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Electricité 3

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Université Ibn Zohr
Faculté des Sciences d’Agadir
Département de Physique
Année Universitaire : 2004-2012
Filière Sciences de la matière, Physique.
Module : Physique 3 et 4
(SMP3, SMP4, ERD3)
Cours complet d’Electricité 3
Électromagnétisme
dans le vide et la matière
Milieux diélectriques
Milieux magnétiques
Equations de Maxwell
Responsable du cours et du module
Professeur Abdelhakim Nafidi
Sommaire Cours d’Electromagnétisme
MILIEUX DIELECTRIQUES
A- ETUDE MACROSCOPIQUE DES MILIEUX DIELECTRIQUES
I. GENERALITES :
II. VECTEUR POLARISATION :
III. POTENTIEL ET CHAMP ELECTROSTATIQUE CREE PAR UN DIELECTRIQUE
E
IV. CHAMP ELECTRIQUE
MACROSCOPIQUE D’UN DIELECTRIQUE, VECTEUR
V. PROPRIETES DES MILIEUX DIELECTRIQUES
B- RELATIONS DE PASSAGE - ENERGIE –FORCE
I RELATIONS DE PASSAGE
II. ENERGIE ELECTROSTATIQUE
III. FORCE SUBIT PAR UN DIELECTRIQUE DANS UN CHAMP INHOMOGENE
C- ETUDE MICROSCOPIQUE DE LA POLARISATION
I. MOLECULES POLAIRES ET MOLECULES NON POLAIRES
II. CHAMP MICROSCOPIQUE ET CHAMP MACROSCOPIQUE :
III. CHAMP LOCAL
IV. MECANISMES DE LA POLARISATION :
V. SUSCEPTIBILITE ELECTRIQUE:
VI. PIEZOELECTRICITE :
VII. FERROELECTRICITE :
D
:
MILIEUX MAGNETIQUES
A. RAPPELS DE MAGNETOSTATIQUE DU VIDE
I- FORCE DE LORENTZ :
II- LOI DE BIOT ET SAVART :
III- THEOREME D’AMPERE
VI- CONSERVATION DU FLUX DU CHAMP MAGNETIQUE :
V- POTENTIEL VECTEUR A :
IV- ANALOGIE : ELECTROSTATIQUE -MAGNETOSTATIQUE
B- POLARISATION DES MILIEUX MAGNETIQUES
I- DIPOLE MAGNETIQUE
II- AIMANTATION PERMANENTE ET TEMPORAIRE
III- ORIGINE MICROSCOPIQUE DE L’AIMANTATION
VI- PROPRIETES MAGNETIQUES DE LA MATIERE :
V- CHAMP ET POTENTIEL VECTEUR CREES PAR UN MILIEU AIMANTE :
IV- EXCITATION MAGNETIQUE H :
IIV- MILIEUX MAGNETIQUES LINEAIRES HOMOGENES ET ISOTROPES (L.H.I) :
IIIV- ANALOGIE AVEC LES MILIEUX DIELECTRIQUES :
XI- FORCE EXERCEE SUR UN MILIEU MAGNETIQUE DANS UN CHAMP NON UNIFORME :
X- ENERGIE DES COURANTS DAN,S UN MILIEU MAGNETIQUE :
IX- REALATIONS DE PASSAGE ENTRE DEUX MILIEUX MAGNETIQUES
C- ETUDE MICROSCOPIQUE DE L’AIMANTATION
I- DIAMAGNETISME :
II- PARAMAGNETISME :
III- FERROMAGNETISME
EQUATIONS DE MAXWELL
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
LES POSTULATS DE L’ELECTROMAGNETISME :
LES EQUATIONS DE MAXWELL :
CONTENU PHYSIQUE DES EQUATIONS DE MAXWELL :
PROPAGATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE
ELECTROMAGNETISME DES MILIEUX MATERIELS :
EXPRESSIONS DES POTENTIELS :
APPROXIMATION DES REGIMES QUASI-PERMANENTS (ARQP) OU DES ETATS QUASI-STATIONNAIRES :
ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE :
2/65
Chapitre.1
ETUDE MACROSCOPIQUE DES MILIEUX DIELECTRIQUES
I. Généralités :
1. Milieux conducteurs :
Les conducteurs ont des charges libres dont les porteurs
porteurs peuvent se déplacer dans toute la
masse du matériau. Exemple: électrons (métaux), ions (électrolytes) ions et électrons
él
(plasmas).
Soit un milieu conducteur en équilibre électrostatique. Sous E , une charge q subit la force
F = qE = o (équilibre) → Eint = 0 et − grad Vint = 0
Or div E =
⇒ Vint = cte ,
ρ
= 0 ⇒ ρint = 0 : Toute la charge est répartie sur la surface du conducteur
ε0
- σ s (libre) s’ajoute pour annuler le champ crée par les charges externes. Seule la forme de la
surface du conducteur joue un rôle dans l’étude de l’équilibre électrostatique
- L’étude de la conductivité σ relève de l’électrocinétique ( J = σ E , I =
∫∫ J ⋅ dS )
2. Milieux diélectriques :
a) Définition :
Un milieu diélectrique est un milieu isolant neutre où il n’y a pas de charges électrique
libres et mobiles. Il est formé d’atomes et de molécules.
b) Dipôle électrique :
Soit E0 le champ électrique extérieur appliqué au diélectrique
diélectriq :
•
Si
E0 = 0 comme les électrons sont lies au noyau les barycentres
des charges positives G + et des charges négatives G − coïncident c à d :
G −G + = 0
•
Si E0 ≠ 0 les charges sont soumises à la force électrique
F = q E0 → G −G + ≠ 0
Chaque atome (ou molécule) de charge q se comporte
comme un dipôle électrique et acquiert un moment dipolaire
p = q G −G + .
c). Expérience de Faraday :
L’introduction d’un diélectrique entre les armatures d’un condensateur augment sa capacité.
En présence du diélectrique, pour maintenir V0 = cte , le générateur doit fournir une quantité
d’électricité Q plus importante que Q0 ( Q > Q0 )
3/65
V0 = cte =
Q0 Q
=
C0 C
Or C0 = ε 0 S
e
→
C
Q
=
> 1 → C > C0
C0 Q0
et C = ε
S
e
soit
C
ε
=
= εr > 1
C0 ε 0
ε r : Constante diélectrique relative et ε = ε 0 ε r : Constante diélectrique absolue
L’introduction d’une plaque diélectrique entraîne un apport de charges. E0 pénètre dans le
diélectrique et agit sur les porteurs de charges, d’où le nom "diélectrique" (du grec : à travers). Or
ces électrons et ions ne peuvent se déplacer sous E0 . Ils restent attachés à des groupements
atomiques, moléculaires ou cristallins d’où leur nom "charges liées". En volume les porteurs de
charges se neutralisent. On a apparition de charges
charges induites, de signe opposé à ceux des armatures,
sur les surfaces du diélectrique appelées charges de polarisation.
d). Mécanismes de la polarisation :
D’après le § 2-bb un diélectrique sous E0 se comporte comme un ensemble de dipôles
orientés dans le sens de E0 . On dit que le diélectrique est polarisé par le champ, on distingue deux
mécanismes de polarisation :
•
Polarisation dipolaire
Le diélectrique est formé de dipôles permanents (exp.
H2O). le champ E0 les fait orienter.
•
Polarisation électronique
Le diélectrique n’a pas de dipôles permanents (exp.
CO2). Le champ E0 les crée puis les oriente dans son
direction.
II. Vecteur polarisation :
On assimile les charges liées à une distribution de dipôles électriques caractérisée par un
champ vectoriel macroscopique P ( r ,t ) appelé Polarisation électrique. A chaque élément de
volume dv correspond un moment dipolaire dp = P ( r ,t ) dv , d’où la
densité volumique de moment électrique dipolaire P ( r ,t ) =
Unité :
dp
dv
∆ p  p qd  C ⋅m C
 P  = 
= =
= 3 = 2
m
m
 ∆v   v   v 
Remarque : À l’échelle microscopique, un milieu discret formé de groupements (atomes, molécules) de
moments dipolaires
ipolaires individuels pi , aura une polarisation P =
∑ pi
i
III.
Potentiel et champ électrostatique crée par un
diélectrique polarisé en un point M extérieure :
( M ∉D )
a.
Expression
xpression du potentiel :
Soit un diélectrique D polarisé et limité par une surface
fermée S . En régime permanent, la polarisation P ( r ) ≠ f ( t ) est
connue quelque soit le point A ∈
∈D .
Question : V ( M ) = ? tq r = AM .
4/65
par unité de volume.
•
Rappel : le potentiel crée par un dipôle électrique en un point M, distant de r de son centre,
1
p⋅r
est donné par:
V (M ) =
⋅ 3 ou p = q AB et r = OM
4πε 0 r
A ∈ D , entouré de dVA , a un moment dipolaire dp = P ( A) dv A . Le potentiel dV ( M ) crée en M
par dVA est : dV ( M ) =
V (M ) =
1
4πε 0 ∫∫∫D
1
4πε 0
r ⋅ P ( A)
Remarque : M ∉ D
r3
⋅
dp ⋅ r
r3
=
1
4πε 0
⋅
r ⋅ P ( A)
r3
dv A , le potentiel totale crée par D est :
où r = AM = OM − OA = rM − rA (figure)
dv A (1)
⇒ r = AM ≠ 0 donc l’intégrale converge.
2. Cas particulier : Polarisation uniforme P ( A ) = cte (module, direction et sens)
 1
V (M ) = P ⋅
 4πε 0

r
∫∫∫D r 3 dv A  = P ⋅ I
I est le champ électrostatique crée par une densité de charge volumique ρ = 1C / m3
1 1⋅ d vA
1 d qA
En effet : d I = d I =
⋅ 2 =
⋅
avec d q A = ρ ⋅ d v A et r = r u
4πε 0
r
4πε 0 r 2
3. Distribution de charge équivalente à la polarisation :
On a grad M  1  = − u2 = − r3 (La dérivée est prise par rapport aux coordonnés de M).
r
r
r
Or r = AM ; − r = MA ⇒ grad A  1  = u2 = r3 et div ( f ⋅ a ) = f ⋅ diva + a ⋅ grad f
r
r r
 P  divP
P⋅r
1
.Toutes les opérations agissent sur les coordonnés de A.
= P ⋅ ∇ A   = div   −
3
r
r
r
r
Théorème de Green Ostogradsky : ∫∫∫ divb ⋅ dv A = ∫∫ b ⋅ dS
D
S
où dS = dS ⋅ n et n = 1 : vecteur unitaire normal à dS et sortant du volume du D.
(1) → V ( M ) =
Avec
1
4πε 0
∫∫∫
D
− divP
1
dv A +
4πε 0
r
∫∫
ρ P = −divP = −∇ ⋅ P
S
P⋅n
1
dS =
4πε 0
r
et
∫∫∫
D
ρP
r
dv A +
1
4πε 0
∫∫
σP
r
S
dS
σP = P⋅n
Conclusion : le potentiel électrostatique crée par la polarisation P (par le diélectrique polarisé) est
équivalent à la somme de deux potentiels crées par deux distributions de charges
macroscopiques fictives, dans le vide (voir ε 0 ) :
•
•
une distribution volumique de densité : ρ P = − div A P = −∇ ⋅ P = − ( ∂ x Px + ∂ y Py + ∂ z Pz
⌢
une distribution surfacique de densité : σ P = P ⋅ n = P cos P, n
( )
5/65
M
A
M
A
M
A
)
Remarques :
Si P ( A ) = cte
ρ P = −divP ( A ) = 0 , σ P = P ⋅ n ≠ 0 charges en surface
La somme des charges de polarisation induite dans un diélectrique est nulle
QT = QP = ∫∫∫ ρ P dv + ∫∫ σ P dS = ∫∫∫ ( − divP ) dv + ∫∫ ( P ⋅ n ) dS = ∫∫∫ ( − divP ) dv + ∫∫∫ ( divP ) dv = 0
D
S
D
S
D
D
En accord avec le sens physique de ρP et σP qui sont des excédants locaux de charges liées
apparues sous l’action du phénomène de polarisation dans un milieu globalement neutre.
Si en plus, le diélectrique porte des charges libres de densité volumique ρ l (alliage métal-
diélectrique) et de densité surfacique σ l (peinture métallique Al ou frottement de verre)
V (M ) =
ρP + ρ l
σ + σl 
1 
dv A + ∫∫ P
dS 
 ∫∫∫D
S
4πε 0 
r
r

4. Champ électrostatique crée par un diélectrique polarisée en M ∉ D
ρP
σ
1 

On sait que E ( M ) = − grad V ( M ) et que V ( M ) =
dv A + ∫∫ P dS  donc
∫∫∫

S r
4πε 0  D r

r
ρP
σ
u 

avec u =
et u = 1
E (M ) =
dv A + ∫∫ 2P dS 
2
∫∫∫

S r
4πε 0  D r
r

Remarques
La permutation de ∇ et
∫
est justifiée par le fait que ρ P et σ P sont bornées et continues et
r = AM ≠ 0 (car M ∉ D ) les intégrales sont absolument convergents
Les expression de V et E sont aussi valables à l’intérieur du diélectrique car
E ( M ) = − grad V ( M ) et rotE = 0 le sont également tant que r = AM ≠ 0 et l’approximation
(
)
dipolaire est valable ( r ≪ AB ) car rotE = ∇ ∧ −∇V = 0 .
Donc au point M ∈ D on définit ρ P ( M ) = −∇ ⋅ P ( M )
IV.
Champ électrique E macroscopique à l’intérieur d’un diélectrique, vecteur D :
1 Forme local du théorème de Gauss :
Qint
∫∫ S E ⋅ dS ≡ ε 0 donc d’après le théorème de Green-Osto
1
∫∫∫ divE ⋅ dv = ∫∫∫ ρint ⋅ dv D’où divE ( M ) = ρint / ε 0
ε0
v
v
ρint à ( S ) de Gauss
2 Vecteur déplacement électrique D :
Soit un diélectrique polarisé ( ρ P ≠ 0 ) et contenant des charges libres ( ρ l ≠ 0 ) en M ∈ D :
∇ ⋅ E (M ) =
1
ε0
( ρl + ρ P ) =
1
ε0
( ρ l − ∇ ⋅ P ( M ))
∇ ⋅ D ( M ) ≡ ρ l ( M ) avec
(
)
⇒ ∇ ε 0 E ( M ) + P ( M ) = ρ l et
D ( M ) ≡ ε0 E ( M ) + P ( M )
est appelé vecteur déplacement (ou excitation) électrique. Unités : [ D ] = [ P ] = C / m2 .
6/65
Remarques
Dans le vide ( M ∉ D ) :
P = 0 ⇒ D = ε 0 E ⇒ divD = div ε 0 E = ρ l
(
)
⇒ divE = ρ l / ε 0
Dans un conducteur en équilibre électrostatique : Eint = 0 et
Si D est polarisé et non chargé ( ρ l = σ l = 0 ) :
P=0 ⇒ D=0
divD = 0 on dit que D est à flux conservatif.
* divD = 0 = div ( ε 0 E + P ) ⇒ div ( ε 0 E ) = −divP = ρ P ≠ 0 en général
(
)
* ∇ ∧ D = ∇ ∧ ε 0 E + P = ε 0∇ ∧ E + ∇ ∧ P ⇒
∇∧D =∇∧P
D’où P ≠ −ε 0 E et E n’est pas toujours à flux conservatif ( divE ≠ 0 ),
Si P = cte
divE = 0 et E est à flux conservatif.
⇒
3 Forme intégrale du théorème de Gauss :
Forme local en un point M ∈D
D : divD ( M ) = ρ l donc
∫∫∫ divD ⋅ dv = ∫∫
v
A
S
D ⋅ dS = ∫∫∫ ρ l ⋅ dvA = Ql
v
∫∫
⇒
S
D ⋅ dS = Ql
Q l : Charge libre contenue dans v englobée par la surface S
Remarques
∇ ⋅ D = ρ l est valable en régime permanent (où E = E0 ⋅ e iω t = E0 = cte soit
ω = 2π / T = 0 ⇒ T → ∞ ) et aussi en régime variable (dynamique) (où E = Emax ⋅ e iω t ).
Pour calculer le champ en fonction des seules charges libres, il faut relier D et E (c à d P
et E ) par une relation constitutive du milieu considéré.
V. Propriétés des milieux diélectriques
a. Diélectrique linéaire
Si l’application qui en tout point M ∈D
( )
→ D ( M ) à E ( M ) , f E = D est
f
linéaire. Représentation analytique : Dans un repère oxyz , on a la forme
matricielle :
 Dx   ε xx ε xy ε xz   E x 
D = [ε ] E
[ε ] :

 
⇒  D y  =  ε yx
 D   ε
 z   zx
 

ε yy ε yz  ⋅  E y 
ε zy

ε zz   E z 
est la matrice des permittivités diélectriques, ses éléments ne dépendent que de M
D ( M ) = ε ( M )  E ( M ) ,
Si en plus le milieu est homogène [ε ] ne dépend plus de M et D ( M ) = [ε ] E ( M ) , on
montre que la matrice [ε ] est symétrique donc diagonalisable.
7/65
En un point M ∈ D , il existe trois axes M x , M x , M x perpendiculaires entre eux appelés
1
2
3
axes
électriques
du
milieu
au
point
M
(où
axes
principaux)
où
 D1   ε1 0 0   E1 
 D1 = ε1E1

  
  
 D2  =  0 ε 2 0  ⋅  E2  ⇒  D2 = ε 2 E2
D = ε E
D   0 0 ε  E 
3  3
3 3
 3 
 3
avec ε1 , ε 2 , ε 3 sont les permittivités diélectriques principales en M.
Dans le système d’axes principaux, on à en un point M :
 P1 = (ε1 − ε 0 ) E1

