11/10/2018 COURS MÉCANIQUE2 “MÉCANIQUE DU SOLIDE ET DES SYSTEMS” CINÉTIQUE DES SOLIDES CHAPITRE 2 1. Eléments cinétique d’un système 1.1 Résultant cinétique ou Quantité de mouvement Pour un point matériel: la quantité mouvement du point A par rapport à référentiel s’écrit: 𝑃 = 𝑚𝑣𝐴/ℜ Pour un système matériel: la quantité mouvement d’un système (𝑆) par rapport à référentiel s’écrit : P mi v i (Système de masse discontinue) i PM vdm (Système de masse continue) (S) P vdm P (S) (S) dOA d d dm OAdm ( M OG ) M v G (S) dt dt dt 2 1 11/10/2018 1. Eléments cinétique d’un système 1.2 Moment cinétique Pour un point matériel: le moment cinétique en point 𝑂 de du point A s’écrit: 𝜎𝑂 = 𝑂𝐴˄𝑚𝑣𝐴/ℜ Pour un système matériel: le moment cinétique en point 𝑂 de d’un système matériel s’écrit : O OAi mi v i (Système de masse discontinue) i O OA vdm (Système de masse continue) (S) 3 1. Eléments cinétique d’un système 1.2 Moment cinétique (suite) Si O’ est un autre point fixe de , on a une relation simple entre les moments cinétiques en O et O’ O OA vdm (S) (S) OO ' O ' A vdm OO ' vdm O ' A vdm (S) (S) OO ' vdm O ' OO ' P O ' (S) O OO ' P O ' OO ' M v G O ' Si 𝑂’ ≡ 𝐺 O OG M v G G 4 2 11/10/2018 1. Eléments cinétique d’un système 1.3 Quantité de mouvement dans référentiel du centre de masse Le référentiel du centre de masse associé à ∗ (𝐺, 𝑥, 𝑦, 𝑧) est le référentiel en translation par rapport à et tel que: 𝑃∗ = 𝑣 ∗ 𝑑𝑚 = (𝑆) (𝑆) 𝑑𝐺𝐴 𝑑𝑡 ℜ∗ 𝑑𝑚 = 𝑑 𝑑𝑡 𝐺𝐴𝑑𝑚 𝑆 =0 ℜ∗ Comme 𝑃∗ = 𝑀𝑣𝐺∗ = 0 ⇒ 𝑣𝐺∗ = 0 Le centre de masse 𝐺 est fixe dans * 5 1. Eléments cinétique d’un système 1.4 Moment cinétique dans référentiel du centre de masse o Moment cinétique au 𝐺 dans ℜ s’écrira : 𝜎𝐺 = o Moment cinétique au 𝐺 dans ℜ∗ s’écrira : 𝜎𝐺∗ = (𝑆) 𝐺𝐴˄𝑣𝐴 𝑑𝑚 (𝑆) 𝐺𝐴˄𝑣𝐴∗ 𝑑𝑚 o La vitesse du point 𝐴 dans ℜ est donnée par: 𝑣𝐴 = 𝑣𝐺 + 𝑣𝐴∗ o Nous avons alors: 𝐺𝐴˄ 𝑣𝐺 + 𝑣𝐴∗ 𝑑𝑚 = 𝜎𝐺 = (𝑆) = 𝑣𝐺 ˄ (𝑆) 𝐺𝐴𝑑𝑚 + (𝑆) 𝐺𝐴˄𝑣𝐴∗ 𝑑𝑚 𝐺𝐴˄𝑣𝐺 𝑑𝑚 + (𝑆) 𝐺𝐴˄𝑣𝐴∗ 𝑑𝑚 = 𝜎𝐺∗ (𝑆) Le moment cinétique du centre d’inertie du système est le même qu’il soit présenté dans le repère ℜ ou dans le repère ℜ1 6 3 11/10/2018 1. Eléments cinétique d’un système 1.5 Théorème de Koënig En un point 𝑂 quelconque dans ℜ , on a: 𝜎𝑂 = 𝑂𝐺 + 𝐺𝐴 ˄ vG + vA∗ 𝑑𝑚 = 𝑂𝐺˄ 𝑂𝐴˄𝑣𝐴 𝑑𝑚 = (𝑆) (𝑆) 𝑣𝐴∗ 𝑑𝑚 (𝑆) +𝑂𝐺˄𝑣𝐺 𝐺𝐴˄𝑣𝐴∗ 𝑑𝑚 + 