Motorisation et Commande des Machines

Département TIN
(Techniques industrielles)
Filières
Microtechnique,
Électronique – Automatisation Industrielle, et
Ingénierie de Gestion
Motorisation et
Commande des
Machines
Bernard Schneider
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Copyright © Bernard Schneider, 2009-2011
Yverdon-les-Bains, le 21 septembre 2011
Théorie des circuits linéaires
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des erreurs ou lui proposeront des améliorations.
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Toutes propositions d’améliorations et de corrections seront les bienvenues.
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Théorie des circuits linéaires
Table des matières
Chapitre 1
Le mouvement dans les machines ................................................................................................5
1.1
Généralités ........................................................................................................................................5
1.2
Types de machines ............................................................................................................................6
1.3
Types d’actionneurs et de moteurs.................................................................................................. 10
1.4
Constitution des entraînements ....................................................................................................... 14
1.5
Modes de fonctionnement des entraînements ................................................................................. 15
Chapitre 2
Transmissions ............................................................................................................................. 21
2.1
Les charges...................................................................................................................................... 21
2.2
Réducteurs ...................................................................................................................................... 26
Chapitre 3
Moteurs électriques..................................................................................................................... 35
3.1
Rappel théorique – l’électromagnétisme......................................................................................... 35
3.2
Rappel théorique – équation différentiel d’ordre 1 ......................................................................... 41
3.3
Moteurs à courant continu (DC) ..................................................................................................... 44
3.4
Moteurs synchrones ........................................................................................................................ 54
3.5
Moteurs asynchrones ...................................................................................................................... 67
3.6
Moteurs pas à pas ............................................................................................................................ 74
3.7
Autres types de moteurs électriques................................................................................................ 79
3.8
Choix d’un moteur électrique ......................................................................................................... 84
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Théorie des circuits linéaires
Chapitre 1
Le mouvement dans les machines
1.1
Généralités
Définition 1.1
Une machine est un ensemble de pièces ou d’organes liés entre eux, dont au moins un est
mobile, réunis de façon solidaire en vue d’une application définie, notamment pour la
transformation, le traitement, le déplacement et le conditionnement d’un matériau. Une
machine comprend également tous les composants d’alimentation en énergie et
d’automatisation nécessaires à son fonctionnement. Un ensemble de machines est également considéré comme une machine.
Cette définition est celle de la « Directive sur les Machines » de l’Union Européenne. Au sens plus large du
terme, les centrales de production d’électricité à partir d’énergie mécanique sont aussi des machines. Par
exemple, une turbine entraînée par une chute d’eau fait tourner un alternateur qui délivre de l’électricité.
Les mouvements des machines remplissent une ou plusieurs fonctions, par exemple :






entraîner une pompe, un ventilateur, pour déplacer ou comprimer des liquides, des gaz ou de l’air ;
entraîner une broche, c’est-à-dire un outil de coupe, de perçage ou d’usinage comme une scie, un foret,
un taraud, un disque de polissage, etc. ;
saisir un objet et le maintenir pendant son usinage ou son déplacement ;
déplacer un objet d’un endroit à un autre, pour le stocker ou le remettre dans le circuit de production,
pour le positionner en vue d’un usinage ou d’un traitement, pour l’emballer et le préparer à la livraison,
etc. ;
déplacer un objet en suivant une trajectoire déterminée, afin de le présenter sous un outil d’usinage, de
découpe, de traitement thermique, etc. ;
former ou déformer un objet, par exemple pour le plier et pour le mouler.
L’objet saisi et déplacé est généralement le produit en cours d’élaboration par la machine, mais ce peut être
également un outil, voire une machine complète, parfois même avec son conducteur et des passagers, comme
dans le cas d’un ascenseur ou d’un véhicule.
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L’extension des mouvements peut être :


limité dans une zone de travail ; les déplacements se font dans les deux sens de marche, de manière à ce
que l’élément mobile ne dépasse pas les butées de fin de course, comme les extrémités gauche et droite
d’une table X-Y de machine-outil ;
illimité (ou quasi illimité) ; les déplacements se font toujours dans le même sens de marche (même si de
brèves marches arrières sont parfois nécessaires), comme dans un convoyeur de gravier dans un chantier, ou le bobinage de fils ; de tels mouvements comportent souvent une certaine périodicité.
Figure 1-1
Exemples de déplacements va et vient entre butées dans le cas d’une poinçonneuse, et de déplacements monodirectionnels continus dans le cas du
conditionnement des journaux
(sources : Trumpf GmbH – www.trumpf.com et Ferag AG – www.ferag.ch)
1.2
Types de machines
1.2.1
Programmation des mouvements
Dans une machine automatique, le mouvement peut être déterminé :


par un programme pièce pour une machine à cycle programmable comme dans une machine-outil à
commande numérique ;
par le choix parmi diverses possibilités ou « recettes » pour une machine à cycle fixe, en fonction des
caractéristiques du produit à fabriquer, comme dans une machine d’emballage ou d’imprimerie ; ces recettes sont déterminées par programmation, une fois pour toutes, par le fabricant de la machine ;
l’utilisateur ne fait que choisir le type de produit à traiter.
par apprentissage, l’opérateur réalisant une première fois la succession de mouvements en mode manuel, puis déclenchant leur répétition en mode automatique ;
de manière non automatique, en "marche à vue".
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

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1.2.2
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Machine-outils
Les machines-outils sont généralement des machines à cycle programmable.
Les mouvements des machines-outils sont combinés pour permettre un positionnement dans plusieurs directions et plusieurs orientations, par exemple :
●
mouvements 2D – dans un plan horizontal (X-Y) ou vertical (X-Z) ;
●
mouvements 3D – dans l’espace (X-Y-Z) ;
●
mouvements 6D – dans l’espace (X-Y-Z) avec orientation 3D ;
●
mouvements > 6 D – mouvement coordonnés de plusieurs groupes 2D et 3D, comme dans un tour
multibroche.
Figure 1-2
Exemple de machine-outil – centre d’usinage
(source : Precitrame – www.precitrame.ch)
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1.2.3
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Autres machines de production
Les machines d’imprimerie, textile, d’emballage et d’assemblage sont généralement des machines à cycle
fixe.
Figure 1-3
Exemple de machine d’assemblage – machine à cycle fixe
(source : Ismeca Semiconductor SA – www.ismeca.com)
Les mouvements de leurs éléments mobiles sont combinés et programmés une fois pour toutes par le fabricant de la machine pour réaliser les processus souhaités. Anciennement, ces machines étaient entraînées par
un seul moteur, qui mettait en mouvement une multitude de pièces par l’intermédiaire d’un arbre maître, de
courroies, d’engrenages, de crémaillères, de cames, etc.
Variateur de
fréquence
M
BSR20041214_A.des
M
M
M
M
Servo
amplificateur
Servo
amplificateur
Servo
amplificateur
M
Servo
amplificateur
M
Servo
amplificateur
Structure d’une machine avec arbre maître
Servo
amplificateur
Figure 1-4
BSR20041214_B.des
Figure 1-5
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Structure d’une machine avec arbre électronique
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Actuellement l'évolution des automatismes de commande permettent de remplacer ce type d'entraînement par
un arbre électronique. Les éléments mobiles sont entraînés chacun par un servomoteur, dont les mouvements sont coordonnés de manière électronique, imitant les divers types d’accouplements à l’arbre maître :




boîte à vitesse (variable progressivement) ;
accouplement / débrayage ;
profil de came ;
différentiel utilisé pour la mise en phase (exmeple: alignement des couleurs en imprimerie).
La réalisation de ces fonctions mécaniques par voie électronique et informatique présente l’immense avantage de changer et modifier les « recettes » très facilement et très rapidement, que ce soit entre deux lots de
productions ou en cours de production.
C’est dans ce domaine en particulier que la synergie entre les techniques mécaniques, électroniques et informatique permet de réaliser des améliorations importantes. La combinaison des techniques
d’accouplements mécaniques, des servomoteurs et des régulations électroniques est souvent appelée mécatronique.
1.2.4
Robots
Les robots sont généralement des machines à apprentissage, parfois des machines programmables.
Figure 1-6
Exemples de robots à 6 degrés de liberté, à structures sérielle, respectivement parallèle
(source : ABB – www-abb- ch)
Les robots comportent traditionnellement des articulations en série, chaque membre peut pivoter ou coulisser relativement au membre qui le supporte, un peu comme un bras humain. Le dernier membre de cette
chaîne porte l’outil. Les mouvements de celui-ci ont plusieurs degrés de libertés, permettant le positionnement et l’orientation de l’outil dans l’espace.
Depuis 1985 sont apparus également des robots à structure parallèle. Requérant une commande nettement
plus sophistiquée, ces nouvelles structures sont intéressantes par leurs basses inerties autorisant des mouvements très rapides, tout en conservant une grande rigidité.
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1.3
Types d’actionneurs et de moteurs
1.3.1
Principes, Terminologie
Les composants permettant de mettre en mouvement les organes de machines sont appelés actionneurs. Ce
sont essentiellement des moteurs et des vérins. Ils produisent de l’énergie mécanique à partir d’énergie électrique, hydraulique ou pneumatique, mais sont presque toujours contrôlés par des signaux de commande
électriques. Les actionneurs sont souvent complétés par des transmissions mécaniques et/ou des réducteurs.
1.3.2
Actionneurs et moteurs pneumatiques
Les actionneurs pneumatiques sont utilisés principalement pour des mouvements séquentiels simples. Ils
utilisent de l’air comprimé à ~6 bar et permettent de réaliser des vérins dont la force peut atteindre 50'000 N.
L’air est fourni par un compresseur, complété de filtres, d’un séparateur d’eau et d’un déshuileur. Il est souvent produit pour tout un atelier, et distribué à toutes les machines.
Les actionneurs sont généralement des vérins linéaires, mais aussi des turbines rotatives. On utilise également des aspirateurs suceurs à vide pour saisir des objets. Ils sont commandés en tout ou rien par des distributeurs, actionnés mécaniquement ou électriquement.
Figure 1-7
Principe de fonctionnement d’un vérin pneumatique
(source : Deyes Hihg School (GB) – www.deyes.sefton.sch.uk)
Dans certains cas, l’actionneur pneumatique réagit en continu en fonction du débit ou de la pression pneumatique. On utilise alors un distributeur proportionnel. La pression à sa sortie peut être modulée entre 0 et
~10 bar en fonction de la tension électrique appliquée. Il est ainsi possible de contrôler par exemple la vitesse
d’un mouvement ou la force d’un serrage.
Avantages :
Les actionneurs pneumatiques se distinguent par des faibles coûts d’entretien et des
besoins minimaux en qualification du personnel. Ils conviennent particulièrement bien
aux milieux hostiles : hautes température et humidité ambiantes, atmosphère explosive. Ils permettent de produire des vitesses élevées, comme dans certaines fraises de
dentiste (~200'000 r/min).
Inconvénients :
L’air comprimé est très élastique, ce qui ne permet pas d’obtenir des temps de réaction
inférieurs à ~20 ms. Parfois, les bruits dus à des fuites ou à l’échappement sont considérés comme gênants.
Les actionneurs pneumatiques n’offrent en général que deux positions possibles (en
butée à gauche ou en butée à droite pour un vérin, enclenchée ou déclenchée pour une
turbine). Ils sont rarement utilisés en association avec des régulateurs de position
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Coûts :
Les actionneurs pneumatiques représentent souvent la solution d’automatisation la
moins chère. Si leurs performances répondent aux besoins, il ne faut pas hésiter à les
utiliser.
Les entraînements pneumatiques sont traditionnellement présents dans les machines d’assemblage, par
exemple pour les composants nécessaires à l’industrie automobile. Ils sont aussi utilisés pour actionner certaines machines outils, comme des petites presses, des machines de transfert, etc.
Figure 1-8
Machine avec actionneurs pneumatiques
(Source : Sysmelec (CH) – www.sysmelec.ch)
1.3.3
Actionneurs et moteurs hydrauliques
Les actionneurs hydrauliques sont utilisés pour des mouvements requérant des forces très élevées à faible
vitesse. Utilisant de l’huile sous des pressions atteignant 400 bar, ils permettent de réaliser des vérins de
force prodigieuse (jusqu’à 3'000'000 N, soit 300 tonnes force). Leurs temps de réponse sont plus rapides que
pour l’air (quelques millisecondes), car l’huile est presque incompressible.
L’huile est fournie par une pompe hydraulique qui fait généralement partie de la machine. Elle est distribuée par des tuyaux vers les organes récepteurs. L’huile qui s’échappe lors du fonctionnement des actionneurs est intégralement récupérée, et ramenée à la pompe après filtrage et refroidissement éventuel.
Figure 1-9
Principes d’un vérin linéaire et de son actionneur
(source :Howstuffworks – http://science.howstuffworks.com)
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Les actionneurs sont des vérins linéaires ou des moteurs rotatifs. Leur action est contrôlée par des distributeurs. Ils peuvent être de type tout ou rien, agissant comme des aiguillages, ou de type proportionnel,
permettant de moduler la pression ou le débit d’huile.
Avantages :
Les actionneurs hydrauliques sont des composants très performants. Ils sont appréciés
pour leur prodigieuse densité d’énergie pouvant atteindre 40 MJ/m3 (très forte énergie
pour un faible encombrement des actionneurs).
Ils peuvent aussi être utilisés dans des systèmes réglés en vitesse ou en position.
Inconvénients :
Les fluides utilisés ainsi que les conduites présentent des défauts de rigidité et des
comportements non-linéaires qui compliquent énormément la conception de régulateurs à haute dynamique. Les temps de réponses sont de l’ordre de 2 ms.
La présence d’huile dans une machine de production est souvent considérée comme
indésirable, à cause des fuites inévitables qui en compliquent l’entertient, mais par le
fait que, contrairement à l’air comprimé, l’huile doit être récupérée, doublant ainsi les
besoins en tuyauterie. Dans certains cas, les risques d’incendie et d’explosion sont
aussi dissuasifs.
Coûts :
Figure 1-10
Les entraînements hydrauliques ne sont économiquement acceptables que lorsque
leurs avantages les rendent indispensables. C’est la raison pour laquelle on les trouve
sur les machines de chantier et dans les grandes presses et des plieuses de l’industrie
lourde en général, pour lesquelles les alternatives électriques seraient trop encombrantes, voire simplement irréalisables. Ils étaient également utilisés dans
l’aéronautique pour la commande de gouverne d’avions, mais même dans ces applications où le rapport poids / énergie est très important, des alternatives électriques sont
maintenant préférées (drive by wire).
Presse hydraulique et engin de chantier
(sources : Osterwalder (CH) – www.osterwalder.ch ; Cartepillar (US) – www.cat.com)
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1.3.4
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Moteurs électriques
Les moteurs électriques sont disponibles dans une très large gamme de puissance (de <10 mW à >100 MW).
Il en existe différentes technologies (voir Chapitre 3) qui, par leurs caractéristiques de fonctionnement, sont
particulièrement adaptés à certains types d’usages. Ils sont utilisés pour pratiquement tous les mouvements
rotatifs et une très grande partie des mouvements linéaires des machines et installations.
Figure 1-11
Avantages :
Exemples de moteurs électriques
Le très grand nombre de fournisseurs et la grande diversité des technologies offrent
des avantages significatifs en termes de performance et de logistique. Faciles à mettre
en œuvre, les moteurs électriques ne présentent que peu de problèmes d’usure.
L’énergie électrique est très souple d’emploi et se prête facilement aux commandes et
réglages automatiques. Les temps de réponse pouvant être de l’ordre de 0,1 milliseconde, les moteurs électriques sont particulièrement appréciés pour toutes les applications à forte dynamique et grande précision.
Inconvénients :
La plupart des moteurs électriques sont des actionneurs rotatifs, dont la vitesse se situe
entre 500 et 6'000 tr/min. Or, les mouvements dans les machines sont plus souvent linéaires. Même pour des mouvements rotatifs, la vitesse n’est généralement pas adaptée (mouvements lents des articulations de robots, rotation à haute vitesse des outils
d’usinage, etc.). Pour cette raison, les moteurs électriques doivent souvent être complétés par un réducteur (voir section 2.2), ce qui amène d’autres désavantages.
L’alimentation des moteurs électriques peut présenter des difficultés lorsque le réseau
industriel n’est pas utilisable. C’est particulièrement le cas pour les véhicules.
Coûts :
1.3.5
Les moteurs électriques sont généralement très économiques, grâce à leur relative
simplicité de conception et à la concurrence entre les nombreux fournisseurs. Pour des
entraînements simples, ils nécessitent peu d’équipements coûteux. Ce n’est que pour
des entraînements plus sophistiqués (réglés en vitesse ou en position, sécurisé par des
freins, etc.) que des équipements coûteux supplémentaires sont nécessaires. .
Comparaison
Le choix de la technique d’entraînement peu se résumer comme suit :


Pour les mouvements linéaires simples, relativement lents et de faible puissance, les entraînements
pneumatiques sont préférés, surtout à cause de leur faible prix.
Pour les mouvements linéaires nécessitant des forces très élevées, les entraînements hydrauliques
l’emportent, grâce à leur densité d’énergie qui peut atteindre 40 MJ/m3.
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
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Pour tous les autres mouvements, les entraînements électriques sont préférés ; ils n’offrent qu’une densité d’énergie de 0,4 MJ/m3, mais sont capables de réagir 1'000 fois plus rapidement qu’un système hydraulique, ce qui leur donne l’avantage sur le plan de la puissance volumique.
force
hydraulique
électrique
pneumatique
vitesse
BSR20041216_A.des
Figure 1-12
Performances comparées des moteurs et actionneurs électriques, pneumatiques et hydrauliques
(Source : HEIG-VD – Alain Beuret)
1.4
Constitution des entraînements
Le principe d'un entraînement est représenté sur le schéma ci-dessous :




Le moteur convertit l’énergie électrique, pneumatique ou hydraulique en énergie mécanique, et la
transmet à la charge par l'intermédiaire d'une transmission mécanique. Il convient de remarquer que plusieurs entraînements permettent d’inverser le processus, la charge fournissant de l’énergie mécanique au
moteur, et celui-ci la restituant à l’alimentation d’énergie.
Le moteur est alimenté par un dispositif de commande qui assure l’enclenchement et le déclenchement,
éventuellement le réglage de la vitesse, de la position et de l'effort, tout en remplissant encore des fonctions de protection. Le moteur et la commande constituent l'actionneur qui reçoit l'énergie et les consignes de fonctionnement.
La transmission communique à la charge l’énergie mécanique produite par le moteur. Elle adapte les
caractéristiques et performances du moteur aux besoins de la charge, en termes de gamme de vitesse et
de conversion de mouvement rotatif en mouvement linéaire.
La charge est l'unité mécanique de la machine à animer.
Figure 1-13
Schéma de principe d'un entraînement
(Source : HEIG-VD – Alain Beuret)
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Le dimensionnement du moteur, de la transmission, et parfois de la commande s’effectuent simultanément,
de manière itérative.
Les critères de choix sont non seulement techniques mais également économiques, la solution optimale doit
tenir compte du coût de l'ensemble commande, moteur et entraînement. Les moteurs rapides sont en général
moins chers que les moteurs plus lents en raison de leur taille et de leur simplicité de construction. En revanche ils nécessitent des transmissions à rapport plus élevé et plus complexes.
D'un point de vue mécanique, les exigences du cahier des charges imposées par la charge sont :











