COURS de Resistance Des Materiaux Laurent Deshayes Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 Table des matières 1 INTRODUCTION ET GENERALITES ..............................................................................4 1.1 CONTRAINTES NORMALES ET TANGENTIELLES .................................................................4 1.1.1 Contraintes normales ...............................................................................................4 1.1.2 Contrainte tangentielle.............................................................................................4 1.2 HYPOTHESES DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX ..........................................................5 1.2.1 Hypothèse fondamentale (Loi de HOOKE) ..............................................................5 1.2.2 Le matériau..............................................................................................................5 1.2.3 La forme (ou disposition de la matière) ....................................................................5 1.2.4 Les forces extérieures ...............................................................................................6 1.2.5 Les déformations ......................................................................................................6 1.2.6 Validité des résultats en résistance des matériaux ....................................................6 2 TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION REDUITS AU CENTRE DE LA COUPURE ........................................................................................................................................7 3 SOLLICITATIONS SIMPLES, SOLLICITATIONS COMPOSEES .................................7 3.1 SOLLICITATIONS SIMPLES.................................................................................................8 3.1.1 Traction (extension) .................................................................................................8 3.1.2 Compression ............................................................................................................8 3.1.3 Cisaillement .............................................................................................................8 3.1.4 Torsion ....................................................................................................................8 3.1.5 Flexion simple..........................................................................................................9 3.2 SOLLICITATIONS COMPOSEES ...........................................................................................9 4 TRACTION ......................................................................................................................... 10 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5 COMPRESSION ................................................................................................................. 13 5.1 5.2 5.3 6 DEFINITION .................................................................................................................... 10 CONTRAINTE NORMALE DANS UNE SECTION DROITE....................................................... 10 CONDITIONS DE RESISTANCE.......................................................................................... 10 DEFORMATIONS ............................................................................................................. 11 INFLUENCE DES VARIATIONS DE SECTION ....................................................................... 11 DEFINITION .................................................................................................................... 13 DEFORMATIONS ET CONTRAINTE.................................................................................... 13 APPLICATION ................................................................................................................. 13 CISAILLEMENT ................................................................................................................ 14 6.1 6.2 6.3 6.4 DEFINITION .................................................................................................................... 14 CONTRAINTE MOYENNE DE CISAILLEMENT..................................................................... 14 CONDITION DE RESISTANCE ........................................................................................... 15 APPLICATIONS ............................................................................................................... 15 7 DETERMINATION EXPERIMENTALE DES CARACTERISTIQUES MECANIQUES DES MATERIAUX......................................................................................................................... 17 7.1 ESSAI DE TRACTION ....................................................................................................... 17 7.2 ANALYSE DE LA COURBE CONTRAINTE-DEFORMATION................................................... 17 7.3 LIMITE ELASTIQUE ......................................................................................................... 17 7.4 MODULE D'ELASTICITE LONGITUDINALE OU MODULE DE YOUNG E. ............................... 17 7.5 COEFFICIENT DE POISSON .............................................................................................. 18 7.6 ZONE DES DEFORMATIONS PERMANENTES...................................................................... 18 7.6.1 Résistance à la rupture........................................................................................... 18 Laurent DESHAYES 1 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 7.6.2 Coefficient d'allongement ....................................................................................... 18 8 MOYEN D’ETUDE EXPERIMENTALE DES DEFORMATIONS ET DES CONTRAINTES ............................................................................................................................. 19 8.1 8.2 8.3 8.4 9 VERNIS CRAQUELANTS .................................................................................................. 19 PHOTOELASTICIMETRIE .......................................................................................... 19 EXTENSOMETRIE ELECTRIQUE........................................................................................ 19 LES OUTILS INFORMATIQUES.......................................................................................... 20 TORSION ............................................................................................................................ 21 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 10 DEFINITION .................................................................................................................... 21 HYPOTHESES ................................................................................................................. 