Cálculo de Corrente de Falta à Terra em Sistemas Elétricos

142 LA HOUILLE BLANCHE
ELECTRICITE
Le Calcul pratique
des courants de défaut àt la Terre (1) (2)
SOMMAIRE :
CHAPITRE 1. — Cas usuels
I. - Conditions satisfaites au point de défaut,
II. - Alternateur à vide.
III. - Alternateur à vide sur impédance extérieure.
TV. - Alternateur en charge sur récepteur inerte.
Applications diverses.
V. - Deux alternateurs en parallèle, à vide.
VI. - Ligne HT reliant, un nombre quelconque de postes
en dérivation.
CHAPITRE 2. - Méthode générale de calcul.
1. - Courant de défaut.
2. - Répartition du courant de défaut.
3. - Répaitition des tensions.
4. - Applications numériques.
CHAPITRE 3. - Les impédances homopolaircs des éléments
d'un réseau.
1. - Le système des courants homopolaires.
2. - Impédance homopolaire.
3. - Impédance homopolaire des éléments d'un réseau :
a) bobine de réactance ;
b) ligne aérienne - câble ;
c)v transformateur à deux enroulements ;
à) transformateur à trois enroulements ;
e) alternateur synchrone.
CHAPITRE 4. - Application à la protection contre les défauts à
la terre.
1. - Cas dans lesquels peut apparaître un défaut à la terre.
2. - Les effets des défauts à la terre :
a) réseau à neutre isolé ;
b) réseau à neutre à la terre.
3. - La protection contre les défauts de terre, basée sur
les homopolaires.
INTRODUCTION
L'apparition d'une terre, qui est en général la première
conséquence d'un défaut quelconque, détermine dans un ré-
seau, à neutre isolé la circulation d'un courant de capacité et
dans un réseau à neutre mis à la terre (directement ou par
une impédance) la circulation d'un courant de court-circuit.
Nous nous proposons de calculer ce courant dont la valeur
est nécessaire :
1°) pour l'étude des effets nuisibles du défaut et de leur limi-
tation par une impédance de neutre appropriée. Il y a
différentes manières d'établir le schéma d'un réseau, au
point de vue du neutre, sans que ces variantes influen-
cent le fonctionnement normil du réseau.
(1) D'après ' Jeumont", Avril-Juin 1935.
(2) Voir dans "La Houille Blanche", Janvier-FévrierJ'et Mars-
Avril 1936. Le ealcul pratique des courante de court circuit entre
phases, par les mêmes auteurs.
2°) pour l'étude d'une protection de terre, qui nécessite de
connaître la valeur du courant homopolaire au droit de
tous les disjoncteurs, afin de vérifier qu'il est possible
de réaliser un réglage des relais assurant la protection
quelles que soient les liaisons du réseau et les puissances
des centrales.
CHAPITRE 1.
Cas usuels
I. - CONDITIONS SATISFAITES AU POINT DE DEFAUT
Exprimons les conditions satisfaites au point de défaut
dans le cas d'une mise à la terre sur une phase, en un point A
d'un système triphasé (fig. 1).
On aura en ce point, pour les 2 phases non en défaut :
I8 = 0 I3 = 0
et par suite, en vertu des relations générales de Fortescue :
h =U=lo
comme :
I, = 1< + I* -I- I«-
On en conclu! qu'au point de défaut :
3L
0)
le courant de défaut est le triple du courant homopolaire.
On aiura, d'autre pari, au point A :
u, = o
comme :
U, = U, +u„ + u,.
On en conclut qu'au point de défaut :
U„ + Uri + U, = 0
IL - ALTERNATEUR A VIDE
(2)
Ier Cas. - Le neutre de V'alternateur est directement à la
terre. Mise à la terre d'une borne (fig. 2).
Soient Z„, Z,-, Za les impédances homopolaircs, inverse et
directe de l'alternateur, E la f.c.m. aux bornes.
On a les relations de Ohm-Kirohofi' :
Vrt = E - Zrf I„
V, = — Z; I,
; v; = -z„l
En tenant compte de (1) et (2) il résulte ;
Ir
3 E
, E
Z„ -j~ Z,/, + Z;
En désignant par ï» le courant de c. c. triphasé
A,
tient, le rapport :
on ob-
I 7
Z„ + Zrf 4- Z,
3
Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1936020

LA HOUILLE BLANCHE 143
Composantes symétriques des tensions
Les relations de Ohm-Kirchoff permettent d'écrire :
Z. 4- Z,
V, = E
V, = — E
A
_Zi
A
V„ =
avec A = Z„ + Z,- + Zrf-
E —
A
A
ï
1 2 3
Fig. 1
Les tensions de la phase en défaut V, et des deux phases
libres Va V3 s'expriment en fonction -de V,,, V,, V„ par les
relations générales de Fortescme.