la vitesse nominale et le domaine de variation de celle-ci,
le couple nominal (ou la force nominale) et sa caractéristique en fonction de la vitesse,
l'évolution du couple (ou de la force) et de la vitesse en fonction du temps,
le couple ou l'effort résistant au démarrage,
l'inertie ou la masse de la charge,
la durée des cycles de fonctionnement et la fréquence des démarrages,
le temps admissible des démarrages et freinages,
la précision de la vitesse et du positionnement,
l'environnement : température, humidité, altitude, vibrations, atmosphère particulière, etc.
l'encombrement et la masse admissibles pour le groupe d'entraînement,
la source d'énergie disponible.
1.5
Modes de fonctionnement des entraînements
1.5.1
Définition
Le mode de fonctionnement de l’entraînement est un élément déterminant pour le choix des technologies. Le
problème n’est en effet pas le même s’il s’agit d’élever une charge lourde de quelques mètres, de faire tourner le foret d’un outil à 10'000 tr/min, ou de disposer une pièce sur une autre avec une précision de un micron.
1.5.2
Mode « tout-ou-rien »
Dans les cas les plus simples, l’actionneur ou le moteur est connecté ou non à une alimentation hydraulique
ou pneumatique de pression constante, ou à une alimentation électrique de tension et fréquence constantes.
L’utilisateur dispose par exemple d’une commande à deux positions, par exemple : OFF (déclenché) ou ON
(enclenché).
Le mouvement produit dépend de son principe de fonctionnement et des caractéristiques de son alimentation,
mais aussi de la charge (frottements, couple d’usinage, etc.). Non alimenté, il ne produit plus aucune force ou
couple et se laisse entraîner par la charge. Généralement, il s’arrête après un temps plus ou moins long sous
l’effet des frottements ou par la présence d’une butée mécanique.
La commande est alors particulièrement simple à réaliser, à l’aide d’un distributeur pour les entraînements
pneumatiques ou hydrauliques, et d’un interrupteur pour les entraînements électriques. Ils peuvent être actionnés mécaniquement par l’opérateur, voire par un système de leviers mécaniques. Dans la plupart des cas
cependant, ils sont actionnés par un électroaimant. On parle alors d’électrovanne, de relais et de contacteur.
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Théorie des circuits linéaires
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Ainsi commandé, l’actionneur ou le moteur est généralement réversible et fonctionne dans 2 quadrants : Il
peut fournir de l’énergie (moteur) ou en absorber (freinage). Par contre, l’inversion du sens de nécessite généralement un deuxième distributeur, ou d’un interrupteur à 3 positions, ou plus simplement un ressort de
rappel.
Figure 1-14
Exemples de commandes tout ou rien :
- interrupteur actionné à la main (source : Kraus et Naimer (D) – www.distrelec.ch)
- ensemble d’électrovannes pneumatiques (source : Kuhnke (D) – www.kuhnke.de)
- contacteur (source : Schneider Automation – www.telemecanique.com)
Avantages :
Ce mode de fonctionnement est utilisé pour la plupart des pompes, ventilateurs et outils d’usinage, voire pour certains mouvements comme celui des ascenseurs et des
convoyeurs.
Inconvénients :
Ce mode de fonctionnement ne permet aucune adaptation à la charge mécanique réellement entraînée. Les déplacements ainsi réalisés ne seront répétitifs que dans la mesure où les conditions d’alimentation et de charge sont rigoureusement constantes.
Comme un tel entraînement doit être dimensionné pour le cas de charge extrême, il est
souvent sous-utilisé à charge réduite, ce qui dégrade le rendement du procédé.
Coûts :
Historiquement plus chers que les variateurs, les servo amplificateurs sont actuellement très compétitifs, et le capteur de position n’est pas forcément plus cher que le
capteur de vitesse. Ce mode reste cependant plus coûteux que les modes contrôle et
régulation de vitesse à cause de la complexité de la commande. Celle-ci doit être capable de faire plus de calculs, plus rapidement. De plus, le programme d’automate doit
être complété par une programmation des mouvements et des trajectoires, ce qui augmente la charge d’ingénierie
1.5.3
Mode contrôlé « en boucle ouverte »
En ajustant la pression hydraulique ou pneumatique, la tension électrique ou la fréquence, il est possible de
modifier la vitesse d’un actionneur ou d’un moteur de manière continue, au moins dans une certaine plage
(par exemple de 20% à 100% de la vitesse nominale). Toutefois, la vitesse reste plus ou moins dépendante de
la charge.
Dans certains cas, c’est l’effort fourni par l’entraînement, et non la vitesse, qui est influencé par l’ajustage.
Dans tous les cas cependant, le mouvement du moteur n’est pas mesuré. Seule l’intervention de l’utilisateur
permet, par modification de l’ajustage, de le corriger. Il le fait généralement sans avoir une idée quantitative
de la vitesse, mais plutôt en évaluant le résultat du processus, à la vue ou à l’oreille. C’est par exemple
l’ajustage manuel en vitesse d’une perceuse électrique, ou l’ajustage manuel de la pression hydraulique pour
contrôler les mouvements d’une pelle mécanique.
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Théorie des circuits linéaires
Les actionneurs et moteurs sont souvent identiques à ceux utilisés en mode tout ou rien. Leur commande
requiert toutefois une servovalve, un variateur de tension ou un variateur de fréquence. Ces appareils existent
pour toutes les puissances, des plus faibles aux plus élevées.
Dans leurs réalisations les plus économiques, ces commandes ne permettent le fonctionnement de
l’actionneur que pour fournir de l’énergie mécanique, dans un seul sens de déplacement. D’autres commandes permettent également le freinage, voire le fonctionnement dans le sens inverse.
Le principe de la commande de vitesse est illustré ci-dessous. L’opérateur choisit une valeur u(t) en fonction
de la vitesse ωc(t) qu’il souhaite obtenir. L’amplificateur de puissance ajuste en conséquence l’alimentation
ua(t) du moteur.
wc(t)
R
u(t)
amplificateur
de puissance
Figure 1-15
paliers
potentiomètre
de consigne
L
ua
Tres(t)
w(t)
M
i
Rf
J
MEE_f_01_03.des
Principe de la commande de vitesse en boucle ouverte
(Source : HEIG-VD – Michel Etique)
Avantages :
Ce mode de fonctionnement est utilisé pour tous les entraînements dont on souhaite
contrôler approximativement la vitesse ou l’effort fourni, comme les broches de machines-outils et l’avance des véhicules et des grues.
Inconvénients :
S’il permet d’ajuster la vitesse, ce mode de fonctionnement ne permet pas de l’ajuster
de façon stable. Le résultat dépend des fluctuation de l’alimentation et des vairations
de charge.
Coûts :
Plus coûteux à réaliser que le mode tout ou rien, ce fonctionnement est plus économique à l’utilisation. Même si les performances ne sont pas un critère de choix décisif,
cette solution est de plus en plus choisie pour économiser l’énergie consommée. En effet, le remplacement d’une commande tout ou rien par un variateur rudimentaire pour
une pompe ou un ventilateur permet souvent d’économiser jusqu’à 70% d’énergie en
ajustant le régime de fonctionnement en fonction du besoin réel.
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Théorie des circuits linéaires
1.5.4
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Mode réglé en vitesse, « en boucle fermée »
En ajoutant un capteur de vitesse sur l’arbre du moteur ou sur l’organe en mouvement, et en insérant un régulateur de vitesse dans le variateur, il est possible d’obtenir exactement la vitesse souhaitée. L’ancêtre de
ces appareils est le régulateur de vitesse équipant les machines à vapeur.
Figure 1-16
Régulateur de vitesse
(source : Musée des Arts et Métiers, Paris – http://visite.artsetmetiers.free.fr)
Le principe de la régulation est illustré dans la figure Figure 1-17 : L’opérateur ou le programme d’automate
choisit une valeur de consigne w(t) en fonction de la vitesse ωc(t) qu’il souhaite obtenir. La valeur réelle ω(t)
est mesurée et fournit le signal de contre-réaction y(t), qui est comparé à la valeur de consigne. La différence
entre ces deux valeurs est appelée écart de réglage e(t). Le régulateur s’efforce de le minimiser en ajustant la
grandeur de réglage u(t) et, par l’intermédiaire de l’amplificateur de puissance, l’alimentation ua(t) du moteur.
régulateur
w(t)
+
e(t)
-
u
u(t)
e
comparateur
R
paliers
amplificateur
de puissance
potentiomètre
de consigne
capteur
wc(t)
L
ua
M
i
y(t)
Figure 1-17
Kmw
Tres(t)
w(t)
T
Rf
J
MEE_f_01_04.des
Principe de la régulation de vitesse en boucle fermée
(Source : HEIG-VD – Michel Etique)
Si par exemple, le moteur tourne trop vite, la valeur y(t) est supérieure à la valeur w(t), donc e(t) est négatif.
Le régulateur diminue alors l’alimentation u(t), ce qui ralentit le moteur. Si le régulateur agit trop faiblement,
la correction n’est pas suffisante et la vitesse obtenue n’est pas assez précise. S’il agit trop fortement, la correction est trop violente et la vitesse diminue trop. Comme cela entraîne alors une inversion de l’écart e(t), le
système devient instable. L’étude des régulateurs fait partie du cours de Régulation automatique.
Le même principe est utilisé pour obtenir un entraînement qui fournisse exactement l’effort souhaité.
Avantages :
La régulation en boucle fermée permet d’obtenir exactement le résultat désiré, pratiquement sans influence de l’alimentation ni de la charge. La différence dépendant essentiellement de la précision du capteur et de la performance du régulateur utilisés.
Inconvénients :
La conception et l’ajustage du régulateur nécessitent un personnel d’autant plus qualifié que les objectifs de précision sont élevés.
18
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Théorie des circuits linéaires
Coûts :
1.5.5
Ce mode d’entraînement est plus coûteux que le contrôle de vitesse en boucle ouverte,
essentiellement à cause du capteur supplémentaire et de son câblage.
Mode servomoteur – réglé en position
En ajoutant un capteur de position sur l’arbre du moteur ou sur la charge en mouvement, il est possible de
réaliser des déplacements point-à-point et d’arrêter le moteur à des positions très précises.
Il est aussi possible de réaliser des mouvements qui suivent une trajectoire précise. De telles trajectoires ne
sont calculées que pour certains points, par lesquels l’organe en mouvement doit passer sans s’arrêter. Ces
trajectoires peuvent être monodimensionnelles, ou multidimensionnelles comme dans les machines-outils.
Elles peuvent dépendre d’un autre mouvement en imitant les cames et autres systèmes d’accouplements.
X(t)
t
BSR20041215_B.des
Figure 1-18
Exemple de trajectoire pour servomoteur – X(t) représente la position à
chaque instant t.
Les moteurs utilisés selon ce mode sont appelés servomoteurs, et leur commande nécessite un servo amplificateur (ou servo variateur). Ceux-ci sont disponibles pour des puissances de ~1 W à ~100 kW.
Avantages :
Ce mode de fonctionnement permet de bien contrôler tous les mouvements d’une machine. Les variations d’alimentation et de charge sont automatiquement compensées.
La grande répétitivité des résultats obtenus est particulièrement adaptée aux exigences
de qualité des utilisateurs. Les machines ainsi équipées présentent une grande flexibilité : Le changement de fabrication, selon programme pièce ou selon recette, peut être
très rapide, voire réalisé au vol (sans arrêt de la machine).
Inconvénients :
La conception et l’ajustage des régulateurs nécessitent un personnel qualifié. Le choix
entre les différentes solutions disponibles sur le marché est complexe, et la dépendance envers le fournisseur choisi est grande.
Coûts :
Historiquement plus chers que les variateurs, les servo amplificateurs sont actuellement très compétitifs, et le capteur de position n’est pas forcément plus cher que le
capteur de vitesse. Ce mode reste cependant plus coûteux que les modes contrôle et
régulation de vitesse à cause de la complexité de la commande. Celle-ci doit être capable de faire plus de calculs, plus rapidement. De plus, le programme d’automate doit
être complété par une programmation des mouvements et des trajectoires, ce qui augmente la charge d’ingénierie.
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19
Théorie des circuits linéaires
1.5.6
HEIG-VD
Mode pas à pas
Le mode pas à pas combine le mode tout ou rien et le mode servomoteur. L’actionneur travaille bien en
mode tout ou rien, mais il est alimenté par une succession d’impulsions électriques. A chaque impulsion, il
avance d’une petite distance appelée pas ou incrément. La distance parcourue dépend directement du
nombre d’impulsions reçues. La vitesse dépend de la fréquence des impulsions. De plus, lorsqu’il ne reçoit
plus d’impulsions, un tel actionneur est tenu en place avec une certaine force de maintien.
Ce mode de fonctionnement est caractéristique des moteurs pas-à-pas. Ceux-ci sont décrits plus complètement à la section 3.6.
Figure 1-19
L’ancêtre – échappement à ancre d’une horloge (source : Horlogis (F) –
www.horlogis.com)
La version électrique – moteur pas à pas (source : SAIA-Burgess (CH) – www.saiaburgess.com)
Ce type d’actionneurs permet sans aucun moyen de mesure supplémentaire de contrôler et de maintenir la
position à chaque instant. Le contrôle est réalisé sans capteur ni régulateur. La commande d’un moteur électrique pas à pas requiert un générateur d’impulsions spécial, mais très courant sur le marché.
Les moteurs électriques pas à pas sont généralement rotatifs, mais des variantes linéaires existent également.
La technologie micro pas permet même de positionner le moteur à des positions intermédiaires. Connaissant
le nombre de pas par tour, la relation entre le nombre d’impulsions fournies et la distance angulaire parcoure
est immédiat.
Avantages :
Les entraînements pas à pas sont particulièrement simples. Leur force de maintien
(même si l’alimentation est coupée) permet de faire l’économie d’un frein.
Inconvénients :
Les moteurs électriques pas à pas sont limités en puissance à ~200 W. Ils sont également limités en vitesse à ~1'000 tr/min. Leur précision est de l’ordre du pas, donc de
~1º angulaire dans le meilleur des cas. A l’arrêt, la position n’est maintenue qu’avec
une certaine élasticité. Si la force perturbatrice est trop élevée, elle ne suffit plus à
maintenir le moteur et celui ci saute au pas suivant. On dit qu’il décroche. Ce phénomène est très gênant dans la mesure où aucun autre capteur de position ne permet de
savoir où ce trouve réellement l’organe en mouvement.
Coûts :
Le mode pas à pas est particulièrement économique pour tous les mouvements nécessitant un positionnement à quelques degrés angulaires près, et nécessitant une puissance ne dépassant pas une centaine de watt.
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Théorie des circuits linéaires
Chapitre 2
Transmissions
2.1
Les charges
2.1.1
Rappel théorique – loi de Newton
Les charges sont constituées de tous systèmes mécaniques qui permettent de mettre en mouvement un mobile
ou un fluide. La mise en mouvement d’une charge requiert de modifier sa vitesse ou sa position ce qui implique de lui fournir un couple (ou une force) afin de vaincre les effets inertiels, les frottements et autres
forces résistantes (par exemple : poids d’un système se déplacement verticalement).
En application des principes de la mécanique classique, et plus particulièrement de la loi de Newton, lorsque
plusieurs forces sont appliquées à un corps libre de se déplacer selon un axe linéaire, la projection de la résultante de ces forces sur l’axe de déplacement provoque une accélération inversement proportionnelle à la
masse de ce corps.
F1 + F2
m
F2
Figure 2-1
F1
ΣF
a
ΣFproj
F3
Accélération d’un corps sous l’effet de plusieurs forces
Loi de Newton :
L’accélération d’un corps libre de se déplacer sur un axe est directement proportionnelle à la projection sur
cet axe de la somme vectorielle des forces appliquées à ce corps, et inversement proportionnelle à sa masse.
Équation 2.1
é
où a est la l’accélération en m/s2 , F chacune des forces en N et m la masse en kg
Pour un corps libre de pivoter autour d’un axe, une loi similaire s’applique, qui fait intervenir les couples
(moments de forces), l’inertie (moment d’inertie) et l’accélération angulaire.
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Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
Loi de Newton pour les corps en rotation :
L’accélération angulaire d’un corps libre de pivoter autour d’un axe est directement proportionnelle à la
somme des couples appliqués à ce corps, et inversement proportionnelle à son inertie.
Équation 2.2
où α est la l’accélération en rad/s2 , T chacun des couples en Nm et J l’inertie en
kgm2
2.1.2
Rappel théorique – Inertie
Le calcul des inerties (appelés également moments d’inertie) est essentiel pour déterminer la cadence de
production d’une machine qui utilise des mouvements rotatifs intermittents (va et vient, profil de came, etc.).
La formule ci-dessous indique comment se calcule l’inertie d’un cylindre plein tournant autour de son axe.
Elle montre surtout que l’inertie augmente avec la puissance 4 du rayon !
m
L
Figure 2-2
Équation 2.3
R
BSR20041215_C.des
Inertie d'un cylindre homogène
∙
∙ ∙ ∙
2
2
où m est la masse du cylindre en kg , R son rayon en m , L sa longueur en m , ρ sa
masse spécifique en kg/m3 , et J l’inertie en kgm2
2.1.3
Remarque :
Quadrants de fonctionnement
Les explications ci-dessous sont relatives aux mouvements rotatifs, dans lesquels interviennent la vitesse angulaire et le couple. Les mêmes principes s’appliquent aux
mouvements linéaires, dans lesquels interviennent la vitesse (linéaire) et la force.
Si l’on représente dans un diagramme la vitesse d’un corps mobile et le couple qui lui est appliqué par le
moteur et la transmission, on détermine quatre zones de travail possibles, appelées quadrants.
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Théorie des circuits linéaires
T
e m
2
T
1
T
e m
e m
M
M
M
0
T
M
M
T
e m
3
Figure 2-3
e m
4
f _ 0 1 _ a _ 0 3 .e p s
Quadrants de fonctionnement d'un entraînement rotatif
Lorsque l’entraînement fonctionne en moteur, il fournit de l’énergie à la charge. C’est le cas des quadrants 1
et 3, dans lesquels le couple et la vitesse ont même signe :


Dans le quadrant Q1, la charge tourne dans le sens horaire.
Dans le quadrant Q3, la charge dans le sens antihoraire.
Lorsque l’entraînement fonctionne en générateur ou en frein, il reçoit de l’énergie fournie par la charge. Ce
mode de fonctionnement est exploité pour le freinage. C’est le cas des quadrants 1 et 3, dans lesquels le
couple et la vitesse ont même signe :


Dans le quadrant Q2, la charge tourne dans le sens horaire.
Dans le quadrant Q4, la charge tourne dans le sens antihoraire.
Il est important de déterminer dans quels quadrants la charge doit opérer, car pour pouvoir opérer dans plusieurs quadrants, il faut généralement choisir des composants (réducteur, commande) plus sophistiqués, et
donc plus coûteux :



Les inversions de couple provoquent des à-coups dans les réducteurs.
Les inversions de puissance nécessitent des commandes équipées de convertisseurs réversibles.
Les inversions de sens de marche nécessitent un moyen pour intervertir 2 fils du moteur électrique, soit
par des contacteurs, soit en utilisant la fonctionnalité correspondante dans le convertisseur.
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23
Théorie des circuits linéaires
2.1.4
HEIG-VD
Charge à couple constant
Une charge fonctionne à couple constant lorsqu’en régime établi (vitesse stable), le couple nécessaire est
pratiquement constant à toutes les vitesses.
Figure 2-4
Caractéristique de charge à couple constant
(Source : HEIG-VD – Alain Beuret)
Ce mode de fonctionnement correspond à des machines dans lesquelles l’effort résistant est prépondérant,
comme dans un treuil. Au démarrage, dans ce type d'application l'entraînement doit non seulement être capable de fournir le couple nominal (100%), mais il doit fournir du couple supplémentaire pour vaincre les
frottements secs éventuels, et surtout pour accélérer la machine.
Exemples :
2.1.5
Convoyeurs, rotatives d'imprimerie, pompes doseuses, compresseurs à vis ou à pistons, fours rotatifs (cimenterie), presses, broyeurs, pulpeurs, engins de levage.
Charge à couple croissant avec la vitesse
Une telle charge, en régime établi (vitesse stable), nécessite un couple croissant avec la vitesse. Cette croissance est généralement non-linéaire, à pente croissante.
Figure 2-5
Caractéristique de charge à couple croissant avec la vitesse
(Source : HEIG-VD – Alain Beuret)
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Ce mode de fonctionnement correspond à des machines dans lesquelles les frottements visqueux et les frottements dynamiques sont prépondérants. Ces frottements croissent proportionnellement à une puissance de la
vitesse, l’exposant étant compris entre 1 et 2. Souvent même, la caractéristique présente des variations difficilement modélisables. Cela se produit en particulier avec les écoulements de fluides, lorsque des turbulences
apparaissent.
Pour entraîner ces charges l'actionneur est moins sollicité au démarrage.
Exemples :
Pour les pompes volumétriques à vis, les mélangeurs, les vis d'Archimède, les broches
de machines-outils, nous pouvons considérer que le couple croît linéairement avec la
vitesse (frottements visqueux).
Pour les pompes centrifuges, les ventilateurs et soufflantes, les centrifugeuses, nous
pouvons considérer que le couple croît linéairement avec le carré de la vitesse.
2.1.6
Charges à puissance constante
Une charge fonctionne à puissance constante lorsqu’en régime établi, le couple nécessaire décroît de manière
inversement proportionnelle à la vitesse.
Figure 2-6
Caractéristique de charge à puissance constante
(Source : HEIG-VD – Alain Beuret)
Ce mode de fonctionnement correspond surtout à des machines rotatives, dans lesquelles l’effort et la vitesse
tangentiels sont constants, mais dont le diamètre varie. Le couple appliqué à la charge correspond au produit
du rayon (variable) et de l’effort tangentiel (constant) ; sa vitesse angulaire correspond au quotient de la vitesse tangentielle (constante) et du rayon (variable). La puissance, égale au produit du couple et de la vitesse
angulaire, est alors constante. En effet :
Équation 2.4
∙
∙
∙
∙
constante
où F et V sont la force et la vitesse tangentielles, constantes, et r t le rayon, variable.
La plage de fonctionnement à puissance constante est par nature limitée :



en basse vitesse par le couple max. que supporte l’axe de l’objet en rotation ;
en haute vitesse par des considérations de forces centrifuges et de dimensionnement des paliers ;
dans tous les cas par la plage de diamètre ou de rayon spécifié par le cahier des charges de la machine.
Exemples :
Broches de machines outils, enrouleuses et dérouleuses, extrudeuses, malaxeurs, calandreuses.
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25
Théorie des circuits linéaires
2.2
Réducteurs
2.2.1
Généralités
HEIG-VD
Les actionneurs conventionnels sont généralement des moteurs électriques rotatifs avec une plage de vitesse
de rotation limitée (env. 500 à 6000 rpm). Or le mouvement des machines demande principalement des vitesses plus lentes ou des mouvements linéaires. La fonction des réducteurs est d'effectuer cette transformation.
Le besoin d'une vitesse d'entraînement rigoureusement précise est rare, habituellement une certaine plage de
tolérance autour de la vitesse théorique est admise. Réaliser un rapport de réduction égale précisément à
n’importe quelle valeur est difficile et coûteux, car, nous le verrons, il fait intervenir le rapport entre des
nombres de dents des pignons, et que ces nombres ne peuvent être qu’entiers. Une vitesse précise ne peut
être obtenue que par une commande contrôlée ou réglée en vitesse (voir sections 1.5.3 et 1.5.4).
Les critères de choix sont non seulement techniques mais également économiques, la solution optimale doit
tenir compte du coût de l'ensemble commande, moteur et réducteur. Les moteurs rapides sont en général
moins chers que les moteurs plus lents en raison de leur taille et de leur simplicité de construction. En revanche ils nécessitent des réducteurs à rapport plus élevé et plus complexes.
Les réducteurs se différencient suivant que leur sortie est rotative ou linéaire, ainsi que selon leurs axes de
rotation ou de glissement. Pour cette raison, nous distinguons :


les réducteurs rotatifs-rotatifs (le moteur et la charge sont rotatifs) ;
les réducteurs rotatifs-linéaire (le moteur et rotatif et la charge est linéaire).
Dans le cadre de ce cours, c’est surtout le choix du rapport de réduction qui sera abordé. Les aspects constructifs, de précision, de maintenance, etc. ne seront qu’évoqués.
2.2.2
Avantages et inconvénients
Les avantages des réducteurs sont les suivants :




Le rapport de réduction peut être choisi avec une très grande liberté, ce qui permet d’utiliser le moteur
très efficacement à son régime nominal.
Le moteur électrique peut être placé à l’endroit où il gène le moins.
Il peut être placé en dehors de zones critiques en vibration, température, humidité et autres facteurs environnementaux (poussière, produits de nettoyage en industrie alimentaire, risques d’explosion, etc.).
Certains types d’accouplements ne sont pas réversibles, ce qui signifie qu’à l’arrêt, la charge est freinée
sans frein supplémentaire ni intervention du moteur.
Les réducteurs présentent également des inconvénients qu’il convient de bien maîtriser :

26
Ils présentent toujours un certain jeu, à l’exception notoire des courroies crantées. Cela signifie que
lorsque le moteur commence à freiner la charge, il tournera d’un petit angle avant que les dents ne se
touchent à nouveau. Ce phénomène peut être assimilé à un choc. S’il se produit trop souvent, les dents
seront vite endommagées. Ce phénomène de jeu n’est pas critique pour des entraînements à 1 quadrant,
ce qui recouvre toutes les applications de transport, convoyage, etc. Par contre, pour des entraînements à
2 quadrants et plus, l’inversion rapide de la force ou du couple peut provoquer une usure en quelques
heures seulement. La courroie crantée est alors une bonne alternative, car sa plasticité amorti le jeu. Si
cette solution ne peut être utilisée, par exemple à cause de problèmes d’encombrement, il faut alors utiliser des engrenages à compensation de jeu ou une vis à billes, solutions beaucoup plus coûteuses.
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HEIG-VD