21 CONSTATATION EXPERIMENTALE................................................................................... 21 CONTRAINTES TANGENTIELLES ...................................................................................... 22 DEFORMATION ANGULAIRE UNITAIRE ......................................................................... 23 CONDITIONS DE RESISTANCE.......................................................................................... 24 CONDITIONS REELLES, CAS DES CONCENTRATIONS DE CONTRAINTES ............................. 24 APPLICATION ................................................................................................................. 25 FLEXION SIMPLE ......................................................................................................... 27 10.1 DEFINITION ................................................................................................................ 27 10.2 SCHEMATISATION DES LIAISONS................................................................................. 27 10.3 PROPRIETES: .............................................................................................................. 28 10.4 TORSEUR DE COHESION .............................................................................................. 28 10.5 EXPRESSION DU MOMENT FLECHISSANT ET DE L'EFFORT TRANCHANT......................... 29 10.5.1 Actions aux appuis ................................................................................................. 29 10.5.2 Equilibre d'un tronçon quelconque de la poutre ..................................................... 29 10.5.3 Effort tranchant ..................................................................................................... 29 10.5.4 Moment fléchissant ................................................................................................ 30 10.5.5 Variation de T et de Mf......................................................................................... 30 10.5.6 Relation liant T à Mf .............................................................................................. 30 10.6 CONTRAINTE NORMALE EN UN POINT QUELCONQUE D'UNE SECTION DROITE............... 32 10.6.1 Elément mathématique: courbure en un point d'une courbe .................................... 32 10.6.2 Expression de la contrainte normale ...................................................................... 32 10.6.3 Contrainte maximale - condition de résistance ....................................................... 33 10.7 CONTRAINTE TANGENTIELLE MOYENNE: MOY ........................................................... 34 10.8 CONCENTRATIONS DE CONTRAINTES .......................................................................... 34 10.9 ETUDE DES CAS DE FLEXION SIMPLE ........................................................................... 36 10.9.1 Poutre sur deux appuis charge concentrée en un point quelconque. ........................ 36 10.9.2 Poutre sur deux appuis avec charge uniformément répartie .................................... 37 10.9.3 Poutre encastrée avec charge ponctuelle en son extrémité ...................................... 38 10.9.4 Poutre encastrée avec charge répartie ................................................................... 38 10.10 ETUDE DE LA DEFORMEE Y= F(X) ............................................................................... 39 10.10.1 Définition ........................................................................................................... 39 10.10.2 Calcul par intégration ........................................................................................ 39 10.10.3 Application à un exemple ................................................................................... 39 10.11 PRINCIPE DE SUPERPOSITION ...................................................................................... 40 10.11.1 Enoncé: .............................................................................................................. 40 10.11.2 Utilisation de ce principe ................................................................................... 40 11 FLEXION DEVIEE ......................................................................................................... 42 11.1 11.2 DEFINITION ................................................................................................................ 42 METHODE DE RESOLUTION ......................................................................................... 42 Laurent DESHAYES 2 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 12 SOLLICITATIONS COMPOSEES ................................................................................ 43 12.1 12.2 12.3 13 CONTRAINTES DE MEME NATURE ............................................................................... 43 CONTRAINTES DE NATURE DIFFERENTE ...................................................................... 43 APPLICATION: ............................................................................................................ 44 FLAMBAGE, FLAMBEMENT ...................................................................................... 46 13.1 DEFINITION ................................................................................................................ 46 13.2 CHARGE CRITIQUE D’EULER (SEUL LA THEORIE DU FAMBEMENT SELON EULER SERA DEVELOPPEE ICI) ........................................................................................................................... 46 13.3 ELANCEMENT ............................................................................................................ 47 13.4 CONTRAINTE CRITIQUE .............................................................................................. 47 13.5 ELANCEMENT CRITIQUE ............................................................................................. 48 13.6 CHARGE MAXIMALE ADMISSIBLE ............................................................................... 48 14 MOMENT STATIQUE ET MOMENT QUADRATIQUE D’UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE .......................................................................................................... 49 14.1 MOMENT STATIQUE D'UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE SITUE DANS SON 49 14.2 THEOREME................................................................................................................. 49 14.3 MOMENT QUADRATIQUE D'UNE SURFACE PAR RAPPORT A UN AXE SITUE DANS SON PLAN 50 14.3.1 Définition............................................................................................................... 50 14.3.2 Unités .................................................................................................................... 50 14.3.3 Théorème de Huygens ............................................................................................ 