D = ε 0 E + P ⇒ P = D − ε 0 E ⇒  P2 = ( ε 2 − ε 0 ) E2
 P = (ε − ε ) E
3
0
3
 3
Dans ce milieu P et E ne sont pas colinéaires ( P est fonction de la direction du champ E ). On dit
que le milieu diélectrique est anisotrope (exp. quelque substance cristallisées).
ε.
2. Diélectrique linéaire, homogène et isotrope (L.H.I) :
a) Définition
Un D est l.h.i si ∀ M ∈ D les permitivités principales ε1 , ε 2 , ε 3 prennent la même valeur
Exemple: Cas des fluides diélectriques, solides amorphes (non cristallisés : verres) et des solides
cristallisant dans le système cubique ( NaCl : c.f.c) …
b) Susceptibilité diélectrique d’un D (l.h.i):
Si ε est la permitivité d’un tel milieu on a D = ε E ( D et E sont colinéaires pour tout M ∈ D ).
On pose : χ e = ε / ε 0 − 1 or D = ε 0 E + P ⇒ P = ε E − ε 0 E = ε 0 ( (ε / ε 0 ) − 1) E = ε 0 χ e E ,
χe : Coefficient sans dimension appelé susceptibilité diélectrique ( E et P sont colinéaires)
La relation D = ε 0 E + P devient D = ε 0 (1 + χ e ) E avec ε = ε 0 (1 + χ e ) ,
Dans le vide ε = ε 0 d’où le nom permittivité relative ou constante diélectrique donnée à
ε r = 1 + χe = ε / ε 0 > 1
Unités : χe et ε r sont des nombre sans dimension : [ε ] = [ε 0 ] = F / m .
Conclusion: Dans un milieu diélectrique L.H.I on a P = ε 0 χ e E et D = ε E (avec
ε r = ε / ε 0 = 1 + χ e ) exprimant la réponse linéaire de la matière au champ qu’elle subit.
Remarques
*
En fait, la démarche est inverse, l’expérience (les mesures) montre que pour les champs
électriques pas trop intenses (faibles) utilisés couramment, la polarisation P est proportionnelle au
champ total macroscopique E . En un point M ∈ D donné on à : P ( M ) = ε 0 χ e E ( M ) avec
E ( M ) = E0 + E P où E0 est le champ extérieur appliqué du aux charges libres fixes et EP du aux
charges liées de polarisation. D’où D ≡ ε 0 E + P = ε E avec ε = ε 0 (1 + χ e ) .
*
Dans un D (L.H.I) : divD = ρ l ⇒ divE = ρ l / ε , les équations de D (L.H.I) se
déduisent donc de celle de l’électrostatique du vide en remplaçant ε 0 par ε .
c) Propriétés de la susceptibilité diélectrique:
χ e = ε r − 1 est toujours positive car l’expérience montre que les dipôles (c à d P )
*
s’orientent dans le sens du champ (c. à. d : expérience de Faraday : ε r = ε / ε 0 > 1 ).
8/65
*
Elle dépend du matériau et de son état physique (T, densité moléculaire, …) ce n’est qu’à
température et densité constantes que P est proportionnelle à E
χ e ( M ) = χ e = cte pour tout point d’un diélectrique homogène.
*
*
Le calcule de χe (ou de ε r ) demande une très fine connaissance de la structure du
matériaux (voir chapitre III).
* Données numériques :
Gaz (20°C,1atm)
Liquides (20°C)
ε r Solides
εr
106 ⋅ χ e
He
65
5.5
H2 O
80.36 Diamant
O2
6.15 NaCl
495 Acide acétique
6.12
N2
547 Ethanol
25.1 Nylon
3.5
43.5 Verres
4à7
CO2
921 Glycérol
Air sec
537 Acétone
21.2 BaTiO3
~1500
d) Equilibre électrostatique de conducteurs dans un D (L.H.I) :
Soit un système de conducteurs Ci (i=1…….n) dans le vide. Son champ électrostatique vérifie
∇ ∧ E0 = 0 (1) (Maxwell - Faraday) et ∇ ⋅ E0 = ρl / ε 0 (Maxwell - Gauss).
Sans modifier ρl on remplie l’espace entre les Ci par un D (L.H.I). Le nouveau champ E vérifie
et
∇ ∧ E = 0 ( 3)
∇ ⋅ ( ε E ) = ρl ( 4 )
Si en plus D est homogène ε r ( M ) = ε r = cte pour tout point M ∈ D donc :
et
∇ ∧ ε r E = 0 ( 3')
∇ ⋅ ε r E = ρl / ε 0
(
)
(
)
( 4') .
(1) et (3)' (ou (2) et (4)') donnent E = E0 / ε r : le diélectrique atténue le champ par ε r > 1 .
Cas particulier : V1 − V2 =
2
∫1 E ⋅ dl
est divisée par ε r et C = Ql / V1 − V2 est multiplier par ε r
c à d C = ε r C0 (interprétation de l’expérience de Faraday) (voir I-2-c).
I
3) Exemples de diélectriques L.H.I, polarisé uniformément sans charges libres internes :
σ tot = σ l + σ P = σ P = P ⋅ n

 ρtot = ρl + ρ P = 0 + 0 = 0
 P = ε 0 χe E
D(L.H.I) 
D =εE
a) Conducteur plan rempli d’un D (L.H.I)-Champ dépolarisant :
E0 = cte (Uniforme) donc P = cte = P ⋅ u .
Les charges libres portées par les armatures créent un
champ E0 = σ l / ε 0 u (au voisinage du conducteur :
Théorème de Coulomb) qui induit dans le diélectrique
une polarisation parallèle à E0 et de même sens que
E0 . Il apparaît sur les faces du diélectrique des charges
de polarisations de densité σ P = P ⋅ u = ± P .
(
)
D’où P crée à l’intérieur du diélectrique un nouveau champ EP = − σ P / ε 0 u = − P / ε 0
(le signe – car le champ est dirigé vers les potentiels décroissants)
9/65
Le champ total en M ∈ D est : E = E0 + EP = E0 − P / ε 0 est diminué par les charges liées.
EP (d’origine la polarisation) est de sens opposé à ( ou s’oppose à) E0 (champ extérieur ou
appliqué à D) qui lui a donné naissance. D’où le nom donné à EP : champ dépolarisant.
Remarques
l’expression E (total dans D) = E0 (polarisant) + EP (dépolarisant) est générale quelque
soit la forme du diélectrique. On écrit : EP = − N P / ε 0 ou N est le facteur dépolarisant qui dépend
de la forme géométrique du D.
b) Sphère diélectrique L.H.I :
1
Pour r < R : On montre (TD) que EP = − P , ici N = .
3
3ε 0
χ
3ε 0
P
3
3
E = E0 −
= E0 − e E ⇒ E =
E0 =
E0 =
E0
3ε 0
3
3 + χe
2 + εr
2ε 0 + ε
Donc E < E0 car ε r > 1 ( E ∼ E0 ).
3ε ε − ε 0 )
3ε ε − 1
D’où P = ε 0 χ e E = 0 ( r ) E0 = 0 (
E0 , ( P ∼ E0 ) .
2ε r
2ε 0 + ε
Pour r > R : la sphère est assimilable à un dipôle de moment
dipolaire p = 4 π R3 P .
3
10/65
Chapitre 2
RELATIONS DE PASSAGE - ENERGIE ELECTROSTATIQUE
STATIQUE –FORCE
SUBIT PAR UN QIELECTRIQUE DANS UN CHAMP EXTERIEUR.
I. Relations de passage
1.
Introduction :
Soient deux milieux (1) et (2) séparés par une surface S. ces deux milieux peuvent être D-D,
D
D-vide ou D-Conducteur.
Conducteur. Les conditions de continuité découlent des propriétés locales des champs
E et D c à d des équations de Maxwell dans un milieu matériel :
∇ ⋅ D = ρ l (M. G.) et ∇ ⋅ E = −
∂B
= 0 (M. F.) en régime permanent (indépendant du temps).
∂t
Les relations de passages expriment les relations entre les valeurs des champs de part et
d’autre de la surface de séparation au voisinage d’un point M ∈ ( S ) . On les obtient en intégrant
les équations de Maxwell entre deux points M1 et M 2 infiniment voisins de M sur la normale à S
en M. Soit n12 vecteur unitaire normal à S orienté du milieu (1) vers le milieu (2). Nous
définissons les champs en M dans (1) et (2) par :
 E1 ( M ) = lim E ( M1 )
 D1 ( M ) = lim D ( M1 )
M1 → M
M1 → M


et 

E ( M 2 )  D2 ( M ) = lim D ( M 2 )
 E2 ( M ) = M lim
M2 →M
2 →M


iscontinuité de la composante normale de D : ( ∇ ⋅ D = ρ l )
Discontinuité
Supposition : Dans le cas général, il existe dans les milieux (1) et (2) des charges volumique libres
ρl ( M1 ) et ρl ( M 2 ) et une charge surfacique libre σ l ( M ) sur (S).
ii.
Théorème de Gauss pour D : φ =
∫∫S D ⋅ dS = Q l .
Q l : charge libre contenue dans la surface de Gauss : cylindre de bases les deux disques centrés en
M1 et M2 et de génératrices parallèles à n12 .
dφ = D ⋅ dS = dQl
D ( M 2 ) ⋅ n12 dS + D ( M1 ) ⋅ ( − n12 ) dS + dφlat = ρl ( M1 ) hdS + ρl ( M 2 ) hdS + σ l ( M ) dS dφlat :
flux sortant de la surface latérale de hauteur 2h .
Quand M1 → M et M 2 → M h → 0 et par suite dφlat → 0 .
 D2 ( M ) − D1 ( M )  ⋅ n12 = σ l ( M ) ⇒ D2 n − D1n = σ l
D2 n − D1n = σ l n12
∀M ∈(S )
Discontinuité de la composante normale de D due à la présence
de σ l ≠ 0 sur ( S ) .
Rem
D2 − D1 ⋅ n12 = σ l , or Di = ε 0 Ei + Pi ( i = 1, 2 )
(
)
11/65
ε 0 ( E2 − E1 ) n12 + ( P2 − P1 ) n12 = σ l
σl + σ P
ε0
⇒ E2 n − E1n =
( E2 − E1 ) ⋅ n12 = σ l ε+ σ P
⇒
0
E2 n − E1n =
⇒
σl +σl
n12
ε0
En effet : ρ P = − divP ⇒ QP = ∫∫∫ ρ P dv = − ∫∫∫ ∇ ⋅ P dv
v
σ P dS = − P ⋅ n12 dS ⇒ P ⋅ n12 = −σ P
Conclusion :
Green
v
=
− ∫∫ P ⋅ dS = ∫∫ σ P ⋅ dS
S
S
⇒ P2 ⋅ n12 + P1 ⋅ ( − n12 ) = −σ P
D2 n − D1n = σ l n12 ⇔ E2 n − E1n =
σl + σ P
n12
ε0
⇔
(P − P )⋅ n
⇒
2
(P − P )⋅n
2
1
12
1
12
= −σ P
= −σ
Continuité de la composante tangentielle de E : (
2.
∫∫S (
)
stoks
∇ ∧ E .dS =
∫ E ⋅ dl =C
: Circulation de E sur le contour fermé ( Γ ).
Γ
dC = E ⋅ dl = 0 , posons AB = dl donc dC = E ( M 2 ) ⋅ AB + E ( M1 ) ⋅ CD + δC lat = 0
δC lat : Circulation de E sur les cotés BC et DA.
Quand M1 → M et M 2 → M δC lat → 0 .
E ( M1 ) → E1 ( M ) et E ( M 2 ) → E2 ( M )
− E2 ( M ) ⋅ AB ⋅ t + E1 ( M ) ⋅ CD ⋅ t = 0.
⇒
⇒
E2 ( M ) ⋅ t = E1 ( M ) ⋅ t
⇒
E2t = E1t
E2t = E1t : Conservation de la composante tangentielle de E
Remarques :
* E2 − E1 ⋅ t = 0
(
)
* E2t = E1t
( E2 − E1 ) ∧ n12 = 0
⇒
⇒ V2 = V1 : continuité du potentiel ( E = −∇V ), avec D2 n − D1n =
σl
n
ε 0 12
plus commode dans les calcules.
 E = −∇V2
En effet :  2
(
(
)
⇒ E2 − E1 = − ∇V2 − ∇V1 = −∇ (V2 − V1 ) || n12
 E1 = −∇V1
E2 − E1 ⋅ t = −t ⋅ ∇ (V2 − V1 ) = 0 ⇒ V2 − V1 = cte = 0
)
(
)
* ∇ ∧ D = ∇ ∧ ε 0 E + P = ε 0 ∇ ∧ E + ∇ ∧ P = ∇ ∧ P ≠ 0 en général et par suite D2t ≠ D1t
=0
4.
Cas de deux diélectriques L.H.I
D1 ≡ ε1E1 et D2 ≡ ε 2 E2
a.
Relations de passage :
12/65
 E2t = E1t

σP

E
−
E
=
n12
2
n
1
n

ε
0

 D2t D1t
=

ε1
 ε2
D − D = σ n
1n
l 12
 2n
⇔
b.
Réfraction des lignes de champs : (cas σ l = 0 )
Hypothèse : ε1 > ε 2
 D2t D1t
=
⇒

ε1
 ε2
 D =D
1n
 2n
tan α1 =
D1t ε1
=
>1 ⇒
D2t ε 2
D1t
D
et tan α 2 = 2t ⇒
D1n
D2 n
D1t > D2t
tan α1 D1t ε1
=
=
tan α 2 D2t ε 2
 E2t = E1t

σP

 E2 n − E1n = ε n12
0

tan α1 tan α 2
=
⇒
ε1
ε2
Remarques :
Dans le cas ε1 > ε 2 on aura tan α1 > tan α 2
 π
⇒ α1 > α 2 , α ∈ 0, 
 2
Les lignes de champs se resserrent dans le diélectrique à grande permittivité (ici ε1 > ε 2 ).
La loi ε1 tan α 2 = ε 2 tan α1 est analogue à la loi de Descartes : n1 sin α1 = n2 sin α 2 .
5.
Cas d’un conducteur chargé (1) et d’un diélectrique (2) :

 E1n + E1t = E1 = 0 ⇒



 D1n + D1t = D1 = 0 ⇒

E2t = E1t = 0 ⇒
 E1n = 0

 E1t = 0
 D1n = 0

 D1t = 0
E2 = E2n + E2t = E2n (0) perpendiculaire a (S) dans le diélectrique.
σ +σP
σ +σP
n12 (1).
En effet E2 n − E1n = l
n12 ⇒ E2 n = l
ε0
ε0
=0
D2 n − D1n = σ l n12
⇒
D2 n = σ l n12 (2)
=0
Cas d’un diélectrique L.H.I :
( 0)
( 2)
D2 = ε E2 = ε E2 n = D2 n = σ l n12
⇒
E2 = E2 n =
σl
n (3)
ε 12
(1) et (3) donnent
σl + σ P σl
=
ε0
ε

 ε −1
1 
⇒ σ P = −σ l  1 −  = −σ l  r

 εr 
 εr 
Or ε r > 1 , σ P ∼ −σ l : deux régime différents σ P < σ l .
σP 1
=
σl εr
Cas du vide (1) et d’un diélectrique L.H.I (2) :
13/65
0
=
llll
σ
6.
⇒ 1+
D1 = ε 0 E1
P1 = 0
E2t = E1t
L.H .I
D2 = ε E2
D2t
⇒
ε
=
D1t
⇒
ε0
>1
⇒ ε E2n = ε 0 E1n
D2n = D1n
D2t = ε r D1t
⇒
II-
E2 n =
E1n
εr
E2n < E1n
Energie électrostatique
a.
Densité d’énergie électrostatique :
Rappel : l’energie potentielle d’une charge q placée dans une région où règne un potentiel
V est : E p = qV , et on montre que pour une distribution volumique de charge de densité ρ dans
1
ρ ⋅ V dv
2 ∫∫∫v
Soit un diélectrique polarisé ( σ P ≠ 0 , ρ P ≠ 0 ) contenant une densité de charge libre ρl .
une région de potentiel V on a E p =
D’après le théorème de Gauss : divD = ρl et par suite :
(
(
)
) (
)
1
divD ⋅ V dv Or divD ⋅ V = divD V + D ⋅ grad V
2 ∫∫∫v
1
1
E p = ∫∫∫ div D ⋅ V dv − ∫∫∫ D ⋅ grad V dv
2 v
2 v
1
1
= ∫∫ D ⋅ V ⋅ n dS + ∫∫∫ D ⋅ E dv
2 S
2 v
Faisons étendre le volume v contenant ρl à tout l’espace pour
Ep =
(
)
calculer le flux de
D ⋅V
prenons sphère de surface S et rayons r :
1
1
1
1 1
1
V ∼ , D = ε E + P ∼ E ∼ , dS ∼ 2 ⇒ D V ⋅ n dS ∼ 2 ⋅ r 2 ∼
r
r
r
r
r r
D’ou :
(
r → ∞ . Or
r →∞
→
0
)
dE p
1
1
la
dentition
d’énergie
volumique
est
:
E
⋅
D
dv
W
=
= E⋅D.
∫∫∫
v
espace
2
dvespace 2
Autre forme : diélectrique polarisé D = ε 0 E + P
1
1
1
W = ε0 E2 + E ⋅ P
Donc : W = E ⋅ ε 0 E + P ⇒
2
2
2
1
W= ε 0 E 2 : Densité d’énergie de polarisation dans le vide
2
1
W − W0 = E ⋅ P : Densité d’énergie nécessaire à la polarisation du diélectrique.
2
b.
Cas d’un diélectrique L.H.I :
1
1
W = ε E2 .
D = ε E ⇒ W = E ⋅ε E ⇒
2
2
(
P = ε 0 χe E
c.
)
⇒ W − W0 =
1
1
E ⋅ ε 0 χ e E = ε 0 ( ε r − 1) > 0 ⇒ W > W0 : même E .
2
2
Exemple :
14/65
Cas d’un condensateur plan remplie d’un diélectrique L.H.I polarisé uniformément ( P = cte ).
E = E0 −
W≡
P
ε0
= cte dans le diélectrique est nul ailleurs.
dE p
1
= ε E2
dv
2
⇒ Ep =
1
1 2
1 2
1 S
2
2
ε
E
dv
=
ε
E
dv
=
ε
E
S
e
=
ε ( E e)
∫∫∫
∫∫∫
v
v
2
2
2
2 e
S

 C =ε
⇒ 
e
 ∆V = E ⋅ e
1
2
E p = C ( ∆V )
2
Dans le vide : E = E0
Q = C ⋅ ∆V
Ep =
1
1 Q2
Q ⋅ ∆V = ⋅
2
2 C
1
2
E p0 = C0 ( ∆V )
2
⇒ ∆W = W − W0 = ( ε r − 1)W0
⇒ ∆V = E0 e = cte ⇒
∆E p = E p − E p 0 = ε r E p0 − E p 0 = ( ε r − 1) E p 0
III. Force subit par un diélectrique dans un champ inhomogène
1.
Rappel :
Un dipôle électrostatique p placée dans un champ non homogène E est soumis à :
(
)
(
)
•
La force : F = p ⋅ grad E = p ⋅∇ E
•
Le moment : Γ = p ∧ E
2.
Soit
oit un diélectrique D de polarisation P =
dp
.
dv
dv de D se comporte comme un dipôle de moment dipolaire :
dp = P dv , dans le champ E il est soumis à la force :
(
)
(
)
dF = dp ⋅ ∇ E = P ⋅ ∇ E dv .
La densité volumique de force f ≡
3.
(
)
dF
= P ⋅∇ E
dv
Cas d’un diélectrique L.H.I
P = ε 0 χ e E = ε 0 ( ε r − 1) E
(
)
f = ε 0 ( ε r − 1) E ⋅ ∇ E = ( ε − ε 0 )  E x ∂ x + E y ∂ y + E z ∂ z  ⋅  E x i + E y j + E z k 
f x = ( ε − ε 0 )  E x ∂ x + E y ∂ y + E z ∂ z  E x = ( ε − ε 0 )  E x ∂ x E x + E y ∂ y E x + E z ∂ z E x 
Régime permanent (champ statique) :
∂ y Ez = ∂ z E y
 ∂ x   Ex   0 
     