Théorie des circuits linéaires
La plupart des réducteurs créent des forces radiale et axiale, dont il convient de tenir compte dans le
dimensionnement des paliers et bâtis de machines.
Les réducteurs provoquent des vibrations qui peuvent être gênantes.
Les réducteurs présentent forcément un phénomène d’usure. Celle-ci peut être particulièrement critique
si les alignements ne sont pas assez précis.
Le rendement n’est pas très bon. Il peut n’être que de 60% pour les réducteurs les moins chers. Les réducteurs avec plus de 90% de rendement sont plus coûteux.
Les réducteurs à courroie crantée peuvent poser des difficultés lors du démarrage à froid. En effet, ils
doivent être tendus correctement en marche normale, c’est-à-dire à chaud. A basse température, leur
contraction augment les forces radiales et peut diminuer le rendement à un point tel que le moteur ne
parvient plus à mettre la machine en mouvement.
2.2.3
Réducteurs rotatifs-rotatifs
Pour les accouplements rotatif-rotatif, l’axe de sortie peut être :



en ligne avec l’axe d’entrée ;
décalé mais parallèle avec l’axe d’entrée ;
coudé à 90 degré, ou à un angle quelconque.
Figure 2-7
Exemples de réducteurs rotatifs-rotatifs
(source : Magtorq [India] – www.magtorq.com )
Une grande partie des réducteurs rotatifs-rotatifs sont réversibles, ce qui signifie que la charge peut, elle aussi, entraîner l’ensemble et faire tourner le moteur. Parmi les difficultés d’utilisation des réducteurs à pignons
réside, il faut relever la précision d’alignement de leurs axes, ainsi que l’apparition de forces radiales et
axiales qui provoquent une charge supplémentaire des paliers. Certains réducteurs comme les vis sans fin
(voir la 5ème illustration de la Figure 2-7) présentent des frottements tels qu’ils ne peuvent fonctionner que
dans un sens : La vis tourne et entraîne le pignon (et non l’inverse).
Lorsqu’un rapport de réduction élevé est nécessaire, il est possible d’utiliser un réducteur épicycloïdal fin
(voir la 6ème illustration de la Figure 2-7). Il est aussi possible de disposer plusieurs réducteurs de conception
plus simple à la suite les uns des autres (en série).
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Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
Certains accouplements utilisent un organe de transmission intermédiaire, comme une chaîne ou une courroie crantée. Pour des machines, les accouplements à friction et les courroies lisses, plates ou trapézoïdales
sont plus rarement employées. Les courroies crantées sont constituées d'une âme élastique enrobée dans le
corps en élastomère. Les dents sont moulées ou rapportées et recouvertes d'un tissu qui offre une bonne résistance à l'usure tout en présentant un coefficient de frottement bas. Pour assurer la tension des courroies
celles-ci sont préalablement mise en tension à une valeur voisine de la moitié de la tension maximale qu'elle
subira en cours de fonctionnement.
Figure 2-8
Exemple de réducteurs à courroie crantée
(Source : Angst+Pfister )
Le rapport de réduction d’un réducteur rotatif-rotatif est calculé à partir du nombre de dents des pignons,
comme suit :
Équation 2.5
où
et
et
côté charge.
moteur
TM , wM
sont les vitesses du moteur, respectivement de la charge, et où
les nombres de dents des pignons côté moteur, respectivement
ZM
moteur
TM , wM
ZM
charge
TL , wL
ZL
Figure 2-9
BSR20070314_A.des
charge
TL , wL
ZL
BSR20070314_B.des
Représentation schématique des réducteurs rotatifs-rotatifs
Remarque 1 :
Le rapport i d’un réducteur rotatif-rotatif est adimensionnel. Il est >1 lorsque le moteur
tourne plus vite que la charge (ce qui est souvent le cas, mais pas toujours).
Remarque 2 :
En calculant ce rapport, les vitesses peuvent être exprimées à choix en [rad/s], en
[tr/min], en [tr/s], etc. Il suffit de prendre garde à ce que les deux vitesses soient exprimées avec la même unité.
Remarque 3 :
Le rapport i d’un réducteur détermine également le rapport entre les variations de positions du moteur et de la charge, ainsi qu’entre leurs accélérations.
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Théorie des circuits linéaires
Le rapport de réduction détermine aussi le rapport des couples, côté moteur et côté charge :
Équation 2.6
où
Nm .
2.2.4
et
sont les couples du moteur, respectivement de la charge, en
Réducteurs rotatifs-linéaire
Pour les accouplements rotatif-linéaire, l’axe de glissement de la sortie peut être :


perpendiculaire à l’axe d’entrée (crémaillère)
en ligne avec l’axe d’entrée (vis, vis à billes, vis à rouleaux)
Figure 2-10
Exemples de réducteurs rotatifs-linéaires
Sources : Alpha [D] – www.alphagetriebe.com et Schunk - www.schunk.com)
charge
Les réducteurs rotatifs-linéaires sont généralement réversibles. Même les réducteurs à vis à billes peuvent
être mis en rotation en déplaçant le mobile linéaire. Dans certains cas, un réducteur rotatif-linéaire peut être
combiné à un réducteur rotatif-rotatif.
charge
FL , vL
moteur
TM , wM
FL , vL
moteur
TM , wM
p
ZM
BSR20070313_D.des
p
BSR20070314_C.des
Figure 2-11
Représentation schématique des réducteurs rotatifs-linéaires
Le rapport de réduction d’un réducteur rotatif-linéaire est calculé comme suit :
2∙
m-1
Équation 2.7
∙
où
est la vitesse angulaire du moteur en rad/s , v la vitesse linéaire de la
charge en m/ ,
le nombre de dents du pignon côté moteur, et p le pas de la
crémaillère ou de la vis en m .
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Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
Remarque 1 :
Pour un réducteur rotatif-linéaire, le rapport i n’est pas adimensionnel. Si la vitesse
angulaire est exprimée en [rad/s] et la vitesse linéaire en [m/s], sa dimension est
l’inverse d’un mètre [m-1].
Remarque 2 :
Pour un réducteur rotatif-linéaire à vis, il convient de considérer Zmoteur comme étant le
nombre de filets, généralement égal à 1. Pour mieux comprendre ce fait, il faut considérer que, si le moteur fait 1 tour, la charge se déplace d’une longueur de pas si sa vis
comporte un filet.
Remarque 3 :
Souvent, les vitesses angulaires sont exprimées en [tr/min] et en [tr/s], et les vitesses
linéaires sont exprimées en [m/min]. Dans ce cas il est recommandé de convertir ces
unités avant d’appliquer l’Équation 2.7.
Le rapport de réduction détermine aussi le rapport entre le couple moteur et la force appliquée à la charge :
m-1
Équation 2.8
où
Nm .
2.2.5
est la force appliquée à la charge en N , et
le couple moteur en
Choix du rapport de réduction –régime permanent
Pour un entraînement fonctionnant en régime permanent (couple et vitesse constants), le choix du rapport
de réduction dépend :


des caractéristiques de vitesse et de couple (ou de force) du moteur, telles que spécifiées par son fournisseur ;
des caractéristiques de mouvements de la charge, telles que spécifiées par le cahier des charges de la
machine.
Pour dimensionner un réducteur rotatif-rotatif, exprimons par :




= couple nominal du moteur, qu’il peut délivrer en permanence
= vitesse angulaire la plus élevée à laquelle peut tourner le moteur tout en délivrant son
couple nominal
= couple le plus élevée nécessaire pour entraîner la charge pour respecter le cahier des
charges
= vitesse angulaire la plus élevée que la charge doit pouvoir atteindre pour respecter le
cahier des charges
Dans un tel cas, le rapport de réduction doit respecter deux contraintes, comme exprimé ci-dessous.
Contrainte de vitesse pour un réducteur rotatif-rotatif :
Équation 2.9
⇔
∙
rad/s
où les deux vitesses angulaires doivent être exprimées avec les mêmes unités, par
exemple en rad/s , et i le rapport de réduction adimensionnel
Contrainte de couple pour un réducteur rotatif-rotatif :
Équation 2.10
⇔
Nm
où les deux couples sont en Nm , et i le rapport de réduction est adimensionnel
30
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Généralement, ces contraintes fournissent les valeurs limites entre lesquelles plusieurs choix sont possibles
pour le rapport i. Les facteurs de choix supplémentaires sont généralement les suivants :



Si, dans une autre machine, ou une autre partie de la même machine, le constructeur utilise déjà un réducteur de performances similaires, il sera judicieux de choisir exactement le même réducteur pour la
nouvelle machine, afin de simplifier la logistique (moins d’articles différents à gérer et à stocker).
Si l’objectif est d’utiliser un réducteur complet d’un fournisseur, il sera judicieux de choisir un modèle
et un rapport de réduction parmi leurs choix possibles. Certains proposent même des gammes préférentielles pour lesquels les prix et les délais de livraison sont plus favorables.
Si l’objectif est d’utiliser des pignons avec ou sans courroie crantée, alors il convient de choisir une
valeur de i telle que :




les nombres de dents doivent être des nombres entiers ;
ils doivent de préférence être entiers entre eux, de manière à ce que chaque dent d’un pignon rencontre régulièrement chacune des dents de l’autre pignon, réduisant ainsi les problèmes d’usure ;
les nombres de dents doivent être réalisables (voir catalogue du fournisseur choisi, sinon éviter de
choisir des nombres de dents inférieurs à 11) ;
si le rapport de réduction est très élevé, il peut être judicieux d’utiliser 2, voire 3 réducteurs en cascade.
Pour un réducteur rotatif-linéaire, il convient de remplacer la vitesse angulaire et le couple de la charge par :

= force la plus élevée nécessaire pour entraîner la charge pour respecter le cahier des
charges

= vitesse linéaire la plus élevée que la charge doit pouvoir atteindre pour respecter le cahier des charges
Les contraintes sont très similaires.
Contrainte de vitesse pour un réducteur rotatif-linéaire :
Équation 2.11
m-1
⇔
∙
où
est la vitesse angulaire du moteur en rad/s ,
linéaire du moteur en m/s , et i le rapport de réduction en m-1
rad/s
la vitesse
Contrainte de couple pour un réducteur rotatif-linéaire :
Équation 2.12
⇔
Nm
où
est le couple nominal du moteur en rad/s ,
requise par la charge, et i le rapport de réduction en m-1
la force
Au-delà du rapport de réduction, le choix du type de réducteur dépend de considérations mécaniques, comme
la nature rotative ou linéaire des mouvements, l’encombrement, les jeux admissibles, la raideur (inverse de
l’élasticité), la longévité, etc. Il dépend aussi de critères de coûts et de maintenance.
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Théorie des circuits linéaires
2.2.6
HEIG-VD
Choix du rapport de réduction –régime impulsionnel
Pour un entraînement fonctionnant en régime impulsionnel (accélérations et décélérations répétées), le
choix du rapport de réduction doit, en plus des contraintes définies à la section 2.2.5 précédente, tenir compte
des effets de la loi de Newton. Il s’agit surtout de déterminer les couples nécessaires pour accélérer et décélérer non seulement la charge. Par ailleurs, nous verrons qu’il existe un rapport de réduction optimum, pour
lequel le cahier des charges (mouvements de la charge) peut être respecté avec une sollicitation minimale du
moteur.
A première vue, il semblerait assez facile de déterminer le couple (ou la force) supplémentaire que le moteur
doit fournir pour accélérer la charge, tenant compte de l’inertie (de la masse) de la charge et du rapport de
réduction. Toutefois, cette démarche est insuffisante. En effet, il faut aussi tenir compte du fait que le moteur
doit fournir du couple également pour s’accélérer et se décélérer lui-même.
Pour tenir compte de ces effets, la méthode la plus simple consiste, dans un premier temps, à déterminer
l’inertie équivalente à la charge, vue du moteur. Si cette inertie équivalent est correctement calculée, le
couple d’accélération que doit fournir le moteur est le même pour accélérer cette inertie que pour accélérer la
charge par l’intermédiaire du réducteur. Pour un réducteur rotatif-rotatif, l’inertie équivalente à la charge
peut se calculer par des considérations énergétiques : L’énergie cinétique de la charge et celle de l’inertie
équivalente doivent être identiques, lorsque le rapport de leurs vitesses correspond au rapport de réduction i.
Nous avons ainsi :
1
∙
2
∙
1
1
∙
∙
∙
é
2
2
Ces deux énergies doivent être égales. Il en résulte, successivement :
1
1
∙
∙ ∙
∙
∙
é
2
2
é
∙
é
∙
é
∙
∙
Finalement :
Équation 2.13
1
∙
é
kgm2
∙
Nous pouvons procéder de manière similaire pour un réducteur rotatif-linéaire :
1
∙
∙
2
1
1
∙
∙ ∙
∙
∙
é
2
2
∙
é
Équation 2.14
∙
∙
é
1
∙
∙
kgm2
2∙
Pour tous les réducteurs, nous pouvons maintenant déterminer le couple nécessaire pour accélérer l’ensemble
moteur + charge :
Équation 2.15
32
|
∙
∙
é
Nm
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Attention :
Le couple d’accélération que nous venons de calculer n’est pas mesurable à l’arbre du
moteur. Ce couple doit être généré dans son processus de conversion d’énergie électrique en énergie mécanique. Une partie sert à accélérer son rotor, et seul le solde est
fourni à l’arbre pour accélérer la charge.
Remarque :
En réalité, il faudrait ajouter encore l’inertie du réducteur lui-même. La pratique
montre cependant que celle-ci est généralement beaucoup plus faible que la somme
des inerties du moteur et de la charge (rapportée au moteur). Pour cette raison, il est
généralement acceptable de ne pas en tenir compte.
En faisant quelques considérations énergétiques, nous pouvons nous rendre compte que le choix du rapport
de réduction influence la répartie des énergies cinétiques entre le moteur et la charge. Si le rapport de réduction est trop faible, la vitesse du moteur sera relativement faible, et son énergie cinétique le sera également,
ce qui peut paraître favorable. Par contre, pour accélérer la charge avec la même accélération, il devra fournir
un couple plus élevé au réducteur, ce qui augmente le couple que doit fournir le moteur au réducteur. Inversement, si le rapport de réduction est trop élevé, le couple que doit fournir le moteur au réducteur sera plus
faible, ce qui peut paraître favorable. Par contre, le moteur devra atteindre des vitesses plus élevées, et aura
donc besoin de plus de couple pour s’accélérer lui-même.
Nous allons démontrer qu’il existe une valeur optimale pour le rapport de réduction. Pour simplifier le problème, nous supposons que le mouvement de la charge et du moteur s’exécute sans aucun frottement, et qu’il
n’y a aucun couple résistant. Ainsi, la totalité du couple produit par le moteur sert à accélérer et à freiner
l’entraînement (moteur + charge). En partant de l’Équation 2.15, et si le réducteur est du type rotatif-rotatif,
nous pouvons déterminer le couple d’accélération produit par le moteur comme suit, successivement :
|
∙
|
∙
∙
é
∙
∙
∙
Nous constatons que, pour une accélération donnée de la charge (résultant généralement du cahier des
charges), le couple que le moteur doit produire comporte un terme proportionnel au rapport de réduction i, et
un terme proportionnel à son inverse.
Tacc
Tacc-total
Tacc-moteur
Tacc-chargemoteur
ioptimal
Figure 2-12
i
Allure du couple que doit fournir un moteur pour accélérer une charge, en
fonction du rapport de réduction i.
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Pour calculer la valeur optimale du rapport i, il suffit de dériver le contenu de la parenthèse dans l’équation
précédente, et de déterminer quelle valeur de i l’annule :
∙
0
Nous en déduisons, pour un réducteur rotatif-rotatif :
Équation 2.16
sans dimension
Une démarche similaire est possible pour un réducteur rotatif-linéaire :
|
∙
|
∙
∙
é
∙
∙
∙
∙
0
D’où, pour un réducteur rotatif-linéaire :
Équation 2.17
m-1
ne fournit qu’une indication
Que le réducteur soit rotatif-rotatif ou rotatif-linéaire, le rapport optimal
parmi d’autres en vue du choix du rapport i définitif. A contrario, les contraintes de vitesse et de couple décrites à la section 2.2.5 doivent impérativement être respectées. C’est d’autant plus important d’y faire attention qu’il n’y a aucune certitude que la valeur optimale soit à l’intérieur de la plage définie par ces contraintes.
Comme en régime permanent, le choix du type de réducteur dépend de considérations mécaniques, comme la
nature rotative ou linéaire des mouvements, l’encombrement, les jeux admissibles, la raideur (inverse de
l’élasticité), la longévité, etc. Il dépend aussi de critères de coûts et de maintenance.
Il convient de relever que si l’hypothèse de départ, selon laquelle les frottements et couples résistants sont
négligeables par rapport au couple d’accélération, le rapport de réduction optimal doit se calculer de manière
à en tenir compte, en appliquant la même méthode : exprimer d’abord le couple que doit fournir le moteur en
fonction du rapport de réduction, des inerties et des couples supplémentaires, puis chercher la ou les valeur(s) qui annule(nt) la dérivée de cette relation par rapport à i. Dans le cadre de ce cours cependant, ces
variantes ne seront pas prises en compte. Ce choix est justifié par le fait que, dans la plupart des applications
industrielles où des entraînements à forte dynamique sont nécessaires et doivent être optimisés, les frottements et autres couples résistants dépassent rarement 10% des efforts à fournir. Or, l’allure du couple en
fonction du rapport i (voir Figure 2-12) est très « plate » autour du rapport
. Elle montre qu’un écart
de 10% du rapport de réduction, quelle qu’en soit la cause, et même si c’est dû à une imperfection du modèle « sans frottements », ne provoquera qu’une augmentation de 1% du couple fourni par le moteur.
34
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Chapitre 3
Moteurs électriques
3.1
Rappel théorique – l’électromagnétisme
3.1.1
1er principe – induction magnétique
Les moteurs électriques sont des appareils qui transforment l’énergie électrique en énergie mécanique, ou
vice versa. Leur fonctionnement repose sur trois principes généraux de l’électromagnétisme, dont le premier
est le suivant :
Loi de Biot-Savart :
Un courant électrique crée un champ magnétique, comme un aimant. Ce champ parcourt des lignes de
forces qui entourent le conducteur électrique.
I
B
r
BSR20041231_B.des
Figure 3-1
Champ électromagnétique et règle du tire-bouchon
En 1819 le savant danois Hans Christian Oersted découvrit qu'un conducteur rectiligne parcouru par un courant électrique produisait dans l’air ambiant un champ magnétique capable de faire dévier l'aiguille d'une
boussole. Ce champ magnétique n’est pas matériel ; c’est plutôt une zone d’influence de ce courant sur
d’autres courants et aimants.
Le champ magnétique est d'autant plus fort que l'intensité du courant est importante et que la ligne de force



est proche du conducteur. L'induction magnétique B est liée au courant I et au rayon r . Elle est orientée
selon la règle « du tire-bouchon ». Dans le cas particulier où les 3 vecteurs sont perpendiculaires deux à
deux, l’induction est donnée par :
∙
Équation 3.1
2∙ ∙
où B est l’induction en tesla T , I le courant en A , r le rayon en m , et  la perméabilité magnétique du milieu supposé homogène où circule la ligne de champ
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Dans le vide et dans l’air, la perméabilité est identique à celle du vide :
Équation 3.2
0,4 ∙ ∙ 10
H/A2
0 est une constante universelle appelée constante d’induction.
Dans d’autres milieux, la perméabilité est un multiple de cette constante d’induction :
Équation 3.3
∙
Ce multiple μ est appelé perméabilité relative du matériau considéré. Celle-ci vaut 1 pour le vide, l’air et
la plupart des matériaux. Ce n’est que dans les matériaux ferromagnétiques comme le fer et le nickel
qu’elle prend des valeurs supérieures. Attention cependant : Un matériau magnétique n’a pas une perméabilité relative constante. Même si elle peut atteindre 100'000 et plus pour de faibles courants, elle baisse rapidement lorsque le courant augmente. On dit que « le fer sature », ce qui se produit pour des valeurs d’induction
B comprise entre 0,2 et 1,5 T suivant la composition de l’alliage.
Utilisé sous forme de noyau pour une bobine, le fer augmente fortement l'induction créé par une bobine en
concentrant les lignes de forces, comme le montre la Figure 3-2. Tout se passe comme si l’induction magnétique cherchait les chemins qui présentent la plus forte perméabilité relative. Par exemple, elle se concentre
dans le fer d’un transformateur.
B(t)
B(t)
i(t)
i(t)
L
L
BSR20041231_G.des
Figure 3-2
Induction magnétique dans une bobine contenant du fer
gauche : bobine à air – l’induction est faible (μr = 1) et répartie tout autour
droite : bobine sur fer – l’induction est forte (μr > 1’000) et concentrée
Par ailleurs, l’effet du courant peut être augmenté par la multiplication des spires. Pour une telle bobine,
l’induction vaut :
∙
Équation 3.4
∙ ∙
où N est le nombre de spire, et L la longueur de la bobine, en m
36
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2ème principe – force électromagnétique
3.1.2
Loi de Laplace :
Un conducteur dans lequel circule un courant électrique, placé dans un champ magnétique, est soumis à
une force. Celle-ci est perpendiculaire à la direction du courant et à celle du champ magnétique.
I
S
F
l
N
B
BSR20041231_A.des
Figure 3-3
Force électromagnétique et règle des trois doigts
Lorsqu'un conducteur parcouru par un courant se trouve dans une région de l'espace où règne un champ magnétique, il est soumis à une force électromagnétique, perpendiculaire à la fois au conducteur et au champ.
Cette force est parfois appelée force de Laplace, même si cette interaction de deux courants par l'intermédiaire du champ magnétique a été décrite en premier par le savant français André Marie Ampère, en 1820.
D’une importance capitale, ce phénomène est à la base du fonctionnement des moteurs, des haut-parleurs,
d’un grand nombre d’appareils de mesure, des contacteurs, etc.
Si le conducteur est rectiligne, et si celui-ci est soumis sur une distance l à une induction magnétique uniforme la force de Laplace correspond au produit vectoriel suivant :
Équation 3.5

∙
N
où le vecteur est orienté dans l’axe du conducteur ; son amplitude et son sens correspondent à l’intensité I du courant ;
où le vecteur est orienté dans l’axe du champ magnétique ; son amplitude et son
sens correspondent à l’intensité B de l’induction magnétique ;
où l est la longueur, en m , de la partie du conducteur qui est placée dans le champ
uniforme .
La force est orientée selon la règle des trois doigts. Numériquement, elle se calcule comme suit :
Équation 3.6
∙
∙ ∙sinα
N
où α est l’angle formé par les deux vecteurs et
comme dans la Figure 3-3.
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90º s’ils sont perpendiculaires
37
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3.1.3 Flux magnétique
Le flux magnétique Φ exprime la quantité d’induction magnétique interceptée par un circuit électrique. La
Figure 3-4 représente le cas d’un circuit électrique plan, placé dans un champ magnétique homogène.
a
S
B
Figure 3-4
Définition 3.1
BSR20041231_C.des
Flux magnétique interceptant un circuit électrique,

où S est le vecteur surface, dont l’amplitude est égale à la surface de la
spire, orienté perpendiculairement à la spire ;

où  est l’angle entre ce vecteur et le champ magnétique B .

