PHYS 1031 PARTIE I-II-III-IV-V

INTRODUTION GENERAL
TRAVAUX PRATIQUES DE PHYSIQUE
LICENCE I DE PHYSIQUE
SEMESTRE II ANNEE 20192019-2020
Dr. C. MBINACK
C. MBINACK, S2 2019-2020
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INTRODUTION GENERAL
INTRODUCTION GENERALE
I- INCERTITUDES
Toute mesure ou tout résultat expérimental est affecté d’erreurs dues :
• à la maladresse de l’expérimentateur que vous êtes
• à l’imperfection des appareils de mesure
• à la méthode de mesure etc.
Il convient donc de prendre en compte ces manquements dans l’expression du résultat de
mesure obtenu en termes d’incertitudes.
1.1- DEFINITION
Soit g la grandeur physique (une températue, un champ électrostatique par exemple) à
mesurer, gm la mesure et ga la valeur exacte non accessible.
On appelle incertitude absolue notée ∆g, l’ensemble d’erreurs possibles susceptibles d’être
commises lors de la mesure de g (∆g = (∆g)imperfection expérimentateur + (∆g)imperfection appareils de mesure
+ (∆g)conditions manipulation + …).
g et ∆g sont exprimées dans les mêmes unités.
∆g
On appelle incertitude rélative le rapport sans dimension
qui exprime la précision avec
g
laquelle g a été mesurée. Elle est exprimée généralement en %.
Ecriture scientifique : la grandeur g peut donc s’écrire de trois (03) manières différentes
toutes équivalentes :
•
g = ( g m ± ∆g )unité
∆g
•
g = g m unité ±
(%)
g
∆g
•
g = g m unité à
(% )
g
Fig.1 : Intervalle de représentation de la grandeur g à mesurer
La Fig. 1 ci-dessus nous montre que :
• la grandeur g à mesurer est comprise entre g- ∆g et g+ ∆g ( g ∈ [g m − ∆g g m + ∆g ] )
• la différence entre la valeur mesurée et la valeur exacte non accessible est appelée non
pas incertitude mais erreur/écart
Remarques :
1) L’incertitude absolue doit avoir un seul chiffre significatif alors que l’incertitude rélative
peut en avoir au plus deux. Dans le cas contraire procéder à une approximation par excès
(ajouter 1 au premier chiffre significatif si le second est non nul).
Exemple :
a) Soit à déterminer la valeur de l’accélération de la pesanteur g
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Si après calcul on trouve ∆g = 0,01201m.s −1 , en faisant une approximation par excès pour
avoir un seul chiffre significatif, on retient la valeur ∆g = 0,02m.s −1 .
b) Soit à déterminer la valeur d’une résistance R. Si après calcul on trouve
∆R = 12,01Ω , en faisant une approximation par excès pour avoir un seul chiffre significatif,
alors ∆R = 10Ω .
2) L’incertitude et la mesure doivent avoir le même nombre de décimales
Exemple :
a) Soit à déterminer la valeur de l’accélération de la pesanteur g
Si après calcul on trouve g = 9,1021m.s −1 et ∆g = 0,001201m.s −1 , en faisant une
approximation, alors g = (9,11 ± 0,02 )m.s −1 .
b) Soit à déterminer la valeur d’une résistance R. Si après calcul on trouve
R = 247,521Ω et ∆R = 12,01Ω , en faisant une approximation par excès, alors
R = (248 ± 10)Ω .
1.2- CHIFFRES SIGNIFICATIFS
Toute mesure expérimentale est entachée d’erreurs ; l’incertitude qui en découle nous permet
de déterminer le nombre de chiffres significatifs. Le nombre de chiffres significatifs est tout
simplement un bon indice qui permet de se prononcer sur la précision du résultat.
1.2.1- REGLE DE DETERMINATION
D’une manière générale, les zéros à droite du nombre sont significatifs alors que les zéros à
gauche du nombre sont non significatifs.
