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COURS
de Resistance Des Materiaux
Laurent Deshayes
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
Table des matières
1
INTRODUCTION ET GENERALITES ..............................................................................4
1.1 CONTRAINTES NORMALES ET TANGENTIELLES .................................................................4
1.1.1
Contraintes normales ...............................................................................................4
1.1.2
Contrainte tangentielle.............................................................................................4
1.2 HYPOTHESES DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX ..........................................................5
1.2.1
Hypothèse fondamentale (Loi de HOOKE) ..............................................................5
1.2.2
Le matériau..............................................................................................................5
1.2.3
La forme (ou disposition de la matière) ....................................................................5
1.2.4
Les forces extérieures ...............................................................................................6
1.2.5
Les déformations ......................................................................................................6
1.2.6
Validité des résultats en résistance des matériaux ....................................................6
2 TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION REDUITS AU CENTRE DE LA
COUPURE ........................................................................................................................................7
3
SOLLICITATIONS SIMPLES, SOLLICITATIONS COMPOSEES .................................7
3.1 SOLLICITATIONS SIMPLES.................................................................................................8
3.1.1
Traction (extension) .................................................................................................8
3.1.2
Compression ............................................................................................................8
3.1.3
Cisaillement .............................................................................................................8
3.1.4
Torsion ....................................................................................................................8
3.1.5
Flexion simple..........................................................................................................9
3.2 SOLLICITATIONS COMPOSEES ...........................................................................................9
4
TRACTION ......................................................................................................................... 10
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5
COMPRESSION ................................................................................................................. 13
5.1
5.2
5.3
6
DEFINITION .................................................................................................................... 10
CONTRAINTE NORMALE DANS UNE SECTION DROITE....................................................... 10
CONDITIONS DE RESISTANCE.......................................................................................... 10
DEFORMATIONS ............................................................................................................. 11
INFLUENCE DES VARIATIONS DE SECTION ....................................................................... 11
DEFINITION .................................................................................................................... 13
DEFORMATIONS ET CONTRAINTE.................................................................................... 13
APPLICATION ................................................................................................................. 13
CISAILLEMENT ................................................................................................................ 14
6.1
6.2
6.3
6.4
DEFINITION .................................................................................................................... 14
CONTRAINTE MOYENNE DE CISAILLEMENT..................................................................... 14
CONDITION DE RESISTANCE ........................................................................................... 15
APPLICATIONS ............................................................................................................... 15
7 DETERMINATION EXPERIMENTALE DES CARACTERISTIQUES MECANIQUES
DES MATERIAUX......................................................................................................................... 17
7.1 ESSAI DE TRACTION ....................................................................................................... 17
7.2 ANALYSE DE LA COURBE CONTRAINTE-DEFORMATION................................................... 17
7.3 LIMITE ELASTIQUE ......................................................................................................... 17
7.4 MODULE D'ELASTICITE LONGITUDINALE OU MODULE DE YOUNG E. ............................... 17
7.5 COEFFICIENT DE POISSON .............................................................................................. 18
7.6 ZONE DES DEFORMATIONS PERMANENTES...................................................................... 18
7.6.1
Résistance à la rupture........................................................................................... 18
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1
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
7.6.2
Coefficient d'allongement ....................................................................................... 18
8 MOYEN D’ETUDE EXPERIMENTALE DES DEFORMATIONS ET DES
CONTRAINTES ............................................................................................................................. 19
8.1
8.2
8.3
8.4
9
VERNIS CRAQUELANTS .................................................................................................. 19
PHOTOELASTICIMETRIE .......................................................................................... 19
EXTENSOMETRIE ELECTRIQUE........................................................................................ 19
LES OUTILS INFORMATIQUES.......................................................................................... 20
TORSION ............................................................................................................................ 21
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
10
DEFINITION .................................................................................................................... 21
HYPOTHESES ................................................................................................................. 21
CONSTATATION EXPERIMENTALE................................................................................... 21
CONTRAINTES TANGENTIELLES ...................................................................................... 22
DEFORMATION ANGULAIRE UNITAIRE  ......................................................................... 23
CONDITIONS DE RESISTANCE.......................................................................................... 24
CONDITIONS REELLES, CAS DES CONCENTRATIONS DE CONTRAINTES ............................. 24
APPLICATION ................................................................................................................. 25
FLEXION SIMPLE ......................................................................................................... 27
10.1
DEFINITION ................................................................................................................ 27
10.2
SCHEMATISATION DES LIAISONS................................................................................. 27
10.3
PROPRIETES: .............................................................................................................. 28
10.4
TORSEUR DE COHESION .............................................................................................. 28
10.5
EXPRESSION DU MOMENT FLECHISSANT ET DE L'EFFORT TRANCHANT......................... 29
10.5.1 Actions aux appuis ................................................................................................. 29
10.5.2 Equilibre d'un tronçon quelconque de la poutre ..................................................... 29
10.5.3 Effort tranchant ..................................................................................................... 29
10.5.4 Moment fléchissant ................................................................................................ 30
10.5.5 Variation de T et de Mf......................................................................................... 30
10.5.6 Relation liant T à Mf .............................................................................................. 30
10.6
CONTRAINTE NORMALE EN UN POINT QUELCONQUE D'UNE SECTION DROITE............... 32
10.6.1 Elément mathématique: courbure en un point d'une courbe .................................... 32
10.6.2 Expression de la contrainte normale ...................................................................... 32
10.6.3 Contrainte maximale - condition de résistance ....................................................... 33
10.7
CONTRAINTE TANGENTIELLE MOYENNE:  MOY ........................................................... 34
10.8
CONCENTRATIONS DE CONTRAINTES .......................................................................... 34
10.9
ETUDE DES CAS DE FLEXION SIMPLE ........................................................................... 36
10.9.1 Poutre sur deux appuis charge concentrée en un point quelconque. ........................ 36
10.9.2 Poutre sur deux appuis avec charge uniformément répartie .................................... 37
10.9.3 Poutre encastrée avec charge ponctuelle en son extrémité ...................................... 38
10.9.4 Poutre encastrée avec charge répartie ................................................................... 38
10.10 ETUDE DE LA DEFORMEE Y= F(X) ............................................................................... 39
10.10.1
Définition ........................................................................................................... 39
10.10.2
Calcul par intégration ........................................................................................ 39
10.10.3
Application à un exemple ................................................................................... 39
10.11 PRINCIPE DE SUPERPOSITION ...................................................................................... 40
10.11.1
Enoncé: .............................................................................................................. 40
10.11.2
Utilisation de ce principe ................................................................................... 40
11
FLEXION DEVIEE ......................................................................................................... 42
11.1
11.2
DEFINITION ................................................................................................................ 42
METHODE DE RESOLUTION ......................................................................................... 42
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12
SOLLICITATIONS COMPOSEES ................................................................................ 43
12.1
12.2
12.3
13
CONTRAINTES DE MEME NATURE ............................................................................... 43
CONTRAINTES DE NATURE DIFFERENTE ...................................................................... 43
APPLICATION: ............................................................................................................ 44
FLAMBAGE, FLAMBEMENT ...................................................................................... 46
13.1
DEFINITION ................................................................................................................ 46
13.2 CHARGE CRITIQUE D’EULER (SEUL LA THEORIE DU FAMBEMENT SELON EULER SERA
DEVELOPPEE ICI) ........................................................................................................................... 46
13.3
ELANCEMENT ............................................................................................................ 47
13.4
CONTRAINTE CRITIQUE .............................................................................................. 47
13.5
ELANCEMENT CRITIQUE ............................................................................................. 48
13.6
CHARGE MAXIMALE ADMISSIBLE ............................................................................... 48
14
MOMENT STATIQUE ET MOMENT QUADRATIQUE D’UNE SURFACE PLANE
PAR RAPPORT A UN AXE .......................................................................................................... 49
14.1
MOMENT STATIQUE D'UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE SITUE DANS SON
49
14.2
THEOREME................................................................................................................. 49
14.3
MOMENT QUADRATIQUE D'UNE SURFACE PAR RAPPORT A UN AXE SITUE DANS SON
PLAN
50
14.3.1 Définition............................................................................................................... 50
14.3.2 Unités .................................................................................................................... 50
14.3.3 Théorème de Huygens ............................................................................................ 51
14.4
MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE D'UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE
PERPENDICULAIRE A CETTE DERNIERE ........................................................................................... 52
14.4.1 Définition............................................................................................................... 52
14.4.2 Relation liant Ixx', Iyy' et Io.................................................................................... 52
14.5
APPLICATION ............................................................................................................. 53
14.5.1 Moment quadratique d'un rectangle par rapport à un axe confondu avec un côté ... 53
14.5.2 Moment quadratique d'un rectangle par rapport à un axe parallèle à un côté passant
par le centre de gravité de la surface ........................................................................................ 53
14.5.3 Moment quadratique, par rapport à un axe, de surface décomposables en rectangles
54
14.5.4 Moment quadratique polaire d'un rectangle par rapport au centre de gravité......... 56
14.5.5 Moment quadratique polaire d'un cercle dont le pôle est confondu avec le centre ... 56
PLAN
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3
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
1
Introduction et généralités
Sous l'effet de ces diverses actions, les solides se déforment, plus ou moins, ce qui crée à l'intérieur
du solide des contraintes.
Lorsque ces contraintes deviennent supérieures à une valeur maximale que peut supporter le
matériau, il y a rupture. Si, par contre, ces contraintes restent en dessous d'une valeur qu'on appelle
limite élastique, les solides se déforment mais reprennent leur forme initiale dès que les actions
cessent.
L'objet de la résistance des matériaux (RDM) est de mettre en relation, les contraintes, les efforts et
les déformations. En outre, la RDM a trois objectifs principaux :
•
la connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux.
•
(comportement sous l’effet d’une action mécanique)
•
l'étude de la résistance des pièces mécaniques.
•
(résistance ou rupture)
•
l'étude de la déformation des pièces mécaniques.
Ces études permettent de choisir le matériau et les dimensions d'une pièce mécanique en fonction
des conditions de déformation et de résistance requises.
1.1
Contraintes normales et tangentielles
1.1.1
Contraintes normales
prenons un fil et exerçons sur lui deux efforts qui sont opposés.
→
F
→
-F