Le flux magnétique  exprime la quantité d’induction magnétique interceptée par un
circuit électrique fermé.
Ce flux magnétique se mesure en weber [Wb]. Dans le cas d’une géométrie simple comme dans la Figure
3-4, le flux magnétique correspond au produit vectoriel suivant :

Équation 3.7
Wb
Numériquement, elle se calcule comme suit :
Équation 3.8
∙ ∙ sinα
Wb
où α est l’angle entre l’induction magnétique et le plan du circuit
Le flux Φ est proportionnel à l’intensité de l’induction magnétique B et à la surface interceptée S. Il est
maximum quand le champ magnétique est normal (perpendiculaire) au plan du circuit électrique.
3.1.4
3ème principe – tension induite par variation du flux magnétique
Loi de Faraday-Lenz :
Un circuit électrique, soumis à un flux magnétique variable, est le siège d’une tension induite.
Équation 3.9
V
Une tension induite ui(t) peut être modélisée par une source idéale de tension. Si l’on ferme le circuit, par
exemple sur une résistance R, un courant i(t) se met à circuler. En tenant compte de l’Équation 3.9, la tension
induite vaut :
∙
∙ sinα t
Équation 3.10
V
38
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a(t)
S(t)
ui(t)
B(t)
Figure 3-5
R
i(t)
BSR20070814_D.des
Circuit électrique interceptant un flux magnétique
Il en résulte que la tension induite peut être produite en variant l’induction magnétique, la surface du circuit
électrique, l’angle formé entre eux, ou toute combinaison de ces actions.
Plusieurs chercheurs avaient déjà constaté ce phénomène. Le physicien balte Heinrich Lenz fut le premier à
expliquer, en 1833, la manière de déterminer le sens de la tension induite :
Loi de Lenz :
Le sens d’une tension induite est tel que le courant électrique et les forces électromagnétiques qui en résultent tendent, par leurs effets, à s'opposer à la variation de flux.

EXEMPLE 1
Si l’on fait pivoter une spire dans un champ magnétique, une tension induite apparaît à ses bornes. En effet, on
fait ainsi varier l’angle α entre le plan de la spire et l’induction magnétique. Plus la rotation est rapide, moins il
faut de temps pour faire passe cos α de 1 à -1 et réciproquement. L’amplitude de la tension induite ainsi créée est
proportionnelle à l’induction magnétique et à la vitesse de rotation de la spire.
Figure 3-6
Tension induite aux bornes d’une spire tournant dans un champ uniforme
(source : Walter Fendt (D) – www.walter-fendt.de)
En connectant cette spire sur une charge, par exemple une résistance, il s’établit un courant induit dans ce circuit.
Ce courant crée à son tour un couple électromagnétique en vertu du 2ème principe vu au paragraphe 3.1.2. Ce
couple s’oppose à la rotation de la spire en vertu de la loi de Lenz, cherchant ainsi à réduire la vitesse, donc
l’amplitude de la tension induite.
Ce phénomène est à la base du fonctionnement d’un alternateur. Plus on le charge électriquement, plus il faudra
lui fournir du couple pour maintenir sa vitesse.
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39
Théorie des circuits linéaires

HEIG-VD
EXEMPLE 2
Si le champ magnétique est créé par une bobine (électro-aimant) et que l’on fait varier le courant Ie qui y circule,
on obtient une induction magnétique B variable. En particulier, si ce courant Ie est sinusoïdal, l’induction B l’est
aussi. La tension induite ui qui apparaît aux bornes d’une deuxième spire interceptant l’induction magnétique B
est donc également sinusoïdale. Son amplitude est proportionnelle au courant Ie circulant dans la première bobine, et à sa fréquence. En effet, la dérivée d’une fonction sinusoïdale est donnée par :
2 ∙
∙
2 ∙
∙
2 ∙
∙
B(t)
i(t)
ui(t)
BSR20041231_E.des
Figure 3-7
Principe de fonctionnement d’un transformateur
Ce phénomène est à la base du fonctionnement des transformateurs.

EXEMPLE 3
Si 2 fils électriques reliant un capteur de mesure à la commande d’une machine ou d’une installation sont câblés
dans un environnement où d’autres appareils créent des champs magnétiques variables, une tension induite
s’ajoute comme une source de tension, en série dans le circuit de mesure, et peut en perturber le fonctionnement.
Une première manière de diminuer ce phénomène consiste à router ces 2 fils côte à côte plutôt que séparément.
Ainsi, on réduit la surface de ce circuit électrique, donc le flux intercepté.
Si cela ne suffit pas, il est possible de diminuer encore cette perturbation en torsadant les 2 fils. Ainsi, le flux intercepté par une demi-spire avec un angle de 90° est compensé par celui intercepté par la demi-spire suivante,
car celle-ci ayant approximativement la même surface voit l’induction magnétique avec un angle de -90°.
ui+(-ui )=0
ui+(-ui )=0
ui
ui
-ui
B
Figure 3-8
-ui
BSR20041231_F.des
Réduction de la sensibilité aux perturbations obtenue en torsadant 2 fils
Ces phénomènes sont d’autant plus importants que la fréquence et l’intensité des champs perturbateurs sont élevées. Leur bonne compréhension permet d’améliorer la compatibilité électromagnétique (CEM) des appareils
et des machines, et d’assurer ainsi leur bon fonctionnement.
40
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Théorie des circuits linéaires
3.2
Rappel théorique – équation différentiel d’ordre 1
Dans le monde réel, plusieurs régimes transitoires peuvent être décrits par la solution d’une équation différentielle d’ordre 1. Ces systèmes sont relativement simples à résoudre, et la solution est toujours la même.
Elle sera utilisée dans tous les cas de régimes transitoires présentés dans ce cours. Parmi les systèmes plus
complexes, certains peuvent être ramenés à un ordre 1 en acceptant certaines approximations. Pour ceux qui
ne peuvent pas être ainsi simplifiés, d’autres outils mathématiques sont nécessaires, comme la transformée
de Laplace, utilisée entre autres des systèmes réglés. Ils feront l’objet de cours ultérieurs.
Tous les régimes transitoires d’ordre 1 de systèmes linéaires peuvent être ramenés à l’équation différentielle
suivante :
Équation 3.11
∙
0
Les mathématiciens proposent plusieurs méthodes pour résoudre une telle équation. Dans le cadre de ce
cours, nous allons exposer la méthode basée sur la loi suivante :
Loi :
Si une solution proposée satisfait l’équation différentielle et correspond aux conditions initiales
celle-ci est LA solution unique.
0 ,
Appliquons cette loi, et vérifions si la solution proposée ci-dessous (Équation 3.12) satisfait l’équation différentielle. Ce faisant, déterminons la valeur des paramètres , , et .
Équation 3.12
∙
La dérivée de la solution proposée
0
∙
vaut :
∙
En introduisant les expressions de y t et de
∙
∙
∙
∙
∙
∙
1
∙
∙
0
∙
0
∙
∙
dans l’Équation 3.11, nous obtenons successivement :
∙
0
Cette équation doit être vérifiée pour toutes valeurs de t. Elle impose donc :
1
0
∙
et
∙
Supposons, dans un premier temps, que Y
la solution :
1
et
0
0. Dans ce cas, nous pouvons déterminer 2 des 3 paramètres de
Y
La solution proposée (Équation 3.12) devient ainsi :
t
Y ∙e
∙
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Cette solution proposée satisfait l’équation différentielle. Il reste encore un paramètre à déterminer, soit .
C’est encore heureux que nous disposions de ce degré de liberté, car nous devons encore nous assurer que la
solution satisfasse la condition initiale 0
. Nous obtenons ainsi, successivement :
∙
∙
0
La solution de l’équation différentielle devient ainsi :
∙
∙
∙
∙
∙ 1
∙
A ce stade, il convient de remarquer que, lorsque t tends vers l’infini, e ∙ tends vers zéro, et donc t
cette valeur. La solution unique de l’équation différentends vers ⁄ , valeur constante. Désignons par
tielle d’ordre 1 est donc, finalement :
Équation 3.13
∙ 1
état initial
état final
, avec :
0 , toujours connu
→∞
1
Nous pouvons résumer ce résultat comme suit :



0;
la valeur de
part de , état initial, lorsque
elle se stabilise à , état final, lorsque → ∞ ;
pendant la transition, elle varie progressivement de ∆
décroissante caractérisée par la constante de temps .
, en suivant une courbe exponentielle
Les deux figures ci-dessous montrent qu’il y a deux cas possible, suivant que
que .
Figure 3-9
42
Solution de l’équation différentielle
∙
soit plus grand ou plus petit
0, pour
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Figure 3-10
Solution de l’équation différentielle
∙
0, pour
Cas particulier :
Il arrive qu’un régime transitoire aboutisse à une valeur finale
plifie aisément pour devenir :
Équation 3.14
nulle. Dans ce cas, l’Équation 3.13 se sim-
∙
Asymptotes :
Calculons la pente de la tangente à la courbe
dérivée de cette courbe :
∙
Lorsque
1
, à l’instant où
0. Pour ce faire, il suffit de calculer la
1
∙ ∙
∙
0, cette dérivée devient :
1
∙ ∙
0
∆
Ce calcul démontre ce qui est visible dans les deux figures ci-dessus : la tangente à la courbe
lorsque
.
l’horizontale définie par
coupe
Loi :
La courbe qui décrit un régime transitoire d’ordre 1 présente deux asymptotes. L’une est tangente à la
courbe pour
0, l’autre est horizontale et correspond à la valeur finale ( → ∞). Ces deux asymptotes se
coupe lorsque
.
Cas particulier :
0. Que se passe-t-il
En calculant la solution de l’Équation 3.11, nous avons supposé à un moment que
si cette condition n’est pas vérifiée, donc si
0 ? Dans ce cas, nous constatons que la solution proposée
(Équation 3.12) devient tout simplement :
constante
La valeur de cette constante découle immédiatement de ce qui reste de l’Équation 3.12. La solution est alors :
t
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43
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Dans ce cas très particulier, la valeur de t est constante. Elle est égale à sa valeur initiale et à sa valeur
finale. En fait, l’équation de départ n’est plus une équation différentielle. Il n’y a pas de transition, donc pas
de régime transitoire.
3.3
Moteurs à courant continu (DC)
3.3.1 Généralités et définitions
Le premier moteur à courant continu a été réalisé en 1836. Cette technologie a été beaucoup utilisée depuis
pour toutes les applications à vitesse variable, en particulier pour les véhicules électriques comme pour les
machines-outils. Ils sont fabriqués dans une très large plage de puissance, de ~0,1 W à ~4 MW.
Figure 3-11
Moteurs à courant continu de 0,7 W, 25 kW et 1'960 kW
(sources : Portescap (www.portescap.com) et ABB (www.abb.ch)
Définition 3.2
Le stator est la partie fixe du moteur, formant généralement son enveloppe extérieure.
Le stator d’un moteur à courant continu comprend une ou plusieurs sources de champ magnétique continu.
S’il s’agit d’électro-aimants, le courant qui y circule est appelé courant d’excitation du moteur. Sinon, les
champs magnétiques sont produits par des aimants permanents.
Définition 3.3
Le rotor est la partie mobile du moteur, fournissant le couple utile à la charge par
l’intermédiaire de son arbre.
Le rotor d’un moteur à courant continu comprend un ensemble de spires. Le courant qui y circule est appelé
courant d’induit du moteur.
Définition 3.4
Le collecteur est le dispositif qui permet d’une part, de transmettre le courant de
l’extérieur (fixe) aux spires du rotor (mobiles), et d’autre part de commuter le courant de
manière à ce qu’il circule de manière optimale dans les spires du rotor.
Les moteurs DC ont longtemps été les seuls utilisés pour toutes les applications où la vitesse devait pouvoir
être contrôlée, comme dans les chemins de fer et les machines de production. Le collecteur souffre d’un défaut très pénalisant, à savoir son usure relativement rapide (~2'000 heures de fonctionnement). Depuis
l’émergence des convertisseurs électroniques, ils ont été très systématiquement remplacés par des moteurs
triphasés, synchrones et asynchrones, qui ne comportent pas cet élément d’usure. Les servomoteurs dits
« sans balais » (« brushless » en anglais) en sont une variante.
44
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Théorie des circuits linéaires
Ainsi, actuellement, les moteurs DC ne sont plus utilisés que pour des applications à très faibles puissances
(moins de ~20 W), ou à très hautes puissances (plus de ~200 kW), c’est-à-dire dans les puissances où la différence de coût et de complexité entre les convertisseurs triphasés et DC est significative. Cette situation est
appelée à changer, et il est fort possible que les moteurs DC ne soient plus du tout utilisés d’ici peu.
L’étude des moteurs DC reste cependant justifiée, dans la mesure où elle permet une approche par étapes du
fonctionnement et du choix des moteurs. Leur principe de fonctionnement est relativement simple, ce qui
facilite la compréhension des phénomènes électromagnétiques, mécaniques et thermiques dont il faut tenir
compte. La plupart de ces phénomènes sont identiques pour les moteurs triphasés, et seule la complexité de
leur alimentation en complique un peu la compréhension.
3.3.2
Principe de fonctionnement
Figure 3-12
Fonction du collecteur dans un moteur à courant continu
(source : Walter Fendt (D) – www.walter-fendt.de)
Dans le modèle simplifié d’un moteur DC, représenté à la Figure 3-12, le courant circule dans la spire du
rotor. Chaque côté d’une spire qui tourne sur son axe passe devant un pôle nord, puis devant un pôle sud, et
ainsi de suite. L’interaction de ce courant et du champ magnétique produit par le stator fait apparaître des
forces sur les 4 côtés de la spire, mais seules les forces exercées sur les 2 côtés parallèles à l’axe de rotation
sont réellement utiles, parce que perpendiculaires à cet axe. Les forces exercées sur les 2 autres côtés sont
parallèles à l’axe de rotation, et n’ont aucune influence sur la rotation du moteur.
Le flux magnétique Φ interceptée par la spire change de sens régulièrement, en fonction de la position angulaire du rotor. Pour éviter que le couple produit par la force F ne s’inverse au même rythme, il faut régulièrement inverser le courant dans la spire. Dans un moteur DC, cette inversion est réalisée par le collecteur.
Pour assurer le contact électrique et l’inversion régulière de sens du courant dans la spire, le collecteur est
composé de lames de collecteur au rotor, et de balais au stator. Les lames sont en cuivre, alors que les balais
sont généralement en graphite, matériau relativement bon conducteur et suffisamment mou pour ne pas griffer les lames.
Comme le montre la Figure 3-13, le couple produit par le passage d’un courant constant dans une spire serait
approximativement sinusoïdal sans la présence du collecteur. Il prend l’allure d’une sinusoïde redressée
grâce au collecteur.
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0
Figure 3-13
90
180
270
360
Couple produit avec un courant d’induit continu, pour un moteur à 1 spire
(source : HEIG-VD – Christophe Besson)
Ces pulsations sont cependant gênantes. Aussi les moteurs à courant continu sont équipés de plusieurs spires,
chacune reliée à une paire de lames sur le collecteur. La Figure 3-14 montre ce que devient le couple pour un
moteur comportant 2 spires, donc de 4 lames au collecteur.
0
Figure 3-14
90
180
270
360
Moteur DC à 2 spires, et représentation de son couple produit avec un courant d’induit continu
(source : HEIG-VD – Christophe Besson)
Pour mieux lisser le couple électromagnétique, les moteurs à courant continu sont réalisés avec un grand
nombre de spires et de lames.
Figure 3-15
Éléments constitutifs d’un moteur à courant continu et de son collecteur
(source : HEIG-VD – Christophe Besson)
46
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Théorie des circuits linéaires
C’est finalement grâce à cette fonction de commutation assumée par le collecteur que ce type de moteur est
en mesure de délivrer un couple en présence d’un courant continu, d’où son nom. De manière abrégée, on
parle plutôt de moteur DC (« direct current » en anglais).
L’excitation d’un moteur DC, donc la création du champ magnétique nécessaire à son fonctionnement, peut
être réalisée de diverses manières. La plus simple sur le plan du principe de fonctionnement consiste à utiliser des aimants permanents placés dans le stator.
ia(t)
M
ua(t)
BSR20070830_A.des
Figure 3-16
Symbole d’un moteur DC à aimants permanents
Comme l’induction magnétique B produite par les aimants et constante, le couple produit par le moteur est
proportionnel au courant d’induit. En toute rigueur, il faut en déduire les couples internes de frottement pour
obtenir le couple utile à l’arbre. C’est pourquoi on distingue le couple électromagnétique (produit au sein
du moteur) et le couple à l’arbre (couple mécanique utile).
Définition 3.5
Équation 3.15
La constante de couple kT d’un moteur DC à aimant permanent est le facteur de proportionnalité entre le courant d’induit et le couple électromagnétique produit.
∙
Nm
où Tem est le couple électromagnétique en Nm ,
kT la constante de couple en Nm/A , et ia le courant d’induit en A
Remarque :
Dans le cadre de cours, les tension et courant d’induit sont désignés par l’indice « a »,
comme c’est fréquemment le cas dans la littérature technique européenne (« a » pour
« Anker », traduction allemande de « induit »). Cette convention permet de différencier, par exemple, la tension ua(t) mesurée à l’induit d’un moteur DC de la tension induite ui(t) produite dans le moteur pendant sa rotation.
En vertu du 3ème principe de l’électromagnétisme (section 3.1.4), il apparaît dans le circuit d’induit, indépendamment du courant qui y circule, une tension induite ui(t). En effet, bien que l’induction magnétique B et le
courant soit constante, les spires tournent autour de l’axe du moteur. Ainsi, l’angle d’incidence de l’induction
sur le plan de chacune des spires varie au cours du temps. Le flux varie donc proportionnellement à la vitesse
de rotation.
Définition 3.6
On appelle force électromotrice (f.e.m.), exprimée en [V] la tension induite ui(t) créée
dans le circuit d’induit d’un moteur DC à aimant permanent du fait de la rotation de son
rotor.
Malgré son nom, la f.e.m. est bien une tension. Elle est directement proportionnelle à la vitesse de rotation du
rotor. Cette tension induite est donnée par :
Équation 3.16
∙
V
où ui t est la tension induite en V , kE la constante de vitesse en Vs/rad , et ω t la
vitesse de rotation en rad/s
La constante de vitesse kE exprime la tension induite, en [V], lorsque le moteur tourne à la vitesse constante
de 1 [rad/s].
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47
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
En combinant l’Équation 3.15 et l’Équation 3.16, nous obtenons :
∙
∙
∙
∙
∙
Si le moteur fonctionnait à charge et vitesse constante, sans pertes, le couple à l’arbre serait égal au couple
électromagnétique, et la tension aux bornes serait égale à la tension d’induit. La puissance mécanique serait
alors égale à la puissance électrique fournie. Cela montre que, pour un moteur DC, les constantes de couple
et de vitesse sont égales :
Équation 3.17
L’Équation 3.17 exprime que les constantes de vitesse et de couple sont liées aux mêmes caractéristiques du
moteur. Elle n’est valable que si la constante de vitesse est exprimée en [Vs/rad].
Cependant, comme la vitesse de rotation des moteurs est souvent exprimée en tours par minutes [tr/min], les
constructeurs et utilisateurs préfèrent définir la constante de vitesse kE en fonction de cette unité de vitesse.
Pour eux, la constante de vitesse kE exprime la tension induite, en [V], lorsque le moteur tourne à la vitesse
dans ce cours, la notation
constante de 1’000 [tr/min]. Pour la distinguer, nous utilisons la notation
étant réservée à la constante de vitesse exprimée en [rad/s].
Il est possible de passer d’une unité à l’autre comme suit :
1
60 1
Équation 3.18
∙
∙
∙
1 000 1 2
~104,7
où
est la constante de vitesse exprimée en Vs/rad
Ainsi, un moteur pour lequel le fabriquant spécifie une tension induite de 24 V pour une vitesse de
1'000 tr/min, donc un kE-usuel de 24 [volt par 1'000 tr/min], aura une constante de vitesse de 0,229 [Vs/rad].
3.3.3
Équation électrique du moteur DC
ia(t)
Ra
La
ui(t)
ua(t)
BSR20070320_A.des
Figure 3-17
Symbole d’un moteur DC à aimants permanents
La partie électrique d’un moteur DC est généralement modélisée comme l’indique la Figure 3-17 :

La résistance d’induit Ra permet de tenir compte de tous les effets résistifs qui s’opposent à la circulation du courant d’induit. En réalité, il faudrait tenir compte d’une multitude de résistances :