∂B
∇∧E =−
= 0 ⇒  ∂ y  ∧  E y  =  0  ⇒  ∂ z Ex = ∂ x Ez
∂t
∂ E = ∂ E
 ∂   E  0
y x
 z  z  
 x y
f x = ( ε − ε 0 )  E x ∂ x Ex + E y ∂ y E x + E z ∂ z E x  = ( ε − ε 0 )
f =
ε − ε0
2
( )
⋅∇ E2 =
∂  E2

∂ x  2



εr −1  1

1

∇  ε E 2  = ( ε r − 1) ∇  ε 0 E 2  = ( ε r − 1) ∇W0
εr
2

2

15/65
Où ε est la densité d’énergie du diélectrique D et W0 la densité d’énergie de position dans le vide
f =
Donc :
4.
dF ε r − 1  1

1

=
∇  ε E 2  = ( ε r − 1) ∇  ε 0 E 2 
dv
εr
2

2

Remarques :
Si E = cte (uniforme) on aura f = 0
P = ε 0 χ e E avec E = E0 + EP , si E = E0 c à d que le champ appliqué E0 ( EP = 0 )
1

ε 0 E02 
2

pour un diélectrique L.H.I f = ( ε r − 1) ∇ 
L’expression de f montre qu’elle est perpendiculaire aux lignes de champ ( E = cte )
(
E = E (M )
)
c
(
à
)
d
inhomogène,
F = p ⋅ ∇ E ( M ) = grad p ⋅ E ( M ) − p ∧ ∇ ∧ E ( M ) champ statique
5.
Application : mesure de susceptibilité χe
Enoncé
Soit un liquide diélectrique (L.H.I) ( ρ =
p ≠ p(M )
et
=0
m
, χe )
v
a.
Expliquer qualitative pourquoi le liquide monte à
l’intérieur du conducteur plan.
En supposant que l’on puisse confondre le champ E
b.
dans le liquide avec le champ appliqué E0 , calculer la
dénivellation h entre les surfaces libre du liquide dans les
deux tranches du tube.
Solution
a.
Une tranche du liquide de hauteur dz est équivalente à un dipôle de
moment : dp = P dv . D (L.H.I) donc P = ε 0 χ e E et dv = S dz et par conséquent
dp = ε 0 χ e E S dz
Dans la zone où E est inhomogène (effet de bord), dp subit la force
dFz = dF ( + ) + dF ( − ) dirigée vers le haut : dFz = dFz k le
liquide monte vers le haut
ε
dF
= χe 0 ∇ E 2
dv
2
ε
dE
⇒ dFz = χ e 0 ⋅ 2 ⋅ E
⋅ S ⋅ dz = χ e ε 0 S E dE , E ≃ E0 : en confondant le champ E dans
2
dz
V
le liquide avec le champ appliqué E0 =
( car la contribution des actions intérieures est nulle :
d
b.
f =
( )
opposition des actions mutuelles). Le liquide subit au totale :
16/65
Fz = χ e ε 0 S ∫
E0
0
E dE =
ε 0 χ e S  2  E0 ε 0 χ e S V 2
E
=
, la force Fz = Fz k équilibre le poids
2
2

0
2
d
de la tranche de hautreur h
Fz + mg = 0 ⇒
D’où :
Fz = mg
⇒
ε 0 χe V 2
h=
2ρ g d 2
ε 0 χe S V 2
2
d2
= ρShg
ou
χe =
2ρ g d 2
ε0 V 2
La mesure de h donne la susceptibilité χe du liquide diélectrique.
Remarques
17/65
⋅h
Chapitre 3
ETUDE MICROSCOPIQUE DE LA POLARISATION
VIII. Molécules polaires et molécules non polaires
1. Molécules polaires :
Une molécule polaire n’a pas de centre de symétrie (Exp. : HCl, H2O, NH3…) G − ≠ G + .
Même en l’absence d’un champ électrique extérieur E0 elle a un moment dipolaire électrique
permanent : p = q G − G + ≠ 0 .
L’application de E0 extérieur oriente ces dipôles
dipôl dans son sens.
2. molécules non polaires
Une molécule non polaire a un centre de symétrie (H2, CH4, C6H6…) G − ≠ G +
→
p = p1 + p 2 = 0
Sous E0 , elle peut acquérir un moment dipolaire induit qui s’alignera avec le champ.
Remarque :
La polarisation induite dans un diélectrique sous E0 est le phénomène de polarisation
dp
P=
= ∑ pi
dv
i
par unité de volume.
IX. Champ microscopique et champ macroscopique :
1. Champ microscopique e :
C’est le champ électrique qui existe dans le vide qui sépare les
particules du milieu.
3 ( pi ⋅ r ) − r 2 pi
e ( r ) ≃ ∑ ei = ∑
4 π ε 0 ri 5
dipoles i
i
2. champ macroscopique :
E (M ) =
1
τ
e dτ
∫∫∫
τ
18/65
p = 0.
C’est la moyenne spatiale de e , au voisinage d’un point M entouré d’un volume τ
contenant assez de particules pour qu’il soit représentatif de la structure du matériau.
Exemple : dans un solide τ est égale au volume de la maille cristalline τ = a 3 dans le
système cubique (c.s, c.c, c.f.c).
Remarques :
• E est le champ électrique qui figure dans les équations de Maxwell : D ≡ ε 0 E + P
(
( )
∇∧E = −
)
 div ε 0 E + P = ρl


 div B = 0
•
∂B
∂t
∇ ∧ H = Jl +
E = E0 + EP où EP = − [ N ]
P
ε0
∂
ε0 E + P
∂t
(
)
champ dépolarisant.
X. Champ local El
1. Définition :
Soit M une molécule (ou un atome ou un ion) d’un diélectrique D. El est le champ ressenti
par la molécule M . C’est le champ crée en M par toutes
les particules autre que celles de M .
C’est El qui intervient
ervient dans les divers mécanismes
de la polarisation. (§ IV).
2. Calcule de El :
Soit une sphère ( S ) centrée en M (molécules d’essai)
El = E0 + E1 + E2
(1)
E0 : champ crée par les charges fixes extérieures (ici par ± σ l ).
E1 : champ crée par les molécules du diélectrique D extérieures à ( S )
c à d : D - ( S ) + la cavité sphérique
E2 : champ crée par les molécules autre que M intérieures à ( S ) .
c. à. d à
(S ) − M
Les σ P des faces du D voisines des armatures créent EP = −
porte σ P = P ⋅ n = − P cos (θ )
⇒
Ecavité =
P
ε0
. La face interne du D - ( S )
P
P
d’où E1 = EP +
avec E = E0 + EP2
3ε 0
3ε 0
19/65
(2)
(1) → El = E0 + EP +
(2)
P
P
+ E2 = E +
+ E2
3ε 0
3ε 0
macro
cavité
3. Expression de Lorentz de El :
On montre que E2 = 0 :
o dans un milieu dense (gaz, liquide ou solide amorphe)
o en un nœud d’un cristal régulier du système cubique (c.s, c.c, c.f.c) d’où :
P
El = E +
: champ local de Lorentz.
3ε 0
Remarques :
• Dans le cas d’un diélectrique, sphérique ou cubique, cristallisant dans le système
P
P
+
+ E2 = E0 .
cubique on a : El = E0 −
3ε 0 3ε 0
=0
exterieur
P
valable pour une cavité sphérique ou cubique.
3ε 0
•
Ecavité =
•
En pratique, pour annuler EP il y’a deux façons :
o Echantillon long et fin.
o Relier par un fil conducteur les deux faces d’une lame mince c à d neutraliser
± σP .
XI. Mécanismes de la polarisation :
1.
polarisation électrique induite :
Elle résulte de la déformation des nuages électroniques sous l’action d’un champ électrique
Soit une molécule M non polaire
placée en un point où règne le champ local
lo
El .
On observe pour El faible : p ∼ El
On définie p ≡ α e ε 0 El ou α e est la polarisabilité électronique de la molécule.
Pour un milieu non polaire contenant n molécules, par unité de volume, de polarisabilité α e .
Sous El il acquiert la polarisabilité :
Pe = ∑ pi = n p = n α e ε 0 El
i
Remarques :
 p  = α ε 0 El 
⇒
car [Q ] = [C ] ⋅ [V ] → C = F ⋅V
ε0 =
1
= 8.854 ⋅10−12 F ,
2
m
µ0 c
 p  C ⋅m
C
⋅ m3 = m3
= F V =
F ⋅V
 ε 0 El 
⋅
m m
[α ] = 
1
4π ε0
=
2
C2
= 8.988 ⋅109 N m 2
7
c
10
20/65
α à les dimensions d’un volume.
volume
Pour certaines molécules dissymétriques : p n’est pas colinéaire à El , on écrit :
p = [α ] ε 0 El où [α ] est le tenseur de polarisabilité
On montre (T.D) dans le cas de la polarisabilité de l’atome d’hydrogène que
4
α e = 4 π a 3 = 3 va ( va = π a 3 ) où a est le rayon de l’atome sphérique et va son volume.
3
2. Polarisation ionique induite :
Elle résulte de la déformation du réseau cristallin sous l’action d’un champ électrique
La polarisation Pi est d’autant plus forte que la compressibilité du cristal est plus grande
Exemple : cristal
CsCl ( c.c )
experience
Pi ∼ n α i ε 0 El

→
NaCl ( c.f.c )
Remarque : En plus de Pi il apparaît Pe on a
P = Pi + Pe = n (α i + α e ) ε 0 El
3. polarisation d’orientation (ou dipolaire) :
Elle résulte de la tendance qu’ont les molécules polaires à s’orienter dans le sens d’un champ
électrique.
a. Etude qualitative :
Sous El , chaque molécule de moment p0 subit le couple γ = p0 ∧ El qui tend à s’aligner
avec El . L’énergie potentielle du dipôle est : U = − p0 ⋅ El = − p0 El cos (θ )
U min = − p0 El c. à. d. θ = 0 plus favorable énergétiquement.
21/65
Cette tendance à avoir P El est contrariée par l’agitation thermique d’énergie k B T
R
(où k B = = 1.38 ⋅10 −23 J
la constante de Boltzmann),
K
N
E
peut deviner que la polarisation d’orientation Pe ∼ l
T
b. Calcul de Langevin : (1872-1946)
Soit un volume unité d’une substance polaire et dn le
nombre de dipôles orientés à l’intérieur
l’intérie d’un angle solide
dΩ autour d’une direction u .
- Si El = 0 : la répartition des dipôles est désordonnée :
indépendante de la direction. (fig. 1)
- Si El ≠ 0 : (fig.. 2) la loi de répartition statistique de
Boltzmann donne :
dn = A e
−U
kB T
dΩ
(1)
Les états de forte énergie U ( → ∞ ) sont les moins probables dn ( → 0 ) .
U = − p0 ⋅ El = − p0 El cos (θ ) énergie potentielle du dipôle rigide p0 dans El .
A : constante, r = r u , dS = dS n , n ⋅ u = 1 .
dS ⋅ u dS 2 π r 2 sin θ dθ
= 2 =
= 2 π sin θ dθ .
r2
r
r2
Par raison de symétrie P est colinéaire à El .
dΩ =
(1)
P = n p0 = ∫ p0 cos θ dn = A p0 ∫ cos θ e a cosθ d Ω
(2)
p0 El
et p0 cos θ la projection de p0 sur El = contribution à P .
k BT
Il y a n molécules (dipôles p0 ) dans le volume unité.
Où a =
(1)
n = ∫ dn = A ∫ e a cosθ d Ω
π
(2) et (3) donnent P = n p0
∫ cos θ e
0
π
∫e
a cosθ
a cosθ
⇒
A=
n
∫e
2 π sin θ dθ
= n p0
2 π sin θ dθ
a cosθ
V
D
(3)
dΩ
(4)
0
π
sh ( a )
2 π a cosθ π
2π −a a
4 π ea − e−a
 2π 


D= ∫ e a cosθ 
d
a
cos
θ
=
−
e
=
−
e
−
e
=
= 4π
(
)
(
)



0
a
a
a
2
a
 a 
0
d (D)
V=
, log D = log 4π + log ( sh a ) − log a
da
 ch a 1 
1 d ( D)
d
= n p0
(4) → P = n p0
( log D ) = n p0  − 
D da
da
 sh a a 
1

P = n p0 coth a −  = n p0 L ( a )
a

22/65
L ( a ) : fonction de Langevin.
on
c. Interprétation : Por = n p0 L ( a )
∗
80 % de Por atteint pour a = 5 . c. à. d. p0 El = 5 ( kB T ) .
∗
1
ր c. à. d. T ց (comme prévu dans a).
T
Pour a ≫ 1 (très basses T et El intense) L ( a ) = 1
∗
Por ր quand a ∼
Por = n p0 : Tout les dipôles sont (gelés) alignés avec El (fig. 3), une nouvelle augmentation
de El n’accroît plus P0 : saturation de la polarisation.
∗
Pour T = 25 C ( ∼ 300 K ),
p0 = 10
−29
−23
C ⋅ m , El = 3 ⋅10 V
10 −3
, a≃
≪1
K
1.4
, k T = 300 × 1.4 ⋅10
m B
C’est le cas le plus important expérimentalement : a ≪ 1
 a2
  a3

a  1 + +…  − 1 + +… 
a ch ( a ) − sh ( a )
2
6
 
≃a
Au voisinage de O , L ( a ) =
= 
3
a
3
 a

a 1 + +… 
6


1
C à d la pente de la tangente en O à L ( a ) est (fig. 4)
3
2
p0 2
a n p0
 1
α
=
Por = n p0 =
El = n α or ε 0 El
⇒
or
∼ 
3 ε 0 kB T
3 3 kB T
 T
Remarques :
C
Por =
( a ≪ 1) varie fortement avec la température.
T
Pe ne dépend que de la nature des molécules.
5
J
Pi ne dépend que de la structure d’un cristal.
fusion
→ Liquide ( ε r = 35 )
d. Exemple : Fusion du Nitrobenzène : Solide ( ε r = 3) 
Due à la liberté d’orientation acquise par les molécules dans la phase liquide
ε −1
Por = n α or ε 0 El ( α or ∼ r
§ V.b).
εr + 2
XII. Susceptibilité électrique χε :
1. Relation
elation entre Susceptibilité et polarisabilité :
a relation :
a.
23/65
Por = n α or ε 0 El (§ IV), pour un mécanisme donné, α polarisabilité des constituants du
milieu et n leur nombre par unité de volume. On prenant le champ de Lorentz on a :
D ( l .h.i .)

nα
P 
nα
(3).
Por = n α ε 0 El = n α ε 0  E +
ε 0 E = χ e ε 0 E . D’où χ e =
 ⇒ P=
α
1 − nα / 3
3ε 0 