Si nous coupons par la pensée ce fil, il est
facile d'imaginer que la section de droite
exerce sur la section de gauche, un ensemble

de forces élémentaires f dont la somme
s’oppose à F
→
F

f
Si l'on considère une portion de surface s
qui a pour aire l'unité (ex : le mm²), cette portion
de surface subit de la part de sa voisine de droite

une force f qui a "tendance à la décoller"

f

( f ⊥
s)
s


1.1.2
Définition : On appelle contrainte normale et
l'on note

 , la valeur
f
:
s
est en Newtons/mm2 ou MPa (Méga Pascal).
Contrainte tangentielle
Maintenant au lieu de tirer sur le fil, nous allons le couper avec une cisaille.
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Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
T
On sent bien que la surface de droite et celle de
gauche ont tendance à vouloir se séparer par glissement,
alors que dans le cas précédent, elles avaient tendance à
vouloir se séparer par décollement.
T'
Ainsi chaque portion de surface s ayant pour aire
t
l'unité (ex : le mm²) subit une force
s


1.2
qui a tendance
à la faire glisser par rapport à la surface voisine (
contenue dans s )


Définition :

t
On appelle contrainte tangentielle et l'on note

la valeur :


t
est

t
=
s
est en Newtons/mm2 ou MPa (Méga Pascal).
Hypothèses de la Résistance des Matériaux
1.2.1 Hypothèse fondamentale (Loi de HOOKE)
Les essais mécaniques montrent que dans le domaine élastique la plupart des matériaux se
comportent comme un ressort, c'est à dire que leurs déformations sont proportionnelles aux contraintes
qui règnent à l'intérieur de ce matériau.
1.2.2 Le matériau
Il possède les propriétés suivantes :
•
Continuité : la matière est supposée continue car son aspect moléculaire est trop "fin" pour
l'étude qui nous intéresse.
•
◊ Homogénéité : on supposera que tous les éléments de la matière, aussi petits soient ils,
sont identiques. (hypothèse non applicable pour le béton ou le bois)
•
◊ Isotropie : on supposera qu'en tout point et dans toutes les directions, la matière a les
mêmes propriétés mécaniques. (hypothèse non applicable pour le bois ou les matériaux
composites)
1.2.3 La forme (ou disposition de la matière)
La RDM étudie des pièces dont les formes sont relativement simples. Ces pièces sont désignées
sous le terme de « poutres ». Plus généralement une poutre est un solide engendré par une aire plane S
(appelée section droite) dont le centre de gravité G décrit une courbe (C ) (appelée ligne moyenne ou
fibre neutre). (C
) est une droite ou une courbe plane.
La section plane S n'est pas forcément constante le long de (C )mais doit varier de façon lente
et continue.
Laurent DESHAYES
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Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
S
G
Fibre neutre
Section droite
(C) Ligne moyenne
Ainsi les caractéristiques de la poutre sont :
• ligne moyenne droite ou à grand rayon de courbure.
• section droite (S) constante ou variant progressivement.
• grande longueur par rapport aux dimensions transversales.
• existence d'un plan de symétrie.
1.2.4 Les forces extérieures
En RDM, les forces extérieures seront situées dans le plan de symétrie de la poutre ou alors disposées
symétriquement par rapport à ce plan.
Deux types d'actions mécaniques extérieures
peuvent s'exercer sur la poutre (voir fig ci contre) :
Mc
F1
• charges concentrées ( F1 ou moment M C )
D
A
C
E
B
• charges réparties p sur DE. (exprimées en
N/m).
p
Les déformations étant petites devant les dimensions de la poutre, les actions s'exerçant sur celle-ci
seront calculées à partir du principe fondamental de la statique. Les supports des forces seront eux
considérés comme constants.
1.2.5 Les déformations
Navier & Bernoulli : Les sections planes normales
aux fibres avant déformation demeurent planes et
normales aux fibres après déformation.
Barré de St Venan : Les résultats obtenus par la
RDM ne s'appliquent valablement qu'à une distance
suffisamment éloignée de la région d'application des
efforts concentrés.
O
A
F
1.2.6 Validité des résultats en résistance des
matériaux
Les résultats obtenus en sont valables en résistance des matériaux si :
•
la pièce soumise aux calculs est une poutre
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2
•
le matériaux est homogène et isotrope
•
les déformations de la pièce restent du domaine élastique.
Torseur des efforts de cohésion réduits au centre de la coupure
Soit une poutre en équilibre soumise aux actions F1 , F2 , F3 , 1 .
Imaginons maintenant que nous coupions cette poutre en une section droite passant par G et que
nous voulions que le tronçon de gauche (on tiendrait le même raisonnement pour celui de droite) reste
en équilibre.
F1
Cet équilibre est obtenu sous l'effet des actions
F3
Y
extérieures F1 , F2 s'exerçant initialement sur
ce tronçon et sous l'effet d'une action qui devra se
X
substituer à celle qu'exerçait le tronçon de droite.
G
Si nous réduisons cette action en G barycentre de
1
la section considérée elle se modélise par deux
Z
actions qui sont les éléments de réduction du
F2
Torseur de Cohésion composé d’une résultante
RG et d’un moment M G . Le torseur de cohésion d’écrit :
CG  = RG ¨M G 
N Mt 


= Ty ¨M fy 
T M 
fz 
 z
Si nous projetons ces deux éléments de réduction d'une part sur l'axe Gx, d'autre part sur le plan
yGz (plan de la section droite) nous obtenons deux composantes pour la résultante et deux
composantes pour le moment.


 


Ainsi projetés R et M donnent les vecteurs N , T , Mt , Mf avec :


N projection orthogonale de R sur la normale à la section droite "S" (Gx)


T projection orthogonale de R sur la section droite "S"


Mt projection orthogonale de M sur la normale à la section droite "S" (Gx)


Mf projection orthogonale de M sur la section droite "S"
Y
F1
T
R
Tronçon de droite
Tronçon de gauche
N
G
F2
3
t
X

N est appelé Effort Normal

T est appelé Effort Tranchant

Mt est appelé Moment de torsion

Mf est appelé Moment de flexion
f
Z
Sollicitations simples, sollicitations composées
On appelle sollicitation simple dans une coupure, l'état de contrainte
dans

 résultant
 de la présence

cette coupure d'un seul élément défini au paragraphe 1.4 : soit N , soit T , soit Mt , soit M f
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7
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On appelle sollicitation composée dans une coupure, l'état de contrainte résultant de la combinaison
de plusieurs de ces éléments dans cette coupure.
3.1
Sollicitations simples
3.1.1 Traction (extension)
-N
N
Une poutre est soumise à la traction si on applique sur elle deux actions qui se ramènent à de deux
forces directement opposées. La déformation engendrée est un allongement de cette poutre.
3.1.2 Compression
Même définition que précédemment. Par contre la déformation est un raccourcissement.
-N
N
Nota : Lorsque la dimension longitudinale "l" d'une poutre de ligne moyenne rectiligne devient trop
importante devant sa dimension transversale "h", cette poutre risque de ne plus être soumise à de la
compression simple mais à du flambage.
-N
N
On admet :
l < 8 h ==> compression
l > 8 h ==> flambage
3.1.3
Cisaillement

Une poutre sollicitée au cisaillement est soumise à
l'action de deux forces
directement
opposées,
perpendiculaires à la ligne moyenne.
T
Les 2 tronçons de la poutre ont tendance à
glisser l'un par rapport à l'autre
suivant ().
T'
3.1.4 Torsion

Un cylindre sollicité à la torsion est soumis à l'action de deux couples, de même moment mais
opposés agissant dans 2 sections droites distinctes.
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8
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génératrice avant déformation
déformation
génératrice après déformation
défoprdéformation
Déformation : sous l'action de ces
couples, les génératrices, initialement
rectilignes, du cylindre s'enroulent
suivant des hélices autour de la ligne
moyenne.
3.1.5 Flexion simple
C2
C1
3.2
Une poutre sollicitée à de la
flexion simple est soumise à
l'action de deux couples opposés
d’axe perpendiculaire à la ligne
moyenne.
Sollicitations composées
Une poutre est soumise à des sollicitations composées si elle subit un ensemble d’actions resultant
de la superposition de sollicitations simples (présentées précedemment)
Exemple : Traction + Cisaillement, Torsion + Compression
Flexion plane
F1
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F2
Fi
Une poutre sollicitée à de la flexion plane
est soumise à l'action d'un système de forces
coplanaires dont le plan contient la ligne
moyenne.
9
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
4
Traction
4.1
Définition
-N
N
 
N#0
N
-N
4.2
Une poutre rectiligne ( la ligne moyenne est
une droite.) est soumise à la traction simple
lorsque les éléments de réduction, au centre de
gravité de toute coupure, des forces extérieures
appliquées d'un seul côté de cette coupure se
réduisent à une résultante portée par l'axe de la
poutre.
 
T=0

Mf
 

= 0 Mt = 0
Contrainte normale dans une section droite
Soit un solide idéal (S) de longueur
L de section S

N
N
sollicité par deux forces
et - .
Isolons le tronçon situé à gauche du plan ( ) .

Le poids du solide étant négligé devant N , le
tronçon est soumis :

- à la force extérieure - N
y
x
-N
f
x


- aux forces de cohésion f
Ecrivons que le tronçon est en équilibre :
 
 

N + f = 0..avec.. f =  .s



N +  .s = 0
En projection sur Ox :
N +  s = 0
Finalement on trouve  =
4.3
N
avec
S
 en
N/mm2 (Mpa), S en mm2 et N en Newton (N)
Conditions de résistance
Pour que le matériaux résiste la contrainte normale
admissible, appelée résistance pratique R pe avec
Laurent DESHAYES
 doit rester inférieure à une contrainte limite
10
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
Rpe =
Re
se
se coefficient de sécurité
En construction mécanique se varie en général de 2 à 10.
La condition de résistance s'écrit :
4.4
  Rpe
Déformations
• Loi de Hooke  = E. avec
e=
l
li
Application : un tirant de 3 m de long est soumis à 2 forces F = 6 000 N. Il est en acier
Rpe = 100 N/mm2, E = 200 000 N/mm².
Calculer le diamètre et l'allongement du tirant.
F = 6 000 N
;
AB = 3 m
• Condition de résistance dans une section droite du câble :
-F
A
B
F
F
d 2
 Rpe → S 
avec. S =
S
Rpe
4
4. F
d=
. Rpe
F
A.N d  40 mm
• Déformation
 = E. i
l
i=
l
 l = l.