48
la résistance des 2 fils électriques entre les bornes et le collecteur ;
les résistances des lames de cuivre, des balais en graphite, et de l’étincelage dues au collecteur :
les résistances des nombreuses spires, plus ou moins identiques, dans le rotor.
L’inductance d’induit La permet de tenir compte de tous les effets inductifs qui ne sont pas liés aux
mouvements du rotor. En effet, même si le rotor est bloqué et ne génère aucune tension induite, tous les
enroulements se comportent comme des inductances.
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
Théorie des circuits linéaires
La source idéale de tension ui(t) permet de tenir compte de la tension induite. Sa valeur dépend de la
vitesse du moteur et de la constante de vitesse kE.
Il convient de remarquer qu’il n’est pas possible de mesurer directement la tension aux bornes de chacun de
ces composants, même si le moteur était ouvert, car ils n’ont aucune réalité physique. Ce ne sont que des
modèles qui regroupent les propriétés résistives et inductives du moteur. Seuls le courant ia(t) et la tension
ua(t) aux bornes du moteur existent réellement, sont accessibles, et peuvent être mesurées.
Ce modèle n’est correct que dans certaines limites de précision et de linéarité, mais il et amplement suffisant
pour déterminer si un moteur DC convient pour une application donnée. Ses valeurs sont déterminées par le
fabricant. Comme les constantes de couple kT et de vitesse kE, elles peuvent varier :




en fonction de la température – c’est le cas surtout de la résistance Ra, qui augmente de 40% lorsque le
bobinage du moteur s’échauffe de 100ºC, ce qui est parfaitement normal à charge nominale ;
en fonction de l’usure – c’est surtout le cas de la résistance du collecteur Ra., qui peut prendre tout à
coup des valeurs telles qu’un échange du moteur, ou en tout cas une réparation, deviennent indispensables ;
en fonction du vieillissement – c’est le cas par exemple de la résistance du collecteur, qui est incluse
dans la valeur de Ra., et des constantes de couple kT et de vitesse kE, qui peuvent décroitre de 5% à cause
de la démagnétisation progressive des aimants ;
en fonction des variations constructives, d’un moteur à l’autre, même s’ils sont fabriqués en série –
c’est particulièrement le cas des aimants, qui peuvent influencer la valeur des constantes de couple kT et
de vitesse kE dans une plage de 5%.
En application de la loi de Kirchhoff sur les mailles, nous pouvons établir l’équation électrique du moteur
DC :
Équation 3.19
3.3.4
∙
∙
Équation cinématique du moteur DC
La partie mécanique d’un moteur DC, comme de tous les types de moteurs rotatifs d’ailleurs, peut être représentée comme indiqué en Figure 3-18.
ia(t)
w(t)
ua(t)
Charge
Moteur
Tem(t)
Trés(t)
BSR20070902_B.des
Figure 3-18
Attention :
Modélisation cinématique d’un moteur DC
Le bloc « Moteur » de la figure ne représente que la partie « convertisseur d’énergie
électrique en énergie mécanique » du moteur réel. Sa sortie est le couple électromagnétique produit Tem(t). Comme expliqué à la section 3.3.2 et rappelé par l’équation cidessous, ce couple n’est pas le couple à l’arbre transmis par le moteur réel à la charge.
Équation 3.20
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Nm
49
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
Le couple résistant Trés(t) regroupe tous les couples qui s’appliquent au rotor du moteur et à la charge qui lui
est couplée. Nous pouvons distinguer :



le couple de frottement produit à l’intérieur du moteur ;
les couples de frottement produits à l’extérieur du moteur, c'est-à-dire dans la charge, dans la transmission et dans les éventuels réducteurs ;
le couple résistant de la charge, dû par exemple à l’effort d’usinage d’une fraise dans la matière usinée,
ou à l’effet de la gravitation sur une masse en mouvement vertical ;
Lorsque le couple électromagnétique Tem(t) produit par le moteur est égal exactement au couple résistant
Trés(t), ils s’annulent. En fonction de la loi de Newton, la vitesse de rotation reste constante. Ce n’est que
dans ce seul cas, ou la vitesse est constante, et à condition que les frottements à l’intérieur du moteur soient
suffisamment faibles pour pouvoir être négligés, que nous pouvons éventuellement confondre le couple électromagnétique et le couple à l’arbre.
Par contre, lorsque ces deux couples diffèrent, et toujours en fonction de la même loi de Newton, la rotation
du moteur et de sa charge est uniformément accélérée. La valeur de l’accélération angulaire dépend de la
différence entre ces deux couples, et de la somme de toutes les inerties en mouvement.
Nous obtenons ainsi l’équation cinématique du moteur :
Équation 3.21
é
∙
∙
Nm
L’inertie totale Jtotal est la somme des inerties du moteur et de la charge :
Équation 3.22
Le terme Jcharge regroupe l’inertie de toutes les parties mécaniques de la machine qui sont entraînées par le
moteur. S’il y a un réducteur, ce terme doit être remplacé par l’inertie équivalente rapportée au moteur. Voir
Équation 2.15.
Tous les moteurs DC à aimants permanents sont réversibles. Ils peuvent aussi bien freiner (transformer de
l’énergie mécanique en énergie électrique) que l’inverse. Si on inverse l’alimentation (tension U négative), le
moteur tourne dans l’autre sens. Ainsi, le moteur DC à aimants permanents peut fonctionner dans les 4
quadrants.
3.3.5
Rendement d’un moteur DC
Les pertes par frottements et les pertes ohmiques affectent toutes deux le rendement du moteur dans le sens
négatif. En général, le rendement d’un moteur est spécifié à régime constant (vitesse et charge constantes).
Dans ce cas, et tenant compte des équations vues aux paragraphes précédents, les puissances entrant en jeu
dans le fonctionnement d’un moteur sont représentées à la Figure 3-19 et explicitées dans les équations qui
suivent.
Remarque :
50
Lorsque le moteur travaille en régime intermittent, les calculs de pertes se font de la
même manière. Par contre, avant d’obtenir la puissance disponible à l’arbre, il faut encore tenir compte de la puissance nécessaire pour accélérer ou décélérer le moteur.
Cette puissance n’est cependant pas une perte, puisqu’elle est stockée sous forme
d’énergie cinétique dans l’inertie du moteur en rotation. Pour cette raison, nous n’en
tenons pas compte dans les calculs ci-dessous.
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Pp. ohm.
Pélec
Pp. frott.
Pe
Parbre
BSR20060101_A.des
Figure 3-19
Équation 3.23
Puissances entrant en jeu dans le fonctionnement d’un moteur
où
Équation 3.24
est la puissance électrique fournie au moteur
é
.
où
∙
.
.
est la puissance dissipée dans la résistance d’induit
.
∙
Équation 3.25
où
Équation 3.26
W
∙
é
.
.
.
.
∙
.
.
est la puissance dissipée à cause des frottement dans le moteur
∙
Équation 3.27
où
é
est la puissance électromagnétique convertie par le moteur
.
où
∙
.
.
est la puissance mécanique disponible à l’arbre du moteur
Le rendement du moteur s’exprime par la relation suivante :
Équation 3.28
é
Le moteur est réversible. Lorsqu’il travaille en mode générateur (frein), il convertit la puissance mécanique
fournie par la charge en puissance électrique restituées à l’alimentation. Les pertes ohmiques et les pertes par
frottement doivent par contre être déduites de l’énergie mécanique fournie. Il en résulte que l’énergie électrique restituée est moins élevée que l’énergie mécanique fournie. Le rendement du moteur utilisé en générateur s’exprime par la relation suivante :
Équation 3.29
Attention :
é
Ces deux équations semblent à première vue incompatibles entre elles. Si la vitesse et
le couple sont approximativement de mêmes valeurs (au signe près), nous pouvons
considérer que les pertes ohmiques et les pertes par frottement sont approximativement identiques. Ainsi, les valeurs de rendement sont approximativement identiques
en mode moteur et en mode générateur. Elles sont toujours inférieures à 100% !
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51
Théorie des circuits linéaires
3.3.6
HEIG-VD
Variantes d’excitation des moteurs DC
Dans le présent chapitre, nous avons toujours considéré que les moteurs DC étaient équipés d’aimants permanents pour la fourniture du champ magnétique par le stator. Leur mode d’excitation est clairement mis en
évidence par la Figure 3-16.
Ces moteurs à aimants permanents étaient essentiellement utilisés comme servomoteurs dans les machines
industrielles. Ils ont cependant été remplacés par les moteurs triphasés (sans balais) pour les raisons évoquées à la section 3.3.1.
Ils sont toujours utilisés pour les applications de faible puissance (moins de ~20 W), surtout parce que leur
circuit d’alimentation est simple à réaliser.
Dans d’autres domaines par contre, et jusqu’au remplacement des moteurs DC par des moteurs triphasés
rendu possible par l’émergence des convertisseurs électroniques, l’excitation des moteurs DC étaient réalisée
par des électroaimants.
Le moteur DC à excitation séparée comporte 2 circuits électriques. Voir Figure 3-20. En plus du circuit
d’induit, ce moteur est équipé d’un circuit d’excitation. Celui-ci se comporte comme une inductance Le avec
une résistance Re en série. Alimenté par une tension d’excitation ue(t) généralement constante, le courant se
stabilise à une valeur ie(t) qui dépend de Re, et détermine la valeur du champ magnétique d’excitation.
ie(t)
ia(t)
M
ua(t)
ue(t)
BSR20070830_B.des
Figure 3-20
Symbole d’un moteur DC à excitation séparée
Le couple électromagnétique produit par un moteur à excitation séparée est donné par :
Équation 3.30
∙
∙
Nm
où k est une constante caractéristique du moteur.
De même, la tension induite qui apparaît dans un moteur à excitation séparée est donné par :
Équation 3.31
∙
∙
Nm
En changeant la tension d’excitation, il est possible modifier le courant d’excitation, donc le champ magnétique. Ainsi par exemple, si la tension d’excitation est divisée par un facteur 2, alors que le courant d’induit
reste inchangé, le couple électromagnétique est divisé par 2, de même que la tension induite. Cette particularité est très intéressante lorsque l’on veut utiliser le moteur en survitesse. En effet, pour la même tension
appliquée au circuit d’induit, il sera possible d’atteindre une vitesse 2 fois plus élevée. Par contre, pour le
même courant d’induit, nous n’obtenons plus que la moitié du couple électromagnétique.
Ce procédé, appelé affaiblissement de champ ou défluxage, est particulièrement intéressant pour entraîner
des charges dont la caractéristique est à puissance constante (voir Figure 2-6). C’est la raison pour laquelle
ces moteurs étaient souvent utilisés pour l’entraînement des véhicules électriques (trains, tramways, etc.), ou
dans les machines d’imprimerie pour enrouler et dérouler le papier. Depuis plusieurs années, ils ont été remplacés par des moteurs asynchrones. Nous verrons à la section 3.5 que, même si leur alimentation est plus
complexe, il est également possible de les utiliser en survitesse avec une caractéristique à puissance constante.
52
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Ces moteurs présentent cependant un danger important : Si le circuit d’excitation ne devait plus être alimenté
à la suite d’un défaut ou d’une erreur de manipulation, la tension d’induit tend vers zéro. Si l’alimentation du
circuit d’induit est maintenue, le moteur aura tendance à s’emballer, et à provoquer des dégâts importants à
la charge, à la machine, voire à ses utilisateurs.
Le moteur DC à excitation série comporte également 2 circuits électriques, mais ceux-ci sont connectés en
série et alimentés par une seule source de tension. Voir Figure 3-21.
ia(t)
M
ua(t)
BSR20070902_A.des
Figure 3-21
Symbole d’un moteur DC à excitation série
Le couple électromagnétique produit par un moteur à excitation séparée est donné par :
Équation 3.32
∙
Nm
où k est une constante caractéristique du moteur.
Il est intéressant de constater que, pour un tel moteur, le couple électromagnétique est toujours positif, quel
que soit le signe du courant. Le seul moyen d’inverser le couple consiste à inverser le branchement du circuit
d’excitation à l’intérieur du moteur, inversant ainsi le sens du champ magnétique.
Les moteurs DC à excitation série peuvent aussi fonctionner avec une alimentation alternative. Cette manière
de faire pose cependant des problèmes supplémentaires au niveau du collecteur, dans lequel la commutation
du courant entre les différentes lames produit des étincelles. On dit que le moteur « crache ».
Ces moteurs étaient souvent utilisés dans certains véhicules électriques. En particulier, les réseaux ferroviaires de l’Allemagne, de la Suisse, de l’Autriche et de la Suède, qui ont été électrifiés en premier, dès 1915,
sont alimentés en tension alternative à fréquence réduite (16 2/3 Hz). C’était à l’époque le seul moyen
d’utiliser des tensions élevées (15 kV) pour réduire les pertes ohmiques dans les caténaires, tout en gardant la
possibilité d’utiliser des transformateurs pour abaisser la tension à un niveau acceptable pour les moteurs
(~1'500 V). En réduisant la fréquence, la production d’étincelles dans les collecteurs pouvait être réduite à un
niveau acceptable.
Actuellement, ces moteurs DC à excitation série sont toujours utilisés dans des appareils ménagers et des
outils à main, alimentés en 230 V / 50 Hz. Leur puissance est pratiquement limités à 500 W environ.
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53
Théorie des circuits linéaires
3.4
HEIG-VD
Moteurs synchrones
3.4.1 Généralités et utilisations
Vers 1890, aux USA, alors que Thomas Edison faisait une intense promotion des technologies de production
et de motorisation électrique à courant continu, Nikola Tesla et George Westinghouse introduisaient les
technologies à courant alternatif. Ils en avaient compris les avantages, à savoir la facilité de transport
d’énergie à grandes distances grâce aux transformateurs, et la maintenance simplifiée par absence de collecteur. L’histoire de la technique a montré qu’ils eurent raison.
Tous les alternateurs, qui transforment l’énergie mécanique en énergie électrique, sont en fait des moteurs
synchrones, fonctionnant en mode générateur. Les plus gros réalisés à ce jour atteignent 1'600 MW (20% de
la consommation moyenne en Suisse pour fixer un ordre de grandeur). Nous verrons plus loin que la vitesse
de rotation est liée à la fréquence de l’alimentation. Comme celle-ci est constante, les alternateurs sont toujours accélérés progressivement par la turbine (à gaz ou à eau) avant d’être connectés au réseau. Après, leur
vitesse de rotation est fixe (par exemple, 3'000 tr/min, soit 50 tours par seconde, pour un turboalternateur à
vapeur).
Figure 3-22
Alternateur de 1'320 MW de la centrale nucléaire de Leibstadt. Les turbines
à vapeur qui l’entraînent sont en arrière-plan
(source : Kernkraftwerk Leibstadt (CH) – www.kkl.ch)
Les entraînements de forte puissance, dans les cimenteries et laminoirs comme dans les trains et navires,
font également appel aux moteurs synchrones. Avant l’introduction de l’électronique de puissance dès 1970,
leur démarrage n’était possible qu’à l’aide de moteurs auxiliaires, continus ou asynchrones. La vitesse variable était simplement impossible, et restait l’apanage quasi exclusif des moteurs DC, tant dans les chemins
de fer que dans les machines de production et installations.
54
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HEIG-VD
Figure 3-23
Théorie des circuits linéaires
Moteur de 50 MW, utilisé par exemple dans une cimenterie
(source : ABB (CH) – www.bbc.com)
Ce ne fut qu’à partir de 1970 que les progrès en électronique de puissance et en informatique de régulation
permirent enfin de faire profiter toutes les machines de production des avantages technologiques du moteur
synchrone. Les servomoteurs DC sont maintenant remplacés par des servomoteurs « sans balais », qui ne
sont rien d’autre que des moteurs synchrones à aimants permanents, dans une gamme de puissance de ~50 W
à ~10 kW.
Figure 3-24
Servomoteurs « sans balais », donc synchrones à aimants permanents
(source : Pacific Scientific (US) – www.pacsi.com)
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55
Théorie des circuits linéaires
3.4.2
HEIG-VD
Principe de fonctionnement
La grande différence entre le moteur à courant continu et le moteur synchrone réside dans la permutation de l’excitation et de l’induit. Contrairement au moteur à courant continu, le moteur synchrone dispose de son excitation au rotor et de son induit au stator. Ainsi, l’alimentation des bobines de l’induit se fait
directement, sans collecteur. Lorsque l’excitation est réalisée par des aimants permanents, il n’y a aucun
courant électrique qui circule au rotor. Même lorsqu’elle est réalisée par des électro-aimants, le courant continu nécessaire est transmis au rotor à l’aide d’un système de bagues moins sujet à usure qu’un collecteur, ou
d’un système à transformateur tournant sans contact direct.
Figure 3-25
Différence de principe entre le moteur DC (à gauche, avec les aimants au
stator) et le moteur synchrone (à droite, avec les aimants au rotor)
(source : HEIG-VD – C. Besson)
La difficulté résulte cependant dans le fait que, si les bobines du stator sont alimentées en courant continu,
les aimants du rotor vont simplement s’aligner en face de ces bobines, puis rester arrêtée à cet angle. Pour
que le rotor tourne, l’alimentation des bobines du stator doit être variable au cours du temps. L’idée
consiste à les alimenter de manière à créer un champ magnétique tournant.
Comme le montre la Figure 3-26, un aimant permanent en fer à cheval qui pivote autour de son axe de symétrie crée un champ magnétique tournant. Une aiguille de boussole placée entre ses pôles suivrait le mouvement de rotation.
Figure 3-26
Champ magnétique tournant créé à l’aide d’un aimant permanent
(source : HEIG-VD – C. Besson)
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Pour réaliser un champ tournant à l’aide d’électro-aimants, une seule bobine ne suffit pas. En effet, même en
l’alimentant avec un courant variable, le champ magnétique ainsi créé varierait en intensité, mais les lignes
de forces resteraient immobiles. Une aiguille de boussole placée en face vibrerait peut-être, mais ne tournerait pas. Pour réaliser un champ tournant à l’aide d’électro-aimants, il est nécessaire de disposer, par
exemple, de 3 bobines au stator, décalées de 120 degrés, et de les raccorder à une alimentation alternative
triphasée. Le champ magnétique résulte de la somme des 3 champs créés par chaque bobine individuellement. Si la fréquence de l’alimentation est de 50 Hz, le champ magnétique tourne exactement à 50 tours par
seconde, soit 3'000 tr/min, ou ~314 rad/s, et pourrait entraîner à cette vitesse une aiguille aimantée.
Si l’on permute deux des trois courants alimentant ce bobinage triphasé, par exemple i2(t) et i3(t), on provoque l’inversion du sens de rotation du champ tournant.
Figure 3-27
Trois enroulements alimentés en courants triphasés sinusoïdaux produisent
un champ tournant, dans un sens ou dans l’autre
(source : HEIG-VD – C. Besson)
Définition 3.7
L’ensemble des trois enroulements forme une excitation triphasée.
Définition 3.8
Alimentée en triphasé, cette excitation produit un champ tournant.
Définition 3.9
La vitesse de rotation du champ tournant est appelée vitesse synchrone.
Figure 3-28
Exemple de réalisation de l’excitation d’un moteur synchrone
(source : HEIG-VD – C. Besson)
Définition 3.10
Un stator de moteur est réalisé avec des tôles de fer empilées, dans lesquelles sont découpées des encoches. La Figure 3-28 montre comment est réalisé un bobinage triphasé.
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57
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
La Figure 3-29 montre l’allure des lignes de force pendant une demi-période, lorsque ces bobines sont alimentées par un système de courants triphasés sinusoïdaux. On remarque qu’après une demi-période, le
champ magnétique a pivoté d’un demi-tour.
Figure 3-29
Représentation du champ tournant sous l’action d’une alimentation triphasée
(source : HEIG-VD – C. Besson)
Si l’on double le nombre d’encoches, il est possible de créer 6 bobines au lieu de 3, puis de les connecter en
série deux à deux, l’ensemble forme toujours un jeu de bobines triphasé.
Figure 3-30
Exemple de réalisation d’une excitation triphasée avec 6 bobines
(source : HEIG-VD – C. Besson)
La Figure 3-31 montre l’allure des lignes de force lorsque ces 6 bobines, connectées deux par deux en série,
sont alimentées par un système de courants triphasés sinusoïdaux. On remarque que, pendant demi-période,
les lignes de force n’ont pivoté que d’un quart de tour.
58
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Figure 3-31
Représentation du champ tournant sous l’action d’une alimentation en courants triphasée dans un jeu de 6 bobines placées en série deux à deux
(source : HEIG-VD – C. Besson)
Lorsque l’excitation d’un moteur comporte un enroulement par phase comme montré dans la Figure 3-28, on
dit qu’elle a une paire de pôles, ce que l’on note par p  1 . Le champ tourne d’un tour par période de
l’alimentation.
Avec deux enroulements par phase comme montré dans la Figure 3-30, on dit qu’elle a deux paires de
pôles, ce que l’on note par p  2 . La vitesse de rotation du champ tournant est deux fois plus faible.
Si l’on augmente encore le nombre de bobines par phase, la vitesse synchrone diminue encore, comme le
montre l’équation suivante :
60 ∙
2 ∙
tr/min
ou
rad/s
Équation 3.33
où f est la fréquence en Hz et p le nombre de paires de pôles
La table ci-dessous montre la vitesse synchrone en fonction du nombre de paires de pôles, pour des alimentations triphasées européenne (à 50 Hz) et américaine (à 60 Hz).
1 paire
de pôles
2 paires
de pôles
3 paires
de pôles
4 paires
de pôles
etc.
f = 50 Hz
3'000 r/min
1’500 r/min
1’000 r/min
750 r/min
etc.
f = 60 Hz
3'600 r/min
1’800 r/min
1’200 r/min
900 r/min
etc.
Table 3.1
Définition 3.11
Vitesses synchrones en fonction de la fréquence et du nombre de pôles
Toutes les bobines connectées en série dans le stator d’un moteur synchrone constituent
une phase. Ainsi, un moteur triphasé comporte toujours 3 phases, constituées chacune de
1, 2 ou plusieurs bobines.
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Théorie des circuits linéaires
3.4.3
HEIG-VD
Principe de fonctionnement du moteur synchrone à fréquence fixe
Le 2ème principe de l’électromagnétisme exposé au paragraphe 3.1.2 expliquait comment un conducteur, parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique, est soumis à une force susceptible de le mettre en
mouvement. L’inverse est aussi vrai, en vertu du principe de l’action et de la réaction : Si les conducteurs
sont fixes et les aimants produisant le champ sont mobiles, ce sont les aimants qui se mettent en mouvement.
C’est le même principe qui explique le fonctionnement du réacteur d’avion : Si celui-ci éjecte les gaz de
combustion en leur appliquant une certaine force, il est lui-même soumis à une force équivalente de sens
opposé, utilisée pour propulser l’avion.
Ainsi, dans un moteur synchrone, le système triphasé de courants parcourant les bobines du stator crée un
champ tournant, mais les bobines et leurs conducteurs restent immobiles. C’est l’aimant, fixé au rotor, qui
entraîne celui-ci dans son mouvement de rotation à la vitesse synchrone.
Par analogie, si on représente le champ tournant par un disque en rotation et le rotor par un second disque
tournant sur le même axe, la force électromagnétique peut être comparée à l’effet de ressorts reliant ces 2
disques. Si le rotor est freiné par un couple résistant Trés, les ressorts se tendent jusqu’à ce que leur déformation corresponde à une force contrebalançant exactement le couple résistant. Si le couple résistant cesse, les
ressorts se détendent et ne transmettent pratiquement plus qu’une petite force pour compenser les frottements
internes.
De la même manière, pour fournir un couple à l’arbre, le rotor d’un moteur synchrone prend un petit angle de
retard sur le champ tournant, soit un déphasage juste suffisant pour que le couple électromagnétique contrebalance exactement le couple à l’arbre. Ce déphasage est appelé angle de charge . Si le couple à l’arbre est
constant, l’angle de charge est également constant, et la vitesse de rotation du rotor reste identique à la vitesse du champ tournant. Si le couple résistant excède une certaine limite Tk, le couple électromagnétique
fourni par le moteur ne peut plus le contrebalancer. On dit que le moteur décroche, et le rotor finit par
s’arrêter. Tout se passe comme si, dans l’analogie des 2 disques et des ressorts, ceux-ci cassaient après avoir
été trop sollicités.
Figure 3-32
Caractéristique de couple d’un moteur synchrone, où  est l’angle de
charge en [rad] et Tem le couple électromagnétique en [Nm]
La limite de décrochage, soit le couple maximum Tk que peut fournir un moteur synchrone, dépend essentiellement de facteurs constructifs. Dans la pratique, si un moteur synchrone décroche, c’est presque toujours dû
à une augmentation du couple résistant suite à une perturbation au niveau de la charge (surcharge mécanique,
dégradation des paliers ou des alignements, etc.)
60
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Théorie des circuits linéaires
Lorsqu’un moteur synchrone est alimenté par une source triphasée de tension et de fréquence constantes, il
tourne à la vitesse synchrone qui est constante. L’angle de charge  se stabilise à une valeur telle que le
couple électromagnétique Tem contrebalance exactement le couple résistant Trés. La Figure 3-32 montre que le
point de fonctionnement est stable s’il se trouve à une valeur de  comprise entre -/2 et +/2. En dehors de
cette zone, il est instable.
Comme les moteurs triphasés sont conçus pour charger l’alimentation de manière parfaitement équilibrée, les 3 courants efficaces sont identiques. Un tel moteur est caractérisé par les relations de puissances
suivantes :
Équation 3.34
é
√3∙
∙
∙
W
où é
est la puissance électrique active fournie au moteur,
où Uc est la tension efficace composée de l’alimentation triphasée, constante,
où
est le courant efficace, égale pour chacune des 3 phases, variable en fonction
du couple fourni,
où
est le facteur de puissance qui tient compte du déphasage entre courant
et tension, variable en fonction du couple fourni.
Équation 3.35
méc
rés
∙
W
où méc est la puissance mécanique délivrée à l’arbre,
où rés est le couple résistant exercé par la charge, a priori variable,
où
est la vitesse de rotation, égale à la vitesse synchrone selon Équation 3.33,
donc dépendante de la fréquence.
Si la tension et la fréquence sont constantes, la vitesse de rotation est également constante. Par ailleurs, les
pertes internes sont généralement faibles. Si nous les négligeons, nous pouvons déduire de ces équations que
le courant consommé est proportionnel au couple électromagnétique produit, exactement comme pour
les moteurs DC.
Attention :
Avec tous les moteurs triphasés (synchrones ou asynchrone), il faut faire attention à ne
pas confondre les différentes expressions de la vitesse de rotation avec la fréquence et
la pulsation de l’alimentation électrique triphasée. La vitesse de rotation du rotor peut
être exprimée en [tr/min], en [tr/s] ou en [rad/s]. La fréquence f de l’alimentation électrique est toujours exprimée en [Hz]. La pulsation ω de l’alimentation électrique est
toujours exprimée en [rad/s].
La même abréviation ω est utilisée pour la vitesse de rotation du rotor et pour la pulsation de l’alimentation triphasée. S’il y a risque de confusion, il conviendra d’y ajouter
un indice permettant de les différentier, par exemple ω pour la rotation et ωalim pour la
fréquence de l’alimentation.
3.4.4
Démarrage d’un moteur synchrone
Le fait qu’un moteur synchrone ne puisse fournir un couple que si le rotor tourne à la vitesse du champ tournant, comme on l’a vu au paragraphe précédent, pose un problème majeur au démarrage. Alimenté directement par le réseau triphasé à 50 ou à 60 Hz, un moteur synchrone ne peut pas démarrer. C’est dû au
fait qu’à l’arrêt, un couple d’accélération n’est disponible que pendant une demi-période, soit 10 ou 8,3 millisecondes seulement. A la demi-période suivante, le couple électromagnétique s’inverse. Une accélération
de l’arrêt à la vitesse synchrone pendant un laps de temps aussi court n’est théoriquement possible que si
l’inertie du rotor et de sa charge était extrêmement faible, ce qui n’est jamais le cas en réalité.
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Si par contre, on dispose d’un moyen auxiliaire pour lancer le moteur à une vitesse proche de sa vitesse synchrone, le moteur peut alors spontanément se mettre au synchronisme, puis tourner exactement à la vitesse
synchrone. Ce moyen auxiliaire peut être réalisé comme suit :


