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M2 Ch2 2018 Torseur

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11/10/2018
COURS MÉCANIQUE2
“MÉCANIQUE DU SOLIDE ET DES SYSTEMS”
CINÉTIQUE DES SOLIDES CHAPITRE 2
1. Eléments cinétique d’un système
1.1 Résultant cinétique ou Quantité de mouvement
 Pour un point matériel: la quantité mouvement du point A par
rapport à référentiel  s’écrit: 𝑃 = 𝑚𝑣𝐴/ℜ
 Pour un système matériel: la quantité mouvement d’un système (𝑆)
par rapport à référentiel  s’écrit :
P   mi v i
(Système de masse discontinue)
i
PM  vdm
(Système de masse continue)
(S)
P   vdm  P  
(S)
(S)
dOA
d
d
dm   OAdm  ( M OG )  M v G
(S)
dt
dt
dt
2
1
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1. Eléments cinétique d’un système
1.2 Moment cinétique
 Pour un point matériel: le moment cinétique en point 𝑂 de  du
point A s’écrit: 𝜎𝑂 = 𝑂𝐴˄𝑚𝑣𝐴/ℜ
 Pour un système matériel: le moment cinétique en point 𝑂 de 
d’un système matériel s’écrit :
 O   OAi  mi v i
(Système de masse discontinue)
i
 O   OA  vdm
(Système de masse continue)
(S)
3
1. Eléments cinétique d’un système
1.2 Moment cinétique (suite)
 Si O’ est un autre point fixe de , on a une relation simple entre
les moments cinétiques en O et O’
 O   OA  vdm  
(S)
(S)
OO '  O ' A  vdm
  OO '  vdm   O ' A  vdm
(S)
(S)
 OO '   vdm   O '  OO '  P   O '
(S)
 O  OO '  P   O '  OO '  M v G   O '
Si 𝑂’ ≡ 𝐺
 O  OG  M v G   G
4
2
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1. Eléments cinétique d’un système
1.3 Quantité de mouvement dans référentiel du centre de masse
 Le référentiel du centre de masse associé à ∗ (𝐺, 𝑥, 𝑦, 𝑧) est
le référentiel en translation par rapport à  et tel que:
𝑃∗ =
𝑣 ∗ 𝑑𝑚 =
(𝑆)
(𝑆)
𝑑𝐺𝐴
𝑑𝑡
ℜ∗
𝑑𝑚 =
𝑑
𝑑𝑡
𝐺𝐴𝑑𝑚
𝑆
=0
ℜ∗
Comme 𝑃∗ = 𝑀𝑣𝐺∗ = 0 ⇒ 𝑣𝐺∗ = 0
 Le centre de masse 𝐺 est fixe dans *
5
1. Eléments cinétique d’un système
1.4 Moment cinétique dans référentiel du centre de masse
o Moment cinétique au 𝐺 dans ℜ s’écrira : 𝜎𝐺 =
o Moment cinétique au 𝐺 dans ℜ∗ s’écrira : 𝜎𝐺∗ =
(𝑆)
𝐺𝐴˄𝑣𝐴 𝑑𝑚
(𝑆)
𝐺𝐴˄𝑣𝐴∗ 𝑑𝑚
o La vitesse du point 𝐴 dans ℜ est donnée par: 𝑣𝐴 = 𝑣𝐺 + 𝑣𝐴∗
o Nous avons alors:
𝐺𝐴˄ 𝑣𝐺 + 𝑣𝐴∗ 𝑑𝑚 =
𝜎𝐺 =
(𝑆)
= 𝑣𝐺 ˄
(𝑆)
𝐺𝐴𝑑𝑚 +
(𝑆)
𝐺𝐴˄𝑣𝐴∗ 𝑑𝑚
𝐺𝐴˄𝑣𝐺 𝑑𝑚 +
(𝑆)
𝐺𝐴˄𝑣𝐴∗ 𝑑𝑚 = 𝜎𝐺∗
(𝑆)