51 14.4 MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE D'UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE PERPENDICULAIRE A CETTE DERNIERE ........................................................................................... 52 14.4.1 Définition............................................................................................................... 52 14.4.2 Relation liant Ixx', Iyy' et Io.................................................................................... 52 14.5 APPLICATION ............................................................................................................. 53 14.5.1 Moment quadratique d'un rectangle par rapport à un axe confondu avec un côté ... 53 14.5.2 Moment quadratique d'un rectangle par rapport à un axe parallèle à un côté passant par le centre de gravité de la surface ........................................................................................ 53 14.5.3 Moment quadratique, par rapport à un axe, de surface décomposables en rectangles 54 14.5.4 Moment quadratique polaire d'un rectangle par rapport au centre de gravité......... 56 14.5.5 Moment quadratique polaire d'un cercle dont le pôle est confondu avec le centre ... 56 PLAN Laurent DESHAYES 3 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 1 Introduction et généralités Sous l'effet de ces diverses actions, les solides se déforment, plus ou moins, ce qui crée à l'intérieur du solide des contraintes. Lorsque ces contraintes deviennent supérieures à une valeur maximale que peut supporter le matériau, il y a rupture. Si, par contre, ces contraintes restent en dessous d'une valeur qu'on appelle limite élastique, les solides se déforment mais reprennent leur forme initiale dès que les actions cessent. L'objet de la résistance des matériaux (RDM) est de mettre en relation, les contraintes, les efforts et les déformations. En outre, la RDM a trois objectifs principaux : • la connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux. • (comportement sous l’effet d’une action mécanique) • l'étude de la résistance des pièces mécaniques. • (résistance ou rupture) • l'étude de la déformation des pièces mécaniques. Ces études permettent de choisir le matériau et les dimensions d'une pièce mécanique en fonction des conditions de déformation et de résistance requises. 1.1 Contraintes normales et tangentielles 1.1.1 Contraintes normales prenons un fil et exerçons sur lui deux efforts qui sont opposés. → F → -F Si nous coupons par la pensée ce fil, il est facile d'imaginer que la section de droite exerce sur la section de gauche, un ensemble de forces élémentaires f dont la somme s’oppose à F → F f Si l'on considère une portion de surface s qui a pour aire l'unité (ex : le mm²), cette portion de surface subit de la part de sa voisine de droite une force f qui a "tendance à la décoller" f ( f ⊥ s) s 1.1.2 Définition : On appelle contrainte normale et l'on note , la valeur f : s est en Newtons/mm2 ou MPa (Méga Pascal). Contrainte tangentielle Maintenant au lieu de tirer sur le fil, nous allons le couper avec une cisaille. Laurent DESHAYES 4 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 T On sent bien que la surface de droite et celle de gauche ont tendance à vouloir se séparer par glissement, alors que dans le cas précédent, elles avaient tendance à vouloir se séparer par décollement. T' Ainsi chaque portion de surface s ayant pour aire t l'unité (ex : le mm²) subit une force s 1.2 qui a tendance à la faire glisser par rapport à la surface voisine ( contenue dans s ) Définition : t On appelle contrainte tangentielle et l'on note la valeur : t est t = s est en Newtons/mm2 ou MPa (Méga Pascal). Hypothèses de la Résistance des Matériaux 1.2.1 Hypothèse fondamentale (Loi de HOOKE) Les essais mécaniques montrent que dans le domaine élastique la plupart des matériaux se comportent comme un ressort, c'est à dire que leurs déformations sont proportionnelles aux contraintes qui règnent à l'intérieur de ce matériau. 1.2.2 Le matériau Il possède les propriétés suivantes : • Continuité : la matière est supposée continue car son aspect moléculaire est trop "fin" pour l'étude qui nous intéresse. • ◊ Homogénéité : on supposera que tous les éléments de la matière, aussi petits soient ils, sont identiques. (hypothèse non applicable pour le béton ou le bois) • ◊ Isotropie : on supposera qu'en tout point et dans toutes les directions, la matière a les mêmes propriétés mécaniques. (hypothèse non applicable pour le bois ou les matériaux composites) 1.2.3 La forme (ou disposition de la matière) La RDM étudie des pièces dont les formes sont relativement simples. Ces pièces sont désignées sous le terme de « poutres ». Plus généralement une poutre est un solide engendré par une aire plane S (appelée section droite) dont le centre de gravité G décrit une courbe (C ) (appelée ligne moyenne ou fibre neutre). (C ) est une droite ou une courbe plane. La section plane S n'est pas forcément constante le long de (C )mais doit varier de façon lente et continue. Laurent DESHAYES 5 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 S G Fibre neutre Section droite (C) Ligne moyenne Ainsi les caractéristiques de la poutre sont : • ligne moyenne droite ou à grand rayon de courbure. • section droite (S) constante ou variant progressivement. • grande longueur par rapport aux dimensions transversales. • existence d'un plan de symétrie. 1.2.4 Les forces extérieures En RDM, les forces extérieures seront situées dans le plan de symétrie de la poutre ou alors disposées symétriquement par rapport à ce plan. Deux types d'actions mécaniques extérieures peuvent s'exercer sur la poutre (voir fig ci contre) : Mc F1 • charges concentrées ( F1 ou moment M C ) D A C E B • charges réparties p sur DE. (exprimées en N/m). p Les déformations étant petites devant les dimensions de la poutre, les actions s'exerçant sur celle-ci seront calculées à partir du principe fondamental de la statique. Les supports des forces seront eux considérés comme constants. 