Ajouter un moteur externe utilisant une autre technologie adaptée à la variation de vitesse. Ainsi, un
alternateur est démarré à l’aide de la turbine à gaz ou à eau, avant d’être connecté au réseau qu’il doit
alimenter.
Modifier le rotor du moteur synchrone pour qu’il se comporte comme un moteur asynchrone au démarrage (même s’il a un mauvais rendement à ce régime). Il suffit d’ajouter quelques spires en court-circuit
au rotor, en cuivre ou en aluminium. Comme nous le verrons au chapitre suivant, un moteur asynchrone
est capable, sous certaines conditions, de démarrer lorsqu’il est connecté directement au réseau. On
parle alors d’un moteur synchrone à démarrage asynchrone.
Le démarrage d’un moteur synchrone est également possible au moyen d’un variateur de fréquence. Celuici l’alimente à une fréquence qui croît progressivement de 0 Hz (arrêt) à 50 Hz (vitesse nominale), voire à
des fréquences supérieures (survitesse).
Avant 1970 et l’apparition des semi-conducteurs de puissance, la réalisation d’un tel variateur n’était possible qu’en accouplant plusieurs moteurs et générateurs électriques de technologies différentes. Ce n’était
économiquement réalisable que pour des entraînements de très fortes puissances comme dans les cimenteries
et les laminoirs.
Depuis, l’évolution de l’électronique de puissance a rendu possible la construction de variateurs de fréquence
jusqu’à des puissances de l’ordre de plusieurs MW dont la performance, la fiabilité et le prix sont devenus
compétitifs. Ils peuvent aussi délivrer des fréquences supérieures et amener le moteur synchrone en régime
de survitesse.
C’est la raison pour laquelle ces moteurs remplacent systématiquement les moteurs à courant continu de tous
types, que ce soit sur des machines de production ou en traction électrique. Même des palettiseurs alimentés
par batterie, donc disposant d’une alimentation en tension continue, sont maintenant équipés de servomoteurs
synchrones à aimants permanents.
1.1.1 Le servomoteur synchrone à aimants permanents
Le moteur synchrone dont le champ rotorique est créé par des aimants permanents est un servomoteur idéal
pour les machines. Alimenté par un servo amplificateur adéquat, il est aussi facile à utiliser qu’un moteur DC
à aimants permanents. Le surcoût de l’électronique est compensé par ses nombreux avantages, qui sont :





62
Absence de collecteurs, donc moins de problèmes d’usure et de maintenance. Seuls les paliers et roulements présentent un phénomène d’usure et limitent le fonctionnement du moteur à ~30'000 heures.
Possibilité de tourner à haute vitesse. Presque tous ces moteurs peuvent atteindre 6'000 tr/min sans problème, alors que beaucoup de moteurs DC sont limités à ~2'000 tr/min. Des vitesses de 50'000 r/min
sont possibles. Même 200'000 r/min peuvent être atteints si l’on utilise des paliers magnétiques.
Les pertes provoquées par la circulation du courant électrique apparaissent au stator et non au rotor.
Elles sont donc plus faciles à évacuer. Le rotor est de ce fait moins chaud, ce qui est important pour certaines machines de précision.
Même à haute vitesse, le servomoteur synchrone peut délivrer un couple impulsionnel important. En
pratique, il peut atteindre 2 à 5 fois le couple nominal, alors que celui des moteurs DC est généralement
limité à 1,5 fois le couple nominal.
Le rotor des servomoteurs synchrones est généralement plus compact que celui des moteurs DC. Ainsi,
le rapport couple / inertie est environ 2 fois plus favorable que pour un servomoteur DC, ce qui permet
d’améliorer la dynamique des machines et leur productivité.
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On appelle souvent ce type de moteur servomoteur sans balais (en anglais : « brushless motor »). En toute
rigueur, c’est un moteur synchrone auto commuté à aimants permanents. Cela exprime le fait qu’un servo amplificateur alimente et commute le courant dans les bobinages du stator, ajustant leurs valeurs instantanées en fonction de la position angulaire du rotor, celle-ci étant mesurée à l’aide d’un capteur angulaire.
L’usage veut que l’on distingue ces moteurs en fonction de la forme de leurs courants d’alimentation :

Le moteur DC sans balais (en anglais : « DC brushless motor ») est alimenté par des courants de forme
rectangulaire. En fait, il n’y a à la base qu’un seul courant qui, à l’aide des transistors de commutation,
circule dans 2 phases en série, alors que la 3ème est inactive. Le choix des phases actives et la commutation de l’une à l’autre dépendent uniquement de la position angulaire.
Figure 3-33
Allure du courant dans les 3 phases d’un moteur DC sans balais – Le même
courant traverse 2 phases en série alors que la 3ème est inactive ; la commutation a lieu à des positions angulaires précises
(source : HES Berne - http://www.hta-be.bfh.ch/~wwwel/studium/Diplomarbeiten/E95Fuhrer.pdf)
Tout se passe comme dans un moteur DC à aimants permanents, sauf que la commutation du courant
entre les phases est réalisée par des transistors au lieu du collecteur. Les équations caractéristiques de ce
moteur sont similaires à celles d’un moteur DC à aimants permanent. Voir sections 3.3.3 et 3.3.4. La
seule différence est la suivante : Le courant qui intervient dans ces équations fournit l’amplitude du courant IA, IB ou IC le plus élevé aux bornes du moteur. Comme l’indique la Figure 3-33, ces courants sautent, par exemple, de +Ii à 0, puis de 0 à -Ii , puis de -Ii à 0, et ainsi de suite.
Lorsque le moteur tourne à une vitesse supérieure à quelques centaines de tours par minute, la commutation du courant ne peut plus se faire aussi rapidement que nécessaire, à cause des petites inductances
des bobinages, qui ne peuvent plus être négligées. Ces sauts incontrôlés provoquent des impulsions perturbatrices de couple (en anglais : « cogging torque »). Ce phénomène peut être très gênant lorsque le
mouvement doit suivre une trajectoire très précise comme dans une machine-outil à rectifier les engrenages. Par contre, cette technique convient parfaitement à l’entraînement de petits ventilateurs ou pour
les mouvements point-à-point de certains robots.

Le moteur AC sans balais (en anglais : « AC brushless motor ») est alimenté par trois courants de
forme sinusoïdale, formant un système triphasé. Ils sont déterminés comme suit :




Ils sont déphasés de 120° l’un par rapport à l’autre (sauf si le moteur fournit du couple à l’arrêt).
Leur somme en valeur instantanée est nulle (charge équilibrée).
L’angle de charge  est ajusté à 90° pour que le couple produit soit aussi grand que possible. Le
moteur est ainsi à la limite du décrochement décrit à la Figure 3-32, mais le servo amplificateur
contrôle l’ensemble pour que le point de fonctionnement reste stable. Revenant à l’analogie des
deux disques liés par des ressorts, c’est comme si on réglait le 1er disque de manière à ce que les
ressorts soient toujours tendus à la limite de rupture.
Le couple produit est très régulier, car il n’est pas nécessaire de commuter rapidement les courants
dans les phases du stator.
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Figure 3-34
HEIG-VD
Allure du courant dans les 3 phases d’un moteur AC sans balais –système de
courants sinusoïdes triphasés
(source : HES Berne - http://www.hta-be.bfh.ch/~wwwel/studium/Diplomarbeiten/E95Fuhrer.pdf)
Tout se passe comme dans un moteur DC à aimants permanents, sauf que la commutation du courant
entre les phases est réalisée par des transistors au lieu du collecteur. Les équations caractéristiques de ce
moteur sont similaires à celles d’un moteur DC à aimants permanent. Voir sections 3.3.3 et 3.3.4. La
seule différence est la suivante : Le courant qui intervient dans ces équations fournit l’amplitude du courant IA, IB ou IC le plus élevé aux bornes du moteur.
L’influence de l’inductance des bobinages a plus d’effet dans un servomoteur synchrone que dans un
servomoteur DC. C’est dû au fait que, même à régime constant (vitesse et couple constants), le courant
dans chacune des phases est d’allure sinusoïdale. La chute de tension provoquée par les variations de
courant dans ces inductances s’ajoute à celle des résistances et à la tension induite. Cela signifie que,
pour une tension d’alimentation d’amplitude constante, la vitesse max. que peut atteindre le moteur décroît plus fortement en fonction du couple que ce n’est le cas pour un moteur DC.
Il convient de relever que, pour un servomoteur synchrone, les valeurs des constantes kT et kE ne sont
pas égales. Le rapport entre elles est cependant constant, et fait intervenir le terme √3 caractéristique
des alimentations triphasées. Chaque fabricant de moteurs ayant ses propres principes de définition des
tensions et courants (valeurs crêtes ou efficaces), il définit lui-même ces constantes, ce qui pourrait être
une source d’erreurs pour l’utilisateur. Fort heureusement, les fabricants de moteurs fournissent des diagrammes qui permettent de déterminer directement le couple permanent et le couple maximum pour
chaque valeur de vitesse, en fonction de la tension nominale d’alimentation du servo amplificateur.
La Figure 3-35 montre un exemple pour un servomoteur d’une dimension mécanique précise, en fonction d’une tension d’alimentation spécifiée à 560 V (tension de l’alimentation continue alimentant le
servo amplificateur). Elle montre :



64
le couple que le moteur peut délivrer en permanence, compris entre 3 et 4 Nm, décroissant légèrement au fur et à mesure que la vitesse d’utilisation augment ;
la vitesse max. que le moteur peut atteindre, avec l’alimentation spécifiée, pour chaque valeur du
couple électromagnétique ; chaque courbe correspond à une variante de bobinage du moteur (avec
beaucoup de spires, il suffit de peu de courant pour obtenir le couple souhaité, ce qui correspond à
une constante kT élevée ; la constante kE étant cependant tout aussi élevée, la vitesse max. est rapidement limitée par la tension disponible ; avec moins de spires, il faudra plus de courant pour atteindre le même couple, mais le moteur pourra tourner plus rapidement) ;
le couple max. que le moteur peut fournir, de 11 Nm environ, variant un tout petit peu en fonction
des variantes de bobinages.
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Figure 3-35
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Exemple de caractéristique couple – vitesse d’un servomoteur AC sans balais, sous 400 V triphasé (~560 V crête)
(source : SEM London – http://www.sem.co.uk/files/curves/HRS115A6.pdf)
L’électronique de régulation pour un tel moteur est plus difficile à réaliser, mais ne pose plus de problème majeur. Même le prix en est acceptable. Le positionnement en phase des 3 courants nécessite une
mesure de position angulaire relativement précise. Cette technologie est la plus utilisée actuellement
dans les machines de production, et peut être considérée comme « l’état de l’art ». Elle cumule en effet
tous les avantages possibles que peut avoir un entraînement dont on veut faire varier la vitesse et contrôler la position.
Le servo amplificateur qui alimente un servomoteur synchrone à aimants permanents fonctionne comme une
source de courant triphasée :


Il mesure la position angulaire du rotor, détermine si le moteur doit être accéléré ou freiné pour suivre la
trajectoire souhaitée, et détermine le couple nécessaire pour effectuer la correction.
Il calcule en permanence le courant nécessaire de chaque phase.


Pour un moteur DC sans balais, il détermine d’abord la valeur du courant Ii en fonction du couple
requis. Ensuite, tenant compte de la position angulaire du rotor, il détermine dans quelles phases il
doit circuler.
Pour un moteur AC sans balais, il détermine d’abord le courant statorique en amplitude, en fonction du couple requis. Ensuite, il tenant compte de la position angulaire du rotor, il détermine la position angulaire du « vecteur tournant » (ou « phaseur »), et en déduit la valeur de chacun des trois
courants de phase.
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65
Théorie des circuits linéaires
HEIG-VD
En général, les servomoteurs sont réglés en position (voir section 1.5.5). Pour ce faire, un capteur de position
est nécessaire. Ce capteur nécessaire pour la régulation de position peut souvent être utilisé en plus pour la
répartition du courant dans les trois phases d’un servomoteur synchrone, sans coûts supplémentaires autre
que la programmation du logiciel du servo amplificateur. Il convient toutefois d’être attentif à quelques contraintes :


La répartition du courant dans les servomoteurs requiert une mesure absolue de la position. Cela signifie qu’à la mise sous tension de l’ensemble, le capteur fournit immédiatement la position angulaire du
moteur. Ce n’est pas le cas de tous les capteurs qui équipent les machines. En effet, pour des raisons de
coûts, celles-ci sont souvent équipées de capteurs incrémentaux. A la mise sous tension, il n’est pas
possible de déterminer la position absolue sans exécuter une procédure d’initialisation généralement appelée prise de zéro, pendant laquelle le moteur bouge à petite vitesse jusqu’à ce qu’un capteur tout-ourien indique que l’élément de machine est à sa position « zéro ».
Dans certaines structures de commandes, la régulation de position et l’alimentation des servomoteurs
sont réalisées dans des appareils distincts. Comme tous deux ont besoin de l’information « position »,
cela requiert un câblage supplémentaire. La Figure 3-36 montre comment ces mesures de positions peuvent être réalisées.
commande
(PC, CNC, SPI)
3
3
M
C
absolu
organe de
machine
BSR20080219_A.des
Figure 3-36
66
commande
(PC, CNC, SPI)
M
C
absolu,
low-cost
organe de
machine
BSR20080219_B.des
C
incrémental,
précis
Deux solutions très courantes pour la mesure de position d’un servomoteur
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3.5
Théorie des circuits linéaires
Moteurs asynchrones
3.5.1 Généralités et utilisations
Le moteur asynchrone, appelé aussi « moteur à induction », a été inventé par Nikola Tesla vers 1890, aux
USA. Sur le plan constructif, il est le plus simple des moteurs électriques, donc le plus économique à l’achat.
C’est le plus répandu du fait de sa robustesse et de sa simplicité d'utilisation. Alimenté directement par le
réseau électrique triphasé, il est utilisé pour des entrainements à vitesse fixe ou, couplé à un convertisseur
électronique, il fonctionne à vitesse variable ou en servomoteur. Les moteurs asynchrones sont disponibles
dans une large gamme de puissances allant de 10 W à 25 MW.
A vitesse fixe, ces moteurs sont employés pour entraîner des pompes, des ventilateurs, des convoyeurs, etc.
Commandés en tout-ou-rien, leurs coûts sont particulièrement avantageux.
Figure 3-37
Convoyeur entraîné par moteurs asynchrones
(source : PLM Location (F) – www.plm-location.com/batiment.htm)
A vitesse variable ils sont utilisés pour des entraînements de machines car ils présentent un très bon rapport
prix/performance. Comme moteurs de broches, ils peuvent même tourner à très grandes vitesses (jusqu’à
150'000 tr/min).
Il existe également une variante monophasée du moteur asynchrone qui est utilisée pour des entraînements
de faible puissance (< 2 kW) dans l'électroménager et les techniques du bâtiment (pompes, ventilateurs).
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67
Théorie des circuits linéaires
Figure 3-38
HEIG-VD
Stockage intermédiaire de journaux et magazines par enroulement, entraînés
par des moteurs asynchrones
(source : Ferag AG (CH) – www.ferag.ch)
Le moteur asynchrone est caractérisé par une construction mécanique simple et robuste :


Le stator, semblable à celui du moteur synchrone, est constitué de tôles magnétiques empilées pour limiter les pertes par courants de Foucault. Alimenté en tension alternative triphasée, il crée un champ tournant dont la vitesse dépend de la fréquence de l’alimentation et du nombre de paires de pôles.
Le rotor des moteurs asynchrones à cage d’écureuil est constitué d’un empilage de tôles magnétiques,
découpées pour créer des encoches. Chaque encoche contient une barre conductrice, généralement en
aluminium. Ces barres sont court-circuitées entre elles à chaque extrémité par un anneau de même matière, formant une sorte de cage. Un tel rotor ne comporte ni aimants permanents, ni collecteur ou
bagues. Les moteurs asynchrones de forte puissance ont un rotor bobiné plutôt qu’une cage. Les spires
sont reliées à 3 bagues, et leur mise en court-circuit est réalisée à l’extérieur du moteur. Ce mode de
faire permet la mise en série de résistances, ce qui permet d’ajuster la vitesse sans faire appel à un convertisseur de fréquence.
Figure 3-39
Moteur asynchrone en vue ouverte
(Source : Astuces-pratiques, France - www.astuces-pratiques.fr)
68
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3.5.2
Théorie des circuits linéaires
Principe de fonctionnement
Les courants qui circulent dans les bobinages du stator d'un moteur asynchrone créent un champ magnétique
tournant. La vitesse de rotation de ce champ est appelée vitesse synchrone ; elle est proportionnelle à la
fréquence de l'alimentation électrique du moteur, comme pour les moteurs synchrones.
Le rotor tourne à une vitesse généralement différente de celle du champ tournant. Du fait de cette différence
de vitesse, le flux magnétique intercepté par le rotor varie, produisant une tension induite dans les conducteurs des circuits rotoriques (cage ou enroulements). Ces circuits étant en court-circuit, il y circule des courants qui tendent à s'opposer à la variation de flux (loi de Lenz), donc à réduire la différence de vitesse.
L'interaction de ces courants et du champ magnétique crée un couple électromécanique Tem entrainant la
rotation du moteur.
Comparé au moteur synchrone, le moteur asynchrone se différencie comme suit :