1− n
3
Remarques :
Cette relation est établie pour un diélectrique D (l. h. i.) et un milieu dense (gaz,
liquide ou solide amorphe) ou un cristal de symétrie cubique.
(1) établie un lien entre χ e = ε r − 1 macroscopique et α microscopique.
b. Formule de Glausuis-Mossoti :
Dans (1) on introduit ε r = 1 + χ e mesurable par C = ε r C0 d’un condensateur remplie par le
diélectrique étudié.
On relie n à µ : masse volumique mesurable
µ NA
m n′ M
M → masse molaire
µ= =
=n
d'où : n =
V V N
NA → nombre d'Avogadro
M
n′
M
: nombre de dipôles par unité de volume et
: masse d’une molécule
n=
V
NA
(1)
→
χe
nα
=
3 + χe
3
⇒
ε r − 1 α µ NA
=
εr + 2 3 M
⇒
M ( ε r − 1)
α
= NA
µ (ε r + 2 )
3
( 2)
C’est la formule de Glausuis-mossoti elle est valable quelque soit le mécanisme de
polarisation α i pour les fluides (gaz denses et liquides).
∗
Cas d’un milieu peu dense fluides : gaz dilués (polaires ou non)
(1 )→
χe = nα
Gaz P = 20 atm
χe ≪1
→
ε r ≃ 1 . 
(3 )
( 2)
→
M
µ
( ε r − 1) = NAα
Remarques :
P = n α ε 0 El = χ e ε 0 E et ( 3 ) → El = E = E0 + EP
Cas d’un gaz parfait : P V = n ′ R T
α or =
p0 2
3ε 0 kB T
→ χe ∼
(Gaz)
→ P = n R T et ( 3 ) → χ e =
P
α
RT
( 4)
P
T
2. facteur dont dépend la susceptibilité :
a. milieux non polaires : α e et éventuellement α ion
•
Gaz (peu dense) :
b. Les mesures montrent qu’a T = cte , χ ∼ P : conforme à ( 3 ) et ( 4 ) .
• Liquides et solides :
χ e = n α e dépend de la température très peu par n . (dilatation thermique)
c. Milieu polaire : Relation de Langevin-Debye.
24/65
∗
En générale α = α eléct + α ion + α or or α or =
p0 2
:
3 ε 0 kB T
On pose : α 0 = α eléct + α ion terme indépendant de T .
D’où : α = α 0 +
p0 2
3 ε 0 kB T
Relation de Langevin-Debye
p0 2 
M ( ε r − 1) NA 
=
α
+
( 5) ( dim. volume )
 0
=v
µ (ε r + 2 )
3 
3 ε 0 kB T 
( 5) est vérifiée expérimentalement par la mesure de µ et ε r à diverses températures T pour une
même substance. L’accord avec la théorie satisfaisant pour des milieux pas trop denses.
( 2)
∗ Exemple : Mesures
Mesure de Debye
5
(
)
M ( ε r − 1) a ′
v=
= + b′
µ (ε r + 2 ) T
NA p0 2
→ p0 = …
3 3 ε 0 kB
Ordonné à l’origine
N
b′ = A α 0 → α 0 = α éléct d’où :
3
∀T
ε r = ε r (T )
Pente a ′ =
Figure : p0 ( H Cl ) p0 ( H I ) : Cl − plus
électronégatif que I − , H Cl plus ionique que H I .
α 0 ( H I ) > α 0 ( H Cl ) : molécules H I plus grosse que H Cl .
a ′ ( CH 4 ) = 0 →
symétrie).
p0 ( CH 4 ) = 0 , CH 4 non polaire (à un centre de
ε r des solides :
Dans les solides les groupements atomiques occupent des sites cristallins
(position fixes).
• Milieux isotrope : (vitreux, amorphes) état désordonné des molécules, pas d’orientation. On
applique ( 2 ) avec α = α eléct + α ion
• Solides cristallins :
nα
Na Cl ( c.f.c.) , E2 = 0 , χ e =
, α = α ion + α or , α ion ≃ 3α eléct .
α
1− n
3
• Diamant (Blende) : α = α eléct
∗
Ba Ti O 3 : α = α eléct + α ion + α or = α 0 +
p0 2
.
3 ε 0 kB T
25/65
XIII. Piézoélectricité :
Cas des molécules polaires (quartz) pas de centre de symétrie. Un déplacement relatif des
ions dû à une contrainte mécanique (force, P ∼ F ∼ E ) peut engendrer une polarisation en
l’absence du champ E0 extérieur. Réciproquement, le cristal se déforme quand on change la
polarisation par E0 ≠ 0 : le cristal est dit piézoélectrique.
Cette polarisation P est détectée en métallisant les faces d’un cristal. On forme alors un
condensateur. Sous P des charges libres sont attirées sur ces électrodes d’ou la mesure de ∆V (d.
d. p.).
L’application
plication d’efforts mécaniques (chocs) donne une d. d. p. ( ∆V ) transitoire ≃ 10 K V . Soit des
étincelles de claquage dans l’air.
Application :
- Allume gaz ou briquet piézoélectrique.
- Mesure de forces et pressions.
Exemples :
- Sel de seignette utilisé comme
co
transducteur dans les
microphones :
la voix ~ pression ~ force induit un signal électrique
- Cristaux ADP et KDP : phosphate déshydratés d’ammonium ( A ) et de potassium ( K ) qui
sont utilisés comme des générateurs
générate et récepteurs ultrasons.
XIV. Ferroélectricité :
∗
P = χ e ε 0 E et χ e = ε r − 1 =
nα
1− n
α
3
χ e = ε r − 1 → ∞ pour n α = 3 : Catastrophe de la polarisation.
1
quand T ց le cristal se contracte n ր : χ e ր ∼ 5000 .
T
nα
A
Et ε r ∼
: T C température critique de transition de Curie.
∼
α
T − TC
1−
3T
∗ Cas Ba Ti O 3 :
On montre que : n ∼
. T > TC = 120 C structure cubique PS = 0 : état paraélectrique.
. T < TC structure tétragonale ( a = b = c , α = β = 90
)
PS ∼ 15 ⋅ 10−2 C
T = 25 C : état ferroélectrique.
Application : condensateur à haute C = ε r C0 avec un faible volume.
26/65
m2
, ε r ≃ 10 4 à
Hystérésis électrique :
On fais varier E , le cristal se déforme d’ou une polarisation induite P c à d un diagramme
( P, E ) : cycle d’hystérésis.
OM courbe de première polarisation
Pour E > E max on a PS = cte .
En déduisant E , partant de M , on a un état irréversible.
. à E = E C : champ coercitif. P = 0
. à E = 0 : il subsiste une polarisation rémanente P ≠ 0 .
On montre (voir cycle du ferromagnétisme), que l’énergie calorifique dissipée durant un tour du
cycle est
W′ = S ⋅v
Où v est le volume du diélectrique et S l’aire du cycle.
27/65
CHAPITRE I
RAPPELS DE MAGNETOSTATIQUE DU VIDE
I- FORCE DE LORENTZ :
La force de Lorenz qui s’exerce sur une charge q de vitesse v en un point M de l’espace est
F = Fe + Fm avec : Fe = qE est la force électrique. Fm = q(V ∧ B) est la force magnétique
Où E et B sont respectivement les champs électrique et magnétique qui règnent en M.
Remarque : dWm = Fm .V .dt = q (v ∧ B)vdt = 0 ⇒ v = cte
La force magnétique ne fournit pas d’énergie cinétique aux charges.
II- LOI DE BIOT ET SAVART :
Le champ magnétique crée par l’élément de volume dv d’un conducteur parcouru par des
charges mobiles, de densité volumique ρ v , en M suffisamment éloigné de M’est
M’ :
dB ( M ) =
µ0
µ
M 'M
M 'M
ρv( M ' )dv V ∧
= 0 ∧J
dv
3
3
π
4
4π
M 'M
M 'M
Où J = ρ v .v est le courant volumique.
Le champ total est : B ( r ) =
µ0
4π
∫∫∫ J (r ' ) ∧
v
r − r'
r − r'
3
dv
Dans le cas d’une distribution de courant surfacique :
On pose : J ( r ' ) dv = Js ( r ' )dS et on a : B(r ) =
µ0
4π
Dans le cas d’une distribution de courant linéique :
On pose : J (r ' )dv = I
dl = I
r − r'
∫∫ J (r ' ) ∧ r − r '
dr ' et on a : B (r ) =
S
3
dS
µ0 I
r − r'
dr '∧
3
∫
c
4π
r − r'
III-THEOREME
THEOREME D’AMPERE
III-1-Forme intégrale :
La circulation du champ magnétique B , sur un contour fermé r, est proportionnelle à
l’intensité
ensité totale du courant du courant embrassé par r. Soit
∫ B.dl = µ ∑ N I
0
r
i i
: Ii est l’intensité de courant dans le circuit Ci qui enlace Ni fois le contour r.
i
28/65
III-2-Forme locale
Le théorème de stockes donne :
∫ B.dl = ∫∫ rotB.dS = µ ∫∫ J .r dS Soit : rotB = ∇ ∧ B = µ
0
S
S
0
J
r
VI- Conservation du flux du champ magnétique :
VI-1-Forme locale :
r − r'
µ
div B(r ) = div  0 ∫∫∫ J (r ' ) ∧
dv
3
v
 4π
r − r'
} = µ 0 ∫∫∫vdiv{
4π
J (r ' ) ∧
r − r'
}dv
r − r '3
Or div ( a ∧ b ) = a.rot b − b .rot a , rot ( grad a) = 0 et rot J (r ' ) = 0 Donnent: div B = ∇ r . B = 0
VI-2-Forme intégrale :
La formule d’Ostogradsky donne le flux de B à travers toute surface fermée en S, limitant
un volume v, Soit : ∫∫ B.dS = ∫∫∫ div B dv = 0
S
v
On dit que le champ magnétique est à flux conservatif
V- Potentiel vecteur A :
V-1-Expression de A :
B(r ) =
µ0
4π
1
∫∫∫ J (r ' ) ∧ ∇( r − r ' )dv
v
Donnent B(r ) = ∇ ∧
et f ∧ (∇λ ) = λ ∇ ∧ f − ∇ ∧ (λ ∧ f )
µ0
J (r ' )'
( ∫∫∫
dv)
v
4π
r − r'
∋ un champ de vecteur A tel que : B = ∇ ∧ A
µ
J (r ' )'
dv)
On en déduit que : A(r ) = 0 ( ∫∫∫v
4π
r − r'
Puisque divB = 0 = div(rotA)
A est appelé potentiel vecteur du champ B .
Dans le cas de distributions de courants surfacique ou linéique.
J S (r ')
µ 0
et A ( r ) = µ 0 I ∫ dl
A (r ) =
dS
∫∫
S
4π
r − r '
4π r r − r '
V-2-Propriétés :
D’après la formule de stokes, le flux de B à travers S est : Φ =
∫∫
V-3-Equation de poisson :
∇ ∧ B = ∇ ∧ (∇ ∧ A) = ∇(∇. A) − ∆A = µ 0 J ⇒ ∆A = − µ 0 J
Car ∇. A = 0 : condition de Jauge de coulomb imposé à A .
29/65
S
B. dS = ∫∫ ∇ ∧ A.dS = ∫ A.dl
S
r
IV-ANALOGIE :
ELECTROSTATIQUE
1
ρ (r ' )'
V (r ) =
dv
∫∫∫
v
4πε 0
r − r'
E = −∇V = − gradV
ρ
div E = ∇.E =
ε0
ρ
∆V +
=0
ε0
Q
∫∫S E.dS = ε 0
∫
r
E . dr
= 0
MAGNETOSTATIQUE
A(r ) =
µ0
4π
∫∫∫
v
J (r ' )'
dv
r − r'
B = ∇ ∧ A = rot A
divB = 0 et
∆A + µ 0 J = 0
∫ B.dr = µ I
∫∫ B.dS = 0
0
r
S
30/65
rot B = µ 0 J
CHAPITRE II
POLARISATION DES MILIEUX MAGNETIQUES
I-DIPOLE MAGNETIQUE
I-1-définition :
On appelle dipôle magnétique tout circuit C parcouru par un courant I tel que I a le même
sens que dr ' . Le trièdre (r ' , dr ' , n ) est direct
I-2-Moment
Moment dipolaire magnétique :
1
I r '∧ dr '
2 ∫c
Si le circuit est filiforme plan et I=cte on a :
I
I
m = ∫ r '∧ dr ' = ∫ ( 2 dS ).n = I S n = I S
2 c
2 c
Par définition c’est : m ≡
I-3-Potentiel
Potentiel vecteur crée par un dipôle magnétique :
C est filiforme de petites dimensions c.à.d on calcul ses effets à grandes distances (r
µ I
dr '
Partant de A( r ) = 0 ∫
on montre que :
4π C r − r '
A(r ) =
µ0
4π
µ0
4π
(
grande ) .
µ
r
1
= − 0 m ∧ ∇r ( )
3
4π
r
r
I-4-Champ
Champ magnétique crée par un dipôle magnétique :
m∧
m∧r
),
r3
∇ ∧ ( fa ) = f ∇ ∧ A + ∇f ∧ a et
µ
m.r
Donnent : B(r ) = − 0 ∇( 3 )
4π
r
Or B( M ) = Br er + Bθ eθ avec :
B(r ) = ∇ ∧
µ0
4π
µ0
Bθ = −
4π
Br = −
a ∧ (b ∧ c ) = b ( a.c ) − ( a.b )c
µ m cos θ
∂ m cos θ
(
)= 0
2
∂r
r
2πr 3
µ m sin θ
∂ m cos θ
(
)= 0 3
2
∂θ
r
4πr
Ce qui permet de tracer la topologie des lignes
de champ crée par le dipôle magnétique
I-5-Energie
Energie d’un dipôle magnétique dans un champ extérieur Ba
Le théorème de Maxwell donne le travail des forces électromagnétiques lors du
déplacement d’un circuit C d’une position a à une position b :
W = I (Φ b − Φ a ) = I ∆Φ
Si le circuit est initialement à l’infini où Ba = 0 et qu’on l’amène à la position finale où le
champ est Ba on : W = IΦ b = IΦ .
31/65
Dans le cas d’un dipôle C plan de faibles dimensions Ba est constant sur les surfaces
délimitées par le circuit C d’un dipôle on a :
W = I .Φ = I ∫∫ Ba .dS = I Ba .S = B .m Soit W = m.Ba
S
a
U = −W = − IΦ = −m.Ba
L’énergie
’énergie magnétique du dipôle est par définition :
C’est une position d’équilibre stable quand le flux qui le traverse est maximal ( c.à.d m ⁄⁄ Ba )
I-6-Action
Action subie par un dipôle magnétique dans un champ extérieur Ba
a- Résultats des forces magnétiques (cas de transition ) :
dW = F .dr = d (m.Ba ) = ∇(m.Ba ).dr ⇒
F = ∇(m.Ba )
b- Moment résultant au centre du dipôle(cas de rotation) :
dW = d ( m . B a ) = B a .d m + m d B a = B a .d m = B a .( d θ ∧ m ) = d θ .( m ∧ B a ) ≡ r . d θ
D’où : r = m ∧ Ba (Valable même si Ba est non uniforme)
Autre expression :
dW = r .dθ = I .dΦ ⇒ rx = I
∂Φ r = I ∂ Φ
∂Φ
, z
, ry = I
∂z
∂x
∂y
c- Remarques :
•
Lorsque Ba est uniforme :
F = 0 et l’action des forces de Laplace magnétique se réduit à un couple de moment
r = m ∧ Ba qui tend à aligner m dans la direction de Ba
∂B
∂B
∂B
• Lorsque Ba est non uniforme : F = ∇(m.Ba ) ⇒ Fx = m
, Fz = m
, Fy = m
∂x
∂y
∂z
La force magnétique de Lorenz dFm = I dl ∧ Ba montre que :
Si m ⁄⁄ Ba : F est dirigé vers les champs forts (Z.C.F)
Si m est anti-parallèle à Ba : C est attiré vers les champs faibles
Application : Cas d’une boussole dans le champ magnétique terrestre
I-7-Comparaison
ison avec le dipôle électrique :
Dipôle magnétique :
µ m∧r
µ
m.r
m = IS ; A = 0
; B = − 0 ∇ r ( 3 ) ; W = −m.Ba ; F = m.∇( Ba ) ; r = m ∧ Ba
3
4π r
4π
r
Dipôle électrique :
p.r
1
1 p.r
∇r ( 3 ) ; W = − p.E ; F = p.∇E ;
; E=−
p = ql ; V =
r = p∧E
3
4πε 0
r
4πε 0 r
II-AIMANTATION PERMANENTE ET TEMPORAIRE
II-1-Aimantation
Aimantation permanente :
L’oxyde de fer Fe3O4, appelé magnétite, est un minerai naturel qui attire le fer. Si on trempe
l’acier et on le soumet à un champ magnétique extérieure on obtient un aimant permanent (Source
de champ magnétique d’intensité constante dans le temps).
32/65
II-2-Aimantation
Aimantation temporaire :
Un morceau de fer doux soumis à un champ magnétique
extérieur Ba attire des clous de fer. Quand on supprime
le courant dans le solénoïde le fer doux cesse d’être un
aimant, on dit que l’aimantation est temporaire.
II-3-Réponse
Réponse d’une substance
substance à un champ magnétique non uniforme :
On place un morceau de matière –suspendu à un
dynamomètre D dans une bobine. On constate qu’une force
F s’exerce sur la substance. F s’annule quand on supprime
le courant. Elle est forte aux extrémités de la bobine
(où ∇B est forte) et non au centre ou Ba est maximal.
On constate aussi que F est proportionnelle à la masse de la matière
et non à sa forme, et qu’elle dépend de la nature de la substance.
Substance
H2O,Cu, Pb,
NaCl,S,diamant, graphite
Na, Cl, CuCl2
Sens de F
Vers le haut
Sens de Ba décroissant
Vers le bas
Sens de Ba croissant
Appellation
Substance
diamagnétique
Substance
paramagnétique
Substance
ferromagnétique
Intensité F
Très faible
Fe, Co , Ni, Fe3O4
Faible
Forte
III-ORIGINE MICROSCOPIQUE DE L’AIMANTATION
III-1-Moment
Moment magnétique d’un atome :
La circulation d’un électron sur une orbite circulaire, à la fréquence
ν = 1 / T est équivalente à un dipôle magnétique parcouru par un courant
dq e
= = eν , de surface plane celle de l’orbite S. Son moment dipolaire
dt T
magnétique orbital est : m0 = iS . L’électron tourne (spin) autour de lui-même
même et donne naissance
i=
à un moment cinétique intrinsèque appelé moment magnétique de spin noté ms .
Le moment magnétique total d’un électron est : me = m0 + m s
z
Donc le moment magnétique total d’un atome ayant z électrons est : m a = ∑ mei = ∑ (m0i + m si )
i =1
i
III-2-Règles
ègles de prévision du magnétisme d’un atome :
Une couche électronique (n,l,ms) entièrement remplie a un moment magnétique nul (car les
contributions des électrons s’annulent les uns des autres.
• Dans une couche incomplète, les
les états de nombre quantiques de spin ms identiques se
remplissent en priorité (règle de Hund). Ce qui donne à l’atome le moment cinétique de spin
∑ msi maximal possible (principe d’exclusion de Pauli).
i
Si ma = 0 : L’atome est non magnétique, c’est le cas des gaz rare He, Ne…
Si ma ≠ 0 : L’atome est magnétique, c’est le cas des atomes alcalins.
33/65
III-3-Moment
Moment magnétique d’une substance :
Dans un morceau de matière l’orientation des moments
magnétiques atomiques m a est anisotrope (agitation thermique).
Le moment magnétique global de la substance est M = ∑ mai = 0 .
i
Quand on soumet la substance à un champ magnétique
extérieur Ba , les m ai s’orientent dans le sens de Ba et on aura : M ≠ 0 ,
on dit que la substance s’est polarisée magnétiquement, ou s’est aimantée.
VI-PROPRIETES MAGNETIQUES DE LA MATIERE :
VI-1-Vecteur
Vecteur aimantation :
Soit un milieu aimanté de moment magnétique M .
Toute élément de volume dv possède un moment dipolaire magnétique
dM
élémentaire dM tel que :
dM = M dv ou M =
dv
M est appelé : moment magnétique par unité de volume. Ou vecteur polarisation magnétique. Ou
vecteur aimantation.
Cette hypothèse des courants dipolaires dits ampériens permet de ramener l’étude des
milieux aimantés à celle des circuits filiformes (spires) : C’est l’approximation dipolaire.
dipolaire
M
I
.
S
Unité : [M ] =   =   = A
enS .I .
v 
 
