateur en
charge est égale à sa f.é.m. diminuée de la chute de potentiel due à sa
résistance interne (Fig.1).
Fig.1
,
Où est la résistance interne du générateur. Il est dit idéal si sa résistance est nulle (
).
Le générateur de tension ne peut être qu'un modèle théorique, car mis en court-circuit, il
devrait délivrer un courant infini et donc fournir une puissance également infinie ce qui est
irréalisable.
1.2-Point de fonctionnement
Lorsqu’un générateur de force électromotrice et de résistance
interne est fermé sur une charge (résistance ), il débite un
courant et puisque leurs bornes sont communes et ils sont
traversés par le même courant (Fig.2). Ils ont donc le même point
de fonctionnement : même tension aux bornes, même intensité.
Fig.2
Le point de fonctionnement est donné par le point d’intersection
de la caractéristique du générateur
et celle de la
résistance
.
Analytiquement le point de fonctionnement peut être déterminé
par le faite que
(Fig.3),
Donc
, ce qui donne
et
.
Fig.3
6
Application : Calculer le courant dans un générateur court-circuité.
1.3-Ponts diviseurs
a- Pont diviseur de tension
Dans le montage les deux résistances
et
sont en série et
parcourue par le même courant (Fig.4), donc par application de loi
d’Ohm
(
) .
On a de même
.
Alors,
.
Donc, la tension de sortie est une fraction de la tension d’entrée. Pour
le cas où
,
Fig.4
.
b- Pont diviseur du courant
Dans le montage les deux résistances et
ont une même tension à leurs bornes (Fig.5).
Donc par la loi d’Ohm
(
sont en parallèle et
)
.
De même de la tension aux bornes de la résistance de sortie
.
Donc,
Fig.5
.
Donc, le courant de sortie est une fraction du courant d’entrée. Pour le cas où
,
.
Application : En appliquant le diviseur de tension calculer la
tension à travers les résistance R3, R2et R4 (Fig.6), sachant que
E=20V , R1= R2=10𝛺, R3= 3R1 et R4= 2R1. Calculer les courants
dans chaque branche par la méthode de diviseur de courant.
Fig.6
2-Bilan énergétique
2.1- Effet Joule
La résistance transforme toute l’énergie électrique reçue en énergie thermique. Cet effet est
appelé effet Joule. La puissance électrique transformée en puissance thermique s’écrit:
7
Remarque : la puissance électrique des fils de connexion est négligeable, cela revient au fait
que la résistance des fils de connexion très faible. Ce qui amène à négliger leur différence de
potentiel (U=RI) et donc la puissance électrique (ou l’énergie électrique) qu'ils transforment.
2.2- Puissance fournie par le générateur
Un générateur transforme de l'énergie chimique en énergie électrique et énergie thermique.
L’expression de cette puissance sera de la forme :
.
Cette équation traduit la conservation de l'énergie (énergie reçue = énergie fournie):
-
est la puissance chimique reçue et transformée par l'accumulateur.
est la puissance électrique fournie par l'accumulateur (aux charges, c-à-d. au courant,
et finalement au reste du circuit).
-
est la puissance thermique fournie par l'accumulateur (effet Joule dans la résistance r).
Application : Un circuit de résistance est alimenté par un générateur de f.é.m. et de
résistance interne
(
𝛺
𝛺) .Calculer la puissance fournie par le
générateur et celle dissipée par la résistance R.
3-Réseaux linéaires en régime permanant
Un réseau électrique linéaire est un ensemble de dipôles linéaires, reliés par des
conducteurs de résistance négligeable. On suppose que le réseau contient au moins un
générateur. Un réseau est constitué de b « branches » connectées par n « nœuds » et
formant m « mailles ».

Un nœud est un point de jonction de plusieurs
conducteurs.

Une branche est une portion de circuit entre deux
nœuds.

Une maille est un parcours fermé, constitué de
branches et ne passant qu'une seule fois par un nœud donné.
Fig.7
Dans cet exemple (Fig.7), le réseau est constitué de b=3 branches : FABC, CDEF et CF, n=2
nœuds : C et F et 3 mailles : ABCFA, CDEFC et ABDEA.
3.1-Méthode de Kirchhoff
Cette méthode s’appuie sur les lois des nœuds et des mailles pour calculer les valeurs des
courants et des tensions dans des réseaux de résistances soumis à des sources de tension.