La différence de vitesse étant particulièrement présente à l'arrêt, le moteur peut démarrer même avec
une alimentation à fréquence constante.
Tant que le moteur fournit (ou absorbe) du couple par son arbre, il doit subsister une différence de vitesse entre le rotor et le champ tournant. En effet si ces deux vitesses étaient identiques, il n'y aurait pas
de variation du flux intercepté par les enroulements du rotor, donc pas de tension induite ni de couple.
C’est pour cette raison qu’il est appelé « asynchrone ».
Figure 3-40
Principe de fonctionnement du moteur asynchrone
(source : HEIG-VD – Ch. Besson)
La Figure 3-41 montre l’allure du couple électromagnétique délivré par un moteur asynchrone alimenté à
fréquence constante. Il est positif lorsque le rotor tourne plus lentement, et négatif lorsqu’il tourne plus vite.
Nous remarquons que le couple est limité, ceci étant dû à la non-linéarité des phénomènes magnétiques qui
apparaissent dans le moteur, et plus particulièrement au phénomène de saturation du fer.
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69
Théorie des circuits linéaires
Figure 3-41
Définition 3.12
HEIG-VD
Caractéristique de couple d’un moteur asynchrone, en fonction de la vitesse
du rotor, où Ns est la vitesse du champ tournant
Le glissement s d’un moteur asynchrone exprime la différence de vitesse entre le champ
tournant et le rotor, lorsqu’il est alimenté à sa tension et à sa fréquence nominale. Le glissement nominal est la valeur du glissement lorsqu’il est chargé à son couple nominal (ou
à sa puissance nominale).
Le glissement est généralement exprimé en pourcents :
Équation 3.36
%
Les vitesses peuvent être exprimées à choix en [tr/min], en [tr/s] ou en [rad/s].
Dans certains cas, le glissement est également exprimé en unités de vitesse. Ainsi, par exemple, un moteur
dont la vitesse synchrone est de 1'500 tr/min et la vitesse du rotor est de 1'455 tr/min aura un glissement de
45 tr/min.
Le glissement nominal d’un moteur asynchrone est toujours faible. Il peut être de 2% pour des très gros moteurs, et de 6,5% pour les plus petits.
Définition 3.13
Le couple de décrochage est le couple maximum que peut délivrer un moteur asynchrone, lorsqu’il est alimenté à sa tension et à sa fréquence nominale.
Le couple de décrochage d’un moteur asynchrone peut être jusqu’à 4 fois supérieur au couple nominal, en
fonction de sa conception.
Définition 3.14
Le couple de démarrage est le couple que délivre un moteur asynchrone, lorsqu’il est
alimenté à sa tension et à sa fréquence nominale.
Le couple de démarrage d’un moteur asynchrone peut être jusqu’à 3 fois supérieur au couple nominal, en
fonction de sa conception, tout en étant inférieur au couple de décrochage.
Alimenté à tension et fréquence constantes, le moteur asynchrone fonctionne dans 3 quadrants :



70
le quadrant no 1 correspond au fonctionnement normal, le moteur transformant l’énergie électrique en
énergie mécanique ; sa vitesse est comprise entre zéro et la vitesse synchrone, le couple étant toujours
positif ;
le quadrant no 4 correspond au fonctionnement en survitesse, le moteur fonctionnant en frein ou générateur, transformant l’énergie électrique en énergie mécanique ; la vitesse est positive, supérieur à la vitesse synchrone, mais le couple est négatif ;
le quadrant no 2 correspond au fonctionnement en vitesse inverse, le moteur fonctionnant également en
frein ou générateur ; la vitesse est négative et le couple est positif.
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HEIG-VD
Théorie des circuits linéaires
Le moteur ne peut fonctionner dans le quadrant no 3 (vitesse et couple négatifs) qu’en intervertissant 2 fils
de son alimentation. Cette démarche correspond à une inversion du sens positif de rotation et de la vitesse
synchrone.
Les moteurs triphasés asynchrones sont conçus pour charger l’alimentation de manière parfaitement équilibrée, les 3 courants efficaces sont identiques. Un tel moteur est caractérisé par les relations de puissances
suivantes, similaires à celles du moteur synchrone :
Équation 3.37
√3∙
é
∙
∙
W
où é
est la puissance électrique active fournie au moteur,
où Uc est la tension efficace composée de l’alimentation triphasée, constante,
où
est le courant efficace, égale pour chacune des 3 phases, variable en fonction
du couple fourni,
où
est le facteur de puissance qui tient compte du déphasage entre courant
et tension, variable en fonction du couple fourni.
Équation 3.38
méc
où
où
où
rés
méc
rés
∙
W
est la puissance mécanique délivrée à l’arbre,
est le couple résistant exercé par la charge, a priori variable,
est la vitesse de rotation.
Il convient de relever que le facteur de puissance d’un moteur asynchrone alimenté à tension et fréquence
constantes dépend beaucoup de la charge mécanique. Un tel moteur se comporte comme une charge inductive, et consomme donc de l’énergie réactive. La quantité d’énergie réactive consommée ne dépend pratiquement pas de la charge mécanique. Il en résulte qu’un moteur asynchrone connecté directement au réseau
industriel et sous-utilisé consommera la même énergie réactive qu’à charge nominale, alors que son énergie
active consommée correspondra à l’énergie mécanique délivrée. A vide, un tel moteur ne consommera même
que de l’énergie réactive, et son facteur de puissance sera donc nul.
Ce comportement est particulièrement défavorable dans la mesure où les pertes générées par ce moteur dans
le réseau d’alimentation sont hors de proportions avec l’énergie mécanique produite. C’est la raison pour
laquelle de plus en plus de moteurs asynchrones utilisés pour des installations de pompage (circulation d’eau
dans les circuits de chauffage par exemple) sont maintenant alimentés par l’intermédiaire de variateurs de
fréquence. Leur vitesse peut alors être ajustée au débit souhaité sans dégradation du facteur de puissance.
3.5.3
Démarrage d’un moteur asynchrone
L’un des avantages du moteur asynchrone est que, contrairement au moteur synchrone, il est en mesure de
démarrer s’il est alimenté directement par une alimentation triphasée, comme la Figure 3-41 le montre. Il y a
cependant une condition à remplir : la caractéristique vitesse-couple du moteur doit en permanence être supérieure à celle de la charge. C’est toujours le cas avec une charge à couple croissant avec la vitesse (Figure
2-5). C’est parfois le cas avec une charge à couple constant (Figure 2-4). C’est plus rarement le cas avec une
charge à puissance constante (Figure 2-6).
Par contre, dans tous les cas, un moteur asynchrone connecté soudainement à une alimentation triphasée
provoquera un « appel de courant » important. Le courant de démarrage atteint 2 à 10 fois le courant nominal. Cet appel est dû essentiellement à l’énergie réactive nécessaire pour activer les circuits magnétiques, et
peut provoquer des perturbations aux autres appareils connectés à la même alimentation.
Pour cette raison, et surtout pour les moteurs asynchrones de plus de ~800 W, il est nécessaire de prendre des
dispositions pour diminuer ces appels de courant. Bien évidemment, si le moteur est alimenté par le biais
d’un convertisseur électronique (démarreur électronique, variateur de fréquence, etc.), la réduction du courant de démarrage est automatique.
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En l’absence de convertisseur, une autre possibilité consiste à enclencher le moteur asynchrone en deux
temps. Cette méthode est appelée démarrage étoile-triangle. Elle consiste à modifier la connexion interne
des 3 phases statoriques du moteur. Au lieu de les laisser connectée en triangle comme c’est toujours le cas,
il s’agit de les connecter en triangle à l’aide de contacteurs externes, comme indiqué à la Figure 3-42. Les
phases du moteurs sont ainsi alimentées non pas à la tension composée (entre paires de phases), mais bien à
la tension simple (entre phases et neutre). La tension appliquée ainsi au moteur pendant sont démarrage est
réduite d’un facteur √3, ce qui réduit la puissance consommée d’un facteur 3. Cela revient à diviser par 3 le
courant de démarrage pendant un 1er temps, jusqu’à ce que la vitesse du moteur atteigne approximativement
sa valeur nominale. A ce moment, le couplage du moteur en triangle est rétabli, ce qui permet de l’utiliser à
son régime nominal.
Pendant la 1ère phase de démarrage, lorsque le moteur est connecté en étoile, le couple
qu’il délivre est également divisé par 3. Cette manière de faire n’est donc utilisable
que si la caractéristique de la charge est à couple croissant avec la vitesse, ou si
d’autres mesures sont prises pour que le moteur puisse démarrer sans devoir fournir
son couple nominal (démarrage d’une pompe avec un bypass, par exemple).
Attention :
BSR20080302_A.des
Figure 3-42
3.5.4
Circuit de démarrage étoile-triangle pour un moteur asynchrone. Le contacteur du bas connecte les phases en étoile ; celui de droite permet de les connecter en triangle ; celui du haut permet d’activer ou désactiver totalement
le moteur. Bien évidement, il faut éviter de fermer tous les contacteurs en
même temps !
Moteur asynchrone en régime de survitesse
Alimenté par un variateur de fréquence ou par d’autres convertisseurs, le moteur asynchrone peut fonctionner à des fréquences supérieures à sa fréquence nominale. Il en résulte que sa vitesse synchrone peut être
augmentée jusqu’à 8 fois sa valeur nominale. Ce faisant, sa vitesse d’utilisation peut être augmentée dans la
même proportion. Ainsi, un moteur asynchrone à 2 paires de pôles, dont la vitesse synchrone nominale est de
1'500 tr/min, pour atteindre jusqu’à 12'000 tr/min.
Toutefois, les bobinages statoriques d’un moteur asynchrone sont dimensionnés pour supporter en permanence son courant nominal, et celui-ci ne peut donc pas être dépassé sans risques de destruction. Par ailleurs,
la tension d’alimentation (par exemple 400 V triphasé) ne peut pas être augmentée. Il en résulte que la puissance électrique fournie ne peut pas dépasser la puissance nominale. De ce fait, si le rotor du moteur tourne
plus vite, le couple fournit ne peut que diminuer dans la même proportion. C’est par définition une caractéristique à puissance constante.
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couple
Tk nom
Tnom
Tsurvitesse
vitesse
nnom
nsurvitesse
BSR20070902_E.des
Figure 3-43
Caractéristique à puissance constante d’un moteur asynchrone alimenté par
un variateur de fréquence.
La limite de fonctionnement à puissance constante est la suivante :
Équation 3.39
∙
∙
Remarques :
A vitesse inférieure à la vitesse nominale, le moteur ne peut en aucun cas délivrer en
permanence un couple supérieur à sa puissance nominale.
La survitesse max. qui peut être atteinte dépend du moteur (en particulier de sa capacité à résister aux grandes forces centrifuges), mais aussi du variateur (sa fréquence
max. de sortie dépend de sa conception et n’est pas illimitée).
Comme nous le verrons à la section 3.8.3, le moteur asynchrone peut délivre brièvement un couple supérieur à son couple nominal, sans dépasser toutefois sa limite de
décrochement.
Le fait d’augmenter la fréquence d’alimentation d’un moteur asynchrone au-delà de sa
fréquence nominale, sans augmenter simultanément la tension d’alimentation, revient
à réduire le courant réactif qu’il consomme. C’est le comportement typique d’une inductance, dont le courant est inversement proportionnel à la fréquence d’alimentation.
De ce fait, utiliser un moteur asynchrone en survitesse revient à réduire son flux magnétique. Nous retrouvons un comportement similaire à celui du moteur DC à excitation séparée utilisé en affaiblissement de champ, vu à la section 3.3.6.
L’utilisation du moteur asynchrone en survitesse est particulièrement attrayant pour les charges dont la caractéristique est à puissance constante, dont les machines à enrouler/dérouler et les broches de machinesoutils en particulier.
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3.6
Moteurs pas à pas
3.6.1
Généralités et utilisations
Le moteur pas à pas est apparu vers les années 1970. Il doit en effet être alimenté par des impulsions électriques qui ne peuvent être réalisées qu’avec des composants électroniques de puissance qui ne sont devenus
disponibles qu’à cette époque.
Figure 4.4.1:
Exemples de moteurs pas-à-pas
(Source : fr.nanotec.com)
Cette technologie est intéressante pour les mouvements dont on souhaite contrôler la position à tout instant,
mais qui ne doivent pas être trop coûteux. Il n’est pas nécessaire d’ajouter de capteur de position, car le moteur lui-même se comporte comme un capteur incrémental. De tels moteurs ne sont cependant disponibles
que pour des puissances inférieures à ~200 W. On les trouve ainsi sur toutes les machines qui requièrent des
mouvements point à point de faible puissance et pour lesquels une précision de ~10 degrés angulaires suffit,
comme dans l’assemblage de petits appareils.
De fabrication relativement simple, ces moteurs peuvent être fabriqués à des prix dérisoires, de l’ordre de
quelques francs. C’est pourquoi on les trouve aussi pour tous les petits systèmes automatiques, par exemple
pour le réglage des rétroviseurs des automobiles. C’est aussi le moteur qui est utilisé dans les montres et
pendules à quartz.
3.6.2
Principe de fonctionnement
Le moteur pas à pas est une variante du moteur synchrone. Au lieu d’être alimenté à tension alternative de
fréquence constante, les enroulements du stator sont connectés à un générateur d’impulsions. Chaque impulsion électrique reçue se traduit par la rotation d’un pas du rotor.
Définition 3.15
Le pas p d’un moteur pas-à-pas est la plus petite distance angulaire qu’il est possible de
faire parcourir au moteur. Il se mesure en degrés.
De tels moteurs présentent jusqu’à 200 pas par tour. En fonctionnement normal, leur vitesse de rotation ne
dépend que de la fréquence des impulsions électriques fpulse, ainsi que du nombre de pas par tour pstep :
2∙ ∙
60 ∙
rad/s
ou
tr/min
Équation 3.40
Dans cette équation, nous avons :
360
Équation 3.41
pas
où p est le pas du moteur, exprimé en degré
74
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Il existe 3 technologies de moteurs pas-à-pas, se différencient par la présence ou non d’aimants au rotor :

Le moteur pas-à-pas à réluctance variable comporte un rotor homogène ferromagnétique (fer doux).
Fonctionnant selon le même principe que les électroaimants (section 3.7.1), il se déplace de manière à
ce que le champ magnétique circule dans l’air sur une distance totalisée aussi courte que possible.
 pm
1
1
2
3
Figure 3-44
1
2
3
2
3
Principe de fonctionnement d’un moteur pas-à-pas à réluctance variable à 6
pas par tours.
Lorsque la phase no 1 est alimentée, le rotor se place comme indiqué à gauche, car c’est ainsi que les
lignes de forces peuvent circuler dans du fer avec un chemin à l’air libre le plus court possible. Lorsque
ce courant est interrompu et celui de la phase 2 est activé (figure du milieu), le rotor pivote de 60º dans
le sens antihoraire. la phase no 2, le rotor pivote afin que les nouvelles lignes de force circulent dans les
mêmes conditions. Et ainsi de suite. Il convient de remarquer qu’un tel moteur n’a pas forcément 3
phases au primaire. La plupart d’ailleurs n’en ont que 2, décalées de 90 degrés.
Tant que le courant est stable, dans une seule phase, il exerce un couple de rappel sur le rotor. En effet,
si celui-ci s’écarte de sa position d’équilibre sous l’action d’un couple extérieur, le chemin à l’air libre
parcouru par le champ magnétique augment, et un couple électromagnétique de rappel apparait. Si le
couple extérieur est trop important cependant, le moteur décroche, et cherche à se stabiliser sur la position d’équilibre suivante (½ tour plus loin dans le cas de la Figure 3-44).
Il est important de remarquer que, pour les moteurs réluctants, le couple de rappel est indépendant du
sens du courant.
Ce moteur compte 6 pas par tour. Son pas est donc de 60°. Il est possible de diminuer le pas en augmentant le nombre de bobines par phase, comme le montre la Figure 3-45, ou en crénelant la surface du rotor, comme le montre la Figure 348.
1
2
3'
3
2'
1'
Alimentation
de la phase 1
Figure 3-45
Alimentation
de la phase 2
Alimentation
de la phase 3
Principe de fonctionnement d’un moteur pas-à-pas à réluctance variable
comportant 2 bobines en série par phase à 12 pas par tours.
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1
2
3'
m
3
2'
1'
Alimentation
de la phase 1
Figure 3-46

Alimentation
de la phase 3
Alimentation
de la phase 2
Principe de fonctionnement d’un moteur pas-à-pas à réluctance variable
comportant 2 bobines en série par phase à 48 pas par tours.
Le moteur pas à pas à aimants permanents comporte un rotor aimanté. Son principe de fonctionnement est proche de celui du moteur réluctant. Toutefois, le sens du courant influence le sens du couple
produit.
 pm
1
1
1
S
N
S
N
N
3
Figure 3-47
S
2
3
2
3
2
Principe de fonctionnement d’un moteur pas-à-pas à réluctance variable
comportant 2 bobines en série par phase à 48 pas par tours.
Le couple de maintient ressemble également à celui du moteur réluctant. Cependant, ce couple subsiste
même si l’alimentation est déconnectée (aucune phase alimentée).
Il existe plusieurs variantes constructives du moteur pas à pas à aimants permanents. Certaines sont particulièrement économiques à produire (moins de 2.00 CHF).
Rotor
Stator 1
Phase 1
Phase 2
Stator 2
Figure 4.83
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Exemples constructifs de moteurs pas à pas à aimants permanents
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
Théorie des circuits linéaires
Le moteur pas à pas hybride combine les deux technologies et en cumule les avantages. C’est actuellement le plus utilisé des moteurs pas à pas.
1
2
2'
S
N
S
N
1'
N
N
S
S
N
S
S
N
N
S
S
S
N
S
N
S
N
N
Figure 3-48
Aimant
Exemple constructif d’un moteur pas à pas hybride
La Table 3.2 permet de comparer ces 3 types de moteurs pas à pas.
réluctance variable
aimants permanents
hybride
Résolution
(nb. de pas par tour)
bonne
moyenne
élevée
Influence sens des courants /
sens de rotation
non
oui
oui
Fréquence des impulsions
grande
faible
grande
Puissance
quelques W
~10 à~50 W
quelques kW
Maintien sans courant
non
oui
oui
Table 3.2 Propriétés des moteurs pas à pas
3.6.3
Alimentation des moteurs pas-à-pas
La performance des moteurs pas à pas dépend en grande partie de leur alimentation. Les modèles les plus
simples sont adaptés pour des moteurs à 2 bobines seulement, dits biphasés, et fonctionnent au pas (« fullstep » en anglais). Ils permettent d’imposer un courant, généralement continu, sur une phase, puis sur la suivante, puis dans la 1ère phase, mais en sens inverse, puis dans la 2ème également en sens inverse.
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u1, i 1
t
u2, i 2
t
Stator
N
S
S
N
N
S
S
N
Figure 4.85
N
S
Rotor
Alimentation par pas « full-step »
Des alimentations à peine plus sophistiquées permettent de commuter le courant de manière à ce qu’il circule
dans 1 ou dans 2 phases alternativement. On parle alors d’un système au demi-pas (« half-step » en anglais).
Fonctionnellement, tout se passe comme si le nombre de pas du moteur était multiplié par deux.
u1, i 1
t
u2, i 2
t
Stator
N
S
S
S
N
N
N
N
S
N
S
N
S
Figure 4.86
N
S
S
Rotor
Alimentation par demi pas « half-step »
Des alimentations plus sophistiqués encore permettent de moduler l’amplitude du courant dans chaque
phase, dans une relation sinus – cosinus. Par combinaison des champs magnétiques produits par ces courants
dans les enroulements", il est ainsi possible d’immobiliser le rotor dans une multitude de pas intermédiaires.
On parle alors d’un système micro pas (« micro-step » en anglais). Tout se passe comme si le moteur avait
encore plus de pas.
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Théorie des circuits linéaires
i1 , i 2
8 9
6
7
5
4
3
2
1
0
Figure 4.87
t
Alimentation par micro pas « micro-step »
Les moteurs pas à pas sont extrêmement intéressants par leur coût et leur facilité de mise en œuvre. Ils permettent de réaliser des systèmes positionnés sans capteur ni régulateur, simplement par comptage des impulsions générées et fournies au moteur. Ils souffrent cependant de deux inconvénients majeurs :


