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UNIVERSITE M.MAMMERI
Département d’Informatique T. Graphes
CHAPITRE III : Graphe planaire / indicateurs ds un graphe / P. affectation
Partie I : Graphes planaires
I-1) Problème posé : ‘Problème des 3 villas’
Fournir du gaz ,de l’électricité , et de l’eau pour les 3 villas .
** Peut-on résoudre ce problème sans avoir aucun croisement ?
** Non , on ne peut pas sur le plan il y a au moins un croisement
la solution est possible dans R3 (espace) .
Déf : Un graphe est dit planaire , si on peut le représenter sur une
surface plane (plan ) , sans que ses arêtes (arcs) ne se coupent sauf aux
sommets du graphe .
I-1-2) Résultat général ( Kuratowski )
Déf : On appelle subdivision d’un graphe G, un sous graphe partiel de G.
Résultat
Un graphe G est planaire si et seulement si , G ne possède pas
de subdivision K5 ou K3,3.
Exemples 5
1°) K3,3 2°) K4 3°) K5
1 2 1 2
1 4
2 5
3 4 3 4
3 6 K4 : planaire ; K3,3 , K5 : non planaire
I-1-3) Définitions : (Face, frontière , contour , face illimitée) : Voir T.D
I-1-4) Résultats :
1) Théorème : Soit G = ( X,U) , un graphe planaire ,alors l’ensemble des
contours des faces finies forment une base de cycle de G.
Démons : (C. Berge , M405)

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2) corollaire 1 : ‘ Formule d’ Euler ‘
G = (X,U) , planaire ,connexe X= n , U = m
f = Nb de face de G (face infinie incluse) Alors
n-m+ f = 2
Démons :
Posons : f ’ = Nb de faces finies de G .
f ’ = (G) Nb cyclomatique
f’ = m-n +1 ( cardinal de la base de cycles )
f = f ’ +1  f = (m – n +1 ) + 1 = m- n +2  n - m + f = 2
C.Q.F.D
4 ) Corollaire 2 :
Soit G =(X,E) , un graphe simple planaire X= n , U = m
Alors :  x  X / dG(x)  5
Démons : ‘ Par l’ absurde ’
Supposons que G est connexe et  x  X , dG(x)  6
*  x X dG(x)  6   dG(x)  6n
x X
Sachant que :  dG(x) = 2m , on a : 2m  6n  n  2m/6 = m / 3 (2)
x X
formule d’Euler
* G est planaire n-m + f = 2
Calculons n – m +f = ?
(1) et (2)  n – m +f  m / 3 –m + 2m / 3 = 0  2 Contradiction
G planaire , il doit vérifier
la formule d’ Euler
Donc :  x  X / dG(x)  5
C.Q.F.D

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3) Relation Face -arête
Posons N = Ensemble des arêtes définies par la liaison : faces arêtes
( fi ) ei
N ={Ensemble des arêtes nécessaire pour toutes les faces}
Exemple 2
A = {faces de G} ; B = {arêtes}
G : 1 f = nb de faces
f2
A = (fi) B = (ei)
f1 f1 ( 1, 3)
3 4 (3,4)
fI ( face infinie) (1,4)
f2
(1,4)
(1,2)
fI
(2,4)
Graphe biparti d’incidence faces – arêtes
En lisant le tableau comparatif ,on peut déduire que :
1) Une face est définie par au moins 3 arêtes ( 1 face 3 arêtes )
 N  3f
(2) Une arête est commune à au plus 2 faces ; elle est comptée 2 fois par rapport
au nb de faces . ( 1 arête 2 faces )
correspond
 N  2m
Donc : N  3f
 2m  3f  f  2m / 3 (1)
N  2m
4) Vérification de la structure planaire du graphe K5
Supposons K5 planaire :
formule d’Euler
* G est planaire n-m + f = 2

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Calculons n – m +f = ?
(1) et (2)  n – m +f  n – m +2 m / 3 = 5 – 10+20/ 3 = 5 / 3  2 Contradiction
Donc K5 n’est pas planaire
Rmq : K5 : Nb de sommets : 5 ; Nb d’arêtes : 10
III-1-5 ) Graphe dual :Définition , construction : Voir T.D
Théorème
Un cycle élémentaire dans G est un cocycle élémentaire dans G*
et inversement
Partie II : Indicateurs dans un graphe
II –1) Stabilité – nb chromatique (cas des graphe planaires ) – Noyau
II-1-1) Stabilité interne ds un graphe – nb chromatique
a) Stabilité interne : G = (X,U) ;  : X X
x  x = (x)
Déf : X’  X est intérieurement stable si :
 x  X ’ ,  x  X’ = 
Conséquence : Dans le S/ graphe défini par X’ , il n’existe pas d’arcs .
a1) Coefficient (nb) de stabilité interne
1( G)= max X’
X’ int-stable
De G
a2) S / ensembles int- stable maximaux
Maximalité : X’ est int-stable :
Soit x  X’ alors X’  { x} n’est pas int-stable
3 { 3,5} : S/ens int-stable
Exemple : 2 maximal
1
6 {4 ,6,3} : S/ens int-stable
5 maximum
4

5
b) Nombre chromatique : noté  (G)
Déf : C’est le nombre minimum de couleurs ,coloriant les sommets d’un graphe
tels que 2 sommets adjacents n’aient pas la même couleur .
Cas des graphes planaires :
1) Résultat
Le nombre chromatique dans un graphe planaire  5
  (G)  5
2) Conjecture des 4 couleurs (1852 - 1976)
On peut colorier n’importe quelle carte géographique telle que
le maximum du nombre minimum de couleurs soit 4 , c .a .d  (G)  4.
Cette conjecture a été démontrée en 1976 par Kenneth - Appeld -Wolfgang-Haken
II-1-2) Stabilité –externe - Noyau
a) Stabilité – externe : G= (X,U)
X’  X est un s/ ensemble –extérieurement stable si :
__ +
 x  X ’ , x  X ’  
Rmq : X ’ est dit aussi ensemble absorbant .
Exemple : ‘ Problème des radars ’ (C. Berge )
Enoncé : Un certain nb de points stratégiques x1,x2,….. (cellules) sont surveillées
par des unités militaires pourvues de radars . Par exemple , une unité
placée ds la cellules x4 peut également surveiller avec son radar
les cellules x1, x2, x3 (voir G) ; de même pour x2 qui peut surveiller
x3 et x5 , etc …
Problème : Quel est le nombre minimum d’unités nécessaires pour
surveiller toutes les cellules ?
Solution : C’est le nombre de stabilité externe 2( G)
x1
G : x4 A = { x2,x4}
x3 x5
x2
Dans cet exemple 2( G) = 2 donc , deux radars suffisent pour contrôler
toutes les cellules ( on peut le vérifier sur G ).