INTRODUCTION À LA THÉORIE DES NOMBRES 3
Démonstration. — Comme Kest de dimension finie sur Q, il existe α1, . . . , αk∈Ktels
que K=Q(α1, . . . , αk)et pour montrer le théorème, il suffit donc de montrer que si
K=Q(x, y), alors il existe z∈Ktel que K=Q(z). Pour cela, plaçons nous dans une
extension de Kqui contient les racines x1=x, x2, . . . , xrde Pmin,x(X)et les racines y1=
y, y2, . . . , ysde Pmin,y(X). Comme Qest infini, il existe t∈Qtel que xi+tyj6=x+ty pour
tout (i, j)6= (1,1) et on pose z=x+ty. Si on pose Q(X)=(X−z+ty1)···(X−z+tys),
alors Q(X) = (−t)sPmin,y((X−z)/(−t)) est à coeffcients dans Q(z)et l’hypothèse faite
sur timplique que le pgcd de Q(X)avec Pmin,x(X)est X−xce qui fait que x∈Q(z).
On a de même y∈Q(z)et donc on a bien Q(x, y) = Q(z).
Si L/K est une extension de corps de nombres, alors il existe α∈Ltel que L=Q(α)
et donc a fortiori, L=K(α).
Rappelons que Cest algébriquement clos. Si Kest un corps de nombres, alors un
plongement de Kdans Cest un morphisme de corps σ:K→C. Par le théorème 1.4, il
existe α∈Ktel que K=Q[α] = Q[X]/(Pmin,α(X)) et il existe donc deg(α)plongements
distincts de Kdans C, donnés par σi(α) = αioù α1, . . . , αdsont les racines de Pmin,α(X)
dans C. Un plongement σest dit réel si σ(K)⊂Ret complexe sinon. Dans ce dernier
cas, σet σsont distincts. Le corps Kadmet donc r1plongements réels dans Cet r2
paires de plongements complexes conjugués, avec d=r1+ 2r2.
Plus généralement, on a le résultat ci-dessous qui se démontre de la même manière.
Proposition 1.5. — Si L/K est une extension de corps de nombres de degré det si
σ:K→Cest un plongement, alors il existe dplongements distincts de Ldans Cdont
la restriction à Kest σ.
Soit Kun corps de nombres et x∈Ket mx:K→Kl’application de multiplication
par x. C’est un endomorphisme Q-linéaire et on pose TrK/Q(x) = Tr(mx)et NK/Q(x) =
det(mx).
Proposition 1.6. — Si σ1, . . . , σdsont les plongements de Kdans C, alors TrK/Q(x) =
σ1(x) + ··· +σd(x)et NK/Q(x) = σ1(x)···σd(x).
Démonstration. — Remarquons que si R(X)∈Q[X], alors R(mx) = mR(x)et donc que le
polynôme minimal de l’endomorphisme mxest Pmin,x(X). On en déduit que si K=Q(x),
alors mxest diagonalisable à valeurs propres σ1(x), . . . , σd(x)chacune étant comptée avec
multiplicité un ce qui montre la proposition dans ce cas. En général, Kest une extension
de Q(x)de degré eet Kest la somme de ecopies de Q(x)stables par mxce qui fait
que TrK/Q(x) = e·TrQ(x)/Q(x)et que NK/Q(x) = (NQ(x)/Q(x))e. Par ailleurs, chaque