Exemple :
10000 est nombre à un seul chiffre significatif
10000,0 a cinq (05) chiffre significatifs
0,04020 a quatre (04) chiffres significatifs dont les chiffres 402 sont certains et le
dernier zéro est incertain
1.2.2- OPERATIONS SUR LES GRANDEURS PHYSIQUES
1.2.2.1- SOMME/DIFFERENCE
Le résultat doit avoir le même nombre de décimales que la grandeur qui en possède le moins
Exemple : soit à effectuer l’opération suivante (a - b) + c
avec
1) a = 24,0 ; b = 5,34 et c = 10,3012
2) a = 24 ; b = 5,34 et c = 10,3012
Solution
1) a a 01 décimale, b en a 02 et c en compte 04. Le résultat doit avoir une décimale soit
(24,0 - 5,34) + 10,3012 = 29,0
2) a a 0 décimale, b en a 02 et c en compte 04. Le résultat doit donc en avoir 0 décimale soit
(24 - 5,34) + 10,3012 = 29
1.2.2.2- PRODUIT/QUOTIENT
Le résultat doit avoir autant de chiffres significatifs que la grandeur qui en compte le moins
Exemple : soit à effectuer l’opération suivante (a - b) c / b
avec
1) a = 24,0 ; b = 5,34 et c = 10,3012
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2) a = 24 ; b = 5,34 et c = 10,3012
Solution
1) a a 03 chiffres significatifs, b en a 03 également et c en compte 06.
a-b doit avoir 01 décimale ie 24,0 – 5,34 = 18,7.
18,7 a 03 chiffres significatifs. Donc le produit (a-b)c doit avoir 03 chiffres significatifs ie
18,7x10,3012 = 193. Et par conséquent, le résultat doit avoir 03 chiffres significatifs ie
(a − b )c = (24,0 − 5,34) × 10,3012 = 36,2
193/5,34 = 36,2. D’une manière générale on aura :
b
5,34
2) a a 02 chiffres significatifs et 0 décimale, b en a 03 chiffres significatifs et 02 décimales et
c en compte 06 significatifs.
a-b doit avoir 0 décimale ie 24,0 – 5,34 = 19.
19 a 02 chiffres significatifs donc le produit (a-b)c doit avoir 02 chiffres significatifs ie
19x10,3012 = 190 ( 19 × 10,3012 = 195,8 ∈ [190 210] on retient 190). Conséquence, le
190
résultat doit avoir 02 chiffres significatifs ie
= 36 . D’une manière générale on devrait
5,34
(a − b )c = (24 − 5,34) × 10,3012 = 36
avoir :
b
5,34
Exercices
Déterminer la valeur de
(a + c )b
c
;
a+b+c
3
a) à l’unité (ie 0 décimale)
b) au dixième
c) au centième
d) au millième
pour
1) a = 24,0 ; b = 5,34 et c = 10,3012
2) a = 24 ; b = 5,34 et c = 10,3012
II- DETERMINATION DES INCERTITUDES
2.1- CALCUL
2.1.1- SOMME/DIFFERENCE
Si g = a + b (respectivement g = a – b) alors ∆g = ∆a + ∆b
Exemple : soit à déterminer la résistance équivalente aux bornes du dipôle AB ci-dessous
avec R1 = (1045 ± 20)Ω et R2 = 876Ω à 11%
Fig.2 : Dipôle AB
Solution :
Nous savons que R AB = R1 + R2 . A.N : R AB = 1045 + 876 = 1921Ω
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L’incertitude absolue liée au calcul vaut : ∆R AB = ∆R1 + ∆R2 . Or
∆R2
11
=
il vient
R2
100
11
11
R2 . A.N : ∆R AB = 20 +
× 876 = 116,36 ∈ [100 200] (les seuls
100
100
nombres à 01 chiffre significatif qui encadrent 116,36 sont 100 et 200). On retient
∆R AB = 100Ω (100 qui est plus proche 116,36 que de 200) et finalement
R AB = (1921 ± 100)Ω
∆R AB ∆R1
∆R AB
Ou
=
× 100 + 11 = 12,9 On retient
= 13% (à 01 chiffre significatif, 10% est
R AB
R1
R AB
aussi acepté) soit R AB = 1921Ω ± 13%
∆R AB = ∆R1 +
2.1.2- PRODUIT/QUOTIENT
a
). Dans ces conditions il est plus facile de
b
∆g ∆a ∆b
déterminer l’incertitude rélative telle que
=
+
g
a
b
Exemple :
L’on souhaite déterminer le volume d’un matériau de forme cubique de dimensions (côtes):
a = (13;00 ± 0,05)mm ; b = (22;50 ± 0,05)mm et c = (7;35 ± 0,05)mm
On suppose de plus que l’incertitude relative liée aux conditions de l’opération est le triple de
l’incertitude de calcul.