 v 


m
VI-2-Classification
Classification magnétique de la matière :
•
On distingue trois cas :
Diamagnétisme : ma = 0 (polarisation ionique)
Si Ba = 0 M = 0 (anisotropie de ma )
Si Ba ≠ 0 il apparaît une aimantation M de sens opposé à : BT = Ba + Bm .
Bm Est du à M .
•
Paramagnétisme : ma ≠ 0 (polarisation d’orientation)
Si Ba = 0 M = 0 (L’agitation thermique contrarie les dipôles magnétiques)
Si Ba ≠ 0 , il apparaît une aimantation M de même sens que BT
•
Ferromagnétisme : ma ≠ 0
Au niveau microscopique, il existe un fort couplage entre les moments magnétiques atomique,
ce qui maintient une orientation collective des moments ma malgré l’agitation thermique (à
condition que T ≺ Tc : température de Curie)
Même si Ba = 0 M ≠ 0 il y a une aimantation rémanente et le corps est un aimant permanent.
V-CHAMP ET POTENTIEL VECTEUR CREES PAR UN MILIEU AIMANTE :
V-1-Hypothèse
Hypothèse d’Ampère :
En pratique, on constate qu’un barreau aimanté produit un champ magnétique de topologie
identique à celle du champ magnétique extérieur d’un solénoïde de même forme
34/65
Ce qui amène Ampère, en 1881, de suggérer que ces champs avaient pour sources des boucles
microscopiques de courants liés à la structure du milieu aimanté. Ces courants dits Ampériens
peuvent être traités comme des dipôles magnétiques.
V-2-Calcul
Calcul du potentiel vecteur :
Soit un milieu aimanté de volume v. En chaque point M’ de v le vecteur aimantation est M ( r ' ) .
Dans l’approximation dipolaire
aire magnétique (hypothèse d’Ampère), la contribution du moment
dM = Mdv au potentiel vecteur en M est :
d A( r ) = −
dA(r ) = −
µ0
1
dM ∧ ∇ M (
) . Le potentiel vecteur total est :
4π
r − r'
µ0
4π
∫∫∫
v
Or a ∧ ∇f = f
M ∧ ∇M '(
1
)dv car ∇ M = −∇ M ' = −∇'
r − r'
∇ ∧ a − ∇ ∧ ( fa )
D’où : A(r ) =
µ0
4π
et
∫∫∫ ∇ ∧ a
v
dv = ∫∫ dS ∧ a
S
{ ∫∫∫v ∇'∧ M (r ' )dv + ∫∫S M ∧ n dS }
r − r'
r − r'
Donc pour calculer le potentiel vecteur crée par un milieu aimanté, on peut remplacer la
distribution réelle de dipôles magnétiques par une distribution fictive de courants d’aimantation de
densité :
- Volumique J ' ( r ' ) = ∇ '∧ M (r
( ' ) dans v
- Surfacique J S' (r ' ) = M (r ' ) ∧ n sur S délimitant v.
Remarque : Si en plus, le milieu est conducteur il peut être parcouru par des courants libres de
densité J l (r ' ) (courants de conduction, de convection du faisceau de particules). Le potentiel
s’écrira : A(r ) =
µ0
{
4π
∫∫∫
v
J ' (r ' ) + J l ' ( r ' )
J ' (r ' )
dv + ∫∫ S
dS
S
r − r'
r − r'
}
V-3-Justification
Justification des courants équivalents à une aimantation :
L’aimantation du milieu est due à des petites spires
spires circulaires identiques de surfaces et
parcourue par i. (c) est une courbe fermée tracée dans l’échantillon.
On a n spires qui enlacent dl .
Le moment magnétique du cylindre de volume S .dl est :
n i S = MSdl = SM .dl
Car S ⁄⁄ M soit : ni = M .dl
Le courant total qui traverse C est
I = ∫ M .dl = ∫∫ ∇ ∧ M
C
S
dΣ (Th. Stokes)
35/65
Ce modèle simple montre que l’aimantation est équivalente à un courant de densité ∇ ∧ M .
b- Cas d’un barreau cylindrique uniformément aimanté :
L’aimantation est M = M e z avec M = cte
 J v ' = ∇ ∧ M = 0 ⇒ J v ' = 0

 J S ' = M ∧ n = M e z ∧ er = M eθ ⇒ J S ' = M
La figure ci contre représente les dipôles magnétiques dans une section du barreau. En volume les
courants adjacents s’annulent J v ' = 0 et seul subsiste un courant en surface de densité J S ' = M
(c.à.d on a une nappe de courant superficielle). Ce qui explique l’identité observée, en pratique, des
champs extérieurs d’un aimant cylindrique et d’un solénoïde (hypothèse d’Ampère)
IV-EXCITATION MAGNETIQUE H :
IV-1-Définition :
Le champ magnétique total BT = ∇ ∧ A crée par les dipôles magnétiques de densité de
courant J ' et des courants libres de densité J l vérifie, en régime permanent (∂ t E = ∂ t B = 0) , les
équations de Maxwell :
Or J ' = ∇ ∧ M
∇.B = 0 (1) et ∇ ∧ B = µ 0 ( J l + J ' ) (2)
(2) donne ∇ ∧
B
µ0
= ∇ ∧ M + Jl ⇔ ∇ ∧ (
B
µ0
− M ) = Jl ⇔ ∇ ∧ H = Jl
(2' )
On appelle, donc, excitation magnétique le vecteur H définie par :
B
H=
− M ou B = µ 0 ( H + M ) (3)
µ0
(1) et (3) donnent ∇.H = −∇.M ≠ 0 : H n’est pas à flux conservatif
Dans le vide : M = 0 Soit J ' = 0 : B = µ 0 H , ∇ ∧ B = µ 0 J l et ∇.H = 0 : H est à flux conservatif.
conservatif
IV-2-Théorème d’Ampère :
Le théorème de stockes permet de donner le théorème d’Ampère relatif à l’excitation H on a :
Soit : ∫ H.dl = ∑ I li
∫ H .dl = ∫∫ ∇ ∧ H dS = ∫∫ J l dS
C
S
c
S
i
On ne tient compte que des courants libres de conduction : [H ] = A
m
comme l’aimantation M
IIV-MILIEUX MAGNETIQUES LINEAIRES HOMOGENES ET ISOTROPES (L.H.I) :
•
Dans ces milieux M est proportionnelle à H on a :
36/65
M(r ' ) = χ m H(r ' ) (1)
r’=OM’ où M’ est un point du milieu . χ m est la susceptibilité magnétique du milieu
B = µ 0 (H + M) = µ 0 (H + χ m H) = µ 0 (1 + χ m )H
soit
B = µH
En posant : µ = µ 0 (1 + χ ) : perméabilité absolue du milieu magnétique
Ou : µ e =
(2)
µ
= 1 + χ : perméabilité relative du milieu par rapport au vide
µ0
Donc M = χ m H = χ m
B
µ
M=
c.à.d
χm
B
µ
(3)
Les relations (1),(2) , et (3) sont équivalentes pour un milieu (l.h.i) tel qu’un milieu paramagnétique
ou diamagnétique .
*Dans la matière condensée (liquide, solide) à la température ambiante
Dans les milieux diamagnétiques
χ m ≈ −10 −5 χ m ≺ 0
Dans les milieux paramagnétique
Soit χ m ≺≺ 1 c.à.d µ r ≈ 1 , µ ≈ µ 0 ,
χ m ≈ +10 3
χm ≻ 0
M ≺≺ H ,
B ≈ µ0 H ,
M=
χm
B
µ0
Autrement dit le champ Bm du à l’aimantation est négligeable devant le champ extérieur
appliqué Ba . Le champ total dans le milieu (l.h.i) est :
BT = Ba + Bm ≈ Ba soit Ba ≈ µ 0 H et M ≈
χm
Ba comme dans le vide.
µ0
Remarque : dans les milieux paramagnétiques (polarisation magnétique d’orientation) la
c
dépendance de χ m avec la température suit la loi de curie : χ m =
(c : est la constante de curie)
T
IIIV-ANALOGIE AVEC LES MILIEUX DIELECTRIQUES :
Milieux
diélectriques
Milieux
magnétiques
ε 0 ,ε
E
D
P
χe
D = ε0E + P
P = ε 0 χe E
µ0 , µ
H
B
µ0 M
χm
B = µ0 H + µ0 M
µ0 M = µ0 χ m H
XI-FORCE EXERCEE SUR UN MILIEU MAGNETIQUE DANS UN CHAMP NON UNIFORME :
XI-1-Expression
Expression de la force :
L’élément de volume dv d’aimantation M , est équivalente à un dipôle magnétique de
moment dM = Mdv ; subit dans un champ magnétique appliqué non uniforme Ba la force
élémentaire :
dB
dB
dB
dF = ∇(dM .Ba ) = ∇( M .Ba )dv . Soit dFx = ( M . a )dv ; dFy = ( M . a )dv ; dFz = ( M . a )dv
dx
dy
dz
Pour un matériau para ou diamagnétique on a M ≈ χ m / B a µ 0
La densité volumique de force est :
dFy
dF
χ
χ d ( Ba2 )
dF
dB
; fy =
= ... f z = z = ...
fx = x = m Ba . a = m
dv
dv
dv
µ0
dx
2 µ 0 dx
37/65
f =
Soit
χ
dF
2
= m ∇ ( Ba )
dv 2 µ 0
Interprétation de l’expérience de 2°) : Cette expression montre que f est perpendiculaire aux
surfaces (Ba=cte) , et lorsque χ m ≻ 0 le sens de f est celui des Ba croissants, donc :
- les paramagnétiques sont attirés vers les régions des champs forts.
- les diamagnétiques sont attirés vers les régions des champs faibles.
XI-2-Mesure
Mesure de la susceptibilité :
Les méthodes de mesure de χ m sont basés sur la formule de f .
a-Méthode
Méthode de Gouy (cas des solides en général)
L’échantillon est un barreau cylindrique de section S faible
χ m dBa 2
χ S
2
dFz = f z dv =
S .dz = m d ( Ba )
2µ 0
2 µ 0 dz
La force totale s’exerçant sur l’échantillon est :
B
χ S
2
2
F z = ∫ dF z = m B a ( c ) − B a ( A )
A
2µ 0
[
]
S, Ba (c) et Ba ( A) sont mesurables (connues), le mesure de Fz donne χ m .
Cette méthode est aussi valable pour les liquides et les poudres mis dans un tube non magnétique et
de parois très minces (v minimal)
b- Tube
ube de Quincke (cas d’un liquide paramagnétique)
On a : Fz =
[
]
χ mS
B a 2 (c ) − B a 2 ( A ) k .
2µ 0
Ba ( A) ≈ 0 loin de la bobine.
Le poids du volume du liquide déplacé est P = − Pk
avec : P = mg = ρvg = ρgS ( z c − z B ) = ρgSh
h = z c − z B est la distance entre les deux surfaces libres
du liquide. La force magnétique équilibre le poids
χ m = 2µ 0 ρgh / B a 2 (c)
P + Fz = 0 Soit Fz=P. D’où
ρ , g , Ba (c) sont connus, la mesure de h donne χ m
c- Remarque : Les deux expériences sont réalisées dans le vide, dans l’air, la
−8
avec χ air
(S.I ) dans les C.N.T.P
mesure donne χ m − χ air
m
m = 37 . 10
X-ENERGIE DES COURANTS DAN,S UN MILIEU MAGNETIQUE :
X-1-Energie
Energie magnétique des deux circuits :
On montre que l’énergie emmagasinée dans les deux circuits C1 et C2, quand on passe de
l’état initial où I1=I2=0 à un autre état de courants I1 et I2 est :
1
W = ( I 1Φ 1 − I 2 Φ 2 ) Où : Φ1 = L1 .I 1 + M .I 2 et Φ 2 = L2 .I 2 + M .I 1
2
Sont respectivement le flux traversant C1 et C2.
38/65
1
∑ IiΦi
2 i
Energie d’un milieu magnétique filiforme dans un champ magnétique extérieur :
X-2-Energie
Pour plusieurs circuits on a : W =
Soit un volume v de matière magnétique parcouru par des courants réels de densité volumique
J . S’ surface s’appuyant sur C.
1
L’énergie magnétique du milieu est W = I Φ .
2
Φ = ∫ B.dS ' = ∫ A.dl et I = ∫ I .dS
S'
C
S
1
1
J . Adv = ∫
J . Adv. (car J = 0 en dehors de C)
∫
v
2
2 espace
A l’aide de J = ∇ ∧ H et ∇.( H ∧ A) = A.∇ ∧ H − H .∇ ∧ A .
W=
W = ∫∫∫
On montre que :
espace
H.Bdv
X-3-Densité
Densité volumique d’énergie magnétique :
σ=
dW 1
= H .B
dv 2
et
σ=
B2 µ H 2
Pour un milieu l.h.i
=
2µ
2
X-4-Cas d’un milieu magnétique contenant des charges et des courants de polarisation :
1
1
σ = ( E .D + H . B ) = (ε 0 E 2 + P .E + H . B )
2
2
IX-REALATIONS DE PASSAGE ENTRE DEUX MILIEUX MAGNETIQUES
Problème : soit deux milieux magnétiques séparés par une surface S’ parcourue par une
densité superficielle de courant J S (libre ou de conduction). Quelles sont les relations qui lient
( B1 , H1 ) dans le milieu (1) et ( B2 , H 2 ) dans le milieu (2) ?
IX-1-Le champ électrique E
 ∂ x   Ex 
 Bx 
    ∂ 
∂B
∇∧E =−
↔  ∂ y  ∧  E y  =  By 
∂t
 ∂   E  ∂t  B 
 z  z
 z
∂ y Ez − ∂ z E y = ∂ t Bx → 0 = 0
∂ z Ex − ∂ x Ez = ∂ t By → −( Ez2 − Ez1 ) = 0 → Ez2 = Ez1
∂ x E y − ∂ y Ex = ∂ t Bz → −( E y2 − E y1 ) = 0 → E y2 = E y1
IX-2-Le
Le champ magnétique B
39/65
Continuité de :
E
2t
= E 1t
n12 = n : Normale à S’, orientée d’un milieu (1) vers un milieu (2).
Le flux de B à travers la surface S = Sl ∪ S1 ∪ S 2 cylindrique est :
Φ=
∫∫
s
B.dS = ∫∫∫ ∇.B dv = 0
(car (∇.B = 0) , dS 2 = −dS 1 = ndS
v
Φ = ∫∫ B2.ndS − ∫∫ B1ndS +∫∫ B.EdSl = 0 or lim ∫∫ B.E dSl → 0
S
S
S
S
1
1
h →∞
l
D’où : ( B2 − B1 ).n12 = 0
l
soit
B1 n = B 2 n
IX-3-L’excitation
L’excitation électrique D :
∇.D = ρl ↔ ∂ x Dx + ∂ y By + ∂ z Bz = ρl → Dx2 − Dx1 = σ 2
D2 n − D1n = σ 2 n12 : Discontinuité de la composante normale de D due à σ 2
Excitation magnétique H
IX-4-Excitation
∇ ∧ H = Jl +
∂D
∂t
∂ y H z − ∂ z H y = ∂ t Dx + ( J x )l ↔ 0 = 0
(( J x )l = 0)
∂ z H x − ∂ x H z = ∂ t Dy + ( J y )l ↔ −( H z 2 − H z1 ) = J yS
∂ x H y − ∂ y H x = ∂ t Dz + ( J z )l ↔ ( H y 2 − H y1 ) = J zS
0 = 0



