le style mathématique des principia de Newton

Revue d'histoire des sciences
Le style mathématique des Principia de Newton
M Francois De Gandt
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De Gandt Francois. Le style mathématique des Principia de Newton. In: Revue d'histoire des sciences, tome 39, n°3, 1986.
Etude sur l'histoire du calcul infinitésimal. pp. 195-222;
doi : https://doi.org/10.3406/rhs.1986.4476
https://www.persee.fr/doc/rhs_0151-4105_1986_num_39_3_4476
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Résumé
RÉSUMÉ. — Comment caractériser les méthodes de démonstration mathématique utilisées dans les
Principia de Newton ? Ni géométrie à l'antique ni véritable a calcul différentiel », le raisonnement
s'appuie sur les figures, mais en supposant qu'elles bougent et se déforment. Les situations
infinitésimales sont traitées comme stade ultime de configurations finies, grâce à certains procédés de
représentation (témoins finis de l'infinitésimal). Le temps intervient sous deux modes différents dans
ces procédés. Les exemples sont pris dans les lemmes de la section I (proportions ultimes) et dans la
démonstration de la proposition 48-49 du livre I (rectification de Pépicycloïde).
Abstract
Summary. — How are the mathematical demonstrations in Newton's Principia to be characterised ?
They are neither geometry in the style of antiquity, nor are they « differential calculus » in a literal
sense. The demonstrations, like those of antiquity, depend on diagrams for support. Unlike the
diagrams of antiquity, however, Newton's are assumed to move and to change their shapes. With the
aid of certain representational processes, infinitesimally small configurations appear as final states of
finite configurations (evidence for infinitesimals from the finite domain). Time enters into these
processes in two different ways. Illustrative examples are taken from the lemmas in section I (ultimate
ratios) and from the demonstration of proposition 48-49 of book I (the rectification of the epicycloid).

Le
style mathématique
des Principia de Newton
RÉSUMÉ. — Comment caractériser les méthodes de démonstration mathématique utilisées dans les Principia de Newton ? Ni géométrie à l'antique ni véritable a calcul différentiel », le raisonnement s'appuie sur les figures, mais en supposant qu'elles bougent et se déforment. Les situations infinitésimales sont traitées comme stade ultime de configurations finies, grâce à certains procédés de représentation (témoins finis de l'infinitésimal). Le temps intervient sous deux modes différents dans ces procédés. Les exemples sont pris dans les lemmes de la section I (proportions ultimes) et dans la démonstration de la proposition 48-49 du livre I (rectification de Pépicycloïde).
SUMMARY. — How are the mathematical demonstrations in Newton's
Principia to be characterised ? They are neither geometry in the style of antiquity, nor
are they « differential calculus » in a literal sense. The demonstrations, like those
of antiquity, depend on diagrams for support. Unlike the diagrams of antiquity,
however, Newton's are assumed to move and to change their shapes. With the aid
of certain representational processes, infinitesimally small configurations appear
as final states of finite configurations (evidence for infinitesimals from the finite
domain). Time enters into these processes in two different ways. Illustrative examples
are taken from the lemmas in section I (ultimate ratios) and from the demonstration
of proposition 48-49 of book I (the rectification of the epicycloid).
A) Quelle sorle de mathématique est utilisée dans les « Principia ».
— Ni une géométrie classique...
— Ni un calcul infinitésimal.
— Une géométrie de l'ultime.
B) Les proportions ultimes.
— Le lemme 1.
— Classement des lemmes 2-11 :
a) Lemmes 2-5 ;
b) Lemmes 6-11.
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François De Gandt
C) Un procédé typique : la méthode des témoins finis.
— Le lemme 7.
— Le lemme 9.
— Un autre exemple de la méthode des témoins finis : le triangle
caractéristique.
D) La rectification de Vépicycloïde (prop. 48-49).
— Le contexte physique et les présupposés.
— Le raisonnement cinématique.
— La configuration infinitésimale et son témoin fini.
Conclusions.
PRÉSENTATION
Je voudrais faire apparaître l'originalité des procédés
mathématiques utilisés dans les Principia, dégager les traits spécifiques
des modes de raisonnement qui s'y trouvent (1). Chacun s'accorde
à trouver que les Principia sont difficiles à lire, que les
démonstrations sont souvent surprenantes, et paraissent quelquefois trop
elliptiques ou même lacunaires. Le travail d'attention, de
raisonnement et d'imagination visuelle qui est nécessaire pour
déchiffrer le texte, et pour suivre sur les figures ce qui est dit à leur propos,
ce travail ne correspond pas à ce qui est requis à la lecture d'autres
textes classiques. (Pour mieux fixer les idées et donner des repères
traditionnels clairement définis, les textes d'Euclide et
d'Apollonius peuvent servir de référence ou de repoussoir.)
Il semble acquis de nos jours que Newton n'a pas d'abord
rédigé les Principia en style « fluxionnel » pour les transcrire
ensuite dans une présentation purement géométrique (2). Les
(1) Ce travail doit beaucoup à deux remarques décisives, l'une de P. de Rouilhan,
l'autre de B. Goldstein. Je remercie également J.-P. Verdet et J. Dhombres pour
leur critique attentive. Il va sans dire qu'une étude de Newton est rendue possible
aujourd'hui par l'érudition et la finesse des grands interprètes modernes : D. T. White-
side, A. R. Hall, R. S. Westfall, I. B. Cohen, J. Herivel.
(2) Voir D. T. Whiteside, The mathematical principles underlying Newton's «
Principia Mathematica • (University of Glasgow, 1970).