Supposons que g = ab (respectivement g =
Solution
Nous savons que le volume V d’un cube de côtes a, b et c est donné par : V = abc
AN : V = 13,00 * 22,5 * 7,35 = 2149,875mm 3
∆V ∆a ∆b ∆c
L’incertitude liée à ce calcul est donnée par :
=
+
+
V
a
b
c
∆V  0,05 0,05 0,05 
AN :
=
+
+
 × 100 = 1,3%
V
22,5 7,35 
 13
En
tenant
compte
de
l’incertitude
liée
aux
conditions
de
l’opération,
on
aura :
∆V  ∆V 
∆V
 ∆V 
 ∆V 
 ∆V 
 ∆V 
=
+
or 
= 3
il vient
= 4





V
V
 V  calcul  V  autre
 V  autre
 V  calcul
 V  calcul
∆V
AN :
= 4 × 1,3 = 5,2%
V
d’où V = 2150mm 3 à 5,2% (aussi accepté, V = 2150mm 3 à 6% )
2.1.3- EXPRESSION COMPOSEE
a+b
Supposons cette fois-ci que g =
ab 2
Etape 1 : on calcul log(g) : log( g ) = log(a + b ) − log a − 2 log b
d
Etape 2 : on calcul
(log(g )) . On vous rappelle que (log u )' = u ' = du
d?
u
u
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dg
da
db
da
db
=
+
−
−2
g
a+b a+b a
b
Etape 3 : on regroupe tous les termes semblabes ie
dg
b
2a + b
dg  1
1
2
 1
=
da −
db
=
− da + 
− db soit
g
a (a + b )
b(a + b )
g a+b a
a+b b
Etape 4 : on remplace d par ∆ et on prend les valeurs absolues des coefficients ie
∆g
b
2a + b
=
∆a + −
∆b
g
a (a + b )
b(a + b )
Il vient :
Exemple : Déterminer la résistance équivalente aux bornes AB du dipôle ci-dessous. On
donne R1 = (1045 ± 20)Ω et R2 = 876Ω ± 11%
Fig.3 : DipôleAB
Solution
R1 R2
1045 * 876
. AN : R AB =
= 477Ω
R1 + R2
1045 + 876
L’incertitude
liée
au
calcul
nous
permet
∆R AB
R2
R1
11
=
∆R1 +
∆R2
or
∆R2 =
× R2
100
R AB
R1 (R1 + R3 )
R2 (R1 + R2 )
Nous savons que R AB =
d’écrire :
il
vient
∆R AB
R2
R1
∆R AB
11
=
∆R1 +
×
× R2 . AN :
= 6,9% .
R AB
R1 (R1 + R3 )
R2 (R1 + R2 ) 100
R AB
D’où R AB = 477Ω ± 6,9% ( R AB = 477Ω ± 7% est aussi accepté)
2.2- UTILISATION DES APPAREILS DE MESURES
2.2.1- VOLTMETRE/AMPEREMETRE ANALOGIQUE
Un voltmètre (resp. ampèremètre) analogique a les caractéristiques suivantes :
Echelle : nombre total de divisions
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Fig. 4 : Echelle (Nombre total de division : 150 en continu et 100 en alternatif) d’un voltmètre
analogique pouvant fonctionner en continu et en alternatif
Calibres :
Fig. 5: Calibres (3V ; 7,5V,… , 300V) d’un voltmètre analogique
Classe :
Fig. 6 : Autres caractéristiques d’un voltmètre analogique (ici la classe vaut 1.5)
Pour la détermination de la valeur de la tension mesurée, on lit la position de l’aiguille
(lecture) lorsque l’appareil est branché aux bornes du dipôle dont on désire connaitre la ddp.