Toutefois, lorsque le réseau devient plus complexe (présence d'une résistance en série avec
8
la source, augmentation du nombre de nœuds) la nombre d'inconnues à déterminer
augmente, et avec elle le nombre d'équations disponibles.
À l'aide du circuit de la figure 7, on va montrer qu'il existe des systèmes d'équations qui, bien
qu'établis avec les lois de Kirchhoff, n'admettent aucune solution. Afin de déterminer les
courants I1, I2 et I3 on commence par l’application de la loi des nœuds. On établit alors les
deux équations suivantes :
Au nœud F :
Au nœud C :
.
.
A la maille ABCF :
.
A la maille ABDE :
.
A la maille ABCF :
.
Il est évident que les deux premières équations sont les mêmes. La 3 ème et la 4ème équations
ne pourront donner solution puisque par soustraction de la 3 ème et la 4ème on trouve la
dernière équation. Ce qui met en évidence que, dans un réseau électrique, de nombreuses
équations déterminées par les lois de Kirchhoff sont linéairement dépendantes. Donc, si on
ne sélectionne pas les équations à utiliser dans la méthode de Kirchhoff le problème ne sera
pas résolu.
3.2-Choix des équations indépendantes
Pour la détermination des valeurs des différents courants, il faut en
premier lieu choisir judicieusement les équations à résoudre. Dans cet objectif, on présente
une méthode en trois étapes permettant de sélectionner, parmi les relations issues des lois
de Kirchhoff, un système d'équations linéairement indépendantes.
1. La première étape consiste à déterminer le nombre n de nœuds du circuit. Cette étape
permet de donner (n-1) équations issues de la loi des nœuds.
2. Dans un second temps, il faut comptabiliser le nombre b de branches.
Cette étape permet de donner le nombre d'inconnues à déterminer est égal à b.
3. La dernière étape consiste donc à établir m équations indépendantes en appliquant la loi
(
)
des mailles, avec
.
9
Application : Calculer les courants
R2=3𝛺, R3=4𝛺, R4=6𝛺, R5=7𝛺)
et
(Fig.8). (E1=4V, E2=1V, E3=6V, R1=2𝛺,
Fig.8
Les flèches dans les pointillés dans les mailles indiquent le sens choisi arbitrairement dans les
trois mailles.
Dans ce montage on a :
1. n=3 nœuds (B, C et F), donc n-1=2 équations entres les 5 courants I1, I2, I3, I4 et I5.
En B : I4= I1- I2.
En C : I5= I2- I3.
2. b=5 branches (BAGF, BC, BF, CE, CDE), alors il y a cinq inconnues à déterminer (les cinq
courants I1, I2, I3, I4 et I5).
3. Finalement il nous faut m = b - (n - 1) = b - n + 1= 5-3+1=3 équations issues de la loi des
mailles :
Dans la maille ABFGA : E2+ R1 I1- E1+ R1 I4 =0, soit 1+ 2I1- 4+ 6(I1- I2)=0.
Dans la maille FBCEF : -R4 I4+ R2 I2+ R5 I5=0, soit - 6(I1- I2)+ 3I2+ 7(I2- I3)=0.
Dans la maille CDEC : R3I3- R5I5-E2=0, soit 4I3- 7(I2- I3)-6=0.
Finalement ces équations seront de la forme suivante :
{
Qui sera sous la forme matricielle: [
][ ]
10
[ ], alors
|
|
|
|
,
|
|
|
|
|
|
et
.
|
|
Application : Calculer les courants
R2=10𝛺, R3=15𝛺)
et
Fig.9
11
(Fig.8). (E1=12V, E2=20V, R1=10𝛺,
Exercices corrigés
Exercice 1
1-Déterminer la résistance équivalente
de chaque dipôle, sachant que
400Ω,
= 200Ω,
= 100Ω et
= 300Ω.
Exercice 2
1-Déterminer la tension U4 en fonction de
U2.
2-Déterminer la tension U2 puis U4 en
fonction de E.
On donne
=
=
et
=
=
=2 .
Exercice 3
Soit le circuit suivant :
1-Identifier les différents nœuds dans le circuit, en
déduire les équations liant les courants.
2-Identifier les différentes branches, en déduire les
inconnues à déterminer ainsi que le nombre et les
équations liées aux mailles.
3-Calculer l’intennsité du courant .
12
= 100Ω,
=
On donne
4 .
= 10 ,
=5 ,
=4 ,
=6 ,
=5 ,
=1
,
=2
,
=
Exercice 4
Soit lemontage suivant :
On veut calculer les courants dans ce
montage par deux méthodes : diviseur de
courant et la méthode de Kirtchhoff.