𝑑𝑚 + (𝑆) (𝑆) 𝐺𝐴𝑑𝑚 ˄𝑣𝐺 𝑆 𝜎𝑂 = 𝑂𝐺˄𝑀𝑣𝐺 + 𝜎𝐺∗ 7 1. Eléments cinétique d’un système 1.6 Moment cinétique d’un solide en mouvement quelconque Soit A un point du solide: 𝑣𝐴/𝑅 = 𝑣𝑂′ /𝑅 + 𝜔𝑠 ˄𝑂′𝐴 , on obtient: 𝜎𝑂′ = 𝑂′ 𝐺˄𝑀𝑣𝑂′ /𝑅 + 𝐼 𝑂′ 𝜔𝑠 Si ℜ′ est fixe par rapport à ℜ 𝑣𝑂′ = 0 ⇒ 𝜎𝑂′ = 𝐼 𝑂′ 𝜔𝑠 Si 𝑂′ est confondu avec le centre 𝐺 alors 𝑂′ 𝐺 = 0 ⇒ 𝜎𝐺 = 𝐼 𝐺 𝜔𝑠 8 4 11/10/2018 2. TORSEURS 2.1. Définition: Un torseur est un outil mathématique privilégié de la mécanique .Il sert à caractériser une action mécanique, à représenter le mouvement d’un solide …. • Notation: 𝜏 𝑃 • Le torseur est l’ensemble de deux vecteurs appelés éléments de réduction : • Résultante du torseur. • Moment du torseur. 1. TORSEURS 2.2. Propriétés : i) Equivalence des torseurs : Si deux torseurs équivalents en un point alors sont équivalents en tout points de l’espace ii) Addition de deux torseurs : iii) Somme des torseurs : 5 11/10/2018 1. TORSEURS 2.2. Propriétés (suite) iv) Multiplication par un scalaire : v) Comoment de deux torseurs : Par définition, on peut calculer un torseur en deux points A et B ; on obtient : Un scalaire 3. TORSEUR CINÉTIQUE Définition Soit S un système de points matériels en mouvement dans l’espace affine E par rapport à un repère fixe ℜ(𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧). Le torseur cinétique en point 𝑂de 𝑆/ℜ noté 𝐶 𝑂 est le torseur ayant pour résultante cinétique totale de 𝑆/ℜ, 𝑃(𝑆/ℜ)et pour moment, le moment cinétique total de 𝑆/ℜ, 𝜎(𝑆/ℜ) . Ils sont définis par : 𝐶 𝑃= 𝑂= 𝑆 𝜎𝑂 = 𝑣𝐴𝑑𝑚 = 𝑀𝑣𝐺 𝑆 𝑂𝐴˄𝑣𝐴 𝑑𝑚 6 11/10/2018 4. TORSEUR DYNAMIQUE 4.1. Défintion Soit 𝐴 un point du système matériel (S) en mouvement par rapport à un repère fixe ℜ. 𝑑𝑣𝐴 𝑑𝑡 ℜ L’accélération du point M est donnée par : 𝑎𝐴 = o On appelle résultante dynamique ou (quantité d’accélération) du point 𝐴: 𝐷= 𝑎𝐴 𝑑𝑚 ou 𝐷 = 𝑚𝑖 𝑎𝐴 𝑖 𝑖 𝑆 o On appelle moment dynamique, le moment de la résultante dynamique(moment de la quantité d’accélération) par rapport à un point 𝑂 du repère ℜ : 𝑁𝑂 = 𝑂𝐴˄𝑎𝐴 𝑑𝑚 ou 𝑁𝑂 = 𝑂𝐴𝑖 ˄𝑚𝑖 𝑎𝐴𝑖 𝑖 𝑆 4. TORSEUR DYNAMIQUE 4.1. Défintion (suite) On construit le torseur dynamique avec ces deux grandeurs comme éléments de réduction de ce torseur. Le torseur dynamique en un point A du repère R s’exprime sous la forme : 𝐷 𝐷 