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a)
b)
Fig.7 : Lecture sur un voltmètre analogique
a) Avant branchement (aiguille à 0) ; b) Après branchement (déviation de l’aiguille)
Il vient :
lecture × calibre
• Tension U mesurée: U m =
échelle
0,5 × calibre
• Incertitude de lecture : (∆U )L =
échelle
classe × calibre
• Incertitude de construction : (∆U )C =
100
Finalement nous obtenons : ∆U = (∆U )L + (∆U )C
Exemple :
Déterminer la tension indiquée par le voltmètre ci-dessous
Solution :
Données (en continu): Echelle : 150 div ; Lecture = 52div ; Calibre utilisé : 3V ; Classe : 1,5
52 × 3
Tension mesurée : U m =
= 1,06V
150
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0,5 × 3
= 0,01V
150
1,5 × calibre
= 0,045V
Incertitude de construction : (∆U )C =
100
Incertitude totale : ∆U = (∆U )L + (∆U )C = 0,01 + 0,045 = 0,06V
Donc U = (1,06 ± 0,06 )V
Incertitude de lecture : (∆U )L =
2.2.2- PIED A COULISSE
Fig.8 : Pied à coulisse
Il sert à mesurer le rayon (resp. le diamètre) d’une boule sphérique. Son utilisation est
1
indiquée et connue. Pour un pied à coulisse au 1/nème , ∆l = (mm ) .
n
En effet (n-1) mm sont partagés en n parties valant chacun n-1/n (mm). Sur la règle fixe,
chaque graduation vaut 1mm.
Chaque écart d’une graduation entre la règle fixe et la règlette vaut 1-((n-1)/n) = 1/n (mm) soit
1/nème
Exemple : Déterminer la valeur affichée par le pied à coulisse ci-dessous
Solution :
49mm sur la règlette sont repartis en 50 parties. On a un pied à coulisse au 1/50è c’est-à-dire
1
∆l =
= 0,02mm ; La graduation de la règle fixe qui précède le 0 du curseur est de 1mm. Il
50
y a coincidence entre la division 6(30div.) du curseur et une division de la règle fixe. Il vient
que la lecture donne : 1mm et 30/50 c’est-à-dire 1 + 30/50 = 1,6mm soit la valeur affichée :
l = (1,60 ± 0,02)mm
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2.2.3- INSTRUMENT GRADUE
Quand on utilise un instrument gradué, l’incertitude absolue est égale à la moitié de la plus
petite division
Exemple :
0,5 × calibre
1) Voltmètre/Ampèremètre analogique : (∆U )L =
échelle
1
2) Mètre ruban : la plus petite division est 1mm il vient ∆l = = 0,5mm
2
3) Oscilloscope :
Fig.9 : Ecran (vierge) de l’oscilloscope utilisé dans le cadre de ce TP
Entre 2 grandes divisions, il y 5 petites divisions. Donc la valeur de la plus petite division est
0,2
= 0,1div
de 0,2div soit ∆ ? =
2
0,2
• Pour la tension, ∆U =
× sensibilité verticale(Volts/div.)
2
0,2
• Pour la période, ∆T =
× sensibilité horizontale (s/div.)
2
Exemple :
Déterminer la tension et la période indiquée sur l’oscillogramme ci-dessous
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Solution
a) Tension
Nombre de divisions correspondant à la déviation maximale du signal : 3DIV.
Sensibilité verticale : 5V/DIV.
Tension maximale observée sur l’oscillogramme: Umax = 3*5 = 15V
Incertitude absolue sur la tension: ∆U = 0,5*5 = 2,5V (la plus petite division est ici 1div)
Donc Umax = (15 ± 3)V
b) Période :
Nombre de divisions correspondant à une période du signal : 4DIV.
Sensibilité horizontale : 2ms/DIV.
Période obtenue : T = 4*2x10-3 = 8x10-3s
Incertitude absolue sur la période: ∆T = 0,5*2x10-3 = 1x10-3 s
Donc T = (8 ± 1)ms
III- EXPLOITATION DES DONNEES
Au terme d’une manipulation, on se retrouve avec une série de données obtenues en utilisant
les appareils de mesure. Le but d’un TP étant de déterminer une grandeur physique (ou de
vérifier une loi physique), la série de données obtenues devra être utilisée pour cette fin. Pour
y parvenir deux méthodes nous permettant d’exploiter ces données sont retenues dans le cadre
de cette UE : la méthode graphique dite encore méthode des droites extrémales et la méthode
analytique connue sous le nom de la régression linéaire. Pour exposer sur les deux méthodes,
nous partirons d’un exemple pratique.