La puissance disponible est faible, généralement pas plus de ~200 W.
Leur couple diminue rapidement avec la vitesse. Il n’est ainsi pas exceptionnel qu’à 125 tours par minute, le moteur ne puisse fournir que la moitié de son couple à l’arrêt.
Ainsi, le moteur pas à pas peu être utilisé pour positionner différents organes de machines, mais il ne peut
pas les déplacer avec la dynamique, c'est-à-dire avec les accélérations et la rapidité d’un servomoteur. Il est
assez fréquent que des constructeurs de machines habitués à utiliser des moteurs pas-à-pas pour des mouvements simples se voient contraints de les remplacer par des servomoteurs DC ou brushless afin d’obtenir des
couples d’accélération et des vitesses plus élevés, et ainsi d’augmenter la cadence de production de leurs
machines.
3.7
Autres types de moteurs électriques
3.7.1
Électroaimants
L’électroaimant est un actionneur électrique particulièrement simple. Il est utilisé systématiquement pour la
commande des relais et contacteurs et pour celle des électrovannes. Il permet également de faire bouger des
volets en tout-ou-rien pour modifier le cheminement de divers matériaux, par exemple pour éjecter des
pièces défectueuses en fin de production. Les électroaimants sont également utilisés en combinaison avec des
grues pour attirer les matériaux ferromagnétiques dans certains ateliers, les déchetteries et autres cimetières
de voitures. Ce principe est également utilisé pour exciter des bols vibreurs et autres systèmes d’alimentation
de petits composants dans certaines machines de production.
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Son principe de fonctionnement est généralement basé sur la propriété des champs magnétiques à rechercher
le cheminement « qui oppose le moins de réluctance », comme évoqué à la section 3.1.1. La force F(t) produite est proportionnelle au carré du courant i(t), et plus ou moins inversement proportionnelle à la distance
d’entrefer.
i(t)
B(t)
F(t)
F(t)
BSR20060206_A.des
Figure 3-49
Principe de fonctionnement d’un électroaimant.
Des variantes existent, dans lesquelles l’élément mobile comporte un aimant permanent. Dans ce cas, la
force produite dépend du sens du courant est peut donc être inversée.
3.7.2
Moteurs à bobine mobile
Le moteur à bobine mobile, aussi appelé moteur « voice-coil », se composent simplement d’une bobine en fil
de cuivre pour entraîner la charge, qui est plongée dans un champ magnétique constant généralement produit
par des aimants permanents.
Figure 3-50
Moteur voice-coil
(Source : HEIG-VD, Prof. M. Correvon)
Ce type d’actionneur est caractérisé par sa légèreté, puisque seul un bobinage en fil de cuivre doit être ajouté
à un élément mobile pour le mettre en mouvement. Il permet d’atteindre des accélérations très élevées,
jusqu’à 500 m/s2. Ses principaux inconvénients sont leur faible course (~5 cm max.) et leur faible force
(~100 N max.).
Son utilisation typique, correspondant à l’origine de sa désignation en anglais est l’entraînement de la membrane des haut-parleurs. Dans l’industrie des machines, ces moteurs conviennent à l’entraînement à très
haute dynamique de pièces légères. Il n’en existe cependant pas qui soient disponibles directement sur catalogue, et doivent donc être conçus et dimensionnés directement par le concepteur de machine.
80
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Théorie des circuits linéaires
L’alimentation de ces moteurs est relativement simple : Il suffit d’une source de courant ou de tension dont
la sortie puisse être contrôlée avec la fréquence en adéquation avec la rapidité des mouvements souhaités.
3.7.3
Moteurs linéaires et moteurs couples
A la base, un moteur linéaire est un moteur triphasé, généralement synchrone à aimants permanents, qui est
« déroulé ». En général, les aimants sont disposés sur la « voie », qui est fixe, et les bobinages sont disposés
sur le mobile. Pour permettre des déplacements sur des longueurs suffisantes, la voie est prolongée en ajoutant des aimants, comme si plusieurs rotors déroulés étaient mis bouts à bouts. Les mobiles sont supportés et
guidés par des coulisses ou autres, l’assemblage devant générer aussi peu d’efforts de frottement que possible, tout en répondant à la précision de positionnement requise (rarement plus de quelques microns). Il est
possible de disposer plusieurs mobiles sur une seule voie si la machine le nécessite.
Figure 3-51
Moteur linéaire – principe et exemples
(Source : divers + ETEL SA, Suisse – www.etel.com)
Le mobile contient généralement du fer. Même sans aucun courant, la force d’attraction exercée sur lui par la
voie est très élevée (plusieurs fois la force nominale). Il est donc indispensable de prendre de grandes précautions lors de l’assemblage de la machine, le mobile devant être amené sur la voie par l’une de ses extrémités.
Pour éviter ce problème, il existe également des moteurs linéaires à mobile sans fer, qui se déplacent à
l’intérieur d’une voie formée en « U », comme le montre la photographie de droite à la Figure 3-51.
Pouvant atteindre des accélérations jusqu’à 200 m/s2, ils sont particulièrement indiqués pour les applications
à haute dynamique. Pour retirer tous les avantages de cette technologie, il est nécessaire d’assembler directement les éléments (voie, mobile) de ces moteurs sur la machine, de la manière la plus rigide possible. En
effet, de telles accélérations ne peuvent être utilisées sur des machines de production que si les fréquences
propres de la machines sont assez élevées. C’est ainsi l’un des points faibles des moteurs rotatifs qui peut
être éliminé, à savoir l’élasticité inévitable de l’accouplement de l’arbre moteur sur la charge. Avec un moteur linéaire, le mobile est directement intégré à la charge et la voie au bâti.
Les moteurs linéaires permettent d’atteindre des forces de 2'500 N, voire plus. Souvent, leur mobile peut être
refroidi à l’eau pour augmenter les courants, et donc la force produite.
Ils sont utilisés sur les machines à très haute cadence de production, comme les machines à percer les circuits
imprimés.
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Théorie des circuits linéaires
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Le moteur dit « moteur couple » est également un moteur synchrone à aimants permanents. Toutefois, plutôt que de le dérouler, son nombre de pôles est fortement augmenté. Comme le moteur linéaire, son rotor est
directement intégré à la charge et son stator au bâti (ou l’inverse, comme dans une roue de voiture), de manière à augmenter autant que possible Figure 3-52, le rotor des moteurs couples est généralement creux, ce
qui est particulièrement utile sur certaines machines pour transmettre diverses alimentations électriques, hydrauliques, et autres câblages de la partie fixe vers la partie mobile.
Figure 3-52
Moteur « couple »
(Source : ETEL SA, Suisse – www.etel.com)
3.7.4
Moteurs linéaires « piston »
Le moteur linéaire « piston » est à la base un moteur linéaire fonctionnant également sur le principe du servomoteur synchrone. La différence réside dans la forme de la voie, constituée d’une tige contenant les aimants permanents, et qui coulisse à l’intérieur d’un tube comprenant les bobinages. Il permet de réaliser des
mouvements linéaires jusqu’à plus d’un mètre d’amplitude. Sa force peut atteindre 1’000 N, permettant également d’atteindre des accélérations de 200 m/s2.
Figure 3-53
Principe d’un moteur linéaire à piston
(source : Linmot – CH)
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Théorie des circuits linéaires
Ce type de moteur est généralement livré complet, capteur linéaire de position inclus. Sa mise en œuvre n’est
pas plus compliquée que celle d’un vérin pneumatique, tout en offrant des temps de réaction plus rapide et la
possibilité de contrôler exactement la vitesse et les accélérations pendant les mouvements.
Son inconvénient majeur réside dans le fait qu’il n’y a actuellement très peu de fournisseurs. Son prix est
attractif par rapport aux autres entraînements électriques, mais nettement plus élevé qu’un vérin pneumatique.
L’utilisation typique est l’orientation hyper rapide du flux des produits manufacturés, comme par exemple le
rejet des pièces défectueuses. On l’utilise également pour le positionnement précis de pièces dans des machines d’assemblage.
3.7.5
Piézo-actionneurs et piézo-moteurs
La piézo-électricité est la capacité de certains matériaux à se polariser lorsqu’ils sont contraints mécaniquement. Une tension apparait alors entre leurs surfaces, qui est proportionnelle à la déformation engendrée.
Comme pour une pile, cette tension piézo-électrique est susceptible de faire circuler un courant électrique
dans un circuit extérieur.
Cet effet est un phénomène propre à certains types de cristaux (ex : le quartz) ou de céramiques anisotropes.
L’effet piézo-électrique est réversible. Dans les actionneurs, une déformation est obtenue par application
d’une tension électrique continue entre 2 surfaces opposées. Si cette tension est alternative, c’est une vibration mécanique qui en résulte.
L’actionneur piézo-électrique exploite les déformations mécaniques générées par effet piézo-électrique inverse pour créer des très petits mouvements linéaires. Le moteur piézo-électrique exploite ces déformations
mécaniques pour l’entraînement par contact de sa partie mobile.
Figure 3-54
Principe de fonctionnement d’un actionneur, respectivement d’un moteur
piézo-électriques
(sources : CEDRAT – FR et EFPL - CH)
L’actionneur et le moteur piézo-électrique se distinguent des autres moteurs par les propriétés suivantes :



la faible ampleur de leurs mouvements (quelques microns pour les actionneurs, jusqu’à ~100 mm pour
les moteurs) ;
leur résolution pratiquement illimitée, d’où leur intérêt pour les nanotechnologies ;
leur grande force de maintien à l’arrêt, hors de toute alimentation ;
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83
Théorie des circuits linéaires



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leur faible force motrice (actuellement limitée à ~50 Nm) ;
leurs très faible masse en mouvement, ce qui explique leurs temps de réponse extrêmement rapides
(~10 µs) ;
leur insensibilité aux champs magnétiques perturbateurs.
L’actionneur et le moteur piézo-électrique sont encore au stade des prototypes. Ils commencent à être utilisés
comme moyen de réglage fin ou dans les cas où l’on désire exercer un grand effort de maintien. Leurs utilisations possibles sont les nano-positionnements en mécanique et en microélectronique, la génération
d’ultrasons, et certaines applications aéronautiques. Ils commencent à être considérés pour des applications
industrielles à faible vitesse et très brefs temps de réaction (~10 µs), où des contraintes sévères de légèreté et
de fiabilité doivent être satisfaites.
La Figure 3-55montre un exemple d’actionneur piézo-électrique conçu pour des applications liées à
l’aérospatiale. Il exerce une force de maintien de 50 N pour une course maximale de 3 mm; sa masse est de
350 g.
Figure 3-55
Prototype d’un moteur piézo-électrique pour l’aérospatiale
(source : SATIE ENS-Cachan et CEDRAT - FR)
3.8
Choix d’un moteur électrique
3.8.1
Fonctionnement en régime continu
Nous avons vu que le rendement des moteurs DC n’est jamais nul (section 3.3.5). Cette constatation est vraie
pour tous les moteurs et actionneurs électriques. De manière générale, les pertes de rendement sont de différentes natures :



Les pertes Joule P .
. t sont dues à la résistance des conducteurs constituant les bobinages du moteur. Elles sont proportionnelles au carré de l'intensité du courant électrique.
Les pertes fer P . t sont dues aux non-linéarités des phénomènes magnétiques dans le fer du circuit
magnétique (hystérèse en particulier), lorsque le moteur est soumis à des champs magnétiques variables.
C’est surtout le cas des moteurs triphasés synchrones et asynchrones.
Les pertes par frottement mécanique P .
. t dans les paliers et dans l’air, à l’intérieur du moteur.
Toutes ces pertes provoquent un échauffement du moteur. Celui-ci doit être tenu dans des limites constructives qui sont prises en compte par le fabricant pour établir la fiche de caractéristiques. Il le fait généralement
en définissant un régime nominal de fonctionnement
84
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Définition 3.16
Théorie des circuits linéaires
Le régime nominal de fonctionnement décrit toutes les conditions de fonctionnement qui
peuvent être maintenue pendant la durée de vie garantie sans dégradation des performances ni défaut. Le régime nominal est généralement déterminé par le fabricant du moteur, tenant compte de normes internationalement reconnues.
La durée de vie d’un moteur électrique est souvent comprise entre 20'000 et 30'000 heures de fonctionnement à régime nominal. Seule exception notoire : Les moteurs DC requièrent une maintenance régulière de
leur collecteur, par exemple le remplacement des balais toutes les 2'000 heures de fonctionnement.


Pour les servomoteurs DC et synchrones, c’est généralement le couple nominal qui est garanti par le
fabricant, dans des conditions bien déterminées (dites « nominales ») d’alimentation électrique, de vitesse à l’arbre, de température ambiante, du mode de refroidissement, et d’altitude (à cause de la baisse
de pression de l’air en montagne). Le mode de refroidissement est généralement à convection naturelle,
et le fabricant spécifie les dimensions d’une plaque sur laquelle la flasque du moteur (côté arbre de sortie) doit être fixée.
Pour les moteurs asynchrones, le fabricant spécifie plutôt la puissance nominale, celle-ci étant toujours
mesurée à l’arbre du moteur, également dans des conditions bien déterminées, et en particulier à la vitesse nominale. Il convient de relever que cette définition de la puissance « à la sortie du moteur » est à
l’avantage de l’utilisateur, ce qui est une exception aux règles commerciales habituelles, due au fait que
la norme sur les moteurs asynchrones est l’une des premières normes techniques qui a été acceptée internationalement, il y a 100 ans environ.
Attention :
Il convient de ne pas confondre le régime de fonctionnement du moteur avec son régime nominal. Un moteur peu très bien être utilisé en permanence dans des conditions
différentes que les conditions nominales, par exemple en fournissant un couple à
l’arbre inférieur au couple nominal.
Le régime nominal de fonctionnement d’un moteur est la plupart du temps défini pour une utilisation à régime constant, et en particulier pour un couple (ou une puissance) à l’arbre constant. Cela suffit pour le choix
des moteurs utilisés dans de telles conditions. Ce régime de fonctionnement du moteur est souvent désigné
par « S1 ». Le choix d’un moteur pour ce type d’utilisation se fait en tenant compte d’un grand nombre de
critères, dont l’importance et la priorisation est très variable d’une entreprise à l’autre :

Aspects technologiques :





Aspects constructifs :





tension et fréquence de l’alimentation électrique ;
dispositifs de protection (court-circuits, surcharges, etc.).
Aspects normatifs :



encombrement acceptable (dimension, forme, poids) ;
présence ou non d’un réducteur ;
mode et efficacité du refroidissement conforme aux spécifications du fournisseur ;
dimensions du bout d’arbre, qui doit être compatible avec la charge.
Aspects électriques :



gamme de puissance ;
plages de vitesse et de couple ;
type d’alimentation (DC ou AC) ;
présence ou non d’un convertisseur électronique.
conformité à certaines normes (CEI, UL, etc.) ;
exigences pour environnements particuliers (industrie alimentaire, risques d’explosion, etc.).
Aspects logistiques et économiques :


prix ;
délais de livraison ;
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85
Théorie des circuits linéaires





HEIG-VD
qualité et/ou réputation du fournisseur retenu ;
exigences éventuelles du client ;
support technique et logistique du fournisseur dans les divers pays où les machines pourront être
utilisées ;
utilisation de moteurs identiques pour d’autres applications et d’autres machines au sein de
l’entreprise.
Adéquation des performances garanties par le fabricant :




utilisation conforme aux conditions nominales spécifiées par le fabricant (tension et fréquence
d’alimentation et conditions environnementales surtout) ;
couple (ou puissance) d’utilisation inférieur ou égal à son couple nominal, respectivement à sa
puissance nominale ;
vitesse de l’arbre inférieure ou égale à la vitesse nominale (pour les moteurs triphasés synchrones
et asynchrones alimentés à fréquence constante, la vitesse nominale doit être égale à la vitesse nominale) ;
forces radiales et axiales exercées par la charge (et en particulier le réducteur) sur l’arbre du moteur
inférieures aux limites spécifiées par le fabricant.
Pour déterminer si un servomoteur synchrone convient à une application, il peut être judicieux de procéder
par voie graphique, en déterminant la « zone de fonctionnement » du moteur, et en la comparant avec le diagramme couple-vitesse caractéristique du moteur choisi.
Ainsi, par exemple, la figure XXX montre, d’une part, les allures de vitesse et de couple d’un moteur utilisé
pour une application cyclique, ainsi que la zone de fonctionnement de ce moteur.
w
wmax
wmax
0
t
w
limite du
moteur
-wmax
T
T
t
P
t
zone de
fonctionnement
BSR20071026_F.des
Figure 3-56
86
Principe d’établissement de la zone de fonctionnement d’un servomoteur
pour une application de déplacements point-à-point.
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Théorie des circuits linéaires
w
wmax
quelques % de wmax
w
t
correction
de phase
(régistre)
T
zone de
fonctionnement
t
Tmin
T
Tmax
passage de
"pavés" colorés
P
t
Figure 3-57
3.8.2
wmax
limite du
moteur
BSR20071026_B.des
Principe d’établissement de la zone de fonctionnement d’un servomoteur
pour une application typique des imprimeries.
Régime transitoire
En respectant certaines conditions, un moteur électrique peut fonctionner temporairement en surcharge sans
subir de dommage. Pour déterminer dans quelle mesure et dans quelles conditions ces surcharges sont admissibles, il convient tout d'abord d’évaluer la température de fonctionnement de ce moteur, en régime permanent.
Désignons par .
. la valeur de l’ensemble des pertes produites à l’intérieur du moteur, et considérons
que celui-ci fonctionne « depuis très longtemps » en régime permanent. Sa température, qui dépend des
pertes produites en son sein, désignées par
. et de ses conditions de refroidissement, se stabilise à une
valeur désignée par .
Le refroidissement se fait par échange thermique, via la surface de l’enveloppe du moteur. Il fait intervenir la
conduction thermique (généralement très linéaire), mais aussi la convection et le rayonnement (fortement
non-linéaires. Il se trouve que la plus forte partie de l’échange thermique se fait entre la flasque du moteur
(sa face côté « bout d’arbre ») et le bâti de la machine, donc par conduction. Nous pouvons donc faire une
1ère hypothèse simplificatrice, à savoir considérer que l’échange thermique entre le moteur et son environnement est linéaire. Cela se traduit par :
Équation 3.42
.
W
où
. est la puissance thermique dissipée en W ,
où est la température stabilisée du moteur, supposée uniforme, en ºK ou ºC ,
où
est la température ambiante, supposée constante, en ºK ou ºC ,
où
est la résistance thermique entre moteur et environnement en K/W .
En vertu du principe de conservation de l’énergie, la puissance dissipée en régime établi doit être égale à la
puissance thermique produite par les pertes à l’intérieur du moteur. Il en résulte :
.
.
.
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Et donc :
∙
Équation 3.43
.
ºC ou ºK
.
Si le moteur fonctionne à régime nominal, dans les conditions spécifiées par le fabricant, sa température se
stabilise à une valeur ϑ inférieure à la valeur limite admissible. S’il fonctionne à un couple (ou une puissance) plus faible, sa température sera d’autant plus inférieure à la limite admissible.
Admettons qu’un moteur, après avoir fonctionné « depuis très longtemps » à un régime constant désigné par
« régime initial », doive soudainement fonctionner à un autre régime constant, pendant très longtemps. Si ce
nouveau régime est plus sévère que le régime nominal, nous devons nous attendre à ce que le moteur atteindra une température supérieur à sa température max. admissible. Pour déterminer dans quelle mesure ce régime est malgré tout admissible, nous devons déterminer de quelle manière la température du moteur évolue
après ce changement de régime.
Selon le premier principe de la thermodynamique, la chaleur accumulée dans un corps homogène se traduit
par un échauffement. Plutôt que de considérer la température absolue, il est préférable de ne tenir compte que
des variations de température et de chaleur accumulée. Nous avons ainsi :
Équation 3.44 ∆
∙ ∙∆ϑ
J
où ∆
est la variation d’énergie thermique stockée dans un corps, en J ,
où m est la masse du corps, en kg ,
où
est la chaleur massique du corps,en J/ kg ºK ,
où ∆ϑ est l’échauffement du corps, en ºK .
Un moteur peut être considéré par approximation comme un corps homogène. Il est en effet construit avec
des matériaux métalliques (fer, cuivre, aluminium) qui sont des bons conducteurs thermiques. Sa température
interne peut donc être considérée comme uniforme. Son échauffement dépend donc de l’ampleur des pertes
thermiques qui sont produites en son sein.
Par ailleurs, nous avons vu précédemment que la puissance thermique communiquée par le moteur à son
environnement dépendait également de sa température (l’Equation 3.43). En application du principe de conservation de l’énergie, la variation d’énergie du système se définit par :
∆
.
.
.
Nous pouvons en déduire, successivement :
∙ ∙∆
.
∙
∙
∙
∆
.
∙
0
C’est une équation différentielle du 1er ordre. Comme rappelé à la section 3.2, la solution est :
Équation 3.45
∙ 1
ºC ou ºK
où
est la température du moteur à chaque instant à partir du changement de
régime.
Dans cette équation, qui décrit l’évolution de la température du moteur, lorsqu’il passe d’un régime stable à
un autre régime stable, nous avons :



88
est la température initiale du moteur, déterminé à l’aide de l’Equation 3.43 en fonction du régime de fonctionnement stable initial.
est la température finale qu’atteindra le moteur, déterminée à l’aide de la même Equation 3.43en,
mais tenant compte du nouveau régime de fonctionnement.
est une constante de temps, dont la valeur est donnée par :
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Équation 3.46
∙
∙
s
Si le régime de fonctionnement produit alors plus de perte que le régime initial, et donc que la température
du moteur augment, son allure est similaire à celle de la Figure 3-9.
3.8.3
Régime impulsionnel répétitif
Des trois causes de pertes évoquées au début de la section 3.8.1, les pertes Joules sont généralement majoritaires. Celles-ci dépendent du carré du courant (courant d’induit pour les moteurs DC, courant de phase pour
les moteurs triphasés), donc au carré du couple électromagnétique produit par le moteur. En comparaison, les
pertes fer (qui dépendent de la fréquence des champs magnétiques produits dans le moteur) et les pertes de
frottement à l’intérieur du moteur (qui dépendent surtout de la vitesse d’utilisation) sont relativement faibles.
Pour simplifier le choix du moteur, l’utilisateur est donc en droit de faire une approximation, qui consiste à
supposer que toutes les pertes sont proportionnelles au carré du couple électromagnétique. Cette approximation ne néglige pas les pertes fer et les pertes par frottement ; elle ne fait que considérer qu’elles varient
comme les pertes joules en fonction du carré du couple, et non en fonction d’autres facteurs. Cette approximation est valable en tout cas pour tous les moteurs électriques utilisés à des vitesses « pas trop élevées »
(~4'000 tr/min). Pour en compenser les inexactitudes, il est toujours possible de tenir compte d’une marge de
sécurité, de 10% par exemple.
L’échauffement du moteur peut donc être lié au couple qu’il délivre. Cependant, comme le fabricant de moteur ne fournit généralement aucune information sur la résistance thermique de refroidissement, ni sur la
chaleur massique, il nous faut procéder autrement pour déterminer dans quelle mesure la température du
moteur est admissible.
Reprenant l’ l’Equation 3.43, et tenant compte de la relation approximative entre le couple moteur et les
pertes thermiques du moteur, nous pouvons écrire :
∙
.
∙
.
º
º
Cette équation est valable pour n’importe quelle valeur constante du couple T. Dans le cas général où le
couple fourni par le moteur varie continuellement au cours du temps, l’emploi de cette équation se complique. Toutefois, si le couple varie de manière cyclique, la durée d’un cycle étant beaucoup plus petite que
la constante de temps thermique , il devient utile de déterminer la valeur efficace de ce couple. La traduction anglaise de se terme, à savoir « root-mean-square », abrégée r.m.s. explique clairement la manière de
calculer cette valeur. Il s’ :
Équation 3.47
∙
Nm
. . .
Si ce couple efficace est inférieur au couple nominal, alors la température du moteur sera inférieure à sa température nominale, et donc parfaitement admissible. La marge de couple se calcule comme suit :
Équation 3.48
1
. . .
.
%
Pour compenser les hypothèses simplificatrices faites sur la nature des pertes thermiques, il est judicieux de
prévoir une marge de 10% sur le couple efficace.
Il est à relever que, dans beaucoup d’application, le cycle d’utilisation du moteur fait apparaître un certain
nombre de phases pendant lesquelles le couple délivré est constant. Dans un tel cas, le calcul de l’intégrale
de l’Équation 3.47 prend une forme plus facile à calculer :
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HEIG-VD
∑
Équation 3.49
∙
Nm
. . .
où n est le nombre de phases,
où est la valeur constante du couple pendant la phase « i », en Nm ,
où est la durée de la phase « i », en s ,
où
est la durée totale du cycle, égale à la somme des .
T
T2
T3
T1
t1
t2
tcycle
t3
T5
T4
t4
t
t5
BSR20070916_A.des
Figure 3-58
90
Exemple d’allure du couple pour une application cyclique, permettant de
calculer le couple efficace que le moteur doit délivrer
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