E
à la limite  = Rpe
A.N : l = 1, 5mm
4.5
Influence des variations de section
Si un solide présente des variations brusques de section, on montre expérimentalement qu'au
changement de section la répartition des contraintes n'est plus uniforme et que  max > .
On dit qu'il y a concentration de contrainte
 max = kt.
avec
1<k<3
d
d’
k est le coefficient de concentration de contraintes.
Valeurs de k
- filetage triangulaire I.S.O kt = 2,5
nous savons que pour un filetage ISO d' = d - 1,2 x pas
ce qui nous donne section sollicitée =  x ( d' / 2 )²

d/2
d ' est le diamètre à prendre en compte pour le calcul de 
F
r
max
-plaque ou cylindre percé d'un trou; la contrainte est
maximum à proximité du trou.
Laurent DESHAYES
11
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
on utilise le tableau ci-dessous
On peut aussi utiliser des courbes pour déterminer K t
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12
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
5
Compression
5.1
Définition
Une poutre est sollicitée à la compression simple lorsqu'elle est soumise à deux forces directement
opposées qui tendent à la raccourcir

Mf
 
T=O
 
N#O
 
Mt
O
=

O
=
-N
N
Hypothèses :
• la poutre est rectiligne et de section constante
• les forces extérieures sont supposées réparties uniformément dans les sections extrêmes
• la longueur de la poutre doit être inférieure à 5 à 8 fois la dimension transversale la plus
petite pour éviter le flambement. ( pour une poutre cylindrique l < 5 à 8 d.)
5.2
Déformations et contrainte
Condition de résistance  =
N
 Rpe
S
Les aciers ont la même limite élastique Re en traction et en compression.
Il n'en est pas de même pour certains matériaux peu homogènes, ni isotropes comme la fonte et le
béton qui ont une plus grande résistance à la compression qu'à la traction.
fonte
béton
Re = 150 N/mm² à la compression
Re = 20 N/mm²
à la traction
Re = 10 N/mm²
à la compression
Re = 1 N/mm²
à la traction
déformation
5.3
 = E. i = E.
L
L
Application
Un poteau cylindrique creux, en fonte, de 3 m de haut supporte une charge N = 10 5 N.
On donne Re = 160 N/mm2, s = 8, E = 1,5.105 N/mm2
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13
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
Déterminer :
1- la section nécessaire et le raccourcissement.
N
2- On donne D = 0,3 m , quel est l'épaisseur minimale du poteau ?
1) condition de résistance :
N
Re
 Rpe avec Rpe =
S
s
5
N .8
10 . 8
S
A. N: S 
= 5.103 mm2
Re
160
=
2) déformation :
 = E . L
D
L

L =
. L
E
On prend le cas de déformation limite
Re
= Rpe
8
A. N
L = 0 , 4 mm
=
S=

( D2 − d 2 ) = 5. 10 3 mm 2
4
 d = 289 mm  e = 5, 5 mm
6
Cisaillement
6.1
Définition
T
Une poutre est sollicitée au cisaillement
simple lorsqu'elle est soumise à deux forces
directement opposées appliquées dans un
même plan de section droite et telles que :
T'
6.2




T  0 N = 0 Mt = 0 M f = 0
Contrainte moyenne de cisaillement
T enN
Dans la zone de déformation élastique, on appelle
contrainte moyenne de cisaillement le rapport :
Laurent DESHAYES
=
T
S
S en mm2
 enN / mm2
14
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
6.3
Condition de résistance
La contrainte tangentielle moyenne  doit rester inférieure à une contrainte limite admissible
appelée résistance pratique au glissement notée Rpg (Reg étant la limite élastique au glissement ).
  Rpg
La condition de résistance s'écrit
Valeurs approximatives de Reg et Rpg
6.4
aciers doux alliages d'alu.
Reg = 0,5 Re
Rpg = 0,5 Rpe
aciers mi-dur
Reg = 0,7 Re
Rpg = 0,7 Rpe
aciers durs, fontes
Reg = 0,8 Re
Rpg = 0,8 Rpe
Applications
* Montage d'une goupille ajustée
2
1
C
sens d'entrainement
de 1/0
F 1/2
0
F' 1/2
La liaison complète entre deux arbres coaxiaux de diamètre D = 26 est assurée par manchon
cylindrique et goupilles ajustées. L'arbre transmet un moment de 50 mN.
Calculer le diamètre des goupilles en acier mi-dur de Re = 50 da N/mm², le coefficient de sécurité
étant égal à 5.


Le couple formé par F1/2 et F'1/2 s' écrit
D
C
C = 2. F.  F =
2
D

C
Les sections SA et SB sont sollicitées par l' effort F de module
=T
D
T
4C
Re
 =  Rpg   =

S
S
D.  d 2
A. N d = 5,92 mm
*Poinçonnage d'une tôle
Laurent DESHAYES
15
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
T
Poinçon
Tôle
e
d
On veut poinçonner une tôle en acier
doux d'épaisseur e , de résistance à la rupture au
cisaillement Rrg, à l'aide d'un poinçon de
diamètre d et de résistance pratique à la
compression Rpe.
1- Déterminer la relation entre d et e
pour que le poinçon résiste.
2- Déterminer l'effort T à exercer pour
poinçonner un trou de diamètre 12 et le
coefficient
de
Matrice
sécurité s dans ce cas.
tôle : e = 2 mm
Rrg = 200 N/mm²
poinçon : Rre = 1000 N/mm²

1) - Il faut que sous l' action de T la tôle se découpe :
=
T
 Rrg (1) avec S =  d. e section cisaillée
S

- il faut que le poinçon résiste à l' effort de compression T
T
 d2
s =  Rpe (2) avec S =
S
4
(1)  T  Rrg.  d e

 (2)
Rrg.  d e
e.4. Rrg
 Rpe  d 
2
Rpe
d /4
2 − On sait que : d = 12 mm; Rrg = 200 N/mm 2 ; e = 2 mm
4.Rrg
4.e.Rrg
d  e.
Rpe =
Rpe
d
Rpe = 67 N/mm 2
Rre
= Re  Re = 500 N/mm 2
s
Re
Re
= Rpe  s =
s
Rpe
 s = 7,50.
Laurent DESHAYES
16
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
7
Détermination expérimentale des caractéristiques mécaniques des
matériaux
7.1
Essai de traction
L'essai de traction s'effectue sur une
éprouvette normalisée
S0
A
So = 150 mm²
B
l0
d = 13,85 mm
Lo = 100 mm
Les têtes de l'éprouvette sont pincées dans
les mâchoires d'une machine de traction.
7.2
Analyse
déformation
de
la
courbe
F en N
contrainte-
Fmax
Un dispositif permet d'enregistrer graphiquement
la relation entre l'effort F et l'allongement
de
l'éprouvette (l-lo).
Fe
A
C
D
B
Le graphe obtenu dépend de la nature des
matériaux et des traitements qu'ils ont pu subir.
Pour l'acier doux, on obtient le graphe ci-contre et
on identifie trois zones distinctes :
l en mm
La zone des déformations élastiques
est
représentée par le segment OA. Dans cette zone, on a :
O
▪ -L'allongement proportionnel à la charge; si on réduit progressivement la charge, on
suit la même courbe en sens inverse .
▪ Fe est appelé charge limite d'élasticité.
7.3
Limite élastique
Re en Mpa (ou N/mm² )
On effectue le rapport :
Re =
Fe
unités :
So
Fe en N
So en mm²
Le rapport Re s'appelle la limite élastique et est une caractéristique propre au matériau.
7.4
Module d'élasticité longitudinale ou module de Young E.
En un point d'une section droite, on définit :
N
S
▪
la contrainte normale  =
▪
l'allongement unitaire longitudinal  =
Laurent DESHAYES
li − l0
li
17
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
L'expérience montre qu'il y a proportionnalité entre la contrainte normale  et l'allongement
unitaire 
 = E. 
Le coefficient de proportionnalité E s'appelle le module d’élasticité longitudinal ou module de
Young et est une caractéristique propre au matériau.
7.5
Coefficient de Poisson
d
et
d
On démontre qu'il existe un rapport constant entre la contraction relative transversale
l'allongement relatif longitudinal
l
l
d
l
= .
d
l
. Cette relation est
Le coefficient de proportionnalité  s'appelle le coefficient de Poisson et est une caractéristique
propre au matériau.
7.6
Zone des déformations permanentes
Au delà du point A, on constate un allongement sensible de l'éprouvette pour un accroissement
modéré de la charge. Il y a déformation permanente. C’est la zone d’écrouissage.
En C, commence le phénomène de striction c’est à dire une diminution rapide de la section . D est
le point de rupture, peu précis, peu intéressant car de toute façon il n’y a pas de retour en arrière
possible .
On en déduit les caractéristiques suivantes
7.6.1 Résistance à la rupture
- on effectue le rapport Rr =
N max
So
Le coefficient de proportionnalité Rr s'appelle la résistance à la ruprure et est une
caractéristique propre au matériau.
7.6.2 Coefficient d'allongement
S0
-soit
la
Lu − Lo
A% =
*100
Lo
proportion
Lu : longueur ultime (obtenue en mettant
bout à bout les deux morceaux de l’éprouvette
après rupture)
A
A
l0
lu
B
B
Le coefficient A% s'appelle l’allongement pour cent et est une caractéristique propre au matériau.
Le tableau fourni en fin de fascicule nous donne des valeurs indicatives de ces différentes caractéristiques en
fonction du matériaux
Laurent DESHAYES
18
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
Moyen d’étude expérimentale des déformations et des contraintes
8
Ces techniques classiques permettent l'étude expérimentale des contraintes et des déformations.
Elles sont particulièrement intéressantes lorsque les formes des objets sont compliquées et que les
charges sont difficiles à évaluer autrement {calculs. ..).
8.1
Vernis craquelants
Projetés sur la surface à étudier comme un aérosol, ils sont utilisés pour localiser visuellement les
zones les plus chargées et indiquer les directions principales des déformations.
Ils permettent de choisir les emplacements de collage des jauges de contraintes et leur orientation ;
l’orientation des craquelures est toujours perpendiculaire à la direction de la déformation en traction la
plus importante.
8.2
PHOTOELASTICIMETRIE
Plus précises que les vernis craquelants, ces méthodes
permettent des études plus détaillées sur les zones les plus
chargées, les directions principales des déformations par exemple.
Les résultats sont particulièrement intéressants près des formes
amenant des concentrations de contraintes (trous, encoches,
épaulements. ..).
Une matière plastique transparente est utilisée pour modéliser
l'objet réel. Un système optique spécial (polariscope), permet
d'observer des motifs colorés, interpréter et visualiser les zones
contraintes. Il est ainsi possible, par dessins et essais successifs,
d'améliorer la définition des objets.
Les pièces soumises à des vibrations ou des charges
dynamiques peuvent être étudiées avec un système
stroboscopique.
L'étude dans les trois dimensions est envisageable par tranches découpées dans des modèles 3D"
figés ».
8.3
Extensomètrie électrique
Elle est basée sur l'emploi des jauges de contraintes. C'est la méthode expérimentale la plus usuelle
pour vérifier les résultats théoriques {calculs de contraintes, de déformations. ..).
Les jauges sont collées sur la surface à étudier et mesurent les déformations en un point donné. La
déformation subie est transformée en variation de résistance électrique mesurée par un pont
d'extensométrie : c'est le principe du pont de Wheatstone. Les contraintes sont ensuite obtenues par
calcul à partir des lois de la résistance des matériaux ou élasticité.
Jauges de contraintes: sous l'effet d'un allongement la section du brin {fil) de la jauge diminue, il
en résulte une variation de la résistance électrique du fil. En mesure, RI est une jauge active collée sur
la structure et R2 une jauge identique collée sur une pièce de même matière. R2 ne subit aucune
contrainte et est à la même température que R1.
Il y a proportionnalité entre la variation relative de résistance et l’allongement relatif du fil de la
jauge.
Ce facteur de proportionnalité s’appelle le facteur de jauge.
Laurent DESHAYES
19
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
Il a pour valeur : 2 pour le constantan,
3,2 pour l’élinvar,
0,5 pour le manganin
Les jauges sont souvent fabriquées de la même
manière que les circuits imprimés et sont disponibles dans
plusieurs formes et dans de nombreuses dimensions (0,1
mm à 10 cm et plus).
La mesure des déformations en un point (M) est
généralement réalisée par un ensemble de trois jauges (A,
B, C) encore appelé « rosette ». Les jauges sont collées sur
la surface (libre) de la structure ou de l'objet et, sous
charge, suivent les déformations de celui-ci.
La photo ci-contre montre quelques exemples de
montage de jauges de contraintes
8.4
Les outils informatiques
Ces outils ont eté conçus à partir de la méthode de
décomposition par éléments finis. Méthode qui consiste à
découper la pièce en un nombre fini de volumes
suffisament petits. En calculant les efforts que subissent
ces différents volumes on remonte au niveau des
contraintes exixtant à l’intérieur de la matière.
Il suffit donc de
partir d’un fichier 3D
de la pièce et le
logiciel
la
décompose en petits
volumes dont il va
calculer l’équilibre.
Il génère ensuite un
affichage analogue à
celui
obtenu en
photoélasticimétrie.
Laurent DESHAYES
20
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
9
Torsion
9.1
Définition
Une poutre est sollicitée à la torsion lorsqu'elle est soumise à ses deux extrémités à deux couples
opposés ayant pour support la ligne moyenne et tels que :