Soit à déterminer la pente 'a' de la caractéristique y = ax (resp. y = ax + b)
A la suite du TP, on a obtenu le tableau de données suivant :
Tableau 1 : données obtenues au terme de la manipulation
Mesure
y (unité)
x (unité)
1
4
5
2
4,1
20
3
4,2
40
4
4,3
60
5
4,4
80
6
4,5
95
On donne ∆y = 0,01 unité et ∆x = 2 unité
3.1- METHODE DES DROITES EXTREMALES
Tout graphe doit être tracé sur un papier millimétré
Etape 1 : choix des axes
Généralement, c’est un système d’axes rectangulaires orientientés d’origine O
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Fig. 10 : Système d’axes rectangulaires orientés d’origine O
Etape 2 : choix de l’échelle
Elle doit être choisie de manière à ce qu’elle soit proportionnelle aux rectangles d’incertitudes
et le repère est gradué en tenant compte de celle-ci.
Pour notre exemple on pourra par exemple choisir notre échelle telle que
sur l’axe des abscisses, pour 1mm on a 0,5 unité (1cm → 5 unité)
sur l’axe des ordonnées, pour 2cm on a 0,1 unité (2mm → 0,01 unité)
Fig. 11 : Système d’axes gradués en fonction de l’échelle choisie
Etape 3 : on place les points sur le système d’axes
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Fig. 12 : Report des points expérimentaux sur le système d’axes
Etape 4 : on construit les rectangles d’incertitudes autour de chaque point expérimental placé
dans le répère. Intéressons nous au tracé du premier rectangle d’incertitudes
Sur l’axe des abscisses :
A partir de l’abscisse 5-2 = 3 (x – ∆x nous sommes à -4mm de 5) on trace une droite verticale
parallèle à l’axe des ordonnées
Fig.13 : tracé du premier segment vertical
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De même à partir de l’abscisse 5+2 = 7(x + ∆x nous sommes à +4mm de 5) on trace une
droite verticale parallèle à l’axe des ordonnées
Fig.14 : tracé du deuxième segment vertical
On obtient donc à l’arrivée, 2 droites verticales parallèles formant à la base un segment de
droite horizontale de dimensions 2∆x (2*2 = 4 unités ce qui correspond à 8mm).
Fig.15 : obtension du segment de droite horizontale de dimension 2∆x
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Sur l’axe des ordonnées :
A partir de l’ordonnée 4 – 0,01 = 3,99 unités (y – ∆y nous sommes à -2mm de 4), on trace une
droite horizontale parallèle à l’axe des abscisses
Fig. 16 : tracé du premier segment horizontal d’incertitudes
De même, à partir de l’abscisse 4 + 0,01 = 4,01 unités (y + ∆y nous sommes à +2mm de 4) on
trace une droite horizontale parallèle à l’axe des abscisses
Fig.17 : tracé du second segment horizontal
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On obtient donc à l’arrivée, 2 droites horizontales parallèles formant à la base un segment de
droite verticale de dimension 2∆y.
Fig.18 : obtension du segment de droite verticale, de dimension 2∆y
Au final donc, les 4 droites se coupent 2 à 2 en 4 points distincts formant ainsi un rectangle
Fig.19 : formation des 4 droites délimitant le rectangle d’incertitudes
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En éliminant tout ce qui a pour nature n’encombrer notre graphe autour du point expérimental
de coordonnées (5,4), nous obtenons la forme arrêtée de notre rectangle d’incertitudes
Fig.19 : Forme finale du premier rectangle d’incertitudes
Les autres rectangles s’obtiennent par translation en suivant le même principe
Fig.21 : rectangles d’incertitudes autour de chaque point de mesure
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Etape 5 : on trace les droites extrémales en ne tenant compte que du premier et du dernier
triangle d’incertitudes
La droite de plus forte pente passe par les points A1 (sommet 1 du premier rectangle