1.2.5 Les déformations Navier & Bernoulli : Les sections planes normales aux fibres avant déformation demeurent planes et normales aux fibres après déformation. Barré de St Venan : Les résultats obtenus par la RDM ne s'appliquent valablement qu'à une distance suffisamment éloignée de la région d'application des efforts concentrés. O A F 1.2.6 Validité des résultats en résistance des matériaux Les résultats obtenus en sont valables en résistance des matériaux si : • la pièce soumise aux calculs est une poutre Laurent DESHAYES 6 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 2 • le matériaux est homogène et isotrope • les déformations de la pièce restent du domaine élastique. Torseur des efforts de cohésion réduits au centre de la coupure Soit une poutre en équilibre soumise aux actions F1 , F2 , F3 , 1 . Imaginons maintenant que nous coupions cette poutre en une section droite passant par G et que nous voulions que le tronçon de gauche (on tiendrait le même raisonnement pour celui de droite) reste en équilibre. F1 Cet équilibre est obtenu sous l'effet des actions F3 Y extérieures F1 , F2 s'exerçant initialement sur ce tronçon et sous l'effet d'une action qui devra se X substituer à celle qu'exerçait le tronçon de droite. G Si nous réduisons cette action en G barycentre de 1 la section considérée elle se modélise par deux Z actions qui sont les éléments de réduction du F2 Torseur de Cohésion composé d’une résultante RG et d’un moment M G . Le torseur de cohésion d’écrit : CG = RG ¨M G N Mt = Ty ¨M fy T M fz z Si nous projetons ces deux éléments de réduction d'une part sur l'axe Gx, d'autre part sur le plan yGz (plan de la section droite) nous obtenons deux composantes pour la résultante et deux composantes pour le moment. Ainsi projetés R et M donnent les vecteurs N , T , Mt , Mf avec : N projection orthogonale de R sur la normale à la section droite "S" (Gx) T projection orthogonale de R sur la section droite "S" Mt projection orthogonale de M sur la normale à la section droite "S" (Gx) Mf projection orthogonale de M sur la section droite "S" Y F1 T R Tronçon de droite Tronçon de gauche N G F2 3 t X N est appelé Effort Normal T est appelé Effort Tranchant Mt est appelé Moment de torsion Mf est appelé Moment de flexion f Z Sollicitations simples, sollicitations composées On appelle sollicitation simple dans une coupure, l'état de contrainte dans résultant de la présence cette coupure d'un seul élément défini au paragraphe 1.4 : soit N , soit T , soit Mt , soit M f Laurent DESHAYES 7 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 On appelle sollicitation composée dans une coupure, l'état de contrainte résultant de la combinaison de plusieurs de ces éléments dans cette coupure. 3.1 Sollicitations simples 3.1.1 Traction (extension) -N N Une poutre est soumise à la traction si on applique sur elle deux actions qui se ramènent à de deux forces directement opposées. La déformation engendrée est un allongement de cette poutre. 3.1.2 Compression Même définition que précédemment. Par contre la déformation est un raccourcissement. -N N Nota : Lorsque la dimension longitudinale "l" d'une poutre de ligne moyenne rectiligne devient trop importante devant sa dimension transversale "h", cette poutre risque de ne plus être soumise à de la compression simple mais à du flambage. -N N On admet : l < 8 h ==> compression l > 8 h ==> flambage 3.1.3 Cisaillement Une poutre sollicitée au cisaillement est soumise à l'action de deux forces directement opposées, perpendiculaires à la ligne moyenne. T Les 2 tronçons de la poutre ont tendance à glisser l'un par rapport à l'autre suivant (). T' 3.1.4 Torsion Un cylindre sollicité à la torsion est soumis à l'action de deux couples, de même moment mais opposés agissant dans 2 sections droites distinctes. Laurent DESHAYES 8 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 génératrice avant déformation déformation génératrice après déformation défoprdéformation Déformation : sous l'action de ces couples, les génératrices, initialement rectilignes, du cylindre s'enroulent suivant des hélices autour de la ligne moyenne. 3.1.5 Flexion simple C2 C1 3.2 Une poutre sollicitée à de la flexion simple est soumise à l'action de deux couples opposés d’axe perpendiculaire à la ligne moyenne. Sollicitations composées Une poutre est soumise à des sollicitations composées si elle subit un ensemble d’actions resultant de la superposition de sollicitations simples (présentées précedemment) Exemple : Traction + Cisaillement, Torsion + Compression Flexion plane F1 Laurent DESHAYES F2 Fi Une poutre sollicitée à de la flexion plane est soumise à l'action d'un système de forces coplanaires dont le plan contient la ligne moyenne. 9 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 4 Traction 4.1 Définition -N N N#0 N -N 4.2 Une poutre rectiligne ( la ligne moyenne est une droite.) est soumise à la traction simple lorsque les éléments de réduction, au centre de gravité de toute coupure, des forces extérieures appliquées d'un seul côté de cette coupure se réduisent à une résultante portée par l'axe de la poutre. T=0 Mf = 0 Mt = 0 Contrainte normale dans une section droite Soit un solide idéal (S) de longueur L de section S N N sollicité par deux forces et - . Isolons le tronçon situé à gauche du plan ( ) . Le poids du solide étant négligé devant N , le tronçon est soumis : - à la force extérieure - N y x -N f x - aux forces de cohésion f Ecrivons que le tronçon est en équilibre : N + f = 0..avec.. f = .s N + .s = 0 En projection sur Ox : N + s = 0 Finalement on trouve = 4.3 N avec S en N/mm2 (Mpa), S en mm2 et N en Newton (N) Conditions de résistance Pour que le matériaux résiste la contrainte normale admissible, appelée résistance pratique R pe avec Laurent DESHAYES doit rester inférieure à une contrainte limite 10 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 Rpe = Re se se coefficient de sécurité En construction mécanique se varie en général de 2 à 10. La condition de résistance s'écrit : 4.4 Rpe Déformations • Loi de Hooke = E. avec e= l li Application : un tirant de 3 m de long est soumis à 2 forces F = 6 000 N. Il est en acier Rpe = 100 N/mm2, E = 200 000 N/mm². Calculer le diamètre et l'allongement du tirant. F = 6 000 N ; AB = 3 m • Condition de résistance dans une section droite du câble : -F A B F F d 2 Rpe → S avec. S = S Rpe 4 4. F d= . Rpe F A.N d 40 mm • Déformation = E. i l i= l l = l. E à la limite = Rpe A.N : l = 1, 5mm 4.5 Influence des variations de section Si un solide présente des variations brusques de section, on montre expérimentalement qu'au changement de section la répartition des contraintes n'est plus uniforme et que max > . On dit qu'il y a concentration de contrainte max = kt. avec 1<k<3 d d’ k est le coefficient de concentration de contraintes. Valeurs de k - filetage triangulaire I.S.O kt = 2,5 nous savons que pour un filetage ISO d' = d - 1,2 x pas ce qui nous donne section sollicitée = x ( d' / 2 )² d/2 d ' est le diamètre à prendre en compte pour le calcul de F r max -plaque ou cylindre percé d'un trou; la contrainte est maximum à proximité du trou. Laurent DESHAYES 11 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 on utilise le tableau ci-dessous On peut aussi utiliser des courbes pour déterminer K t Laurent DESHAYES 12 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 5 Compression 5.1 Définition Une poutre est sollicitée à la compression simple lorsqu'elle est soumise à deux forces directement opposées qui tendent à la raccourcir Mf T=O N#O Mt O = O = -N N Hypothèses : • la poutre est rectiligne et de section constante • les forces extérieures sont supposées réparties uniformément dans les sections extrêmes • la longueur de la poutre doit être inférieure à 5 à 8 fois la dimension transversale la plus petite pour éviter le flambement. ( pour une poutre cylindrique l < 5 à 8 d.) 5.2 Déformations et contrainte Condition de résistance = N Rpe S Les aciers ont la même limite élastique Re en traction et en compression. Il n'en est pas de même pour certains matériaux peu homogènes, ni isotropes comme la fonte et le béton qui ont une plus grande résistance à la compression qu'à la traction. fonte béton Re = 150 N/mm² à la compression Re = 20 N/mm² à la traction Re = 10 N/mm² à la compression Re = 1 N/mm² à la traction déformation 5.3 = E. i = E. L L Application Un poteau cylindrique creux, en fonte, de 3 m de haut supporte une charge N = 10 5 N. On donne Re = 160 N/mm2, s = 8, E = 1,5.105 N/mm2 Laurent DESHAYES 13 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 Déterminer : 1- la section nécessaire et le raccourcissement. N 2- On donne D = 0,3 m , quel est l'épaisseur minimale du poteau ? 