Cours

Equilibre d’un solide
I- Opérations sur les vecteurs
1- Comment additionner deux vecteurs ?
2- Comment soustraire deux vecteurs ?
3- Commutativité de l’addition
4- Multiplication d’un vecteur par un scalaire
II- Equilibre d’un solide soumis à 2 forces et plus
1- Modélisation de forces par des vecteurs
2- Première loi de Newton ou principe de l’inertie
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Isaac Newton, 1687
L'énoncé original de la première loi du mouvement par Newton dans les "Principia" en 1687 est le suivant :
"Tout corps persévère dans son état de repos
ou de mouvement rectiligne uniforme
si les forces qui s'exercent sur lui se compensent."
Autrement dit, s'il n'y a pas de forces qui s'exerce sur un solide,
ou si la somme des forces s'exerçant sur lui est égale au vecteur nul,
sa vitesse ne changent pas ou, ce qui revient au même, son accélération est nulle
Théorème de la résultante :
Si (S) est un solide en équilibre par rapport à
un repère fixe, la résultante générale des
actions mécaniques extérieures à (S) est nulle.
Un système soumis à deux forces est en équilibre si les deux forces ont même droite
d’action, même intensité et de sens opposés.
Système soumis à trois forces :
Un système soumis à trois forces est en équilibre si et seulement si :
Remarque : la somme des vecteurs forces
forment un triangle fermé que l’on appelle
dynamique.
3- Résolution graphique d’un problème de statique
M1 =4,4 kg M2= 3,9 kg
Selon le principe fondamental de la statique :
F1 + F2 = - F3
R = - F3
R
F1
F2
Mesurer la longueur de F1 sur le dynamique
F1 = 3,2 cm en …… N
F1 = 3,2 X30 / 2,2 = 43,6 N
F3 = 2,2 cm pour 30 N
Mesurer la longueur de F2 sur le dynamique
F2 = 2,9 cm en …….. N
F3 = 2,2 cm pour 30 N
F2 = 2,9 x30 / 2.2 = 39 N
F1 = P1 = m1 x g (g= 10 N/kg)
donc m1 = F1 /g = 43,6 /10 =4,4 kg
F2 = P2 = m2Xg
donc m2 = F2/g = 39 / 10 = 3,9 kg
II- Moment d’une force
1- Notions et définitions
Les effets d’une force sur un solide dépendent de la position de la force
par rapport au corps. Pour traduire avec précision les effets d’une force, il est
nécessaire de faire intervenir la notion de moment.
Lorsque les liaisons du système isolé le permettent :
- une force ponctuelle provoquera une translation
- un moment provoquera une rotation
Remarques :
2. Théorème des moments:
• Par Toutatis ! Sans potion magique,
comment Astérix va t’il s’y prendre pour
soulever Obélix ?…
A. Calcul du poids d’Obelix
• La masse d’Obelix est de 120 kg
• Son poids
est donné par la formule
P
P  mg
application numérique
P  120.10  1200
Newton
B. Calcul du Moment du poids d’Obelix
•

on admettra que POb
est
perpendiculaire à
la planche)
M P / = P.d

Pob
1
= 1200 . 0,4 = 480 N.m
(newton . mètre.)

Pob
d=40cm
C. Calcul du poids d’Astérix
• La masse d’Astérix est de 60 kg
• Son poids
P est:
P  m g  60.10  600 N
newton
D. Calcul moment du poids d’Astérix
• Selon-vous, quelle valeur minimum doit
avoir le moment du poids d’Astérix pour
qu’il puisse soulever Obélix ?
• Les 2 Moments doivent s’équilibrer donc
M ast = M ob = 480 N.m
Newton . mètre
E. Calcul de la distance d’astérix à l’axe de
rotation
• A l’équilibre:
M ast = M obé = 480 N.m
• Or: M ast =
da?
Past . da
Soit da = M ast / Past
Application numérique
da = 480 / 600 = 0,8
da = 0,8 mètre
m
 d=40cm
Pob
da?
80 cm

Pas
F. Enoncé du théorème des moments
F2
d1
d2
F1
d3
F3
• Pour qu’un solide mobile autour d’un axe soit à
l’équilibre, il faut que la somme des moments qui
tendent à le faire tourner dans un sens
soit égale à la somme des moments qui
tendent à le faire tourner dans l’autre sens
Μ1  Μ 2  Μ 3
F 1.d 1  F 2.d 2  F 3.d 3
3. Couple de forces
• Définition :
• L'ensemble de 2 forces opposées,
de droites d'action parallèles ,
constitue un couple de forces
Moment d'un couple :
• Le moment d'un couple
est égal au produit de la
valeur commune F des
2 forces par la distance
dentre leur 2 droites
d’actions
F
O
d
Μ
F.d
4- Etude des leviers
Définition :
Un levier est, de façon générale, un corps rigide susceptible de tourner autour d’un
axe, et soumis au moins à deux forces qu’on appelle la « force motrice »
et la « résistance ».
On distingue trois types de leviers que nous allons définir et illustrer :
1) celui dans lequel l’axe d’appui est placé entre la force motrice et la résistance
(balançoire);
2) celui dans lequel la résistance est entre l’axe d’appui et la force motrice
(casse-noix);
3) celui dans lequel la force motrice est entre l’axe d’appui et la résistance
(pince à sucre).