𝑂 = = 𝑆 𝑁𝑂 = 𝑎𝐴𝑑𝑚 = 𝑀𝑎𝐺 𝑆 𝑂𝐴˄𝑎𝐴𝑑𝑚 7 11/10/2018 5. RELATION ENTRE TORSEUR CINÉTIQUE ET TORSEUR DYNAMIQUE Nous avons le moment cinétique au point 𝑂′ qui est donné par : 𝜎𝑂′ = 𝑂′𝐴˄𝑣𝐴 𝑑𝑚 𝑺 Dérivons cette expression, on obtient: 𝑁𝑂′ = 𝑑𝜎𝑂′ + 𝑣𝑂′ ˄𝑀𝑣𝐺 𝑑𝑡 5. RELATION ENTRE TORSEUR CINÉTIQUE ET TORSEUR DYNAMIQUE Cas particuliers 𝑁𝑂′ 𝑑𝜎𝑂′ = 𝑠𝑖 𝑑𝑡 1) 𝑂′ est fixe dans R 2) 𝑂′ est confondu avec 𝐺 3) 𝑣𝑂′ ||𝑣𝐺 Dans ces trois cas particuliers seulement, nous pouvons écrire : 𝐷 𝑂′ = 𝑑 𝐶 𝑂′ 𝑑𝑡 avec 𝐷 𝑂′ = 𝐷 et 𝑁𝑂′ 𝐶 𝑂 = 𝑃 𝜎𝑂′ 8 11/10/2018 6. ÉNERGIE CINÉTIQUE 6.1. Définition L’énergie cinétique d’un système matériel continu (S) en mouvement par rapport à un repère fixe est définie par la quantité scalaire exprimée par la relation : 𝑇 = 1 (𝑣 )2 𝑆 2 𝐴 𝑑𝑚 6. ÉNERGIE CINÉTIQUE 6.2 Théorème de Koënig relatif à l’énergie cinétique Nous allons chercher une relation entre : - L’énergie cinétique du système dans son mouvement par rapport à ℜ (𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧) et - L’énergie cinétique du système dans son mouvement par rapport à ℜ∗ (𝐺, 𝑥, 𝑦, 𝑧) - Soit 𝐴 un point du système matériel. La loi de composition des vitesses donne : 𝑣𝐴 = 𝑣𝐺 + 𝑣𝐴∗ - En remplaçant cette expression dans celle de l’énergie cinétique nous aurons : 1 1 1 𝑇 = 𝑣𝐺 2 𝑑𝑚 + 𝑣𝐴∗ 2 𝑑𝑚 = 𝑀𝑣𝐺2 + 𝑇 ∗ 2 2 𝑆 2 (𝑆) Cette relation constitue le théorème de Koënig pour l’énergie cinétique. 9 11/10/2018 6. ÉNERGIE CINÉTIQUE 6.3 Solide indéformable en mouvement quelconque Soit ℜ (𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧) un repère orthonormé fixe et ℜ′ (𝑂′, 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) un repère lié à un solide indéformable et de centre de d’inertie G. Le solide est en mouvement quelconque tel que 𝑂′ ∈ (𝑆) . La vitesse de rotation du repère ℜ′ par rapport au repère ℜ est : 𝜔𝑅′/𝑅 Soit 𝐴 un point quelconque du solide, nous avons par la cinématique du solide : 𝑣𝐴 = 𝑣𝑂′ + 𝜔𝑅′/𝑅 ˄𝑂𝐴′ ⇒ 1 𝑇 = 2 𝑀 𝑣𝐺 2 + 𝜔𝑅′/𝑅 . 𝐼 𝐺 𝜔𝑅′/𝑅 1 o 2 𝑀 𝑣𝐺 2 : est l’énergie cinétique de translation du solide o 𝜔𝑅′/𝑅 . 𝐼 𝐺 𝜔𝑅′/𝑅 : est l’énergie cinétique de rotation du solide autour de son centre d’inertie G. 6. ÉNERGIE CINÉTIQUE 6.4 Solide indéformable en mouvement de rotation pur ⇒ 1 𝑇 = 𝜔𝑅′ /𝑅 . 𝐼 𝐺 𝜔𝑅′ /𝑅 = 2 𝜔2 𝐼Δ 10