Le moment cinétique du centre d’inertie du système est le même qu’il
soit présenté dans le repère ℜ ou dans le repère ℜ1
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3
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1. Eléments cinétique d’un système
1.5 Théorème de Koënig
En un point 𝑂 quelconque dans ℜ , on a:
𝜎𝑂 =
𝑂𝐺 + 𝐺𝐴 ˄ vG + vA∗ 𝑑𝑚 = 𝑂𝐺˄
𝑂𝐴˄𝑣𝐴 𝑑𝑚 =
(𝑆)
(𝑆)
𝑣𝐴∗ 𝑑𝑚
(𝑆)
+𝑂𝐺˄𝑣𝐺
𝐺𝐴˄𝑣𝐴∗ 𝑑𝑚 +
𝑑𝑚 +
(𝑆)
(𝑆)
𝐺𝐴𝑑𝑚 ˄𝑣𝐺
𝑆
𝜎𝑂 = 𝑂𝐺˄𝑀𝑣𝐺 + 𝜎𝐺∗
7
1. Eléments cinétique d’un système
1.6 Moment cinétique d’un solide en mouvement quelconque
Soit A un point du solide: 𝑣𝐴/𝑅 = 𝑣𝑂′ /𝑅 + 𝜔𝑠 ˄𝑂′𝐴 , on obtient:
𝜎𝑂′ = 𝑂′ 𝐺˄𝑀𝑣𝑂′ /𝑅 + 𝐼
𝑂′ 𝜔𝑠
 Si ℜ′ est fixe par rapport à ℜ 𝑣𝑂′ = 0 ⇒ 𝜎𝑂′ = 𝐼
𝑂′ 𝜔𝑠
 Si 𝑂′ est confondu avec le centre 𝐺 alors 𝑂′ 𝐺 = 0
⇒ 𝜎𝐺 = 𝐼 𝐺 𝜔𝑠
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2. TORSEURS
2.1. Définition:
Un torseur est un outil mathématique privilégié de la mécanique .Il sert à
caractériser une action mécanique, à représenter le mouvement d’un solide ….
• Notation: 𝜏 𝑃
• Le torseur est l’ensemble de deux vecteurs appelés éléments de réduction :
• Résultante du torseur.
• Moment du torseur.
1. TORSEURS
2.2. Propriétés :
i) Equivalence des torseurs :
Si deux torseurs équivalents en un point alors sont équivalents en tout points de
l’espace
ii) Addition de deux torseurs :
iii) Somme des torseurs :
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1. TORSEURS
2.2. Propriétés (suite)
iv) Multiplication par un scalaire :
v) Comoment de deux torseurs :
Par définition, on peut calculer un torseur en deux points A et B ; on obtient :
Un scalaire
3. TORSEUR CINÉTIQUE
Définition
Soit S un système de points matériels en mouvement dans l’espace
affine E par rapport à un repère fixe ℜ(𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧).
Le torseur cinétique en point 𝑂de 𝑆/ℜ noté 𝐶 𝑂 est le torseur
ayant pour résultante cinétique totale de 𝑆/ℜ, 𝑃(𝑆/ℜ)et pour
moment, le moment cinétique total de 𝑆/ℜ, 𝜎(𝑆/ℜ) . Ils sont
définis par :
𝐶
𝑃=
𝑂=
𝑆
𝜎𝑂 =
𝑣𝐴𝑑𝑚 = 𝑀𝑣𝐺
𝑆
𝑂𝐴˄𝑣𝐴 𝑑𝑚
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4. TORSEUR DYNAMIQUE
4.1. Défintion
Soit 𝐴 un point du système matériel (S) en mouvement par rapport à un repère
fixe ℜ.