On peut dire, eu égard à la relation :
V„
Z„
que V„
E
A est la
f.e.m. homopolaire qui engen-
dre le courant homopolaire dans le schéma des impédances
homopolaires.
E
Par suite, I„ a le signe de —. Le courant homopolaire est
Fig. 2
donc dirigé de l'alternateur vers le point de défaut, c'est-à-
dire dans le même sens que le courant direct.
Le défaut peut être regardé comme une source de f.e.m.
homopolaire de valeur — E
Il y a proportionnalité directe entre le courant I» qui passe
dans le fil neutre de l'alternateur, et la tension Y0,
Composantes symétriques des puissances
V,=7^?-EI,--^ P, = w„+y*,= v7r„ =-. <z. + z,)|
z,
E FJ
V,= — E I, = j P, = W, = V, V, = — Z.
A,
z E
I„ P„ = W„ + ,/V„ =Va l'„ = - Z
A A A'
E,
On vérifie P0 = — (P, + P.).
Le signe devant P, et P(, s'interprète en disant que ces
puissances circulent en sens opposé de Pijje défaut provo-
que la circulation d'une puissance directe dirigée de l'al-
ternateur vers le défaut, et des puissances P,- et P0 dirigées
du défaut vers l'alternateur.
2mo Cas, - Le neutre de l'alternateur est à la terre par une
résistance R, mise à la terre d'une borne (fig. 3).
L'impédance homopolaire totale est :
3 R + Z„
et par suite :
3 E E
3 R + (Z., + Z„ + Z, II Z/t -t- Z(j -J- Z;
E
j| représente une valeur approchée de 1,, qui est correcte si
Z. + Zrf + Z,
'* est négligeable devant R.
Fig. 3
III. - ALTERNATEUR A VIDE SUR UNE IMPEDANCE EX-
TERIEURE (fig. 4).- LA MISE A LA TERRE SE PRODUI-
SANT EN AVAL DE CETTE IMPEDANCE.
Dans ce cas, l'impédance extérieure Ze s'ajoute simplement
au Z.de l'alternateur.
On écrira donc, en désignant par Z1";». Ze,-, Z.% les valeurs
directe, inverse cl homopolaire de l'impédance extérieure.
ï,
Fig. 4
3E
Z„ ~f- Zrt -j- Z,- -j- Z'„ + Z"a -f- Ze,-
Dans le cas où l'impédance extérieure est constituée par
3 bobines de rôactance monophasées, on aura Ze,- = Z,, — /,%.
Soit Zc la valeur commune.
d'où : L
E
- ze + z„ + Z,
3 + ze
Dans le cas où l'impédance extérieure est une ligne aé-
rienne ouverte, dénuée de capacité :
7A = Z"„
Z „ — 3 Z1*,,- (-approximativement)-.

144 LA HOUILLE BLANCHE
d'où : E
Z, + Z,, + Z. 5
/_((
Remarque, - Lorsque le neutre de l'alternateur est mis à la
terre par une résistance R, on ajoutera l'impédance 3 R à
l'impédance totale précédente.
IV. - ALTERNATEUR EN CHARGE, SUR RECEPTEUR
INERTE, D'IMPEDANCE Z' : MISE A LA TERRE D'UN
POINT (a) D'UNE PHASE SITUE ENTRE I/ALTERNA-
N AT EUR ET LE RECEPTEUR (fig. 5).
Les impédances sont :
•—pour l'alternateur : Z„, Zrf. Z, ;
•— pour le récepteur :Z'„, Z',, Z',.