S 
(
H
−
H
)
=
J
 y2
y1
z ↔

S
( H z 2 − H z1 ) = − J y 
H 2 t − H 1t = J lS ∧ n12 Discontinuité de la composante tangentielle de H en présence de JlS .
IX- Réfraction des lignes de champ :
Soient 2 milieux magnétiques (l.h.i) de perméabilité µ1 et µ2 ,
séparés par une surface S où : J lS = 0 en général.
B1n = B2 n ⇒ B1 cos θ1 = B2 cos θ 2
H1t = H 2t ⇒
B1
µ1
sin θ1 =
B2
µ2
sin θ 2
(1)
(2)
tan θ1 tan θ 2
(2)
=
→
µ1
µ2
(1)
Re marque : si µ1 ≻ µ2 ⇒ θ1 ≻ θ 2 ⇒ B1 ≻ B2
40/65
B1 est plus intense dans le milieu (1) :
où les lignes de champ sont plus serrées.
41/65
Application : Cas d’un barreau cylindrique aimanté
Le barreau uniformément aimanté ( M = cte ) baigne dans un champ magnétique extérieur B0
parallèle à son axe.
En un point M’ d’un barreau B = B0 + B m , ( B m est du à
l’aimantation)
Dans le cas où J sl = 0 on a : H 2t − H 1t = J sl ∧ n 12
Soit H 2t = H1t ↔ H = H 0 (c.à.d H m = 0 ) : excitation
démagnétisante.
B
B = µ H , M = χm H = χm
µ
Si le milieu est l.h.i :
B B
=
⇒ B = µ r B0
µ
=0
µ0
Soit un tube de champ de section S(et S0) respectivement à l’intérieur ( et l’extérieur) du barreau.
comme ∇.B = 0 : le flux se conserve à l’intérieur du tube.
On a : Φ = 0 = B 0 S 0 + B.S ↔ B0 S0 = B.S = µ rB0 S ↔ S0 = S µr
Donc :
χ
µ
B S0
= µr =
= 1 + χ m et M = m B 0
=
S0
S
µ0
µ0
-Barreau paramagnétique : χ m > 0, µr > 1, B > B0 , S0 > S et M de même sens que B0 . Le
cylindre concentre les lignes sz champ dans S.
µ > µ0 : Le flux traverse facilement le cylindre que l’air( vide) d’où le nom de perméabilité donné
à µ.
-Barreau diamagnétique : χ m < 0, µ r < 1, B < B0 , S0 < S et M anti-parallèle à B 0 . Le cylindre
repousse les lignes de champ qui traversent difficilement le cylindre que l’air ( µ < µ0 ).
42/65
ETUDE MICROSCOPIQUE DE L’AIMANTATION
I-DIAMAGNETISME :
1-ETUDE
ETUDE QUALITATIVE :
Quand on augmente le champ magnétique extérieur de 0 à B0T appliqué à un atome le
dΦ
mouvement des électrons est perturbé. Ceci correspond à un courant induit (i ∼ e = −
) càd
dt
µ J ∧u
dv ) qui tend à s’opposer
un champ magnétique (Biot--Savart : dB = 0
’opposer à l’augmentation
4π r 2
de B0 (Loi de lenz ). Donc le moment magnétique correspondant à ce mouvement
supplémentaire est dirigé dans le sens − B0 .
Si mat = 0 : Les moments magnétiques induits précédents interviennent seuls et la substance
acquiert une M de direction − B0 : on dit qu’elle est diamagnétique. Le diamagnétisme est une
propriété générale de la matière, car cette dernière comporte des électrons .
Si mat ≠ 0 permanent, le diamagnétisme est masqué par le paramagnétisme (phénomène plus
intense).en effet : (l.h.i ) M =
χm
B 0 ; ( χ m ) dia ≃ + 1 0 − 5 ≪ ( χ m ) p ara ≃ 1 0 − 3
µ0
2-THEORIE
THEORIE DU DIAMAGNETISME :
a- Pulsation de Lamor :
Soit un atome avec un électron
tron qui décrit un cercle avec
une vitesse angulaire ω0 , quand B0 = 0 .On appliquant un
champ B0 = B0 ez , on montre que la
eB 1
= ωc : pulsation de Lamor.
2m 2
A ∆ω = ω − ω0 = ωL correspond l’apparition d’un moment magnétique supplémentaire (induit)
nouvelle vitesse angulaire est : ω = ω0 + ω L où ω L =
dirigé dans le sens opposé à B0 .
b-Théorème de Lamor :
Quand on applique un B0 à un atome, un nouveau mouvement possible des électrons est une
précession d’ensemble des orbites (q.q.c) électroniques autour de B0 à la vitesse angulaire ωL
3-SUSCEPTIBILITE
SUSCEPTIBILITE DIAMAGNETIQUE :
Soit un atome sous B0 = B0 ez , ses Z électrons effectuent une précession de vitesse ωL = ω L ez .
Le
mouvement
de
ces
Z
électrons
est
équivalent
à
un
courant :
Zeω L
dq
Ze
eB
I=
=−
=−
où : ω L =
dt
TL
2π
2me
La circulation de I,, à la distance ρ de Oz, correspond à un moment magnétique :
m = ISez = I πρ 2 ez .Le moment magnétique induit dans l’atome, par B0 est :
43/65
matind = I π 〈 ρ 2 〉 ez où : 〈 ρ 2 〉 =
1
ρ 2 dv
v ∫∫∫v
est la valeur moyenne de ρ 2 = x 2 + y 2 pour les z
électrons de l’atome .
Cas s’un atome sphérique : r ² = x ² + y ² + z ²
1
2
〈 x ²〉 = 〈 y ²〉 = 〈 z ²〉 = 〈 r ²〉 D’où : 〈 ρ ²〉 = 〈 x ²〉 + 〈 y ²〉 = 〈 r ²〉
3
3
eB
ze
2
ze
²
D’où : matind = −
. 0 .π . 〈 r ²〉 ez = −
〈 r ²〉 B0
2π 2me
3
6me
Si matpar = 0 :Ce moment diamagnétique induit
matind contribue seul à l’aimantation.
Soit une substance contenant n atomes/ v. volume, l’aimantation
M dia = χ m
B0
µ0
alors :
(χ
m
) d ia = − n µ 0
M = n matind ,comme
Ze²
〈 r ² 〉 : Formule de Langevin
L
6me
4- REMARQUES :
Rem 1: χ m augmente avec Z
Rem 2 : χ m ne dépend de T que par n ; très peu pour les liquides et solides.
n'
P
Cas d’un gaz parfait : n = =
,
n’ : nombre d’atomes.
V RT
Rem 3 : (A.N) cas d’un gaz rare : H2, N2.
n=
N
6.10 23 −3
=
10 ≃ 10 26 m −3 ,
vM
22.4
r ≃ 1 A°
(10−19 )²
.(10 −10 )² ≃ −10 −9 ≺ 0
−30
10
*cas des liquides et solides : n " = 103 n → χ m = −106 ≺ 0
( χ m ) dia ≃ −1026.10 −7
Ces ordres de grandeurs correspondent aux valeurs mesurées de ( χ m ) dia .
Rem 4 :
La M.Q confirme cette formule pour des distributions électroniques à symétrie sphérique et
permet de calculer 〈 r ²〉 à partir des fonctions d’ondes. L’accord avec l’expérience est excellant
pour les gaz rares (atomes à symétrie sphérique).
Rem 5 :
( χ m ) dia est sensiblement en accord avec l’expérience pour des substances dont les atomes n’ont
pas la symétrie sphérique, mais disposés de façon aléatoire(gaz, liquides, et solides amorphes).
Pour des cristaux anisotropes M dépend de la direction de B0 . Exemple, graphite C
B
B0 Transversale M ( dia ) = χ m 0 importante
B0 Longitudinale M ( dia )
µ0
B
= χ m 0 faible.
µ0
44/65
II-PARAMAGNETISME
1- INTRODUCTION :
Soit un milieu aimanté formé d’atomes, chacun de moment magnétique permanent m . Dans B0
extérieur, les dipôles atomiques subissent le couple : r = m ∧ B0 et tendant à s’orienter dans le
sens de B0 (minimum de H = −m.B0 ). Il apparaît une M para dans le sens de B0 . Cette tendance
d’orientation est contrariée par l’agitation thermique, Donc pour B0 donné M para ∼
1
est
T
fonction décroissante de T. D’où Por et M para sont des phénomène analogues.
Pelect et M diam
à des perturbations de l’orientation électronique de l’atome sous un
champ appliqué .
Pelect → Distorsion électronique dans la direction de Eext : Phénomène indépendant de T
M → Précession électronique autour de B0 : Phénomène indépendant de T
Soit un milieu formé d’atomes ayant des moments ( p ou m) permanente.
La Polarisation
=
P
P
L’aimantation
=
M
M
≺
+
e le c
≻
P
d ia
≻
+
M
p a r a
≻
0
: de même sens avec Pelec ≃ Porient
o r ie n t
0
0
: de sens opposés M dia ≪ M para
0
2- MILIEU PARAMAGNETIQUE :
a) quand
(χ
dia
m
mat ≠ 0
≃ 10 χ
−3
para
m
(permanent)
de
paramagnétisme
masque
de
diamagnétisme
) les milieux à structure moléculaire sont souvent diamagnétiques
Exp. : N2 ,N2 sont paramagnétique .A 20°C, P=1atm, χO2 = 2.110−6
χ N = −5.10−3
2
⇒ Air est paramagnétique.
b)
Règle : les atomes (ou ions) dont une sous couche électronique interne (l fixé) est
incomplète sont en général paramagnétique.
Exp. : Eléments de transition Ti2+, Cr3+, Fe2+,Co2+,Ni2+, Cu2+ (3d incomplète).
Cas sel ferrique ( χ m = 3.10−3 FeCl3 ) paramagnétique important
2
2 6
2
6
2
Fe
↑↓ ↑ ↑ ↑ ↑
↑↓ 1s 2(s p ) 3(s p 6d ) 4s Z=26
Fe3+
↑
↑ ↑ ↑ ↑
1s2 2(s2 p6) 3(s2p 6d6 d5) 4s2 (5 e- célibataires)
Eléments de terres rares : Na, Sm, Eu, Gd, Tb à couche f (l=3) incomplète
Exp. : Gd3+ à 7 e- célibataires.
3- CALCUL CLASSIQUE DE M PARAMAGNETIQUE :
Un dipôle magnétique m dans un champ B0 à l’énergie potentielle : U = −m.B à comparer avec
U = − p.E d’un dipôle électrique : Le calcul de M para est identique à celui de Porien (calcul de
Langevin)
45/65
Un milieu contenant n dipôles magnétiques rigides, de moments m , / volume acquiert sous
1
mB
B0 = B0 ez l’aimantation M = nm L(a) ez où : L(a ) = coth a −
et a =
a
K BT
A.N) T=300K, B=1 tesla =104 Gauss, mat ≃ µ B = 10−23 A / m 2
10−23
1
=
≪ 1 c.à.d : mB ≪ K BT
−23
1.410 .300 400
2
mB0
χ
nm ²
L(a ) ≃ M = n.m.
=
B0 ≡ m B0
3
µ0
3 K B T 3 K BT
nµ m ²
C
D’où : χ mpara = ≻ 0 où : C = 0
: cte de Curie.
3K B
T
a≃
•
•
•
T=300K, m ≃ 10 −23 A / m ² gaz n = 10 26 atomes / m3
4π .10 −3.(10−2 )²
χ mpara ≃ 1026
≃ 10 −6
−23
2
3.1.410 .310
C
L’expérience confirme la loi de Curie χ mpara = pour (T forte, B faible) a<<1
a< alors qu’à
T
basse T on a un désaccord avec l’expérience.
4-CALCUL
CALCUL QUANTIQUE DE M PARAMAGNETIQUE :
a- Rappel :
Stern-Gerlach : Quantification.
M.Q+Physique atomique – expérience de Stern
Moment cinétique orbital : L ² = l (l + 1)ℏ ², Lz = ml ℏ → (mz )or = ml µ B
l ∈ ℕ, ml = (−l , −l + 1,..., l − 1, l ) ∈ ℤ prend (2l + 1) valeurs
Moments cinétique de spin : s ² = s ( s + 1)ℏ², sz = ms ℏ → (mz ) s = ms g µ B
1
(ms = s = ± )
2
⇒ Couplage L − S : Le moment cinétique total J = L + S est quantifié
J ² = j ( j + 1) ℏ ², J z = m j ℏ → ( mz ) j = mjg µ B
mj = ( − j , − j + 1,..., j − 1, j ) ∈ ℤ prend (2 j + 1) valeurs.
effet orbital ( g = 1), de spin( g = 2)
b- Théorie de Brillouin :
Soit un matériau isolant contenant des ions dotés d’un moment magnétique m permanent ,
caractérisé par le nombre quantique j
Supposition : les moments mati sont discernables : on néglige l’interaction magnétique entre les
mati Dans B0 = B0 ez , chaque m a tendance à s’orienter suivant B0 .
Calcul de Langevin toutes les θ = (mɵ,B ) sont possibles c.à.d mz peut varier de façon continue.
0
Or, M.Q mz ne peut prendre que l’une des (2j+1) valeurs :
(mz ) p = pg µ B , m j = p = (− j , − j + 1,..., j − 1, j )
=
p
µ
3
on posant : µ = jg µ B
Le niveau d’énergie de l’état P est : µ p = − m.B0 = −(mz ) P B0 = −
46/65
P
µ B0
j
(= − P ( g µ B B0 ))
D’après le statistique de Boltzmann, le nombre de dipôle, par unité de volume, dans l’état p est :
µ
− p
(P a
µ B0
n p = Ae K BT = Ae j ) avec a =
K BT
L’aimantation paramagnétique du milieu est M = Mez (raison de symétrie)
M=
P= j
∑
P =− j
j
P ( P / j )a
e
P =− j j
nP (mz ) P = µ A ∑
Or on a n états par unité de volume : n =
j
∑n
P =− j
j
p
= A ∑ e( P / j ) a D’où : M = nµ B j ( a )ez
P =− j
j
Ou : Bj (a ) =
∑ ( P / j )e
( P / j )a
P =− j
: fonction de Brillouin d’ordre j
j
∑e
( P / j )a
P =− j
Le calcul quantique remplace une intégration par un calcul de somme
BJ(a) remplace L(a) du calcul classique .
Cas d’un système à 2 niveaux d’énergie :
µP
1
1
1
1
j= ,P=±
( mz ) p = ± g µ B , µ P = ± ( g µ B B0 )
2
2
2
2
1
( g µ B B0 )
a
−a
2
e −e
B1/ 2 (a ) = a − a = th(a )
e +e
1
- ( g µ B B0 )
2
Pour a >>1 : basse T, B0intense : saturation de l’aimantation M = M s = nµ .
nµ ² µ0
Pour a<<1 (T ∼ 300 K ) tha ≃ a on définit χ m = C '/ T (C ' =
)
KB
•
Calcul de Bj(a) :
Rappel : progression Géométrique : raison r, 1ier terme U0 , n termes
1− rn
S n = U 0 + U1 + U 2 + ... + U n = U 0
(n ∈ ℕ)
1− r
47/65
D=
j
∑e
P(a / j )
= e − a + e( − j +1) a / j + ... + ea
ea = e− a − e2a
p =− j
1 − e( aj +1) a / j
1 − ea / j
Car j entier ou demi—entier → 2j entier
1
1 dD d
B j ( a ) = .N = .
=
(ln D)
D
D da da
= e − a 1 + ea / j + ... + e 2 j ( a / j )  = e − a
ln D = − a + ln(1 − e
B j (a) = −1 −
2 j +1
a
j
2 j +1
e
j
2 j +1
a
j
2 j +1
a
) − ln(1 − e j )
a
1 a/ j
e
j
+
1 − ea / j
1− e j
Transformant les 2 rapports suivants :
x
x
ch( ) + sh( )
x
x/a
e
e
1
2
2 = − 1 (1 + coth x )
= −x/a x/a = −
x
x
1− e
e
2
2
2
−e
sh( )
2
2 j +1
2 j +1
1
a
coth(
B j (a) =
a ) − coth( )
2j
2j
2j
2j
Cas particuliers :
•
a>>1 : B j ( a ) → 1 : saturation de M dans un champ intense .
coth u ≃
M=
•
a<<1 : or
1 u
j +1 2
+ → B j (a) ≃
u 3
j 3
nµ ² B0 j + 1 χ m
C"
=
B0 ⇒ χ m =
T
3 K BT j
µ0
µ = jg µ B C " =
car : m = γ J
(C " =
nµ 0 j + 1 µ ²
)
KB j 3
n µ0 j + 1
nµ 0
j ² g ² µB ² =
m²
3K B j
3K B
J z = m j ℏ µB =
eℏ
2e
γ=
2m
2me
m² = γ ² j ( j + 1)ℏ ² = j ( j + 1) g ² µ B ²
C " = C (de3°)
1
= L( a )
a
Interprétation : j → ∞ un système ayant nombre grand nombre de niveau d’énergie. Les
discontinuités introduites par la quantification deviennent imperceptibles et on retrouve les
résultats de la théorie classique.
•
•
j → ∞ : B∞ ( a ) = coth a −
Remarque :Les calcules (Langevin et Brillouin) supposent l’absence d’interaction entre
les mati : Approximation non valable pour des gaz comprimés ou des solutions
concentrées de sels paramagnétiques.
48/65
FERROMAGNETISME
1° - Généralités :
a – Définition :
Certains corps solides s’aimantent fortement, même avec un champ magnétique faible ; et
gardent cette aimantation quand on supprime le champ. Ces corps sont appelés : ferromagnétiques.
b- Exemples et applications :
Fe(Z=26), Co(Z=27), Ni(Z=28) et leurs alliages est composés
composés qui servent dans la fabrication
des aimants permanents. CrO2 utilisé dans la fabrication des bandes magnétiques.
L’alliage (Cu, Mn, Al) qui est ferromagnétique alors qu’aucun de ses composants ne l’est.
Les alliages : Alnico (Al, Ni Co); Ticonal (Ti, Co, Ni, Al).
2°- Faits expérimentaux :
a- Expérience 1 :
En plaçant un morceau de fer ou d’acier non aimanté (noyau)
dans le champ magnétique Ba crée par un solénoïde on constate que :
••
Le noyau est attiré par le solénoïde et se stabilise au
centre (Région des champs intenses) comme un paramagnétique.
••
Le champ fournit par l’ensemble solénoïde-noyau
solénoïde
est
plus intense que Ba.
••
Quand on coupe le courant I un champ magnétique subsiste : le noyau s’est aimanté.
b- Expérience 2 :
Un clou de fer est attiré à travers une plaque d’amiante (isolant
thermique) par un aimant permanent (1). Quand on chauffe le clou à
T > Tc = 770°C , il s’éloigne de la plaque. Mais une fois refroidie (2) il
est attiré par l’aimant. On assiste alors à un mouvement périodique.
périod
c- On verra que dans les ferromagnétiques l’aimantation M n’est
pas proportionnelle à l’excitation H et que M dépend de l’histoire antérieure de l’échantillon. Il
faut utiliser un échantillon désaimanté T > Tc ou qui n’a jamais été aimanté.
3°- Etude expérimentale de L’aimantation :
a-
Mesure d’une aimantation induite:
Un échantillon torique
(r ≪ R)
est placé à l’intérieur d’une bobine 1 traversée par un
courant stationnaire I. B , M et H = ( B / µ0 ) − M sont tangents à la circonférence moyenne (de
rayon R) et confinés à l’intérieur du tore (à l’extérieur B totale est nul), où l’excitation
démagnétisante H d est nulle. En plus, il n’y a pas d’effets de surface
surface d’extrémités contrairement à
49/65
un cylindre fini (court). Tous ces arguments justifient l’utilisation de la forme torique qui est, en
fait, équivalente à un cylindre de longueur infinie.
Le théorème d’ampère pour H donne :
∫C H ⋅ dl
= H ⋅ l = I l = N1 I ⇒ H =
N1 I
. Donc la lecture de I sur l’ampèremètre
2π R
détermine H.
Une variation de courant I (c à d H ou B ) conduit à une variation de flux dφ2 = N 2 S dB
à travers la bobine 2 c à d à l’apparition d’une d.d.p égale à la f.e.m induite à ses bornes.
On a : ∆ V = V1 − V2 = − e12 = −  − d φ2  = N 2 S dB avec S = π ⋅ r 2 .On relève les indications
dt
 dt 
du voltmètre ∆ V = f ( I ) (k fermé) et par intégration graphique on en déduit B.
Connaissant H et B on en déduit M = ( B / µ0 ) − H
b- Courbe de première aimantation:
Le procédé dessus conduit au tracé M = M ( H ) qu’on appelle courbe de première
aimantation (figures : cas du fer très pure).
La courbe M ( H ) comporte trois zones :
* Zone 1 : Pour H faible, M croit linéairement avec H, et on a : χ m = M / H .
* Zone 2 : M croit plus vite que H on n’a plus de linéarité.
* Zone 3 : De fortes excitations, M croit lentement et tend vers une asymptote horizontale M s
appelée aimantation à saturation.
saturation
M s est une caractéristique du matériau , elle dépend de sa pureté et sa température. La
courbe M s (T ) montre q’elle varie peu au voisinage de la température ordinaire, puis décroît très
vite pour s’annuler à la température Tc de curie. Cette décroissance
ance de M s est due à la
désorientation des moments magnétiques Mi par l’agitation thermique.
Pour T > Tc le matériau est paramagnétique.
T=20°C
Fer
Cobalt
Nickel
Ms(A/m)
1.70 106
1.40 106
0.48 106
(
)
µ 0 Ms(T)
2.14
1.76
0.60
Tc(K)
1101
1410
650
Comme B = µ0 H + M , la courbe B ( H ) se déduit de la courbe µ0 M ( H ) en y ajoutant
la variation linéaire µ0 H .
50/65
4°-Susceptibilité
Susceptibilité et perméabilité magnétiques :
Vue la non linéarité de M avec H on continue à définir un susceptibilité magnétique χ m
qui dépend de H par : χ m ( H ) = M / H
Et une perméabilité magnétique relative par : µr ( H ) = µ ( H ) / µ0 = 1 + χ m ( H )
Tableau 2
Hc (A/m)
Fe(4%Si)
Permalloy
Mumétal
Supermalloy
1.97
250
7000
1.08
8000
100000
0.85
20000
120000
0.79
125000
1000000
Ferromagnétique doux à T = 20°C
24
4
2.4
0.3
Pertes par cycle pour
Bm
(J/kg)
(T)
0.04
0.0005
0.0005
0.0002
1.5
0.5
0.5
0.5
Le tableau 2 montre que µ r ≃ 10 2 à 10 10 dans
les ferromagnétiques
µr ( H ) = 1 + χ m ( H ) ≃ χ m ( H ) : Ces deux courbes sont pratiquement confondues.
(
)
(
d’ou
)
Et B = µ0 H + M = µ0 H + χ m ( H ) ⋅ H = µ0 (1 + χ m ( H ) ) ⋅ H ≃ µ0 χ m ( H ) ⋅ H
Soit
χ m (H
)=
B / µ0 H
Pour T > Tcf (Température de curie ferromagnétique) les matériaux ferromagnétiques
deviennent paramagnétiques de susceptibilité χ m -faible-,, qui dépend de la température suivant la
loi de curie-Weiss : χ m (T ) =
C
T − Tcf
Où C est une constante dite de curie.
5°- CYCLE D’HYSTERESIS:
a- Tracé statique:
La méthode du tore décrite auparavant permet de tracer la courbe B ( H ) ou M ( H ) point
par point.
51/65
Ayant atteint l’aimantation à saturation M s on diminue H (c à d I ). On constate que
M ( H ) décroît, et ne repasse pas par les mêmes points de la courbe de première
premièr aimantation et
qu’elle passe en dessus (courbe de désaimantation M ( H ) ).
On dit qu’on a un retard à la désaimantation ou hystérésis magnétique.
Pour H = 0 il subsiste une aimantation M r (ou champ Br ) appelée aimantation rémanente
(ou champ rémanent sur B ( H ) ).
On inverse le sens du courant dans le solénoïde on constate que M s’annule pour H = − H c .
H c est appelé excitation coercitive (Tableau 2).
b- Tracé à l’oscilloscope:
On utilise le montage suivant:
T est
l’échantillon de forme
torique. La source de courant
sinusoïdale S débit dans les N1
spires un courant i1 de fréquence
f = 50 Hz .
• La tension aux bornes de r est
vr = r ⋅ i1 et le théorème d’Ampère
donne :
∫ c H ⋅ dl = H ⋅ 2π ρ = N1 i1
V X = k1 vr
⇒ V X = k1
et par suite vr =
2π ρ r
⋅ H c à d VX ∼ H
N1
2π ρ r H
. Sur le l’oscilloscope :
N1
• Il apparaît au secondaire, par induction :

i2
1 
1
dφ
 dφ 
u2 = −e2 = −  −
= i2  R +
 ⇒ i2 =
 = R i2 + vc = R i2 =
1 dt
jCω
jCω 
 dt 