1) condition de résistance : N Re Rpe avec Rpe = S s 5 N .8 10 . 8 S A. N: S = 5.103 mm2 Re 160 = 2) déformation : = E . L D L L = . L E On prend le cas de déformation limite Re = Rpe 8 A. N L = 0 , 4 mm = S= ( D2 − d 2 ) = 5. 10 3 mm 2 4 d = 289 mm e = 5, 5 mm 6 Cisaillement 6.1 Définition T Une poutre est sollicitée au cisaillement simple lorsqu'elle est soumise à deux forces directement opposées appliquées dans un même plan de section droite et telles que : T' 6.2 T 0 N = 0 Mt = 0 M f = 0 Contrainte moyenne de cisaillement T enN Dans la zone de déformation élastique, on appelle contrainte moyenne de cisaillement le rapport : Laurent DESHAYES = T S S en mm2 enN / mm2 14 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 6.3 Condition de résistance La contrainte tangentielle moyenne doit rester inférieure à une contrainte limite admissible appelée résistance pratique au glissement notée Rpg (Reg étant la limite élastique au glissement ). Rpg La condition de résistance s'écrit Valeurs approximatives de Reg et Rpg 6.4 aciers doux alliages d'alu. Reg = 0,5 Re Rpg = 0,5 Rpe aciers mi-dur Reg = 0,7 Re Rpg = 0,7 Rpe aciers durs, fontes Reg = 0,8 Re Rpg = 0,8 Rpe Applications * Montage d'une goupille ajustée 2 1 C sens d'entrainement de 1/0 F 1/2 0 F' 1/2 La liaison complète entre deux arbres coaxiaux de diamètre D = 26 est assurée par manchon cylindrique et goupilles ajustées. L'arbre transmet un moment de 50 mN. Calculer le diamètre des goupilles en acier mi-dur de Re = 50 da N/mm², le coefficient de sécurité étant égal à 5. Le couple formé par F1/2 et F'1/2 s' écrit D C C = 2. F. F = 2 D C Les sections SA et SB sont sollicitées par l' effort F de module =T D T 4C Re = Rpg = S S D. d 2 A. N d = 5,92 mm *Poinçonnage d'une tôle Laurent DESHAYES 15 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 T Poinçon Tôle e d On veut poinçonner une tôle en acier doux d'épaisseur e , de résistance à la rupture au cisaillement Rrg, à l'aide d'un poinçon de diamètre d et de résistance pratique à la compression Rpe. 1- Déterminer la relation entre d et e pour que le poinçon résiste. 2- Déterminer l'effort T à exercer pour poinçonner un trou de diamètre 12 et le coefficient de Matrice sécurité s dans ce cas. tôle : e = 2 mm Rrg = 200 N/mm² poinçon : Rre = 1000 N/mm² 1) - Il faut que sous l' action de T la tôle se découpe : = T Rrg (1) avec S = d. e section cisaillée S - il faut que le poinçon résiste à l' effort de compression T T d2 s = Rpe (2) avec S = S 4 (1) T Rrg. d e (2) Rrg. d e e.4. Rrg Rpe d 2 Rpe d /4 2 − On sait que : d = 12 mm; Rrg = 200 N/mm 2 ; e = 2 mm 4.Rrg 4.e.Rrg d e. Rpe = Rpe d Rpe = 67 N/mm 2 Rre = Re Re = 500 N/mm 2 s Re Re = Rpe s = s Rpe s = 7,50. Laurent DESHAYES 16 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 7 Détermination expérimentale des caractéristiques mécaniques des matériaux 7.1 Essai de traction L'essai de traction s'effectue sur une éprouvette normalisée S0 A So = 150 mm² B l0 d = 13,85 mm Lo = 100 mm Les têtes de l'éprouvette sont pincées dans les mâchoires d'une machine de traction. 7.2 Analyse déformation de la courbe F en N contrainte- Fmax Un dispositif permet d'enregistrer graphiquement la relation entre l'effort F et l'allongement de l'éprouvette (l-lo). Fe A C D B Le graphe obtenu dépend de la nature des matériaux et des traitements qu'ils ont pu subir. Pour l'acier doux, on obtient le graphe ci-contre et on identifie trois zones distinctes : l en mm La zone des déformations élastiques est représentée par le segment OA. Dans cette zone, on a : O ▪ -L'allongement proportionnel à la charge; si on réduit progressivement la charge, on suit la même courbe en sens inverse . ▪ Fe est appelé charge limite d'élasticité. 7.3 Limite élastique Re en Mpa (ou N/mm² ) On effectue le rapport : Re = Fe unités : So Fe en N So en mm² Le rapport Re s'appelle la limite élastique et est une caractéristique propre au matériau. 7.4 Module d'élasticité longitudinale ou module de Young E. En un point d'une section droite, on définit : N S ▪ la contrainte normale = ▪ l'allongement unitaire longitudinal = Laurent DESHAYES li − l0 li 17 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 L'expérience montre qu'il y a proportionnalité entre la contrainte normale et l'allongement unitaire = E. Le coefficient de proportionnalité E s'appelle le module d’élasticité longitudinal ou module de Young et est une caractéristique propre au matériau. 7.5 Coefficient de Poisson d et d On démontre qu'il existe un rapport constant entre la contraction relative transversale l'allongement relatif longitudinal l l d l = . d l . Cette relation est Le coefficient de proportionnalité s'appelle le coefficient de Poisson et est une caractéristique propre au matériau. 7.6 Zone des déformations permanentes Au delà du point A, on constate un allongement sensible de l'éprouvette pour un accroissement modéré de la charge. Il y a déformation permanente. C’est la zone d’écrouissage. En C, commence le phénomène de striction c’est à dire une diminution rapide de la section . D est le point de rupture, peu précis, peu intéressant car de toute façon il n’y a pas de retour en arrière possible . On en déduit les caractéristiques suivantes 7.6.1 Résistance à la rupture - on effectue le rapport Rr = N max So Le coefficient de proportionnalité Rr s'appelle la résistance à la ruprure et est une caractéristique propre au matériau. 7.6.2 Coefficient d'allongement S0 -soit la Lu − Lo A% = *100 Lo proportion Lu : longueur ultime (obtenue en mettant bout à bout les deux morceaux de l’éprouvette après rupture) A A l0 lu B B Le coefficient A% s'appelle l’allongement pour cent et est une caractéristique propre au matériau. Le tableau fourni en fin de fascicule nous donne des valeurs indicatives de ces différentes caractéristiques en fonction du matériaux Laurent DESHAYES 18 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 Moyen d’étude expérimentale des déformations et des contraintes 8 Ces techniques classiques permettent l'étude expérimentale des contraintes et des déformations. Elles sont particulièrement intéressantes lorsque les formes des objets sont compliquées et que les charges sont difficiles à évaluer autrement {calculs. ..). 