Fig. 5
Les relations de Ohm-Kirchoff sont :
( Vrf = E — Z„ — Zf
d
1
rt
v, = - z, i, = z',. r,
v — Z I = Z' I'
( i- = ilt + r„
i = j + r soit i. ,j,.+ r,
( lo J» ~t" I u
I„ étant le courant normal qui circule de l'alternateur au
récepteur avant l'apparition du défaut, on aura en fonction-
nement normal :
I. = l'rt = h-
el par suite :
U„ — E — Z„ I„ - Z'., I„
d'où :
E = U. (1 + )
Ces relations s'écrivent en éliminant les I et les I' :
= U„ — Jrf zd ,\ ^ j
avec — ==-=- + ^
z L L
et par suite, en rapprochant ces équations de celles du pro-
blème 1 :
j = U»
' ' Zu + Z; + Zd
L'impédance résultante pour chaque s'uite est donnée par
le schéma équivalent, de 2 impédances en parallèle (fig. G) •
Répartition des courants
Les équations générales conduisent aux relations :
I.=J. Z'„ Z',
Z, + Z'f
I ri
1 J/> ~. z„
0 + r, = - J, z,
Z, + Z',
i U?) i j z,(
* i y/ "t" «'(( ~y | y/
J<( Z,(
Z ,j • Z,j -|- z,
Souvent oh peut négliger le terme -rjr devant le suivant
dans ces deux dernières relations.
Le couranl résultant dams l'allernalcur sera art ors dans
chacune des phases :
7' 7' 7'
'/.., + Z, + 1 Z, + Z', + Z. + Z'.
'« = <J" z^X» + » <J< z^Sf) + •J- TZTT)
Réparlilion des tensions
V,( = U„ Z" + Zl
v„ = - u,
avec A =~~ z„ + zi + z„.
A
Fig «
Remarque. - Les relations générales que nous venons d'éta-
blir s'appliquent encore, soit que l'alternateur, soit que le
récepteur, n'ait pas son neutre à la terre.
L'impédance homopolaire de l'appareil dont le neutre est
isolé, est infinie, et z0 se réduit alors à Z„ ou Z'0.
Application 1 : Un alternateur sans neutre à la terre ali-
mente un jeu de barres (fig. 7), sur lequel est connecté un
transformateur étoile-triangle, avec résistance R de mise à
à la terre au point neutre de l'étoile.
Une terre se produit sur le jeu de barre. On demande la
valeur du couranl. de terre P
Les impédances so>nl :
pour l'alternateur : Z,i
Z,
Z„ = x (neutre isolé),
pour le transformateur ; 7J„ = oc (en négligeant le courant
Z /
Z'a ~jXt + O R.
magnétisant).

LA HOUILLE BLANCHE
145
FIG:. 7
xt ÉTANT LA RÉACTANCC DE FUITES.
D'où :
Zii = ZRF Zi =
U, = E
3 E
1„ = 0 z0 = 3 R
-f- / .r.
Z„ + Z< + (3R+yj:t)
Remarque î. - II SEMBLE à PREMIÈRE VUE QUE, LE COURANT HO-
MOPOLAIRE CIRCULANT ENTRE LE POINT DE DÉFAUT ET LE TRANSFORMA-
TEUR, LA VALEUR DU COURANT DE DÉFAUT NE DÉPENDE PAS DES CONS-
TANTES DE L'ALTERNATEUR. MAIS CELA N'EST PAS EXACT, CAR LE CIR-
CUIT HOMOPOLAIRE NE PEUT CTRE CONSIDÉRÉ ISOLÉMENT, DU FAIT
QU'IL N'EXISTE PAS DANS CE CIRCUIT DE F.E.M. HOMOPOLAIRE D'ORI-
GINE EXTÉRIEURE. L'EXPRESSION ÉTABLIE CI-DESSUS MONTRE QUE
31 DÉPEND DU ZT< + ZF DE L'ALTERNATEUR. SI DONC ON SUBSTITUE
À UN ALTERNATEUR UN AUTRE NON IDENTIQUE, J1 NE SERA PIUS LE
MÊME. SI L'ALTERNATEUR DEVIENT DE PLUS EN PLUS PUISSANT,
74 -J- Z,- DIMINUE, -L AUGMENTE.
Remarque 2. - SI LE NEUTRE DE L'ALTERNATEUR EST MIS DIRECTE-
MENT À LA TERRE, Z0 PREND UNE VALEUR FINIE ; IL NE FAUT PLUS
ÉCRIRE ALORS
Z..-3 R +/x,
MAIS
1 1
z„ A, 3 R -J- / x,
LA VALEUR DU COURANT, J, PEUT ÊTRE CONSIDÉRABLEMENT INFLU-
ENCÉE PAR LA PRÉSENCE DU TRANSFORMATEUR.
