Algèbre
Mohamed Zeriab
Essadek
Nombres complexes
Algèbre
Ecole Nationale supérieure d’art et
métiers - Rabat
Construction de l’ensemble des nombres
complexes
On munit IR2 de deux lois de composition internes + et .
définis par :
(x, y ) + (z, t) = (x + z, y + t)
2
∀(x, y ); (z, t) ∈ IR
(x, y ).(z, t) = (xz − yt, xt + yz)
On peut identifier cet ensemble à IR car :
(x, 0) + (y , 0) = (x + y , 0)
∀x, y ∈ IR
(x, 0).(y , 0) = (xy , 0)
|
On note cet ensemble C,
et on l’appelle l’ensemble des
nombres complexes. On note i = (0, 1), on a alors :
i 2 = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1
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Mohamed Zeriab
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Propriétés des nombres complexes
Ecriture algébrique
Pour chaque élément z de l’ensemble des nombres
complexes, on convient d’écrire :
z = (x, y ) = x + iy
Cette écriture est appelée l’écriture algébrique du
nombre complexe z.
Parties réelle et imaginaire
Soit z = x + iy un nombre complexe, on appelle
respectivement x et y partie réelle et partie imaginaire de
z, et on les note respectivement Re(z) et Im(z).
Conjugué
Soit z = x + iy un nombre complexe. On appelle
conjugué de z, le nombre complexe z défini par :
z = x − iy
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Propriétés des nombres complexes
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Fraction de deux nombres complexes
0
0
0
Soient z = x + iy et z = x + iy deux nombres
complexes, on a alors :
0
0
0
0
(xx + yy ) + i(yx − xy )
z
=
2
2
z0
x0 + y0
Module d’un nombre complexe
|
Soit z = x + iy ∈ C,
on appelle module de z :
q
√
|z| = x 2 + y 2 = zz
Algèbre
Propriétés des nombres complexes
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Propriétés du module
|
Soit z = x + iy ∈ C,
on a :
I z = 0 ⇐⇒ |z| = 0
0
0
I |zz | = |z||z |
I |z| = |z|
z
1
=
z
|z|2
I |x| ≤ |z| et |y | ≤ |z|
I ∀z 6= 0,
Inégalités triangulaires
0
|
Soit z, z ∈ C,
on a :
0
0
|z + z | ≤ |z| + |z |
0
0
|z| − |z | ≤ |z − z |
Racine carrée d’un nombre complexe
Algèbre
Mohamed Zeriab
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|
Soit z = x + iy ∈ C,
on appelle racine carrée de z, le
nombre complexe Z = a + ib vérifiant Z 2 = z.
Tout nombre complexe non nul, possède deux racines
carrées.
Calcul des racines carrées
On a
|Z |2 = |z|
Z 2 = z =⇒
Re(Z 2 ) = Re(z)
Im(Z 2 ) = Im(z)
Ce qui donne
p
2
a + b2 = x 2 + y 2
a2 − b 2 = x
ab est du signe de Im(z)
Equations du second degré
Algèbre
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Cas de coefficients complexes
On se propose de résoudre l’équation az 2 + bz + c = 0
où a, b, c sont trois nombres complexes et a 6= 0.
On appelle ∆ = b2 − 4ac le discriminant de l’équation, et
on a :
I Si ∆ = 0, l’équation admet une racine double
z0 = −b
2a
I Si ∆ 6= 0, l’équation admet deux racines distinctes :
−b+δ
z1 = −b−δ
2a et z2 = 2a où δ est une des deux
racines carrées de ∆.
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Equations du second degré
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Cas de coefficients réels
On se propose de résoudre l’équation ax 2 + bx + c = 0
où a, b, c sont trois nombres réels et a 6= 0.
On appelle ∆ = b2 − 4ac le discriminant de l’équation, et
on a :
I Si ∆ > 0, l’équation admet
deux solutions
réelles
√
√
−b+ ∆
−b− ∆
distinctes : x1 = 2a et x2 = 2a
I Si ∆ = 0, l’équation admet une seule solution :
x0 = −b
2a
I Si ∆ < 0, l’équation admet
√ deux solutions
√ complexes
conjuguées : x1 =
−b−i |∆|
2a
et x2 =
−b+i |∆|
2a
Nombres complexes de module 1
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On définit l’ensemble des nombres complexes de module
1 par :
| ; |z| = 1}
U = {z ∈ C
Proposition
Pour tout z ∈ U, il existe un réel θ tel que
z = cos θ + i sin θ.