R+
jCω
Aux bornes de C : vc =
N S
q 1
1 N2 B S
1
= ∫ i2 dt = ⋅
≃ 2 B (si R ≫
)
1
C C
C
RC
Cω
R+
jCω
52/65
k N S
Sur le l’oscilloscope on a : VY = k2 vc = 2 2 ⋅ B c à d VY ∼ B
RC
Donc la courbe Y = Y ( X ) observée sur l’oscilloscope
représente bien la courbe B ( H ) : cycle d’hystérésis.
On diminuant l’amplitude du courant i1 , on observe des
cycles de plus en plus petits, jusqu’à obtenir une aimantation
rémanente M r nulle. On aura, ainsi, désaimanté le matériau.
Ceci constitue le deuxième procédé de désaimantation d’un
ferromagnétique, après le chauffage à T > Tcf .
6°- PERTES D’ENERGIES DANS LES FERROMAGNETIQUES :
Dans l’expérience du tracée du cy
cycle à l’oscilloscope, i2 ≃ 0 car R est élevée, la puissance
consommée dans le bobinage secondaire ( N 2 Spires) est négligeable.
Soit r1 la résistance du bobinage d’
d’entré ( N1 spires) on a : u1 = r1 i1 + N1
dφ1
, en
dt
multipliant par i1 dt dont on aura : u1 i1 dt = r1 i1 dt + N1 i1 dφ1
Le théorème d’Ampère donne : N1 i1 ( t ) = 2π ρ H ( t ) et comme dφ1 ( t ) = S dB ( t ) (
2
S = cte ) alors u1 i1 dt = r1 i12 dt + 2π ρ S H ( t ) dB ( t ) .
La puissance moyenne, fournie par le générateur, pendant une période T = 1/ f est :
T
T
T
0
0
0
1
1
1
2π ρ S
P = ∫ u1 i1 dt = ∫ r1 i12 dt + 2π ρ S ∫ H ( t ) dB ( t ) = r1 I12eff +
⋅A
T
T
T
T
2
r1 I1eff
est la puissance dissipée par effet joule dans le bobinage primaire.
H ( t ) dB ( t ) est l’aire entre la courbe H ( B ) et l’axe des B .
T
Donc A = ∫ H ( t ) dB ( t ) est l’aire intérieure au cycle B ( H ) .
0
La puissance consommée dans le matériau est :
2π ρ S
v⋅ A
⋅A=
T
T
avec v = 2π ρ S est le volume du tore et A l’aire du cycle.
Ph, F =
Elle est dû aux pertes par hystérésis et courants de Foucault.
Au cours d’un cycle il y a dégagement d’une quantité de chaleur : Qh, F = Ph, F ⋅ T = v ⋅ A
produite par :
•
Hystérésis : Qh, F ∼ A qu’on minimise en prenant des matériaux à cycles d’aire petite (cas
des ferromagnétiques doux)
•
Courants de Foucault dans la masse du matériau, Qh, F
le matériau en tôles parallèles à B
la formule de la puissance Ph, F
∼ v , qu’on minimise en feuilletant
montre qu’il faut travailler aux faibles fréquences.
53/65
7°- CLASSIFICATION DES FERROMAGNETIQUES:
L’observation des cycles d’hystérésis a permis de classer les ferromagnétiques en deux
grandes catégories.
a-
Ferromagnétiques doux :
Ces matériaux ont une faible excitation coercitive ( H c < 100 A m −1 ) d’ou une grande
facilité de modifier leur aimantation. Ils sont caractérisés par une forte susceptibilité magnétique
initiale et des cycles très étroits c.à.d des pertes énergétiques faibles. Ce qui justifie leur utilisations
dans les transformateurs les électro-aimants,
électro aimants, les relais, les écrans magnétiques, les bobines
téléphoniques, … où l’échauffement est indésirable.
Exemples :Le Fer (3-4 % Si), le permalloy, Mumétal, supermalloy (tableau 2)
b-
Ferromagnétiques durs :
Ces matériaux ont une forte excitation coercitive H c ≃ 10 3 à 10 6 A m −1 c.à.d une grande
difficulté de supprimer l’aimantation rémanente M r d’ou leur utilisation dans la fabrication des
aimants permanents. Ils ont des cycles très larges et même carré (forte pertes d’énergie par
échauffement). Comme exemples on peut citer les aciers, l’Alnico 5, le ticonal …
8°- INTERPRETATION DU FERROMAGNETISME
FERROMAGNET
:
aOrigine du ferromagnétisme:
A l’échelle atomique le ferromagnétisme d’un cristal est dû aux spins des électrons non
appariés dans les liaisons chimiques et les liaisons covalentes.
Le spin de l’électron est traité comme un dipôle magnétique de moment
moment Mi .
L’interaction de deux dipôles magnétiques classiques favorise un alignement antiparallèle
(↑↓) des Mi . Dans un cristal ferromagnétique les distances interatomiques réalisées conduisent à
une interaction d’échange – entre spins – qui favorise un alignement parallèle (↑↑)
(
(voir M.Q).
Si l’énergie k B T due à l’agitation thermique est très inférieure à l’énergie potentielle,
E p = −M1 ⋅ Bl = −M1 Bl (si M1 Bl ) de M1 dans le champ local Bl crée par les autres
Mi ; tout les Mi seront orientés dans le même sens. On aura une structure ordonnée c’est le cas
des ferromagnétiques T < Tc . Dans le cas contraire la structure sera désordonnée c’est le cas des
paramagnétiques . T > Tc
54/65
bDomaines de Weiss – Parois de Bloch :
Soit un cristal ferromagnétique d’aimantation M = ∑M i . Il crée dans son voisinage un
i
champ magnétique B ext important auquel correspond une énergie magnétique WB =
∫∫∫
v
2
B ext
2µ 0
importante.
En se divisant en domaines, le cristal réduit son champ B ext et gagne de l’énergie de WB . Ce
gain a servi pour construire des parois de Bloch entre domaines de Weiss.
Un domaine est visible en microscope ∼ 10 µ m . Il contient des milliards d’atomes de
moments dipolaires de spins de même orientation. L’aimantation M sp d’un domaine est appelée :
aimantation spontanée à saturation.
Cette subdivision s’arrêtera une fois que l’énergie gagnée, par
par diminution de WB , soit
compensée par l’énergie absorbée pour créer ces parois.
Dans un cristal qui n’a jamais été aimanté, ou bien désaimanté,
les orientations
des différents domaines sont aléatoires et l’aimantation globale
macroscopique est nulle.
c-
Effet d’un champ magnétique externe :
Quant on applique au cristal un champ magnétique Ba croissant ; les domaines d’aimantation
M sp de même orientation, ou proche à celle de Ba se trouvent énergétiquement favorisés.
L’aimantation M sp de chaque domaine tourne pour s’orienter de plus en plus dans le sens de Ba .
Les parois se déplacent et ces domaines grandissent en voyant leurs volumes augmenter au dépend
des autres (fig.) .
On obtient alors une aimantation macroscopique M de même sens que Ba . Dans les
champs forts tout les Mi sont alignés à Ba , le cristal est formé d’un seul domaine d’aimantation
à saturation M s .
55/65
d- Interprétation de l’hystérésis :
Sur la courbe de première aimantation M ( H ) on distingue trois zones :
Zone 1 : de déplacement réversible des parois c.à.d en
diminuant H les parois reviennent à leurs positions initiales et
M aussi
Zone 2 : de déplacement irréversible des parois de Bloch
avec craquement : effet Barkhausen.
Zone 3 : d’alignement des orientations des domaines et
disparition progressive des parois jusqu’à la saturation M s .
Le déplacement irréversible des parois (zone 2) implique
une variation du champ c.à.d la création de courants
courants induits dans le métal (Fe, Co…) et par
conséquent des pertes de chaleur par effet Joule. Ce qui explique le phénomène d’hystérésis.
L’énergie totale de l’hystérésis inclus les énergies de spins, parois, B … c’est pourquoi l’état
l’ét
magnétique d’un cristal ferromagnétique dépend de son histoire.
Si le cristal a des défauts de structure ou des impuretés les parois se déplacent difficilement ce
qui justifie que le fer est d’autant doux qu’il est pur alors que les aciers (alliages) sont
so
magnétiquement durs.
56/65
Chapitre.4
EQUATIONS DE MAXWELL
I. LES POSTULATS DE L’ELECTROMAGNETISME :
Le but de l’électromagnétisme est de décrire les interactions qui s’exercent à l’intérieur d’un
système de particules chargées. Dans un référentiel galiléen b R . la force F ( r , t ) qui s’exerce sur
une particule de charge q de vitesse par rapport à R v ( r , t ) est donnée par la loi de force de
Lorentz :
F = q E + v ΛB
(
)
Cette expression définie, dans R , le champ électromagnétique E ( r , t ) , E ( r , t ) . Les quatre
(
)
(
relations locales de Maxwell permettent de calculer le champ E , B à partir de sa source ρ , J
)
où ρ ( r , t ) densité de charges et J ( r , t ) densité de courant. Les postulats de l’électromagnétisme
sont la loi de force de Lorentz et les équations de Maxwell
Remarque : le champ électromagnétique contient et transporte de l’énergie de la quantité de
mouvement.
II. LES EQUATIONS DE MAXWELL :
 Equation du flux magnétique
∇⋅B = 0
( M.Φ )


∂B
∇∧E = ( M.F )
 Equation de Maxwell-Faraday
∂t

ρ

∇⋅E =
( M.G )
 Equation de Maxwell-Ganss
ε0


 Equation de Maxwell-Ampère ∇ ∧ B = µ  J + ε ∂ E 
( M.A )

0 
0

∂
t



Le premier couple (M.Φ et M.F) exprime des propriétés intrinsèques du champ
électromagnétique, alors que le second couple (M.G et M.A) exprime le lien entre le champ E , B
(
(
)
)
et sa source ρ , J .
Remarque : le second couple contient l’équation de la conservation de la charge. En effet ;
(
)
M.A donne (car ∇ ⋅ ∇ ∧ a = 0 ) .

 ∂ E 


∂
∇ ⋅ ∇ ∧ B = 0 = µ 0 ∇ ⋅ J + ε 0 ∇ ⋅ 
∇ ⋅ E  = µ0
  = µ 0 ∇ ⋅ J + ε 0
∂t


 ∂ t  

(
)
d’après (M.G) d’où : ∇ ⋅ J = −
(
∂ρ
∂t
57/65
)


1 ∂
( ρ ) .
∇ ⋅ J + ε 0 ⋅
ε0 ∂ t


III.
CONTENU PHYSIQUE DES EQUATIONS DE MAXWELL :
1. Equation du flux magnétique :
Φ=
∫∫
(
)
B ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ B dv
S
MΦ
= 0 (d’après la formule d’Ostogradsky). soit :
V
( M.Φ )
∇⋅B = 0
∫∫ B ⋅ dS = 0
⇔
∀S
,
S
M.Φ exprime le caractère
ère conservatif du flux magnétique c. à. d. que le flux magnétique se
conserve, a un instant donné, le long d’un tube de champ et on peut définir Φ ( t ) à travers un
contour sans préciser la surface S utilisée pour calculer celui ci.
2. Equation de Maxwell-Faraday
Maxwell
:
Calculons la circulation, à l’instant t, de E le long d’un contour C fixe. S étant une surface
quelconque s’appuyant sur C , la formule de Stokes donne :
MF


E
⋅
dl
=
∇
∧
E
⋅
dS
= ∫∫  − ∂ B  ⋅ dS = − d ∫∫ B ⋅ dS
∫C
∫∫S
∂t 
dt S
S 
(
)
∇∧E =−
( M.F )
∂B
∂t
∫ E ⋅ dl
⇔
=−
C
dΦ
dt
Elle exprime qu’un champ magnétique dépendant du temps donne naissance à un champ
électrique à circulation non conservative.
Remarques :
En électrostatique on a ∇ ∧ E = 0
•
∫ E ⋅ dl
⇔
=0
( ∂ B = 0)
,
t
C
La circulation de E est conservative en régime permanent.
dΦ
de Faraday (1831) :
dt
la circulation de E le long d’un contour est égale à la force électromotrice (f. e. m) e induite dans
ce contour.
3. Equation de Maxwell-Gauss
Maxwell
:
calculons le flux électrique sortant, à l’istant t, d’une surface fermée S limitant un volume V à
l’aide de la formule d’Ostogradsky :
MG 1
Q
Ψ = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ E dv =
∫∫∫ ρ dv = , Q charge dans S.
•
L’équation (M.F) est en accord avec la loi expérimentale
e
e=−
(
S
)
V
( MG )
ε0
ε0
ρ
∇⋅E =
ε0
V
⇔
Q
∫∫ E ⋅ dS = ε
S
0
MG exprime la validité générale du théorème de Gauss (même en régime non permanent).
4. Equation de Maxwell-Ampére
Maxwell
:
En régime non permanent, calculons la circulation à l’instant t de B le long d’un contour C en
utilisant la formule de Stokes et (M.A) ; S étant une surface quelconque s’appuyant sur C :


B
⋅
dl
=
∇
∧
B
⋅
dS
=
µ
J
⋅
dS
+
ε
∂
E
⋅
dS


0
0
t
∫
∫∫S
∫∫
∫∫S
C
S

∂E
Notons : iS = ∫∫ J ⋅ dS : intensité de courant qui traverse S à l’instant t et J D ≡ ε 0
∂t
S
(
)
58/65


= µ0 iS + ∫∫ J D ⋅ dS 
C
S


L’équation de (M.A) exprime la forme générale du théorème d’Ampère
Remarques :
( M.A )
•
∇ ∧ B = µ0  J + J D 
∫ B ⋅ dl
⇔
En magnétostatistique ∂ t E = 0 ( M.A ) S :
∇ ∧ B = µ0 J
⇔
∫ B ⋅ dl
= µ0 iS
C
Exprime que la circulation de B est donnée en régime permanent par le théorème d’Ampère,
de la magnétostatique, qui exprime le lien entre le champ B et sa source J : B tourbillonne autour
des courants qui l’engendrent.
• dans (M.A) J D : densité de courant de déplacement, ne représente ni un courant, ni un
déplacement de quoi que ce soit. Le sens physique de J D est : un champ électrique dépendant du
temps est, au même titre qu’un courant, une source de champ magnétique.
• L’influence du terme J D ≡ ε 0 ∂ t E dans (M.A) est analogue à celle du terme −∂t B dans
(M.F). La présence de cas deux termes réalise un couplage entre les champs E et B qui interdit de
dissocier les deux composantes du champ électromagnétique ( E , B ). Ce couplage est à l’origine de
la propagation du champ électromagnétique.
• Origine du terme J D :
La divergence de ( M.A ) S
( M.A )S
un terme supplémentaire et pose :
∇ ∧ B = µ0  J + J D 
( M.A )
M.G
⇔
∇ ⋅ J = 0 vrai en régime permanent. Maxwell introduit dans
( M.A )
(
pour avoir une cohérence avec ∇ ⋅ J = − ∂ t ρ .
)
∇ ⋅ ∇ ∧ B = 0 = µ0 ∇ ⋅ J + ∇ ⋅ J D 
ε 0 ∂t (∇ ⋅ E ) + ∇ ⋅ J D = 0
⇔
− ∂t ρ + ∇ ⋅ J D  = 0


∇ ⋅  J D − ε 0 ∂ t E  = 0
⇔
Maxwell choisit la solution particulière la plus simple : J D = ε 0 ∂ t E .
IV. PROPAGATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE
1. Les equations de propagation :
∇ ∧ ∇ ∧ a = ∇ ∇ ⋅ a − ∇ 2 a , appliquée à (M.F)
(
) ( )
∇ ∧ (∇ ∧ E ) = ∇ (∇ ⋅ E ) − ∇ E = ∇ ∧ ( − ∂ B ) = − ∂ (∇ ∧ B )
2
t
M.G
ρ
−∇ 2 E + ∇   = − ∂ t
 ε0 
(
t
M.A
∂J
∂2 E
1