Répariilian des courants
CONSIDÉRONS LE CAS PARTICULIER SUIVANT :
MISE À LA TERRE D'UN ALTERNATEUR A À VIDE, CONNECTÉ À UN JEU
DE BARRES RELIÉ à UNE RÉACTANCC ÉLEVÉE G (DE COURANT MAGNÉTI-
SANT NÉGLIGEABLE) ; L'ALTERNATEUR ET LA RÉACTNNCE AYANT LEUR
NEUTRE À LA TERRE, ET LE DÉFAUT D ÉTANT SUR LE JEU DE BARRES
(^g. 8).
A C
£2
LE COURANT DE DÉFAUT EST
3 U
I =
—KD
Fig. 8
1
Tî", -yi , avec —
74 + Zf + z„ z„
.L
+ JL
ZA ^ 7'
COMME IL A ÉTÉ ÉTABLI.
SES COMPOSANTES SVMÉTRIQUES AU POINT DE DÉFAUT SONT :
, , _ _ l
id — I(. __ J0 _ —
o
LE SCHÉMA DES IMPÉDANCES DIRECTES ET INVERSES EST REPRÉ*-
SENTÉ figure 9.
a *-\/\/\A—
Z<j ou 2i
—-n
KD
Fig-. 9
LE SCHÉMA DES IMPÉDANCES HOMOPOLAIRES EST REPRÉSENTÉ
SOUS DEUX FORMES ÉQUIVALENTES (fig. 10).
ON AURA :
1
3
1
r
as
d
|an
:=_
1 Z;
3 74 + 74
PAR SUITE :
1 7e
11
~ 3 {- + 74 + Zf
I
.ia Tan
2 —- —
zA
74
3 74 + 7:
-AAAAA-|c
-KD
arwwws
•AAAAAAA-»
Fig. 10

146 LA HOUILLE BLANCHE
De même
I;/' = 0
II"1 = 0
Jeu
74
Par suite :
S • 74 + Z.
'1 ZA ]'•» li'n
a Z^ + Z;;
et, la répariition des courants dans toutes les phases est celle
de la ligure il.
Fig. 11
La répartition des courants homopolaircs est celle de la
figure 1?.
£.0 + in
1 Z.' ,
—XD
Fig. 12
Applications : Transformateur de mise à la terre
Dans la pratique, lorsqu'un alternateur débitant sur un jeu
de barres n'a pas son neutre à la terre (fig. 7),'ù est commode
d'utiliser un transformateur pour mettre le neutre o la terre.
On donne alors la valeur du courant de terre Jj, à réaliser :
on demande la spécification du transformateur nécessaire, et
la valeur de R ?
La puissance du transformateur quand le courant Jj passe
par la terre est :
3 E ^ — E *I j
Supposons que la tension de c. c. du transformateur soit
de 20 % peur cette valeur du courant
et la valeur de R se réduira de la relation établie p. 145.
Application : Alternateur à neutre isolé,débitant sur une ca-
pacité triphasée en dérivation aux bornes < Mise à la terre
d'une borne (fig, 13).'
L'impédance de capacité par phase est :
î4=r
directe et inverso
— —~- homopolaire.
(Avec câbles monopolaires les impédances directe, inverse
et homopolaire sont égales).
Jl
Fig. \'i
Considérons la capacité comme un récepteur inerte ; et ap-
pliquons les relations établies.
jL — J Ciù
z Z., ,/
z, ~ Z, j
\ _ — C u (dans le cas où le neutre de l'alternateur
___ _ ^ ^ ^ par l'intermédiaire d'une ré-
sistance, l'expression de z„ sera différente).
11
On peut souvent négliger w C devant ~TJ- et -y—-.
Dans ce cas :
z,; 7I,I
Z; = Zi
z„
W C,,
.1, = - J u„
Z,( + Zf —
Condition de résonance,
Lorsqu'on se rapproche de la condition :
r
1
(U
zrf + z,
dite condition de résonance, le courant lt devient très élevé.
Condition d'extinction
Si le neutre de l'alternateur est a la terre par l'intermé-
diaire d'une réactance xv,
1 1 C0 «
la condition Ct«ï,'= 1 donne z„ infini. D'où Jx = O.
Le courant total de défaut s'annule ; c'est la condition d'ex-
tinction.
1
La bobine de réactance de valeur x„ s=>
bobina de Petcrsen,
est dite