Mt  0 ; N = 0 ; M f = 0 ; T = 0
Mt
−−−−−−−−−−−−−

dans une section droite "S"de la poutre
9.2
Mt
S
Mt
Hypothèses
9.3
➢
La poutre dont le poids est négligé, est un cylindre de révolution.
➢
Les déformations restent faibles et la variation de longueur des génératrices est
négligeable.
➢
Les déformations restent élastiques
Constatation expérimentale
L'expérience montre que dans la
zone des déformations élastiques :
➢ Pour une valeur donnée de Mt
l'angle de rotation des sections G1,
G2, G3.....par rapport à la section fixe
Go est proportionnel à leur distance
respective l1, l2, l3. et l’on a la
relation :
1
l1
=
2
l2
=
3
l3
= constante
G é n é r a tr i c e a p r è s d é fo r m a ti o n
G é n é r a tr i c e a v a n t d é fo r m a ti o n



➢ Les sections droites conservent
la même forme pendant la torsion.
➢ Les distances qui les séparent
restent constantes.
➢ Les fibres de la pièce initialement rectilignes et parallèles à l'axe géométrique du cylindre,
s'enroulent suivant des hélices régulières autour de cet axe. Seule la fibre confondue avec l'axe
reste rectiligne; nous l'appellerons fibre neutre.
Laurent DESHAYES
21
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
9.4
Contraintes tangentielles

Soit la poutre ci dessous sollicitée en torsion sous l'effet du moment Mt .
Coupons par la pensée cette poutre en deux tronçons A et B et exprimons l'équilibre du tronçon A.
du couple de torsion de moment  Isolons pour celà le tronçon A. Il reste en équilibre sous l'action

Mt et sous l' actions de l'ensemble des forces élémentaires t exercées par le tronçon B sur le tronçon
A par l'intermédiaire des surfaces élémentaires s: ces actions toutes situées dans le plan de coupure
sont tangentielles et telles que :
  t = 0

 
   t = Mt
(1)
(2)

 distance variable de la force t à l'axe


t
Or
=  ( contrainte tangentielle)
s

L'expérience montre que  est proportionnelle à la distance  qui sépare s de la fibre neutre
pour  = 0



= 0


pour  = max
=


max
=kx
Ainsi nous avons
Ce qui nous donne la distribution de contraintes ci-dessous
x'
tronçon A
Mt
coupure
x
max
tronçon B
Mt
FIBRE
NEUTRE
e
min =O
z
X
x'
Go
t
Mt
s

G
max

t
y
s
x
en reprenant l'equation (2) et en exprimant que t =  x s on obtient :
Laurent DESHAYES
22
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
  s  = Mt
comme
alors k
  ²s = M

= k  = k 

t
Le terme   s est propre à la poutre et ne dépend que de la forme et des dimensions de sa
section droite. Ce terme s'appelle le moment quadratique polaire, noté Io, de la section de la poutre
et s'exprime en mm4).On trouvera en fin de cours les expression des moments quadratiques polaires
les plus courants ainsi que leur mode de calcul.
On obtient ainsi :k Io = Mt
soit encore k = Mt / Io mais
k=  / 

Finalement: =

Mt 
Io
en Mpa (N/mm²)
Mt en N x mm
avec
 en mm
Io en mm 4
Déformation angulaire unitaire 
L'essai de torsion montre que:
1
l1
=
2
l2
=
3
l3
= constante
Ce rapport est noté  et s'appelle angle unitaire de torsion et s'exprime en rd/mm.
De plus cet essai montre que  est proportionnel à Mt.
On en déduit que

est aussi proportionnel a Mt. Ce qui nous permet de démontrer que

est

proportionnel à . Ce facteur de proportionnalité ne dépend que du matériau. Il est noté G et
s'appelle le module d'élasticité transversal (Mpa)
on a: donc
 = G .
Valeurs approximatives de G
- Acier
-Bronze
G =8.104 Mpa
G = 4,8.104 Mpa
-Bronze
Alpax, duralumin
G = 4,8.104 Mpa
G = 3,2.104 Mpa
D’après le 1.4, on en déduit la relation entre  et Mt
M
= t
G.Io
Laurent DESHAYES
  : rd/mm
 M : mm.N
unités :  t
2
 G : Mpa4 (N/mm )
 Io : mm
23
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
9.6
Conditions de résistance
La contrainte est maximale au point le plus éloigné de la fibre neutre , c’est à dire à  max = V
ainsi:
 maxi =
Mt
Io/V
Pour que le matériau résiste (ne soit pas déformé plastiquement) il faut que cette contrainte maxi
reste en dessous de la résistance pratique au glissement Rpg
Rpg =
9.7
Re g
s
Reg : résistance élastique au glissement en Mpa (propre au matériau)
s : coefficient de sécurité
Conditions réelles, cas des concentrations de contraintes
Lorque les poutres possèdent de brusques variations de section (épaulement,emplacement de
clavette,etc......) il y a (comme présenté au chapitre précédent) concentration de contrainte, c'est a dire
que la contrainte maximale réelle est supérieure a la contrainte maximale calculée sans variation. Le
rapport entre ces deux contraintes s'appelle le coefficient de concentration de contrainte "k"

maxi
=k
Mt
Io / V
Sont indiquées ci-dessous des valeurs de coefficient de concentration de contrainte "k" dans des cas
usuellement rencontrés dans les pièces sollicitées à la torsion.
Laurent DESHAYES
24
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
r/d
r
0.2
0.1
0.05
0.02
1.09
1.1
1.2
1.4
1.7
1.2
1.3
1.4
1.7
2.5
1.5
1.4
1.6
2.2
2.7
r/c
0.5
0.3
0.2
0.1
k
2.1
2.7
3.5
5.4
D/d
D
d
r
c
d
9.8
Application
Un arbre de 0,5 m de long transmet une puissance de 2 ch. à la vitesse de 600 tr/min. On donne G =
8.104 Mpa ; Rpg = 50 Mpa.
On demande :
1. Le diamètre minimal de l'arbre calculé à la résistance et la déformation correspondante des
Laurent DESHAYES
25
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
sections extrêmes;
2. Le diamètre de l'arbre pour que l'angle de déformation unitaire ne dépasse pas la limite de 1/4 de
degré par mètre ( condition de rigidité )
1) Conditions de résistance:
=
Mt
I0 / V
Io =
 Rpg
 d4
avec Mt = couple moteur
mais V=d/2
32
=>
Rpg = 50 Mpa
I0  d3
=
V
16
a) calcul du couple moteur
P=1472W
b)
d=3
mais P= c
=>
C=23.4m.N d'où
Mt=23 400 mm.N
Mt.16
=>d = 13,35 mm
Rpg
c) calcul de 
  : rd/mm
 M : mm.N
(1)
unités :  t
2
 G : Mpa4 (N/mm )
 Io : mm
Mt
=
G.Io
on a :
=
d’ou
23 400
80 000.Io
 = l x 10-4 rad /mm
avec Io = 3118 mm4
=> déformation extrème  =  x l = x 10-4 x 500 = 0.05 rad
2) Condition de rigidité
 max = 0,25 ° /m =>  max = 0,0175 x 0.25 = 4,36 x 10-3 rad/m
 max = 4,36 x 10-6 rad/mm
de (1) on tire:
=>d =
4
Io =
Mt
d 4 Mt
soit
=> d =
=
G
32 G
4
32  Mt
G
32  23400
  8  10 4  4,36  10 −6
finalement : d = 28,8 mm
Laurent DESHAYES
26
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
10 Flexion simple
10.1 Définition
Pour qu'une poutre soit sollicitée en flexion simple il faut
•
que les déformations respectent la loi de HOOKE (Hypothèse fondamentale)
•
que cette poutre admette un plan de symétrie (en général xoy )
•
que chaque torseur modélisant chacune des actions qui s'exercent sur cette poutre
se réduise au barycentre de la section droite dans laquelle s'exerce l'action à un
torseur ayant pour éléments de réduction une résultante de direction (en général oy)
contenue dans le plan de symétrie et perpendiculaire à l'axe longitudinal (en
général ox) ou un moment résultant de direction (en général oz) perpendiculaire au
plan de symétrie.
Exemples:
FD
Fc
C
A
FA
D
A
O
B
FB
FA
o
10.2 Schématisation des liaisons
Laurent DESHAYES
27
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
10.3 Propriétés:
Lorsqu'une poutre travaille en flexion certaines fibres
sont tendues, d'autres sont comprimées et il existe une zone
ou les fibres ne sont ni tendues ni comprimées cette zone
s'appelle zone de fibres neutres
Fc
C
ZONE DE FIBRES COMPRIMEES
ZONE DE FIBRES NEUTRES
A
Remarque :si la poutre admet aussi un plan de symétrie
perpendiculaire au plan de symétrie initial la zone de fibre
neutre se situe dans celui -ci
ZONE DE FIBRES TENDUES
FA
FB
10.4 Torseur de cohésion
poutre est en équilibre sous l'action de
FD
FC
Prenons par exemple une poutre sur
 deux
 appuis.
 Cette
Imaginons que nous coupons la poutre par une section
droite et que le tronçon de gauche reste en équilibre.
A
Ce tronçon reste en équilibre sous l'effet des actions en
A, C, D et de l'action qu'exerce le tronçon de droite par
l'intermédiaire des forces de cohésion.
FA
FC
Fi
D
C
FA , FB , FC , FD , Fi
B
B
Y
FD
FB
T
L'équilibre montre que le torseur de cohésion
Tronçon de droite
R 