𝑑𝑣𝐴
𝑑𝑡 ℜ
L’accélération du point M est donnée par : 𝑎𝐴 =
o On appelle résultante dynamique ou (quantité d’accélération) du point 𝐴:
𝐷=
𝑎𝐴 𝑑𝑚 ou 𝐷 =
𝑚𝑖 𝑎𝐴 𝑖
𝑖
𝑆
o On appelle moment dynamique, le moment de la résultante dynamique(moment
de la quantité d’accélération) par rapport à un point 𝑂 du repère ℜ :
𝑁𝑂 =
𝑂𝐴˄𝑎𝐴 𝑑𝑚 ou 𝑁𝑂 =
𝑂𝐴𝑖 ˄𝑚𝑖 𝑎𝐴𝑖
𝑖
𝑆
4. TORSEUR DYNAMIQUE
4.1. Défintion (suite)
On construit le torseur dynamique avec ces deux grandeurs comme
éléments de réduction de ce torseur. Le torseur dynamique en un
point A du repère R s’exprime sous la forme :
𝐷
𝐷
𝑂
=
=
𝑆
𝑁𝑂 =
𝑎𝐴𝑑𝑚 = 𝑀𝑎𝐺
𝑆
𝑂𝐴˄𝑎𝐴𝑑𝑚
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5. RELATION ENTRE TORSEUR CINÉTIQUE ET TORSEUR DYNAMIQUE
Nous avons le moment cinétique au point 𝑂′ qui est donné par :
𝜎𝑂′ =
𝑂′𝐴˄𝑣𝐴 𝑑𝑚
𝑺
Dérivons cette expression, on obtient:
𝑁𝑂′ =
𝑑𝜎𝑂′
+ 𝑣𝑂′ ˄𝑀𝑣𝐺
𝑑𝑡
5. RELATION ENTRE TORSEUR CINÉTIQUE ET TORSEUR DYNAMIQUE
Cas particuliers
𝑁𝑂′
𝑑𝜎𝑂′
=
𝑠𝑖
𝑑𝑡
1) 𝑂′ est fixe dans R
2) 𝑂′ est confondu avec 𝐺
3) 𝑣𝑂′ ||𝑣𝐺
Dans ces trois cas particuliers seulement, nous pouvons écrire :
𝐷
𝑂′
=
𝑑 𝐶 𝑂′
𝑑𝑡
avec
𝐷
𝑂′
=
𝐷 et
𝑁𝑂′
𝐶
𝑂
=
𝑃
𝜎𝑂′
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6. ÉNERGIE CINÉTIQUE
6.1. Définition
L’énergie cinétique d’un système matériel continu (S) en mouvement
par rapport à un repère fixe est définie par la quantité scalaire
exprimée par la relation : 𝑇 =
1
(𝑣 )2
𝑆 2 𝐴
𝑑𝑚
6. ÉNERGIE CINÉTIQUE
6.2 Théorème de Koënig relatif à l’énergie cinétique
Nous allons chercher une relation entre :
- L’énergie cinétique du système dans son mouvement par rapport à
ℜ (𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧) et
- L’énergie cinétique du système dans son mouvement par rapport à
ℜ∗ (𝐺, 𝑥, 𝑦, 𝑧)
- Soit 𝐴 un point du système matériel. La loi de composition des
vitesses donne : 𝑣𝐴 = 𝑣𝐺 + 𝑣𝐴∗
- En remplaçant cette expression dans celle de l’énergie cinétique
nous aurons :
1
1
1
𝑇 = 𝑣𝐺 2
𝑑𝑚 +
𝑣𝐴∗ 2 𝑑𝑚 = 𝑀𝑣𝐺2 + 𝑇 ∗
2
2 𝑆
2
(𝑆)
Cette relation constitue le théorème de Koënig pour l’énergie cinétique.
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6. ÉNERGIE CINÉTIQUE
6.3 Solide indéformable en mouvement quelconque
Soit ℜ (𝑂, 𝑥, 𝑦, 𝑧) un repère orthonormé fixe et ℜ′ (𝑂′, 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)
un repère lié à un solide indéformable et de centre de d’inertie G. Le
solide est en mouvement quelconque tel que 𝑂′ ∈ (𝑆) . La vitesse de
rotation du repère ℜ′ par rapport au repère ℜ est : 𝜔𝑅′/𝑅
Soit 𝐴 un point quelconque du solide, nous avons par la cinématique du
solide : 𝑣𝐴 = 𝑣𝑂′ + 𝜔𝑅′/𝑅 ˄𝑂𝐴′
⇒
1
𝑇 = 2 𝑀 𝑣𝐺
2
+ 𝜔𝑅′/𝑅 . 𝐼 𝐺 𝜔𝑅′/𝑅
1
o 2 𝑀 𝑣𝐺 2 : est l’énergie cinétique de translation du solide
o 𝜔𝑅′/𝑅 . 𝐼 𝐺 𝜔𝑅′/𝑅 : est l’énergie cinétique de rotation du solide
autour de son centre d’inertie G.
6. ÉNERGIE CINÉTIQUE
6.4 Solide indéformable en mouvement de rotation pur
⇒
1
𝑇 = 𝜔𝑅′ /𝑅 . 𝐼 𝐺 𝜔𝑅′ /𝑅 = 2 𝜔2 𝐼Δ
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