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nombreux manuscrits préparatoires aux Principia (3) ne portent la
trace d'aucune retraduction de ce genre. La seule pièce intéressante
à cet égard est un très court passage manuscrit (4), nettement
postérieur à la première édition, dans lequel Newton a ébauché un calcul
fluxionnel pour l'évaluation des forces centrales. Mais ces quelques
lignes se terminent abruptement sur des exemples particuliers où le
grand Newton s'embrouille, rature et n'arrive à rien de fécond. De ces
tentatives rien n'est passé dans les éditions ultérieures des Principia.
D'autre part on verra que la voie suivie dans les démonstrations
des Principia est très éloignée d'un calcul différentiel ou fluxionnel :
la structure du raisonnement, dans tous les cas que nous
présenterons ci-dessous, est si différente d'un tel calcul qu'une re
traduction aurait exigé une refonte du raisonnement lui-même.
Puisque nous nous interdisons de supposer « derrière » le texte
des Principia une autre version, un autre tissu démonstratif qui
satisferait davantage les habitudes modernes analytico-algébriques,
il nous faut tout simplement prendre le texte de Newton au sérieux,
le lire tel quel, en respectant son mode d'accès aux objets
mathématiques. Les historiens des mathématiques, même les plus grands,
ne sont pas assez conscients que le texte mathématique est dénaturé
lorsqu'il est transcrit ou paraphrasé dans une présentation plus
« moderne ». Un lecteur d'aujourd'hui a certes besoin de vérifier,
avec toute la rigueur nécessaire et en se servant des outils
mathématiques d'aujourd'hui, que les résultats énoncés dans le texte
ancien sont vrais, ce lecteur a probablement besoin aussi qu'on lui
expose de manière synthétique et commode l'objet de la
démonstration ancienne et les principales étapes du raisonnement. Mais il ne
faudrait pas laisser croire qu'on a simplement « abrégé » le
raisonnement, ou qu'on l'a simplement présenté « plus commodément ».
La transcription des démonstrations des Principia sous forme de
calcul différentiel ou dans des notations analytico-algébriques (5)
(3) Ces manuscrits, déjà partiellement connus grâce à Rouse Ball, Herivel et
Hall, sont maintenant accessibles dans le volume VI des Mathematical Papers of
Isaac Newton édité par D. T. Whiteside.
(4) Mathematical Papers, vol. VI, 588-593.
(5) C'est précisément un thème d'étude, passionnant en soi, que de suivre les
modifications apportées dans la mécanique théorique, après les Principia, en raison
de l'introduction des notations et algorithmes du calcul différentiel. Cf. Michel Blay,
L'introduction du calcul différentiel dans la mécanique, 1700-1710 (à paraître in
Mécanique et mathématiques, Journées d'histoire des sciences des Hautes Etudes à
Marseille).