M 
{coh}  
Tronçon de gauc he
est tel que :
G
X
A
Mf


T =R


Mf = M
Z
T 

 Mf 
{coh}  
Soit encore
Rappel:

 est appelé effort tranchant.

Mf est appelé moment fléchissant.
Remarque :
Pour des raisons de simplicité dans la suite du cours le poutres seront schématisées par un trait fort.
En flexion pure, Mf  0 et T = 0.
Pour le calcule de Mf, ne prendre en compte que les actions donnant des moments portés par la
direction de l’axe z. La direction de T est généralement celle de l’axe y.
En flexion simple Mf  0 et T  0.
Laurent DESHAYES
28
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
10.5 Expression du moment fléchissant et de l'effort tranchant
10.5.1 Actions aux appuis
Exemple
x
F2
F1
A
La poutre ci-contre repose sur deux appuis A
et B et supporte les 3 actions se réduisant en
leurs points d'application respectifs à 3forces
B  
F3
G
F1
RA
F2
F 1, F 2, F 3
la poutre est donc en équilibre sous l'action de
ces 3 forces et sous les actions qu'exercent
respectivement chacun des appuis
 
RA, RB représentent les actions de contact aux
F3
appuis sur la poutre.
RB
poutre isolée
10.5.2 Equilibre d'un tronçon quelconque de la poutre
y
M
F1
F2
A +
RA
G
x
Isolons le tronçon (AG) figure (3)
Ce tronçon est en équilibre et est soumis
  aux

3 actions représentées par les forces RA, F 1, F 2
et aux actions exercées par le tronçon (GB)
T
z
Le torseur résultant de l'ensemble des actions
extérieures a pour éléments de réduction en G
figure 3






RA + F 1 + F 2 + T
 
 
 
 
G{ (ext )}  G 
 MG ( RA) + MG ( F 1) + MG ( F 2 ) + Mf 
Si on écrit l'équilibre (principe fondamental de la statique) on a

{(ext )}  0
G
Finalement:
soit encore :



 
RA + F 1 + F 2 + T = 0
 
 
 

MG ( RA) + MG ( F 1) + MG ( F 2 ) + Mf
=

0




T = - ( RA + F 1 + F 2 )

 
 
 
Mf = -( MG ( RA) + MG ( F 1) + MG ( F 2 ) )
10.5.3 Effort tranchant

T
L'effort
tranchant
, dans la section droite S(x) d'abscisse x est l'opposé de la somme géométrique

 
( RA + F1 + F2 ) des résultantes des actions appliquées à gauche de cette section.
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29
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10.5.4 Moment fléchissant

Le moment fléchissant Mf dans la section droite S(x) est l'opposé de la somme géométrique
 
   
( MGRA + MGF 1 + MGF 2 ) des moments par rapport à G(x) des actions situées à gauche de cette section.
 
Remarque importante: T et Mf étant des vecteurs qui ont toujours la même direction (Oy pour


T et Oz pour Mf ) nous n'écrirons plus les relations sous forme vectorielle mais sous la forme
algébrique ainsi nous parlerons de moment fléchissant Mf et d'effort tranchant T.
10.5.5 Variation de T et de Mf
On représente généralement les graphes de variation de T et de Mf dans une section droite en
fonction de l'abscisse "x" de cette section; On obtient ainsi le diagramme du moment fléchissant et le
diagramme de l'effort tranchant
10.5.6 Relation liant T à Mf
Imaginons une poutre chargée de façon quelconque
Exprimons l'effort tranchant T dans une
section Sx d'abscisse x, nous avons:
l2
y
l1
F1
A
RA
F2
Fi
li
S (x)
T = - (RA + F1 + F2 + Fi )
G
Exprimons maintenant le moment fléchissant
en la même section Sx nous avons:
x
Mf = −− RA.. X − F 1.( X − L1) − F 2.( X − L 2) − Fi.( X − Li )
Mf = ( RA + F 1 + F 2 + Fi ). X − (F 1.L1 + F 2.L 2 + Fi.Li )



RB
x
cte
dérivons alors Mf par rapport à x, nous obtenons:
dMf
= −( RA + F 1 + Fi ) = −T
dx
soit encore
dMf
= −T
dx
Ce qui s'énonce:
La dérivée du moment fléchissant par rapport à x est égal à l'opposée de l'effort tranchant. Résultat
très important à retenir. Il sert souvent à tracer ou vérifier le tracé des diagrammes de variation.
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30
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Laurent DESHAYES
31
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10.6 Contrainte normale en un point quelconque d'une section droite
10.6.1 Elément mathématique: courbure en un point d'une courbe
Considérons la courbe plane (C) y=f(x). A et B sont des points voisins sur (C) et  est l'angle
formé par les deux normales à la courbe issue de A et B et se
coupant en C
y
y=f(x)
c

A s
Le rayon de courbure de l'arc AB =
(c)
B
S

On appelle alors rayon de courbure, r, en A de (C) la limite de
S
ds
lorsque B tend vers A => r =

d
x
10.6.2 Expression de la contrainte normale
Etudions la poutre ci-contre:
S(x) et S(x+dx) sont deux sections droites
distantes de dx
l
y
F
A
S(x)
G2
G1
RA
B
S(x+dx)
x
RB
x
x + dx
A
Par hypothèse S(x) et S(x+dx) restent planes et
perpendiculaires à l'ensemble des barycentres (fibre
neutre)
Cette fibre
ne subit aucun allongement ni
raccourcissement.
B
M2
M1
Isolons maintenant la portion de poutre comprise entre S(x) et S(x+dx)

La fibre M1M2 de longueur initiale M1M'2 = dx
s'est allongée de la quantité M'2M2 = -d
d
rayon de
courbure
On peut ainsi exprimer l'allongement unitaire "i"
=


dx
M'2
M1
M2

dx
d
d'
d
l M ' 2 M 2
d
=
= −
l
M 1M ' 2
dx
Nous avons vu précédemment que r =
ds
,s est
d
l'abscisse curviligne); soit dans notre étude: r = dx / d
ainsi :  = -/r (1)
d'autre part la loi de Hooke donne :  = E  (2)
(1) et (2) donnent:  = −
E
r
En reproduisant le même raisonnement pour la fibre située à la distance ' on peut écrire:
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32
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
 = −E'
1
r

Ainsi en respectant une des hypothèses fondamentales qui
dit qu'au cours de la déformation, toute section droite doit
rester droite c'est à dire perpendiculaire à la fibre neutre et
plane, nous obtenons une contrainte linéaire et proportionnelle
à la distance de la fibre sollicitée au plan de fibres neutres.

Considérons maintenant l'équilibre du tronçon de gauche
(AG1). La somme algébrique des moments des actions sur ce tronçon par rapport à G1 est nulle soit:
− RA. X − F .( X − l ) − S = 0
y
( varie dans la section S1 de -d' à d)
. nous avons vu paragraphe 2.5.2 et 2.5.4:

Mf = − − RA. X − F .( X − l )
d'où Mf = S

s
(3)
G1
Reportons maintenant l'expression de  dans (3)
=> Mf = E
1 2
 S
r
x

s

z
En un point de la déformée E et 1/r sont constants, on peut donc les sortir du signe 
=> Mf = E
2
1
 S
r

 


Cette 'expression s'appelle le moment quadratique de la section droite S1 par rapport à l'axe S1
noté IGZ (les calculs et expression des moments quadratiques les plus courants sont donnés en fin de
cours)
d'autre part:
=> Mf = −
-E/r = /

IGZ

d'ou l'expression de la contrainte normale s'exerçant sur un élément de
surface situé à la distance  de la zone de fibre neutre:
Mf
=−

IGZ
Avec
Mf en N.mm
 en Mpa
IGZ mm 4
Remarque:  est du signe opposé au produit Mf x  mais en général seul le module de  nous
intéresse et pour les calculs on prendra : Mf =