8.1 Vernis craquelants Projetés sur la surface à étudier comme un aérosol, ils sont utilisés pour localiser visuellement les zones les plus chargées et indiquer les directions principales des déformations. Ils permettent de choisir les emplacements de collage des jauges de contraintes et leur orientation ; l’orientation des craquelures est toujours perpendiculaire à la direction de la déformation en traction la plus importante. 8.2 PHOTOELASTICIMETRIE Plus précises que les vernis craquelants, ces méthodes permettent des études plus détaillées sur les zones les plus chargées, les directions principales des déformations par exemple. Les résultats sont particulièrement intéressants près des formes amenant des concentrations de contraintes (trous, encoches, épaulements. ..). Une matière plastique transparente est utilisée pour modéliser l'objet réel. Un système optique spécial (polariscope), permet d'observer des motifs colorés, interpréter et visualiser les zones contraintes. Il est ainsi possible, par dessins et essais successifs, d'améliorer la définition des objets. Les pièces soumises à des vibrations ou des charges dynamiques peuvent être étudiées avec un système stroboscopique. L'étude dans les trois dimensions est envisageable par tranches découpées dans des modèles 3D" figés ». 8.3 Extensomètrie électrique Elle est basée sur l'emploi des jauges de contraintes. C'est la méthode expérimentale la plus usuelle pour vérifier les résultats théoriques {calculs de contraintes, de déformations. ..). Les jauges sont collées sur la surface à étudier et mesurent les déformations en un point donné. La déformation subie est transformée en variation de résistance électrique mesurée par un pont d'extensométrie : c'est le principe du pont de Wheatstone. Les contraintes sont ensuite obtenues par calcul à partir des lois de la résistance des matériaux ou élasticité. Jauges de contraintes: sous l'effet d'un allongement la section du brin {fil) de la jauge diminue, il en résulte une variation de la résistance électrique du fil. En mesure, RI est une jauge active collée sur la structure et R2 une jauge identique collée sur une pièce de même matière. R2 ne subit aucune contrainte et est à la même température que R1. Il y a proportionnalité entre la variation relative de résistance et l’allongement relatif du fil de la jauge. Ce facteur de proportionnalité s’appelle le facteur de jauge. Laurent DESHAYES 19 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 Il a pour valeur : 2 pour le constantan, 3,2 pour l’élinvar, 0,5 pour le manganin Les jauges sont souvent fabriquées de la même manière que les circuits imprimés et sont disponibles dans plusieurs formes et dans de nombreuses dimensions (0,1 mm à 10 cm et plus). La mesure des déformations en un point (M) est généralement réalisée par un ensemble de trois jauges (A, B, C) encore appelé « rosette ». Les jauges sont collées sur la surface (libre) de la structure ou de l'objet et, sous charge, suivent les déformations de celui-ci. La photo ci-contre montre quelques exemples de montage de jauges de contraintes 8.4 Les outils informatiques Ces outils ont eté conçus à partir de la méthode de décomposition par éléments finis. Méthode qui consiste à découper la pièce en un nombre fini de volumes suffisament petits. En calculant les efforts que subissent ces différents volumes on remonte au niveau des contraintes exixtant à l’intérieur de la matière. Il suffit donc de partir d’un fichier 3D de la pièce et le logiciel la décompose en petits volumes dont il va calculer l’équilibre. Il génère ensuite un affichage analogue à celui obtenu en photoélasticimétrie. Laurent DESHAYES 20 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 9 Torsion 9.1 Définition Une poutre est sollicitée à la torsion lorsqu'elle est soumise à ses deux extrémités à deux couples opposés ayant pour support la ligne moyenne et tels que : Mt 0 ; N = 0 ; M f = 0 ; T = 0 Mt −−−−−−−−−−−−− dans une section droite "S"de la poutre 9.2 Mt S Mt Hypothèses 9.3 ➢ La poutre dont le poids est négligé, est un cylindre de révolution. ➢ Les déformations restent faibles et la variation de longueur des génératrices est négligeable. ➢ Les déformations restent élastiques Constatation expérimentale L'expérience montre que dans la zone des déformations élastiques : ➢ Pour une valeur donnée de Mt l'angle de rotation des sections G1, G2, G3.....par rapport à la section fixe Go est proportionnel à leur distance respective l1, l2, l3. et l’on a la relation : 1 l1 = 2 l2 = 3 l3 = constante G é n é r a tr i c e a p r è s d é fo r m a ti o n G é n é r a tr i c e a v a n t d é fo r m a ti o n ➢ Les sections droites conservent la même forme pendant la torsion. ➢ Les distances qui les séparent restent constantes. ➢ Les fibres de la pièce initialement rectilignes et parallèles à l'axe géométrique du cylindre, s'enroulent suivant des hélices régulières autour de cet axe. Seule la fibre confondue avec l'axe reste rectiligne; nous l'appellerons fibre neutre. Laurent DESHAYES 21 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 9.4 Contraintes tangentielles Soit la poutre ci dessous sollicitée en torsion sous l'effet du moment Mt . Coupons par la pensée cette poutre en deux tronçons A et B et exprimons l'équilibre du tronçon A. du couple de torsion de moment Isolons pour celà le tronçon A. Il reste en équilibre sous l'action Mt et sous l' actions de l'ensemble des forces élémentaires t exercées par le tronçon B sur le tronçon A par l'intermédiaire des surfaces élémentaires s: ces actions toutes situées dans le plan de coupure sont tangentielles et telles que : t = 0 t = Mt (1) (2) distance variable de la force t à l'axe t Or = ( contrainte tangentielle) s L'expérience montre que est proportionnelle à la distance qui sépare s de la fibre neutre pour = 0 = 0 pour = max = max =kx Ainsi nous avons Ce qui nous donne la distribution de contraintes ci-dessous x' tronçon A Mt coupure x max tronçon B Mt FIBRE NEUTRE e min =O z X x' Go t Mt s G max t y s x en reprenant l'equation (2) et en exprimant que t = x s on obtient : Laurent DESHAYES 22 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 s = Mt comme alors k ²s = M = k = k t Le terme s est propre à la poutre et ne dépend que de la forme et des dimensions de sa section droite. Ce terme s'appelle le moment quadratique polaire, noté Io, de la section de la poutre et s'exprime en mm4).On trouvera en fin de cours les expression des moments quadratiques polaires les plus courants ainsi que leur mode de calcul. On obtient ainsi :k Io = Mt soit encore k = Mt / Io mais k= / Finalement: = Mt Io en Mpa (N/mm²) Mt en N x mm avec en mm Io en mm 4 Déformation angulaire unitaire L'essai de torsion montre que: 1 l1 = 2 l2 = 3 l3 = constante Ce rapport est noté et s'appelle angle unitaire de torsion et s'exprime en rd/mm. De plus cet essai montre que est proportionnel à Mt. On en déduit que est aussi proportionnel a Mt. Ce qui nous permet de démontrer que est proportionnel à . Ce facteur de proportionnalité ne dépend que du matériau. Il est noté G et s'appelle le module d'élasticité transversal (Mpa) on a: donc = G . Valeurs approximatives de G - Acier -Bronze G =8.104 Mpa G = 4,8.104 Mpa -Bronze Alpax, duralumin G = 4,8.104 Mpa G = 3,2.104 Mpa D’après le 1.4, on en déduit la relation entre et Mt M = t G.Io Laurent DESHAYES : rd/mm M : mm.N unités : t 2 G : Mpa4 (N/mm ) Io : mm 23 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 9.6 Conditions de résistance La contrainte est maximale au point le plus éloigné de la fibre neutre , c’est à dire à max = V ainsi: maxi = Mt Io/V Pour que le matériau résiste (ne soit pas déformé plastiquement) il faut que cette contrainte maxi reste en dessous de la résistance pratique au glissement Rpg Rpg = 9.7 Re g s Reg : résistance élastique au glissement en Mpa (propre au matériau) s : coefficient de sécurité Conditions réelles, cas des concentrations de contraintes Lorque les poutres possèdent de brusques variations de section (épaulement,emplacement de clavette,etc......) il y a (comme présenté au chapitre précédent) concentration de contrainte, c'est a dire que la contrainte maximale réelle est supérieure a la contrainte maximale calculée sans variation. Le rapport entre ces deux contraintes s'appelle le coefficient de concentration de contrainte "k" maxi =k Mt Io / V Sont indiquées ci-dessous des valeurs de coefficient de concentration de contrainte "k" dans des cas usuellement rencontrés dans les pièces sollicitées à la torsion. Laurent DESHAYES 24 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 r/d r 0.2 0.1 0.05 0.02 1.09 1.1 1.2 1.4 1.7 1.2 1.3 1.4 1.7 2.5 1.5 1.4 1.6 2.2 2.7 r/c 0.5 0.3 0.2 0.1 k 2.1 2.7 3.5 5.4 D/d D d r c d 9.8 Application Un arbre de 0,5 m de long transmet une puissance de 2 ch. à la vitesse de 600 tr/min. On donne G = 8.104 Mpa ; Rpg = 50 Mpa. On demande : 1. Le diamètre minimal de l'arbre calculé à la résistance et la déformation correspondante des Laurent DESHAYES 25 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 sections extrêmes; 2. Le diamètre de l'arbre pour que l'angle de déformation unitaire ne dépasse pas la limite de 1/4 de degré par mètre ( condition de rigidité ) 1) Conditions de résistance: = Mt I0 / V Io = Rpg d4 avec Mt = couple moteur mais V=d/2 32 => Rpg = 50 Mpa I0 d3 = V 16 a) calcul du couple moteur P=1472W b) d=3 mais P= c => C=23.4m.N d'où Mt=23 400 mm.N Mt.16 =>d = 13,35 mm Rpg c) calcul de : rd/mm M : mm.N (1) unités : t 2 G : Mpa4 (N/mm ) Io : mm Mt = G.Io on a : = d’ou 23 400 80 000.Io = l x 10-4 rad /mm avec Io = 3118 mm4 => déformation extrème = x l = x 10-4 x 500 = 0.05 rad 2) Condition de rigidité max = 0,25 ° /m => max = 0,0175 x 0.25 = 4,36 x 10-3 rad/m max = 4,36 x 10-6 rad/mm de (1) on tire: =>d = 4 Io = Mt d 4 Mt soit => d = = G 32 G 4 32 Mt G 32 23400 8 10 4 4,36 10 −6 finalement : d = 28,8 mm Laurent DESHAYES 26 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 10 Flexion simple 10.1 Définition Pour qu'une poutre soit sollicitée en flexion simple il faut • que les déformations respectent la loi de HOOKE (Hypothèse fondamentale) • que cette poutre admette un plan de symétrie (en général xoy ) • que chaque torseur modélisant chacune des actions qui s'exercent sur cette poutre se réduise au barycentre de la section droite dans laquelle s'exerce l'action à un torseur ayant pour éléments de réduction une résultante de direction (en général oy) contenue dans le plan de symétrie et perpendiculaire à l'axe longitudinal (en général ox) ou un moment résultant de direction (en général oz) perpendiculaire au plan de symétrie. Exemples: FD Fc C A FA D A O B FB FA o 10.2 Schématisation des liaisons Laurent DESHAYES 27 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 10.3 Propriétés: Lorsqu'une poutre travaille en flexion certaines fibres sont tendues, d'autres sont comprimées et il existe une zone ou les fibres ne sont ni tendues ni comprimées cette zone s'appelle zone de fibres neutres Fc C ZONE DE FIBRES COMPRIMEES ZONE DE FIBRES NEUTRES A Remarque :si la poutre admet aussi un plan de symétrie perpendiculaire au plan de symétrie initial la zone de fibre neutre se situe dans celui -ci ZONE DE FIBRES TENDUES FA FB 10.4 Torseur de cohésion poutre est en équilibre sous l'action de FD FC Prenons par exemple une poutre sur deux appuis. Cette Imaginons que nous coupons la poutre par une section droite et que le tronçon de gauche reste en équilibre. A Ce tronçon reste en équilibre sous l'effet des actions en A, C, D et de l'action qu'exerce le tronçon de droite par l'intermédiaire des forces de cohésion. FA FC Fi D C FA , FB , FC , FD , Fi B B Y FD FB T L'équilibre montre que le torseur de cohésion Tronçon de droite R M {coh} Tronçon de gauc he est tel que : G X A Mf T =R Mf = M Z T Mf {coh} Soit encore Rappel: est appelé effort tranchant. Mf est appelé moment fléchissant. Remarque : Pour des raisons de simplicité dans la suite du cours le poutres seront schématisées par un trait fort. En flexion pure, Mf 0 et T = 0. Pour le calcule de Mf, ne prendre en compte que les actions donnant des moments portés par la direction de l’axe z. La direction de T est généralement celle de l’axe y. En flexion simple Mf 0 et T 0. Laurent DESHAYES 28 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 10.5 Expression du moment fléchissant et de l'effort tranchant 10.5.1 Actions aux appuis Exemple x F2 F1 A La poutre ci-contre repose sur deux appuis A et B et supporte les 3 actions se réduisant en leurs points d'application respectifs à 3forces B F3 G F1 RA F2 F 1, F 2, F 3 la poutre est donc en équilibre sous l'action de ces 3 forces et sous les actions qu'exercent respectivement chacun des appuis RA, RB représentent les actions de contact aux F3 appuis sur la poutre. RB poutre isolée 10.5.2 Equilibre d'un tronçon quelconque de la poutre y M F1 F2 A + RA G x Isolons le tronçon (AG) figure (3) Ce tronçon est en équilibre et est soumis aux 3 actions représentées par les forces RA, F 1, F 2 et aux actions exercées par le tronçon (GB) T z Le torseur résultant de l'ensemble des actions extérieures a pour éléments de réduction en G figure 3 RA + F 1 + F 2 + T G{ (ext )} G MG ( RA) + MG ( F 1) + MG ( F 2 ) + Mf Si on écrit l'équilibre (principe fondamental de la statique) on a {(ext )} 0 G Finalement: soit encore : RA + F 1 + F 2 + T = 0 MG ( RA) + MG ( F 1) + MG ( F 2 ) + Mf = 0 T = - ( RA + F 1 + F 2 ) Mf = -( MG ( RA) + MG ( F 1) + MG ( F 2 ) ) 10.5.3 