d’incertitudes) et A2 (sommet 3 du dernier triangle d’incertitudes)
Fig.22 : tracé de la droite de plus forte pente
La droite de plus faible pente passe par les points B1 (sommet 3 du premier rectangle
d’incertitudes) et B2 (sommet 1 du dernier rectangle d’incertitudes)
Fig.23 : tracé de la droite de plus faible pente
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Etape 6 : on matérialise les pentes sur chacune des 2 droites (a1 pour la droite de plus forte
pente et a2 pour la droite de plus faible pente)
Fig. 24 : Construction des tangentes sur chacune des 2 droites
Etape 7 : on calcul les pentes a1 et a2 telle que
(∆y )1 0,14
a1 ≅ tan a1 =
=
= 0,0066
(∆x )1 21,5
(∆y )2 0,12
a 2 ≅ tan a 2 =
=
= 0,0053
(∆x )2 23
Etape 8 : on en déduit la pente 'a' de la caractéristique étudiée telle que
a + a 2 0,0066 + 0,0053
a= 1
=
= 0,0119
et
2
2
a − a 2 0,0066 − 0,0053
∆a = 1
=
= 0,0013
2
2
Soit a = (0,012 ± 0,002) unité
Cette pente est généralement fonction de la grandeur physique que nous cherchons à
4π 2
déterminer. A titre d’exemple dans le cas du pendule simple, a =
g
Exercice
On considère le problème ci-dessus traité
1) Sur un papier millimétré, tracé (selon votre échelle) le graphe de la caractéristique
2) Déterminer les coordonnées des points A1 , A2 , B1 et B2
3) En déduire la pente de la caractéristique recherchée
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4) Tracer le graphe de la caractéristique et déterminer la pente lorsque ∆x = 0
5) Tracer le graphe de la caractéristique et déterminer la pente lorsque ∆y = 0
3.2- LA REGRESSION LINEAIRE
En utilisant les formules connues et sachant que n = 6 (nombre de points de mesure), on
trouve :
1 6
1
x=
xi = (5 + 20 + 40 + 60 + 80 + 95) = 50
6 i =1
6
∑
y=
1
5
Sx =
1
6
6
∑y
i
=
i =1
6
∑ (x
i
1
(4 + 4,1 + 4,2 + 4,3 + 4,4 + 4,5) = 4,25
6
−x
)
i =1
1
[(5 − 50) + (20 − 50) + ... + (95 − 50)]
5
=0
1 6
Sy =
yi − y
5 i =1
=
∑(
)
1
[(4 − 4,25) + (4,1 − 4,25) + ... + (4,5 − 4,25)]
5
=0
1 6
S xy =
xi − x y i − y
5 i =1
=
∑(
)(
)
1
[(5 − 50)(4 − 4,25) + (20 − 50)(4,1 − 4,25) + ... + (95 − 50)(4,5 − 4,25)]
5
32,5
=
5
= 6,5
=
S x2
= S xy
1
=
5
S xy
∑ (x
i
)(
− x xi − x
)
i =1
[
1
(5 − 50 )2 + (20 − 50)2 + ... + (95 − 50)2
5
6050
=
5
= 1210
6,5
=
= 0,0054
1210
=
a=
6
]
S x2
∆a = 0 (car S x = 0 ⇒ ∆x = 0 de même S y = 0 ⇒ ∆y = 0 )
C. MBINACK, S2 2019-2020
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INTRODUTION GENERAL
Remarque : la valeur de la pente ‘a’ déterminée par les deux méthodes semble être différente.
Ceci s’explique par le fait que la méthode des droite extrémale n’a pas été réalisée dans les
conditions normales (sans papier millimétré et peut être non respect de l’échelle). Je vous
invite donc à réprendre la méthode graphique avec tout le sérieux possible et de comparer les
deux résultats
IV DIAGRAMME DE COMPATIBILITE
Il permet de matérialiser la zone de compatibilité lorsqu’une grandeur a été déterminée par
plusieurs méthodes
Reprénons le problème traité plus haut et supposons les résultats suivants vrais
Méthode
Droites extrémales
Régression linéaire
Pente ‘a’ de la caractéristique
a = (0,004 ± 0,001) unité
a = (0,006 ± 0,002) unité
Le diagramme de compatibilité se construit de la manière suivante
Sur un premier axe représentant la méthode des droites extrémales, on place les points
d’abscisse a − ∆a ; a et a + ∆a
Sur un second axe représentant la régression linéaire, on place selon la même échelle les
points d’abscisse a − ∆a ; a et a + ∆a
On obtient ainsi le diagramme suivant
Fig.25 : diagramme de compatibilité
La valeur recherchée se trouve dans la zone de compatibilité (zone hachurée 2 fois comprise
entre 0,004 et 0,005)
C. MBINACK, S2 2019-2020
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