IGZ

10.6.3 Contrainte maximale - condition de résistance
Pour une poutre à section constante, IGZ =cte, quelque soit la section considérée.
Ainsi
 max i =
M f max i   max i
IGZ
En écrivant maxi = v distance de la zone de fibre neutre à la fibre la plus éloignée
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33
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 max i =
M f max i
IGZ / v
IGZ/v s'appelle le module de flexion et s'exprime en mm 3
Cette contrainte maxi doit être comparée à la limite élastique pratique du matériau.
d'où la condition de résistance:
 max i  Rpe =>
Mf max i
 Rpe
IGZ / v
10.7 Contrainte tangentielle moyenne:  moy
Reprenons l’équilibre du tronçon AG1de la poutre du paragraphe 2.6.2 . La somme algébrique des
résultantes est nulle soit:
RA + F 1 + ds = 0 avec , contrainte de cisaillement tangentielle
Par définition l'effort tranchant T s'écrit:
d'où:  ds = T
T= -(RA+F)
Si l'on considère que  est répartie uniformément dans la section donnée on peut écrire:

moy ( en Mpa )
=
T ( en N )
S ( en mm² )
En flexion cette contrainte  est souvent négligeable devant  car où Mf est maximum ( est maxi)
sa dérivée qui est -T, est égal à 0 =>moy = 0.
10.8 Concentrations de contraintes
Au voisinage d’un changement brusque de section, la contrainte n’est plus propotionnelle à la
distance  et 
max
est supérieure à la valeur
Mf max i
=  0 . Il y a concentration de contraintes. Les
IGZ / v
valeurs de Kt (coefficient de concentration de contraintes) sont déterminées expérimentalement et sont
données ci dessous. Ce coefficient permet de calculer  max = Kt  0
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34
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Laurent DESHAYES
35
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10.9 Etude des cas de flexion simple
10.9.1 Poutre sur deux appuis charge concentrée en un point quelconque.
y
a) Actions aux appuis
F
A
   
 A+ B+ F = 0
=      
 MBA + MBF = 0
b
a
B
x1
A
G
B
x
x2
l
zone 1
1)
2)
1) en projection sur oy: => A+F+B=0
2)en
projection
−A  l − F  ( l − A) = 0
zone 2
sur
=> avec (2) => A = − F
T
et
-Fa/l
+
x
B=−
oz
=>
(l − a)
Fb
=−
l
l
Fa
l
b) variation de T
* zone 1
-
T = − A = T =
Fb/l
Fb
l
* zone 2
Mf
-Fab/l
T = −( A + F ) = T = −
+
Fa
l
c) Variation de Mf
zone 1: On calcule les moments par rapport à G élément d'une section de la zone (1) située à
l'abscisse x1
Mf 1 = −− Ax1 = A  x1
→
Mf 1 = −
Fb
 x1
l
x1=0→Mf 1=0
Fb  a
pour x1 = a → Mf 1 = −
l
pour
zone 2 : Cette fois-ci G est dans une section située dans la zone(2) à l'abscisse x2
Mf 2 = −− A  x 2 − F  (x 2 − a)= ( A + F )  x 2 − F  a = Mf 2 = Fa ( −
x2
+1)
l
Ainsi à l'aide des 2 équations (1 pour chaque zone) de Mf nous traçons le graphe de variation de Mf.
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36
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10.9.2 Poutre sur deux appuis avec charge uniformément répartie
charge répartie
y
RA
x
Ainsi la résultante de cette charge est une fonction
de x
x
F=px G
F= p.x
l
l/2
T
pl
2
RB
x/2
A
Remarque: "p" est appelé le coefficient de
répartition de charge exprimé en N/mm
+
-
Ici, le coefficient de répartition de charge est une
constante: p=cte, c'est pour cela que l'on dit la charge
uniformément répartie.
-pl
2
Attention : Tout comme Fi, Ri, p est une valeur
algébrique
Mf
-pl²
8
+
a) Action aux appuis
Par raison de symétrie, on peut affirmer:
A= B=−
P
pl
=−
2
2
b) variation de l’effort tranchant T
T= -( A + Fx )
=>
mais
T= -( A + px)
Fx = p.x
=> T = -p x + pl/2
(attention ici p est négatif )
x=0 T = pl/2
x=l T= -pl/2
c) variation du moment fléchissant Mf
Mf = −( − A x −
Fx
p l x p x²
) = −(
−
)
2
2
2
de la forme :y = a x² + b x (courbe représentative
d'une parabole)
- recherche de Mf maxi:
( Mf )' =
dMf
pl
= − + px (c'est -T!)
dx
2
Mf est maxi lorsque Mf' = 0 =>
X=l/2
Mf
max i
=−
Pl²
8
Remarque:
Notez sur les graphes de variation que lorsque T=0 (ou −
− dMf
= 0 ) Mf est maxi.
dx
Ce qui vérifie bien le calcul effectué.
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37
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10.9.3 Poutre encastrée avec charge ponctuelle en son extrémité
y
ReB
S
F
Me
z

ME
moment d'encastrement:
G
x

a) Actions à l'encastrement Re B
Equilibre de la poutre:


* F + Re B = 0
l
en projection sur Ay:
T
-F
+
x
F + REB = 0
   
* MBF + ME = 0
REB = − F
En projection sur Az:
− F  l = ME
Mf
b) variation de l'effort tranchant
x
T= -F
-
( T est constant)
c) variation du moment fléchissant Mf
Fl
Mf = -( -Fx ) = F x
x varie de 0 à 1
Mf maxi = Fl
10.9.4 Poutre encastrée avec charge répartie
a) calcul des actions à l'encastrement
y
la poutre est en équilibre:
F(x)
S
x
z
ReB
MB
G



 Ftotale + Re B = 0


  
 MBFtotale + Me = 0
Ftotale = pl
1) en projection sur Ay:
Ft + Re B = 0
 Re B = − pl
2) en projection sur Az:
T
l
− Ft . + MeB = 0
2
pl
+
x
Ft l
2
b) variation de l'effort tranchant T
T = -px
Mf
 si x = 0

 si x = l
T=0
T = − pl
c) variation du moment fléchissant Mf
x
pl²
2
Laurent DESHAYES
MeB =
x
Mf = −( − F ( x ). ) avec F ( x ) = px
2
x²
=> Mf = p
équation d'une parabole
2
38
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
10.10 Etude de la déformée y= f(x)
10.10.1 Définition
On appelle déformée la courbe d’équation y =f(x). qui est génére par l’ensemble des centres
de gravité des sedctions droite après déformation .
Y represente donc la distance « algébrique » qui separe tout centre de gravité après
déformation de sa position avant déformation.
y

P
x
y
x
P
A
B
10.10.2Calcul par intégration
On montre en utilisant les résultats du paragraphe 2.5 qu’une bonne approximation de la dérivée
seconde de y est donnée par la relation
y' ' =
Mf
EIGZ
Or nous savons que Mf est une fonction de x. Il suffira donc pour remonter à y d’intéger deux fois
l’expression ci dessus en calculant les constantes d’intégration grâce à des solutions particulières
appellées encore conditions aux limites.
y
10.10.3Application à un exemple
Cas d’une charge concentrée au bout d’une poutre encastrée
On a Mf = P.x
( P est une valeur algébrique ici négative)
P
A
B
x
P.x
On en déduit : y ' ' =
soit encore EI y’’= P. x
EIGZ
En intégrant une première fois on a :
EI y’= P.
x²
+ k1
2
Calcul de k1
On remarque que en B lorque x = l (longueur AB) la tangente à la courbe est horizontale en raison
de l’encastrement donc y’ = 0
Ce qui nous donne k1 = -
P.l ²
2
En intégrant une seconde fois on a :
x3
l²
EI y = P.
- P . x + k2
2
6
Calcul de k2
On remarque que en B lorque x = l (longueur AB) y =0
Laurent DESHAYES
39
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
Ce qui nous donne k2 =
P.l 3
3
Finalement :
EI y = P.
y=
l²
P.l 3
x3
-P .x+
et en particulier pour x = 0 emplacement de la charge on a :
2
6
3
P.l 3
3EI
10.11 Principe de superposition
10.11.1 Enoncé:
Dans la limite des déformations élastiques en un point quelconque d'une poutre, le vecteur
déformation et le vecteur contrainte résultant de l'application d'un ensemble d’actions sont
respectivement égales à la somme géométrique des vecteurs déformations, et des vecteurs contraintes
résultant de l'application de chacune de ces actions agissant séparément.
10.11.2Utilisation de ce principe
Ce principe est très utile car il permet de ramener une étude de cas de sollicitations complexes à
une somme d'étude de sollicitations simples.
Laurent DESHAYES
40
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
F1
F2
A
F1
B
F2
A
B
A
A1
Actions aux appuis: A = A1 + A 2
B1
B
A2
B2
B = B1 + B2
T = T1 + T2
T1
X
A
T2
y
A
x
B
A
B
B
Effort tranchant : T = T1 + T2
Mf = Mf1 + Mf2
Mf1
B
A
X
A
Mf2
X
A
B
Moment Fléchissant : Mf =Mf1 + Mf2


=
Mf Mf 1 + Mf 2
=
= 1 +  2
I/v
I/v
Laurent DESHAYES
41
X
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11 Flexion déviée
11.1 Définition



P 1 , P 2, R A …ne
Une poutre sera sollicité en flexion déviée si les différentes actions
s’exercent pas dans un des plans de symétrie de la poutre mais dans un plan quelquonque qui doit
cependant contenir la ligne des barycentres (cf ci-dessous).
11.2 Méthode de résolution
La méthode la plus classique consiste à appliquer le principe de superposition.
En ce qui concerne l’effort tranchant T la décomposition est inutile et nous avons toujours

moy ( en Mpa )
=
T ( en N )
S ( en mm² )
En ce qui concerne le moment fléchissant celui-ci sera décomposé en deux moments Mfy’ et Mfz’
portés respectivement par les deux axes principaux d’inertie Gy’ et Gz’ (voir fig ci-dessus).
L’expression de la contrainte normale sera donc :
=
Mfy'  z ' Mfz'  y'
−
IGy'
IGz'
avec Mfy’ = Mf x sin 
et
Mfz’ = Mf x cos 
 sin   z ' cos   y ' 
−

