Cours 1 Nombres Complexes

Algèbre
Mohamed Zeriab
Essadek
Nombres complexes
Algèbre
Ecole Nationale supérieure d’art et
métiers - Rabat

Algèbre
Mohamed Zeriab
Essadek
Construction de l’ensemble des nombres
complexes
On munit IR2de deux lois de composition internes +et .
définis par :
∀(x,y); (z,t)∈IR2(x,y)+(z,t) = (x+z,y+t)
(x,y).(z,t) = (xz −yt,xt +yz)
On peut identifier cet ensemble à IR car :
∀x,y∈IR (x,0)+(y,0)=(x+y,0)
(x,0).(y,0)=(xy,0)
On note cet ensemble | C, et on l’appelle l’ensemble des
nombres complexes. On note i= (0,1), on a alors :
i2= (0,1).(0,1)=(−1,0) = −1

Algèbre
Mohamed Zeriab
Essadek
Propriétés des nombres complexes
Ecriture algébrique
Pour chaque élément zde l’ensemble des nombres
complexes, on convient d’écrire :
z= (x,y) = x+iy
Cette écriture est appelée l’écriture algébrique du
nombre complexe z.
Parties réelle et imaginaire
Soit z=x+iy un nombre complexe, on appelle
respectivement xet ypartie réelle et partie imaginaire de
z, et on les note respectivement Re(z)et Im(z).
Conjugué
Soit z=x+iy un nombre complexe. On appelle
conjugué de z, le nombre complexe zdéfini par :
z=x−iy

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Mohamed Zeriab
Essadek
Propriétés des nombres complexes
Fraction de deux nombres complexes
Soient z=x+iy et z0=x0+iy0deux nombres
complexes, on a alors :
z
z0=(xx0+yy0) + i(yx0−xy0)
x02+y02
Module d’un nombre complexe
Soit z=x+iy ∈| C, on appelle module de z:
|z|=qx2+y2=√zz

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Mohamed Zeriab
Essadek
Propriétés des nombres complexes
Propriétés du module
Soit z=x+iy ∈| C,ona:
Iz=0⇐⇒ |z|=0
I|zz0|=|z||z0|
I|z|=|z|
I∀z6=0,1
z=z
|z|2
I|x|≤|z|et |y| ≤ |z|
Inégalités triangulaires
Soit z,z0∈| C,ona:
|z+z0| ≤ |z|+|z0||z|−|z0|≤ |z−z0|