Exponentielle imaginaire
Soit θ ∈ IR, On appelle exponentielle imaginaire de θ
qu’on note eiθ le nombre complexe :
eiθ = cos θ + i sin θ
Nombres complexes de module 1
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Propriétés
On a les propriétés suivantes :
0
0
I ei(θ+θ ) = eiθ eiθ
0
0
I eiθ = eiθ ⇐⇒ ∃k ∈ ZI ; θ = θ + 2k π
1
I ∀θ ∈ IR , e−iθ =
= eiθ
eiθ
Formules d’Euler
Soit θ ∈ IR, les formules d’Euler s’écrivent :
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
Nombres complexes de module 1
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Formule de Moivre
Soit θ ∈ IR, et n ∈ ZI :
einθ = (eiθ )n
Formule de l’arc moitié
Soit x ∈ IR, on a :
ix
x ix
ix
ix
eix + 1 = e 2 e 2 + e− 2 = 2e 2 cos
2
ix
x ix
ix
ix
eix − 1 = e 2 e 2 − e− 2 = 2ie 2 sin
2
Argument d’un nombre complexe
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Définition
| et ρ = |z|, alors
Soit z ∈ C
∃θ ∈ IR ; z = ρeiθ
I L’écriture z = ρeiθ est appelée la forme
trigonométrique de z.
I θ est appelé l’argument de z.
I Si θ est un argument de z, alors l’ensemble de tous
les arguments de z est {θ + 2k π ; k ∈ ZZ }.
I L’unique argument de z dans l’intervalle ]−π, π[ est
appelé argument principal de z.
Argument d’un nombre complexe
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Propriétés
Soient z = ρeiθ et z1 = ρ1 eiθ1 , on a :
I zz1 = ρρ1 ei(θ+θ1 )
ρ
z
I
= ei(θ−θ1 )
z1
ρ1
I arg(zz1 ) = arg(z) + arg(z1 )[2π]
z
I arg( ) = arg(z) − arg(z1 )[2π]
z1
1
I arg(z) = arg( ) = −arg(z)[2π]
z
I arg(z n ) = n arg(z)[2π]
Racines de l’unité
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Définition
|
Soit z ∈ C,
on appelle racines n-ième de z tout nombre
complexe Z vérifiant Z n = z.
Définition
On appelle racines n-ième de l’unité les racines n-ième
de 1. On note Un cet ensemble.
| ; z n = 1}
Un = {z ∈ C
Proposition
Il y a exactement n racines n-ième de l’unité, données par
n 2ik π
o
Un = e n ; k ∈ [[0, n − 1]]
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Racines de l’unité
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Propriétés
On a les propriétés suivantes :
I
X
z=0
z∈Un
2iπ
3
I On note j = e , on a U3 = {1, j, j 2 }
I Le complexe z = ρeiθ admet exactement n racines
n-ième de l’unité données par :
1
Zk = ρ n ei (
θ+2k π
n
)
Représentation géométrique des complexes
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Définition→
− →
−
Soit R(O, i , j ) un repère orthonormal du plan. On
appelle affixe d’un point M(x, y ) le nombre complexe
z = x + iy , qu’on note Aff (M).
→
−
→
−
→
−
L’affixe du vecteur u = x i + y j est z = x + iy , qu’on
→
−
note Aff ( u ).
Distance
Soient A et B deux points du plan, d’affixes respectives a
et b, alors
d(A, B) = |b − a|
Représentation géométrique des complexes
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Angles
Soient A, B et C trois points du plan, d’affixes respectives
a, b et c, alors
z }| {!
−→ −→
b−c
CA, CB = arg
[2π]
a−c
Propriétés
Soient A, B et C trois points du plan, d’affixes respectives
a, b et c, alors :
b−c
I A, B et C sont alignés ⇐⇒
∈ IR
a−c
I Les droites (CA) et (CB) sont perpendiculaires ⇐⇒
b−c
∈ iIR
a−c
Représentation géométrique des complexes
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Similitude
On appelle similitude directe, l’application
|
|
C
−→ C
| ∗ ×C
|
(a, b) ∈ C
z 7−→ az + b