IGz'
 IGy'

soit encore :  = Mf  
ainsi :
Laurent DESHAYES




sin 
cos  

 max = Mf max
−
 IGy'
IGz' 


y ' max 
 z ' max
42
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
12 Sollicitations composées
12.1 Contraintes de même nature
L'étude des sollicitations a fait apparaître deux types de contraintes:
•
contraintes normales  ( extension - compression - flexion)
•
contraintes tangentielles  (cisaillement - torsion)
Remarque : Les sollicitations composées faisant intervenir un même type de contrainte se traitent
de façon simple puisque ces contraintes peuvent s'ajouter géométriquement (principe de superposition)
=
+
1
Flexion
flexion+extension 1+  2
2
Extension
1
+
cisaillement
Torsion
 1 + 2
=
2
torsion+cisaillement
12.2 Contraintes de nature différente
Les sollicitations composées faisant intervenir des contraintes de nature différente se traitent
indépendament en vérifiant que la contrainte idéale i = 
2
+ 4 2 reste inféreure à Rpe
exemple 1: traction + cisaillement
S1 S2
(I)
F
T
s ds
t ds
G2
G
F
T
Isolons la portion de poutre (I) située à droite de la section S2 et étudions son équilibre.
Soit G2, le centre de gravité de la section S2
Réduisons en G2 le torseur (système de forces) associé aux forces extérieures
 
 
  
 F + T + dS +  dS = 0
  
  
 MGzds + MGz ds = 0
Si l'on suppose que les contraintes  et  sont réparties uniformément dans la section:
Laurent DESHAYES
43
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
 =
On a :
T
S
et  =
N
S
exemple 2: Flexion + torsion
On calcule le moment idéal de torsion Mfi et le moment idéal de flexion Mti
Mfi = (1 −
1
1
)Mf +
Mti
2k
2k
Mf 2 + Mt 2 et k =
Avec Mti =
Reg
Re
On prendra k = 0,5 pour les aciers doux et alliages d’aluminium
k = 0,8 pour les matériaux moulés sauf la fonte
k =1
pour la fonte
12.3 Application:
Soit un arbre guidé en rotation dans deux paliers A et B, lié en translation par le palier A (les deux
parties seront assimilées à deux appuis simples)
+
En C et D cet arbre porte deux pignons à
denture droite servant à transmettre un couple de
360mN.
F1
A
C
D
B
0,5m
0,5m
0,2m
z
Ces deux pignons exercent sur l'arbre deux
xefforts radiaux.
F1=-4000N
F2
y
F2=1200N
situés dans le même plan vertical.
(les composantes tangentielles des efforts sur
les pignons seront négligés).
Déterminer le diamètre minimum à donner à cet arbre si l'acier constituant celui-ci possède les
caractéristiques suivantes:
Rpe=100N/mm2
Rpg=50N/mm2
a) actions aux appuis






Fext
→ poutre = 0:
RA + F 1 + RB + F 2 = 0projection
Ax: R A + F 1 + R B + F 2 = 0
 
RA  1 − F 1  0,5 + F 2 = 0 (2)
Mext → poutre = 0:
(1)
(2) → RA = − F 1  0,5 + F 2  0, 2 → RA = 2240 N
(1) → RB − ( RA + F 1 + F 2 ) →
Laurent DESHAYES
RB = 560N
44
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
b) variation de T
T(N)
C
B
D
+
-
-
0  x1  0.5
T 1 = R A = 2240 N
0.5  x 2  1
zone 2:
T 2 = R A + F 1 = −1760 N
0.5  x 3  1. 2
zone 3:
T 3 = R A + F 1 + R B = −1200 N
zone 1:
x
-1200
c) Variation de Mf
zone 1:
x
-240
x = 0 MF 1 = 0

MF 1 = − RA  x = −2240 x 
 x = 0.5 MF 1 = −1120 Nm
zone 2:
Mf 2 = − RA  x − F 1( x − 05
.)
.
MF 1 = MF 2 = −1120 Nm
 x = 05
→ Mf 2 = 1760 x − 2000
x = 1 MF 2 = −240 Nm

-1120
zone 3:
Mt(Nm)
MF 3 = − RA  x − F 1  ( x − 0.5) − RB  ( x − 1)
 x = 1 MF 2 = MF 3 = −240
MF 3 = 1200 x − 1440 
x = 12
.
MF 3 = 0

360
x
d) variation de Mt
Mt est constant entre C et D Mt=360 Nm
e) calcul du diamètre de l'arbre
Mf
max i
= 20 Nm
Mt max i = 360Nm
2
M if = 0.5  1120 + 0.5 (1120) + ( 360)
2
M it = (1120) + ( 360)
=>
2
2
M if = 1148 Nm
M it = 1176 Nm
à la torsion:  max i =
à la flexion: m =
Mit  16
 Rpg → D = 49mm
D 3
Mif  32
 Rpe → D = 49mm
  D3
Laurent DESHAYES
45
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
Les deux voies de calcul conduisent au même résultat.
13 Flambage, Flambement
13.1 Définition
Une poutre normalement sollicitée en compression est soumise au fambement (où flambage) si à
partir d’une certaine charge la poutre fléchit superposant ainsi de la flexion:
La
charge
qui
provoque le flambement
s’appelle charge critique.
x
x

F
y
y
G
G
z
dessin ci-contre
le
phénomène
du
flambage.

Fc
z
Le

- F
montre
Fc
13.2 Charge critique d’EULER (seul la théorie du fambement
selon Euler sera développée ici)
C’est la charge au delà de laquelle le risque de flambage apparaît.
Nous avons vu en flexion que y ' ' =
Mf
avec ici Mf = - F .y
EIGZ
soit encore: EIGZ y”” + F.y = 0 (1)
on a la une équation différentielle qui a pour solution:
y = C sin (n.
L
x
) avec: y = 0 en x = 0 et en X = L et y = C en x =
L
2
En remplaçant y et y’’ par leur expression dans l’equation 1
on obtient:
F=
n ² ² EIGZ
L²
n représente le nombre de courbure.; en général n= 1
Finalement la charge crtique d’EULER a pour expression
Fc
( Mpa )
=
 ² EIGZ
L²
E : Module d’élasticité transversal en Mpa
IGZ : Moment quadratique le plus faible de
la section S
en mm4
L : Longueur libre de flambement en mm et définie comme suit en
tenant compte de la façon dont la poutre est tenue à ses deux: extrémités
Laurent DESHAYES
46
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
Cf page suivante.
L=l
L = 0.7 l
L = 0.5 l
L=2l
13.3 Elancement
L’élancement représente la proportion entre la dimension longitudinale de la poutre et ses
dimensions transversales. Il a pour expression :
λ=
L
ρ
avec :  rayon de giration en mm qui a pour expression ρ =
IGZ
S
 est donc un nombre sans dimension
13.4 Contrainte critique
La contrainte critique est la contrainte de compression au delà de laquelle une poutre d’élancement
 risque de flamber. En reportant l’expression  de dans Fc on obtient :
Fc =
π² E S
F
et comme avant le flambement on a σ =
λ²
S
σc =
π² E
qui dépend du matériaux et de l(élancement de la poutre
λ²
Laurent DESHAYES
On obtient :
47
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
13.5 Elancement critique
II est évident que pour que la poutre résiste la contrainte critique doit rester inférieure à la limite
élastique du matériaux qui la compose. Il existe donc un élancement critique défini ainsi : en partant
de c =Re on a :
λc 2 =
π² E
qui ne dépend que de la nature du matériaux
Re
Exemples de valeur courantes de 
Matériaux
Limite
élastique
Module
d’élasticité
élancement
critique
Re
longitudinal

Aciers : S 235
240 Mpa
200 000 Mpa
90
Alliage Aluminium : 2017
140 Mpa
74 000 Mpa
70
Bronzes : Cu Sn 6 P (état
H14)
160 Mpa
80 000 Mpa
70
13.6 Charge maximale admissible
En règle générale on admet que la charge maximale admissible (hors coefficient de sécurité) est
égale à la moitié de la charge critique ;
Soit encore Fc = 2 Fadm
On en déduit une méthode de calcul simplifié qu’on appelle la méthode d’Euler – Rankine
Exemple pour les poutres en acier S235
Poutres courtes
Poutres moyennes
Poutre élancées
  
    
  
Fadm = Rpc x S
Laurent DESHAYES
Fadm =
Rpc x S
 λ 
1+  
 λc 
2
Fadm =
Rpc x S
 λ 
2 
 λc 
2
48
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
14 Moment statique et moment quadratique d’une surface plane par
rapport à un axe
14.1 Moment statique d'une surface plane par rapport à un axe situé dans son plan
y'
On appelle moment statique de l'élément s
par rapport à l'axe x'x le produit s.y de
l'élément s par sa distance à l'axe y.
s
 = s.y
y
x
x'
o
Le moment statique est du signe de y.
y
On appelle moment statique de la surface plane S par rapport à un axe situé dans son plan x'x, la
somme algébrique des moments de tous les éléments de la surface
x' x =  s y
ou
x' x =
 y ds
14.2 Théorème
*Enoncé
Le moment statique d'une surface plane S par rapport à un axe x'x est égal au produit de l'aire de la
surface par la distance de son centre de gravité à l'axe.
y
s
G
 = S. y G
y
yG
x
x'
o
y'
* Démonstration (à partir d'un exemple)
Laurent DESHAYES
49
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
soit une surface de forme rectangulaire : l'axe x'x est parallèle à l'un de ses côtés
 y.ds
x ' x =
dx
y
dy
 y.dx.dy
=
G
b
avec ds = dx.dy
P S
P S
dS
b
a
2
=  y.dy   dx
yG
0
x
a
car y n'est pas fonction de x
a
2
 y2 
 xx'=     x 
2
ab2
b
=
= ab.
2
2
xx' = S  y G
* Conséquence
Si l'axe x'x passe par le centre de gravité de la surface, le moment statique de cette surface par
rapport à l'axe x'x set nul, puisque yG = D.
* Unités
En choisissant le mm pour unité de longueur on a :
x'x
en mm3
le moment statique est homogène à un volume
14.3 Moment quadratique d'une surface par rapport à un axe situé dans son plan
14.3.1 Définition
y'
On appelle moment quadratique de la surface
plane S par rapport à l'axe xx'' de son plan, la
somme des moments quadratiques de tous ses
éléments.
s
I xx' =  S . y 2
y
x
o
x'
ou encore
I xx' = 
y maxi
y mini
y2 . dS
y
14.3.2 Unités
Le moment quadratique d'une surface est homogène une longeur à la puissance quatre ( L4 )
il s'exprime en général en mm4
Laurent DESHAYES
50
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
14.3.3 Théorème de Huygens
Le moment quadratique d'une surface (S) par rapport à un axe xx'' de son plan est égal à la somme :
-
du moment quadratique de cette surface par rapport à l'axe (   ) parallèle à
xx' et passant par son centre de gravité.
-
du produit de l'aire de la surface par le carré de la distance des deux axes.
I xx' = I  + S d 2
* Démonstration
dS