2
µ
ε
µ
J
+
∂
E
donc
∇
E
−
ε
µ
=
∇ρ + µ 0
0
0
0
t
0
0
2


ε0
∂t
∂t
)
(
(1)
)
(M.A) → ∇ ∧ ∇ ∧ B = ∇ ∇ ⋅ B − ∇ 2 B = µ0 ∇ ∧ J + µ0 ε 0 ∇ ∧ ∂ t E
Et (M.Φ) avec (M.F) → ∇ 2 B − ε 0 µ0
∂2 B
= − µ0 ∇ ∧ J (2)
∂ t2
Remarque : (1) et (2) montrant que le découplage complet existant en régime permanent entre E
de source ρ et B de source J n’est plus réalisé en régime variable.
En un point où ρ = 0 et J = 0 , E et B satisfont à la même équation de propagation :
59/65
∇ 2 E − ε 0 µ0 ∂ t 2 E = 0 (1’)
∇ 2 B − ε 0 µ0 ∂ t 2 B = 0 (2’)
2. Equation de d’Alembert à une dimension :
Soit S ( x, t ) une grandeur fonction de l’abscisse x et de temps t qui vérifie, v étant une
constante, l’équation différentielle :
∂2 S 1 ∂2 S
−
=0
(3)
∂x 2 v 2 ∂ t 2
On montre que la solution générale de cette équation de la forme :
x
x


S ( x, t ) = f  t −  + f  t + 
v
v


Interprétation de la solution particulière :
x
x + ∆x 


S1 ( x, t ) = f  t −  = f  t + ∆t −
 si ∆x = v∆t
v
v 


La grandeur se propage, sans déformation, avec la vitesse v le long de Ox
En résumé, la solution générale de (3) à une dimension peut s’interpréter comme la
superposition de 2 ondes progressives de vitesse opposées.
3. Equation de d’Alembert à 3 dimensions :
1 ∂2 S
soit S ( x, y, z, t ) une grandeur scalaire, l’équation ∇ 2 S − 2 2 = 0 (4), admet pour
v ∂t
x
y
z



solutions particulières des fonctions du type : S  t −  S  t −  S  t −  .
v
 v

 v
qui ont, à un instant t donné, même valeur en tout point d’un plan x = cte , y = cte et z = cte .
Elles représentent de sondes planes progressives se propageant avec la vitesse v respectivement le
long des axes Ox, Oy et Oz. (4) est linéaire, toute superposition d’ondes planes progressives de
vitesse v est solution de (4).
Conclusion :
1
(1’) et (2’) s’identifient à (4) en posant v 2 =
→ v = 3 ⋅ 10 8 m s −1 vu le caractère
ε 0 µ0
ondulatoire de la lumière (phénomènes de diffraction et d’interférence Young-Fresnel)
Young
et les
8
−1
mesures de la célérité de la lumière c ≃ 3 ⋅ 10 m s réalisée par Fizeau (1851) Maxwell affirme la
nature électromagnétique
lectromagnétique de la lumière c.à.d v ≃ c d’où la célèbre relation : ε 0 µ 0 c 2 = 1
Remarques
1 ∂2
En introduisant l’opération d’Alembertien :  2 = ∇ 2 − 2 2 . Les équations du champ
c ∂t
électromagnétique (1’) et (2’) dans l’espace vide de charges et de courants s’écrivent :
2 E = 0
2 B = 0
60/65
Les équations de Maxwell sont valables dans un référentiel galiléen R quelconque, et en
particulier dans
ans le référentiel terrestre.
1 ∂
On montre dans le cas d’une onde plane progressive que : ∇ = − u
où u est un vecteur
c ∂t
unitaire de l’axe de propagation, dans le sens positif, de l’onde plane progressive.
4. Structure de l’onde plane progressive : ( ρ = 0 , J = 0 )
1 ∂B
B ⊥ u (1)
− u⋅
=0
→
u ⋅ B = cte = 0 ,
→
c
∂t
1 ∂E
E ⊥ u (2)
∇⋅E = 0
→
− u⋅
=0
→
u ⋅ E = cte = 0 ,
→
c
∂t
1
1
B = u ∧ E (3)
∇ ∧ E = −∂ t B
→
− u ∧ ∂ t E = −∂ t B
→
c
c
1
1
1
E = − c u ∧ B (4)
∇ ∧ B = 2 ∂t E
→
− u ∧ ∂t B = 2 ∂t E
→
c
c
c
ces relations d’écrivent la structure de l’onde électromagnétique plane progressive se
propageant dans le vide. Cette structure quelque soit le temps est :
* (1) et (2) → le champ électromagnétique
électromag
est transversal
* (3) et (4) → • B ⊥ u
∇⋅B = 0
(
→
)
• u , E , B trièdre direct.
• E =c B
⇒
E=cB
V. ELECTROMAGNETISME DES MILIEUX MATERIELS :
1. Charges libres et charges liées :
On classe les particules chargées d’une distribution en deux catégories :
Charges structurales ou charges liées tel que les protons des noyaux et les électrons des
atomes qui sont attachées à la structure du milieu et dont l’amplitude de leurs déplacements
éventuels est très limitée ( ∼ 1A ) .
Charges libres : tel que les électrons de conduction d’un métal ou les particules
indépendantes d’un faisceau leurs déplacements dans la matière est très supérieurs à l’ordre de
grandeur des dimensions atomiques
2. Principe de l’étude d’un milieu matériel :
On fait intervenir
enir dans les équations de Maxwell, comme sources de champ, toutes les
particules libres et liées.
1

 ( M.Φ )
∇⋅B = 0
M.G
∇
⋅
E
=
(
)
( ρlibre + ρlié )


ε
0


∂B
∇∧E =  ( M.F )
 ( M.A )
∇ ∧ B = µ0  Jlibre + Jlié + ε 0 ∂ t E0 
∂t


(
(
)
 ρ = ρlibre + ρlié = ρlibre − ∇ ⋅ P
;
ρ P = −∇ ⋅ P

( JP =∂t P : courant de polarisation)

J=J
+
J
=
J
+
∇
∧
M
+
∂
P
;
J
=
∇
∧
M

libre
lié
libre
t
M
B
− M d’où
Avec D = ε 0 E + P et H =
µ0
 ( M.G )

 ( M.A )
∇ ⋅ D = ρlibre
∇ ∧ H = Jlibre + ∂ t D
61/65
)
(
)
Calcule de E , B à partir des seules charges libres (macroscopiquement)
Remarques :
Cas des milieux l.h.i, pour des champs pas trop intenses, on a :
B
D = ε E , H = , ε = ε 0 ε r et µ = µ0 µ r
µ
L’introduction de D et H dans les équations de Maxwell permet de camoufler les charges ou
courants liés, masquant ainsi une analyse microscopique approfondie du milieu considéré .
cas des métaux :
ρlibre : densité volumique de charges des électrons de conduction
conductio
ρlié : densité volumique de charges des cations du réseau cristallin.
En régime permanent et dans tout le domaine des fréquences hertziennes on a :
ρ = ρlibre + ρlié ≃ 0
∇⋅E = 0
⇒
(M.G)
J libre représente le mouvement de l’ensemble des électrons de conduction .
Cas métaux ferromagnétiques (Fe, Co, Ni) J lié = J M due aux spins des électrons
⇒
Cas métaux usuels (Cu, Al, …) non magnétiques : J lié ≃ 0
∇ ∧ B = µ 0  J + ε 0 ∂ t E  ,
( M.A )
(ε r = µr
J = J libre
= 1)
VI. EXPRESSIONS DES POTENTIELS :
Partant de (M.Φ) et (M.F) on montre que le champ E , B dérive des potentiels V , A par
(
les relations :
B = ∇ ∧ A , E = −∇ V − ∂ t A
Qui donnent : A = A 0 + ∆ϕ
)
( − ∂ A) champ électromoteur de Newmann
t
V = V0 − ∂ t ϕ
et
(
)
ϕ ( r , t ) champ scalaire quelconque.
( )
cette indétermination conduit
cond à un imposer à (V , A ) une condition supplémentaire dite
(
)
càd pour E , B donnéé on a une infinité de couples V , A de potentiels.
jauge de Lorentz : ∇ ⋅ A +
1 ∂V
c2 ∂ t
L’introduction de B et E dessus dans les équations de (MG) et (MA) et compte tenu de :
∇ ⋅ ∇ V = ∇ 2 V , ∇ ∧ ∇ ∧ A = ∇ ∇ ⋅ A − ∇ 2 A , ε 0 µ0 c 2 = 1 et de la jauge de Lorentz on
( )
(
)
(
)
aboutit aux équations dites de Poisson
 2 V + ρ / ε 0 = 0 (α)
et
 2 A + µ0 J = 0
Remarque :
En régimes permanents 2 = ∇ 2 on a : jauge de Lorentz :
∇ 2 A = − µ0 J
∇⋅ A = 0 ,
∇ 2 V = − ρ / ε 0 et
Equations de Poisson en Electrostatique et magnétostatique.
Soit (D) une distribution d’extension finie de
charges et de courants. On montre que la solution, des
équations de Poisson (α)
α et (β),
β), dite des potentiels retardés
est :
62/65
(β)
1
V (M ,t ) =
∫∫∫
ρ (t − r / c )
A(M ,t ) =
µ0
4π
∫∫∫
J (t − r / c )
dv
4π ε 0
r
r
Interprétation des potentiels retardés :
Un observateur placé en M est informé des modifications survenues en S avec le retard
∆ t = r / c qui correspond au temps de propagation d’un signal électromagnétique de S vers M.
dv
VII. APPROXIMATION DES REGIMES QUASI-PERMANENTS
QUASI PERMANENTS (ARQP) OU DES
ETATS QUASI-STATIONNAIRES
STATIONNAIRES :
∇⋅B = 0
( M.Φ )  ∇ ⋅ E = ρ
( M.G )


ε
ARQP : 
0

∂B
( M.F )
 ∇∧E = ∇∧B = µ J
( M.A )S
∂t
0


B = ∇ ∧ A et E = −∇ V − ∂ t A
Remarques :
L’ARQP néglige les phénomènes de propagation (c à d J D = 0 )
(
)
∇ ⋅ ∇ ∧ B = 0 = µ0 ∇ ⋅ J
⇒
I = ∫∫ J ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ J dv = 0
,
S
∇ ⋅ J = 0 : J à flux conservatif
∀S
v
fermée.
Pour un tube de champ T :
∫∫ J ⋅ dS = ∫∫ J ⋅ dS + ∫∫ J ⋅ dS =0 .
T
=0
=iS
S2
soit iS1 = iS2 sans t
S1
2
=iS
1
I1 = I 2
I1 + I 2 + I 3 = 0 → Loi des nœuds
œuds :
∑I
k
=0
∀ t Fondamentale en électrocinétiques
k
(circuits)
(MΦ) et (M.AS) de l’ARQP sont identiques à ceux de la magnétostatique.
→ A (t ) =
µ0
4π
∫∫∫
J (t )
r
dv : pour B , l’ARQP utilise, à t, les résultats de la magnétostatique.
E = −∇ V − ∂ t A dans (M.G) avec ∇ ⋅ A = 0 donne V ( t ) =
1
4π ε0
∫∫∫
ρ (t )
r
dv
L’ARQP néglige les retards ∆ t = r / c des potentiels retardés.
(
)
Dans le cas de ρ , J variant périodiquement dans le temps (c à d E , B ). En néglige en M
tous les retards ∆ t = SM / c devant la période T d’une onde électromagnétique, de
longueur d’onde λ ≡ cT c.à.d on a La condition de validité de l’ARQP en
e M:
∀S ∈ D, SM ≪ λ .
Expemple : pour f = 106 Hertz → λ = 3 ⋅ 108 /106 = 300 m , ce qui justifie l’emploi de l’ARQP
pour les circuits de dimension usuelle.
63/65
B se calcule dans l’ARQP comme en magnétostatique. Alors que E = −∇ V − ∂ t A
différent du champ E permanant.
permanant. L’ARQP néglige les phénomènes de propagation mais
pas les phénomènes d’induction
’induction électromagnétique (terme − ∂ t A ).
VIII. ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE :
Nous allons
ns montrer que l’énergie d’un champ électromagnétique
quelconque,, est répartie dans l’espace avec une densité volumique : w =
( E, B )
variable
1
1
ε0 E 2 +
B2.
2
2 µ0
1. Energie du champ électromagnétique :
• Energie localisée dans le champ :
L’expérience montre que l’énergie est localisée dans les régions de l’espace où règne un
champ électromagnétique.
Remarques :
On peut supposer que cette énergie
éner est contenue dans le champ E qui règne entre les
armatures d’un condensateur
ensateur sous ∆ V , ou dans le champ B qui règne à l’intérieur d’une
bobine parcourue par un courant.
dw
La relativité montre qu’à une énergie
énerg d w correspond une masse d m = 2 : un argument
c
en faveur du caractère localisé de l’énergie électromagnétique ( ∼ m ) .
2. Transport d’énergie par le champ :
Le transport d’énergie par un champ magnétique est appelé rayonnement.
Exemples:
o l’énergie solaire nous arrive à travers le vide interplanétaire par l’intermédiaire d’ondes
électromagnétiques.
o Une particule électrisée en mouvement accéléré rayonne de l’énergie
l’énergie électromagnétique.
D’où le mouvement oscillatoire des électrons d’une antenne, est à l’origine du rayonnement
r
de l’antenne.
2
1
(Puissance rayonnée
yonnée par le dipôle oscillant - électrons d’une antenne- P =
q 2 a 2 , avec a
3
3 4π ε 0 c
l’accélération de la charge q oscillante).
3. Equation de conservation de l’énergie :
Soit S une surface fermée qui limite le volume V où règne un champ électromagnétique. La
dw
densité d’énergie
’énergie électromagnétique est : ω =
dv
Donc Le volume V conduit l’énergie W = ∫∫∫ ω dv .
v
La puissance fournie par une diminution de W se retrouve sous
forme de puissance cédée à la matière contenue dans V et sous forme
de puissance évacuée à travers S sous forme de rayonnement.
Principe de conservation de l’énergie :
dw
−
= Pcédée à la matière + Prayonnée
(1)
dt
∗ Puissance cédée à la matière :
(
)
La puissance P cédée par la force de la place F = q E + v ∧ B à la charge q à laquelle elle
s’applique est :
64/65
(
=0
)
Pcedée = F ⋅ v = qE ⋅ v + q v ∧ B ⋅ v = qE ⋅ v : un champ magnétique ne transfère pas d’énergie aux
particules auxquelles il s’applique.
La puissance dP
( E, B )
fournie par
à un volume dv contenant des charges
n1 q1 dv , n2 q2 dv … provenant de porteurs de vitesse d’ensemble v1 , v2 …
dP = n1 q1 v1 ⋅ E dv + n2 q2 v2 ⋅ E dv + …
Or la densité de courant
(
)
J = n1 q1 v1 + n2 q2 v2 + … , d’ou la densité volumique de puissance
cédée par E , B à la matière :
dP
W.m -3 ) = J ⋅ E → Pcédée à la matière = ∫∫∫ J ⋅ E dv
(
dv
v
(2)
Par analogie avec J qui est tel que iS = ∫∫ J ⋅ dS , on cherche une densité de courant
∗
S
d’énergie π tel que : Prayonnée =
∫∫ π ⋅ dS
(3)
S
π : vecteur de Poynting ou vecteur radian
∗
∫∫∫ ( ∇ ⋅ π ) dv .
En fin, (2) et (3) dans (1) →
v
−
d
dω
ω dv = ∫∫∫ −
dv = ∫∫∫ J ⋅ E dv +
∫∫∫
dt v
dt
v
v
∫∫ π ⋅ dS
∀V −
S
Remarques :
A comparer avec l’équation de conservation de la charge : −
∗
(
les couples J , ρ
)
dω
= ∇ ⋅π + J ⋅ E
dt
(4)
dρ
= ∇ ⋅ J : l’analogie entre
dt
et (π , ω ) n’est pas totale. Le terme supplémentaire J ⋅ E : l’énergie n’est pas
conservée intégralement sous forme électromagnétique mais peut être cédée à la matière.
4. Calcul du couple (π , ω ) :
( M.A )
(
)
(
)
(
)
(

B
→ E ⋅∇ ∧
µ0

)

∂E
 = J ⋅ E + ε0 E ⋅
∂t

Or : ∇ ⋅ a ∧ b = b ⋅ ∇ ∧ a − a ⋅ ∇ ∧ b et en tenant compte de ( M .F ) on aura :
(
)
(
∂B
−E⋅ ∇∧B
∂t
B
∂E
, soit :
 = J ⋅ E + ε0 E ⋅
µ0 
∂t
)
∇ ⋅ E ∧ B = B ⋅ ∇ ∧ E − E ⋅ ∇ ∧ B = −B ⋅
(
)


B 
B ∂B
E ⋅∇ ∧
− ∇ ⋅ E ∧
=− ⋅
µ0 
µ0 ∂t


2
2

∂  E
B 
B
− ε 0
+
 = ∇ ⋅  E ∧  + J ⋅ E à comparer avec (4) qui donne :
µ0 
∂t  2 2µ0 

B
E2
B2
π (W ⋅ m −1 ) = E ∧
et ω ( J ⋅ m −3 ) = ε 0
+
µ0
2 2 µ0
Remarques :
∗ En régime variable, le couplage de E et B , fait qu’il n’est pas possible de considérer
séparément les densités :
Donc :
65/65
E2
ωE = ε 0
2
∗
∗
π =
1
B2
ωB =
2 µ0
et
En régime permanent
permane E et B sont découplés, on peut considérer séparément les
densité ωE et ωB .
Dans le cas de l’onde plane progressive O.P.P (page 6)
(
2
1
1
 1 E
E ∧  u ∧ B =
u=
−c u ∧ B
µ0
µ0
c
 µ0 µ
E∧B=
1
µ0
1
1 2
1 2
Et ω = ε 0 E 2 +
B = ε0 E2 =
B (car E = cB )
2
2 µ0
µ0
Dans ce cas particulier on a : ωE = ωB
∗
) ∧ B = µc
(
)
B∧ u∧B =
0
c
µ0
B2 u
(
)
Calculons le rapport des forces : électrique f E = q E et magnétique f B = q v ∧ B ,
(
)
exercées par E , B sur la particule de charge q et de vitesse v , on
a:
v∧B
fB
v B sin θ v
v
=
=
= sin θ <
fE
E
c
c
E
car E = cB et sin θ < 1
Le cas le plus fréquent est v ≪ c ⇒
D’où
fB ≪ fE
v
≪1.
c
: L’action prépondérante est celle du champ électrique.
Démonstration : Equation de conservation de la charge
à t donnée, q ( t ) = ∫∫∫ ρ dv contenue dans v et iS ( t ) =
v
diminution de q ( t ) = −
iS ( t ) =
dt
d 

∂P
∫∫ J ⋅ dS = − dt  ∫∫∫ ρ dv  = − ∫∫∫ ∂t
∫∫
S
v
Ostogr
J ⋅ dS =
qui sort de S égale au taux de
S
dq ( t )
S
iS ( t ) =
∫∫ J ⋅ dS
∂P
∫∫∫ ( ∇ ⋅ J ) dv = − ∫∫∫ ∂t
v
dv et
v
dv ∀ v
v
66/65
⇒
∇⋅ J = −
∂P
∂t
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