I-Diviseur de courant :
1-Donner la résistance équivalente R à l’association des résistances de la portion BCDFGH.
2-Calculer la résistance équivalente de R//R1, en déduire I2.
3-Calculer, par la méthode de diviseur de courant, l’intensité de I1 et I3.
4-Par la même méthode, calculer l’intensité de I4 et I5.
II-Méthode de Kirchhoff :
1-Donner les nœuds dans le circuit, puis les équations entre les courants.
2-Donner le nombre des branche, puis le nombre et les équations indépendantes liées aux
mailles.
3-Calculer l’intensité des différants courants présents dans le circuit.
On donne
= 10 ,
=
= 20 ,
=
=
13
=
= 10
Correction des exercices
Exercice 1
Pour déterminer la résistance équivalente à une association quelconque, il convient de
procéder méthodiquement et de proche en proche pour réduire petit à petit la complexité du
dipôle. De même, on doit commencer par isoler les associations simples.
=
1-
+
+
= 100 +
=
+
=
+
= 500,
3-
=
+
=
=
+
=
→
=
=
, donc
+
+
+ 300 = 400 = 457.14 .
2-
4-
+
(
=
+
)(
)
+
=
+
=
=
, donc
= 100 +
+
+
=
, donc
= 58.82 .
+
=
+ 100 = 271.43 .
= 340 .
Exercice 2
Les deux tensions sont déterminées par la méthode de diviseur de tension.
1-
=
2-
=
Alors,
=
, avec
=
, avec
=
=
=
(
+
=
= , Donc
(
)=
)
=
=
= , donc
=
=
.
.
.
Exercice 3
1-Les nœuds du circuit B et H (B,C et D sont le même nœud, ainsi pour H, G et F), n=2, donc
on a une (n-1=1) équation liant les courants : en B : = + + .
2-Les branches du circuits : BAIH, BH, CG et CDFG, b=4, donc on a 4 inconnues à
déterminer ( , , et ).
Le nombre d’équations indépendantes liées aux mailles est m=b-n+1=3 équations.
(Il est indispensable de bien choisir les mailles pour résoudre le problème facilement).
Maille ABHIA :
=0→
=
. A.N,
=1
.
Maille ACGIA :
+
=0→
=
. A.N,
=7
.
Maille ADFIA :
+
=0→
=
. A.N,
=4
.
14
Et finalement =
+
+
= 12
.
Exercice 4
II-Diviseur de courant :
1-La résistance équivalente R est celle vue entre B et H,
sans la portion ABHI du circuit (fig. ci contre).
R=[(
en série avec
donc
=
=
2=
(
)
// =
=
)//
+
]en série avec
(
=
=
)
,
+ 10 = 20 .
= 10 , donc
= 0.5 .
3-Par la méthode de diviseur de courant (figure ci-dessus), on a
0.25 ,
=
= 0.25 (ou par div.courant
=
=
Finalement,
= 0.125
=
et
= 0.25 ,
=
).
4-Par la même procédure les autres courants pourront être calculés,
0.25
= 0.5
=
=
= 0.125 .
= 0.5 ,
= 0.25 ,
= 0.125 et
= 0.125 .
II-Méthode de Kirchoff :
1-Les nœuds du circuit sont : B, C et G (F, G, H et I sont le même nœud), n=3, donc n-1=2
équations liant les courants à déterminer : =
et =
=
.
2-Les branches du circuit sont : BAIH, BH, BC, CG et CDFG, b=5 courants à déterminer,
donc on a m=b-n+1=3 équations indépendantes à déterminer par la loi des mailles :
= 0 → 20 + 10
-Maille ABHIA :
=0→
-Maille BCGHB :
+
10 + 20 + 20
-Maille CDFG :
= 10
(
+
)
=0→
(
15
=0→
= 10
+
)(
)=0→
20
) = 0 → 20
20(
20 + 40
= 0.
Donc, on a un système de 3 équations à 3 inconnues ( ,
{
2
=| 1
1
0.5 ,
1 0
2 2| = 16,
1 2
|
=
=
Finalement,
|
=
|
=
= 0.25 ,
=
|
=
=
|
=
= 0.25 ,
= 0.125 ,
= 0.5 ,
=
= 0.25 et
= 0.25 ,
16
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) à résoudre
2 + =1
+2 +2 =1
+2 =0
|
=
et
= 0.125 et
=
= 0.125 .
= 0.125 .
=