Y
y
G

I xx' =  Y 2dS
avec Y = d + y
 I xx' =  y 2dS +  d 2dS +  2 y d . dS
=  y 2dS + d 2  dS + 2d  y . dS
d

x
moment quadratique
x'

surface S
de la section par rapport
à l' axe (  ,  )

moment statique
de la section par rapport
à l' axe (  ,  ) passant
par G 

Laurent DESHAYES
I
xx'
=I


=0

+ S d2
51
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
14.4 Moment quadratique polaire d'une surface plane par rapport à un axe
perpendiculaire à cette dernière
14.4.1 Définition
On appelle moment quadratique de la surface
plane S par rapport à l'axe zz' (ou au point O), la
somme des moments quadratiques par rapport à
l'axe de tous ses éléments
z'
S
(S)

O
Io =  s
x
²
14.4.2 Relation liant Ixx', Iyy' et Io
xx' et yy' sont deux axes ⊥ du plan de (S)
y'
z'passant par O.
Par définition :
y
dS
Io =  S 2
y
x
o
x
x'
avec 2 = x 2 + y 2
=  S x 2 +  S y 2
Io = Ixx ' + Iyy '
y
z
Laurent DESHAYES
On prendra généralement le pôle au centre de
gravité de la surface.
52
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
14.5 Application
14.5.1 Moment quadratique d'un rectangle par rapport à un axe confondu avec un côté
Bande élémentaire
b
ds = b. dy
dy
Ixx ' =
h

h
y 2 ds =
0

h
0
by 2 . dy
= b  y 2 . dy
h
0
y
x
x'
 y 3  bh 3
Ixx ' = b   =
3
3
14.5.2 Moment quadratique d'un rectangle par rapport à un axe parallèle à un côté
passant par le centre
de gravité de la surface
Application du théorème de Huyghens
b
!! Exercice à faire à l’aide du 6.5.1

G

h
x
bh 3
( Résultat : I =
12
Laurent DESHAYES
)
53
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
14.5.3 Moment quadratique, par rapport à un axe, de surface décomposables en rectangles
Déterminer la position du centre de gravité de la section d'un profilé en U et son moment
quadratique par rapport à Gx1.
x
1) Centre de gravité
x1
10
Ainsi le 1er lieu du Cdg est déterminé. Mais à
quel endroit sur Oy se trouve G ?
G
O
La plaque étant symétrique par rapport à l'axe
Oy , G (centre de gravité de la plaque) se trouve
sur Oy.
10
y C'est la position de l'axe Gx1 qu'il faut
déterminer.
40
1- on décompose la surface en éléments
simples où l'on peut déterminer aisément les Cdg
40
soit
2
1
S3 ==> G3
G2
G1
S1 ==> G1
S2 ==> G2
P2
y
O
P1
P
G3
P3
3
Ainsi on peut associer à chacune des surfaces un poids proportionnel à l'étendu de celles-ci.
Ainsi :
S1 : rectangle de 10 par 60 ==> P1 : k.600
S2 : rectangle de 10 par 30 ==> P2 : k.300
S3 : rectangle de 10 par 30 ==> P3 : k.300
Si l'on calcule la somme des moments de ces vecteurs par rapport à 0 elle devra être égale au
moment de P par rapport à 0
Laurent DESHAYES
54
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
 
 
 
M 0 P1 + M 0 P 2 + M 0 P 3
=
 
M 0P

P en G à l' abscisse x ; P = k.12000

P 1 en G 1 à l' abscisse 5

P 1 en G 2 à l' abscisse 25

P 3 en G 3 à l' abscisse 25
==> 5.600+25.300+25.300 = x.12000
==> x = 15
2) Moment quadratique Ix1
A l'aide du théorème de Huygens et du résultat du paragraphe 552 :
b3
b2
3

1
G2
G3

1
h2
G
x1
G1
h1
d 1 = 2 , 5 cm
d 2 = 1cm
S 2 = S 3 = 3 cm
S 1 = 6 cm 2

d2
b1
1
2
b1h13
12
b h3
I 2 11 = 2 2
12
b h3
I 3 11 = 3 2
12
I 2 . 1 . 1 = 2 , 25
I 1  =
h1 = b2 = b3 = 10
h2 = 30
;
b1 = 60
I 3 . 1 . 1 = 2 , 25
Th. de huygens : I 2 xi = I i  i +
I 1  = 0 , 5
S . d i2
I 2 x1 = 2 , 25 + 3. ( 2 , 5 ) 2 = 21
I 3 x1 = 2 , 25 + 3. ( 2 , 5 ) 2 = 21
I1 x1 = 0 , 5 + 6 . (1) 2 = 6 , 5
 Ix1 = I 2 x1
Laurent DESHAYES
+
I 3 x1
+
I1 x1 = 48 , 5 cm 4
55
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
14.5.4 Moment quadratique polaire d'un rectangle par rapport au centre de gravité
Io = Ixx' + Iyy'
y'
b
Io = Ix' x + Iy' y
x
h
O
bh 3 hb 3
bh (b² + h² )
+
=
12
12
12
x' Io =
si h = b (carré ) alors:
y
b4
6
Io =
14.5.5 Moment quadratique polaire d'un cercle dont le pôle est confondu avec le centre
Io = 0  2 . ds
R
y'
d
Io = 0  2 .2  d = 2  0  3 .d
R
R
  4   R4
Io = 2   =
2
 4 
x'

x
avec ds = 2  d
O
en fonction de d : Io =
 d4
R
y
Laurent DESHAYES
Remarque : Ixx' = Iyy' =
32
Io  d 4
=
2
64
56
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
Extrait de caractéristiques de divers matériaux utilisés en Sciences Industrielles
E: module d'élasticité longitudinal v: coefficient de Poisson (sans unité) p .masse volumique aL : coefficient de dilatation
linéique Re: limite élastique R, : résistance à la rupture A% : allongement pour cent)
Matériaux
E (Mpa)
Métaux non ferreux
Aluminium (AI)
69 000
Alliages d'Al moulés
70 000
Alliages d'Al corroyés
70 000
Alliages d'Al silicium
70 000
Cuivre
112 000
Coussinets à l'étain
52 000
Coussinets au plomb
29 000
Cupro-aluminiums
117 000
Bronzes au plomb
97 000
Bronzes phosphoreux
110 000
Bronzes frittés
60 000
Laitons
100 000
Magnésium
45 000
Magnésium et alliages
41 000
Nickel
210 000
Titane
110 000
Titane et alliages
110 000
Zinc
85 000
Zinc et alliages
85 000
Métaux ferreux
Aciers au carbone
210 000
Aciers faiblement alliés
210 000
Aciers fortement alliés
210 000
Aciers inoxydables
193 000
Aciers rapides
210 000
Fontes grises ou FGL
115 000
Fontes FGS
165 000
Fontes malléables MN...
170 000
Fer
207 000
Fer fritté
80 000
Fer forgé
170 000
Thermoplastiques
Nylons (polyamides)
1 900
Polycarbonate
2 400
Polyéthylène haute densité
1 100
Polyéthylène basse densité
300
Polypropylène
1 500
Polystyrène
3 200
Polytétrafluoroéthylène
500
PVC
4 100
Thermodurcissables
Epoxides
2 500
Phénoplastes
4 000
Polyesters
3 500
Caoutchoucs
Caoutchouc naturel
4
Caoutchouc nitrile
4
Caoutchouc silicone
Céramiques
Alumine AI2O3
380 000
Béton
35 000
Carbure de silicium SiC
450 000
Graphite haute résistance
27 000
Granite
70 000
Grès
40 000
Fibre de carbone
450 000
Magnésie MgO
207 000
Marbre
55 000
Nitrure de silicium Si3N4
304 000
Verre de silice SiO2
75 000
Verre borosilicate
62 000
Zircone ZrO2
152 000
Bois
Chêne
12 000
Douglas
12 000
Epicéa
12 000
Pin
Laurent DESHAYES 10 000
Re (Mpa)
Rr (Mpa)

A%
 (kg/m
3)
 l x 10
20-130
70-240
40-500
40-120
7-25
60-150
140-300
100-550
90-150
20-35
1-35
1-8
1-25
15-25
6-45
0,34
0,33
0,33
0,33
0,36
180-300
500-600
300-600
300-700
7-20
3-25
60-50
250-500
41
75-180
120-140
170-480
<1200
270-600
165
150-280
350-480
240-550
<1300
2-60
14
2-19
10-40
15-25
5-20
140-370
190-440
2-20
0,33
0,33
0,33
0,22
0,33
0,35
0,33
0,31
0,33
0,33
0,27
0,27
8 960
7400
10 100
7 500
8 900
8700
6400
8 600
1740
1740
8 800
4 540
4 540
7130
7 000
180-600
< 1 000
290-980
< 1 800
3-22
8-21
180-650
400-990
10-45
100-260
250-600
190-430
130
150-400
400-900
380-650
260
0,3-0,8
2-15
2-18
45
0,3
0,3
0,3
0,27
0,3
0,26
0,28
0,26
0,27
0,2
0,3
7 850
7 800
7 800
7 900
7 800
7 200
7 200
7 300
7 870
6100
7 870
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
50-80
50-70
22-40
5-20
30-50
20-50
15-35
10-60
20-50
80-120
20-80
200-600
250-600
5-75
250-500
5-450
0,4
1150
1200
960
920
1150
1 050
2 200
1300
100
70
110
220
10
80
120
100
30-90
35-60
40-90
250
750
250-900
1500
1400
1200
55
70
75
24-32
7-24
10
500-800
400-600
100-800
1 000
980
1600
100
3 950
2 400
2 900
1700
2 770
2 300
3 580
2 770
3 200
2 200
2 230
5 560
8,8
-
250-500
1.6-4.1
450-550
0,35
0,35
0.50
0.50
0,26
0,2
0,19
-
70-280
80-1 00
-
40-60
10-30
105
50-180
410-580
110
70
140-240
50-100
50-80
20-80
30-90
0.19
0,36
0.24
0.16
0.20
0.32
0,29
2 710
6
680
450
410
400
23
24
24
24
17
23
20
18
18
18
19
27
27
27
10
14
40
35
57
4,7
3,0
7,2
9,0
14,0
11,0
3,6
0,5
3,3
10,0
57
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
Formulaire de flexion/déformation
Laurent DESHAYES
58
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
Laurent DESHAYES
59
Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020
T
Laurent DESHAYES
60
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