Effort tranchant T L'effort tranchant , dans la section droite S(x) d'abscisse x est l'opposé de la somme géométrique ( RA + F1 + F2 ) des résultantes des actions appliquées à gauche de cette section. Laurent DESHAYES 29 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 10.5.4 Moment fléchissant Le moment fléchissant Mf dans la section droite S(x) est l'opposé de la somme géométrique ( MGRA + MGF 1 + MGF 2 ) des moments par rapport à G(x) des actions situées à gauche de cette section. Remarque importante: T et Mf étant des vecteurs qui ont toujours la même direction (Oy pour T et Oz pour Mf ) nous n'écrirons plus les relations sous forme vectorielle mais sous la forme algébrique ainsi nous parlerons de moment fléchissant Mf et d'effort tranchant T. 10.5.5 Variation de T et de Mf On représente généralement les graphes de variation de T et de Mf dans une section droite en fonction de l'abscisse "x" de cette section; On obtient ainsi le diagramme du moment fléchissant et le diagramme de l'effort tranchant 10.5.6 Relation liant T à Mf Imaginons une poutre chargée de façon quelconque Exprimons l'effort tranchant T dans une section Sx d'abscisse x, nous avons: l2 y l1 F1 A RA F2 Fi li S (x) T = - (RA + F1 + F2 + Fi ) G Exprimons maintenant le moment fléchissant en la même section Sx nous avons: x Mf = −− RA.. X − F 1.( X − L1) − F 2.( X − L 2) − Fi.( X − Li ) Mf = ( RA + F 1 + F 2 + Fi ). X − (F 1.L1 + F 2.L 2 + Fi.Li ) RB x cte dérivons alors Mf par rapport à x, nous obtenons: dMf = −( RA + F 1 + Fi ) = −T dx soit encore dMf = −T dx Ce qui s'énonce: La dérivée du moment fléchissant par rapport à x est égal à l'opposée de l'effort tranchant. Résultat très important à retenir. Il sert souvent à tracer ou vérifier le tracé des diagrammes de variation. Laurent DESHAYES 30 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 Laurent DESHAYES 31 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 10.6 Contrainte normale en un point quelconque d'une section droite 10.6.1 Elément mathématique: courbure en un point d'une courbe Considérons la courbe plane (C) y=f(x). A et B sont des points voisins sur (C) et est l'angle formé par les deux normales à la courbe issue de A et B et se coupant en C y y=f(x) c A s Le rayon de courbure de l'arc AB = (c) B S On appelle alors rayon de courbure, r, en A de (C) la limite de S ds lorsque B tend vers A => r = d x 10.6.2 Expression de la contrainte normale Etudions la poutre ci-contre: S(x) et S(x+dx) sont deux sections droites distantes de dx l y F A S(x) G2 G1 RA B S(x+dx) x RB x x + dx A Par hypothèse S(x) et S(x+dx) restent planes et perpendiculaires à l'ensemble des barycentres (fibre neutre) Cette fibre ne subit aucun allongement ni raccourcissement. B M2 M1 Isolons maintenant la portion de poutre comprise entre S(x) et S(x+dx) La fibre M1M2 de longueur initiale M1M'2 = dx s'est allongée de la quantité M'2M2 = -d d rayon de courbure On peut ainsi exprimer l'allongement unitaire "i" = dx M'2 M1 M2 dx d d' d l M ' 2 M 2 d = = − l M 1M ' 2 dx Nous avons vu précédemment que r = ds ,s est d l'abscisse curviligne); soit dans notre étude: r = dx / d ainsi : = -/r (1) d'autre part la loi de Hooke donne : = E (2) (1) et (2) donnent: = − E r En reproduisant le même raisonnement pour la fibre située à la distance ' on peut écrire: Laurent DESHAYES 32 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 = −E' 1 r Ainsi en respectant une des hypothèses fondamentales qui dit qu'au cours de la déformation, toute section droite doit rester droite c'est à dire perpendiculaire à la fibre neutre et plane, nous obtenons une contrainte linéaire et proportionnelle à la distance de la fibre sollicitée au plan de fibres neutres. Considérons maintenant l'équilibre du tronçon de gauche (AG1). La somme algébrique des moments des actions sur ce tronçon par rapport à G1 est nulle soit: − RA. X − F .( X − l ) − S = 0 y ( varie dans la section S1 de -d' à d) . nous avons vu paragraphe 2.5.2 et 2.5.4: Mf = − − RA. X − F .( X − l ) d'où Mf = S s (3) G1 Reportons maintenant l'expression de dans (3) => Mf = E 1 2 S r x s z En un point de la déformée E et 1/r sont constants, on peut donc les sortir du signe => Mf = E 2 1 S r Cette 'expression s'appelle le moment quadratique de la section droite S1 par rapport à l'axe S1 noté IGZ (les calculs et expression des moments quadratiques les plus courants sont donnés en fin de cours) d'autre part: => Mf = − -E/r = / IGZ d'ou l'expression de la contrainte normale s'exerçant sur un élément de surface situé à la distance de la zone de fibre neutre: Mf =− IGZ Avec Mf en N.mm en Mpa IGZ mm 4 Remarque: est du signe opposé au produit Mf x mais en général seul le module de nous intéresse et pour les calculs on prendra : Mf = IGZ 10.6.3 Contrainte maximale - condition de résistance Pour une poutre à section constante, IGZ =cte, quelque soit la section considérée. Ainsi max i = M f max i max i IGZ En écrivant maxi = v distance de la zone de fibre neutre à la fibre la plus éloignée Laurent DESHAYES 33 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 max i = M f max i IGZ / v IGZ/v s'appelle le module de flexion et s'exprime en mm 3 Cette contrainte maxi doit être comparée à la limite élastique pratique du matériau. d'où la condition de résistance: max i Rpe => Mf max i Rpe IGZ / v 10.7 Contrainte tangentielle moyenne: moy Reprenons l’équilibre du tronçon AG1de la poutre du paragraphe 2.6.2 . La somme algébrique des résultantes est nulle soit: RA + F 1 + ds = 0 avec , contrainte de cisaillement tangentielle Par définition l'effort tranchant T s'écrit: d'où: ds = T T= -(RA+F) Si l'on considère que est répartie uniformément dans la section donnée on peut écrire: moy ( en Mpa ) = T ( en N ) S ( en mm² ) En flexion cette contrainte est souvent négligeable devant car où Mf est maximum ( est maxi) sa dérivée qui est -T, est égal à 0 =>moy = 0. 10.8 Concentrations de contraintes Au voisinage d’un changement brusque de section, la contrainte n’est plus propotionnelle à la distance et max est supérieure à la valeur Mf max i = 0 . Il y a concentration de contraintes. Les IGZ / v valeurs de Kt (coefficient de concentration de contraintes) sont déterminées expérimentalement et sont données ci dessous. Ce coefficient permet de calculer max = Kt 0 Laurent DESHAYES 34 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 Laurent DESHAYES 35 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 10.9 Etude des cas de flexion simple 10.9.1 Poutre sur deux appuis charge concentrée en un point quelconque. y a) Actions aux appuis F A A+ B+ F = 0 = MBA + MBF = 0 b a B x1 A G B x x2 l zone 1 1) 2) 1) en projection sur oy: => A+F+B=0 2)en projection −A l − F ( l − A) = 0 zone 2 sur => avec (2) => A = − F T et -Fa/l + x B=− oz => (l − a) Fb =− l l Fa l b) variation de T * zone 1 - T = − A = T = Fb/l Fb l * zone 2 Mf -Fab/l T = −( A + F ) = T = − + Fa l c) Variation de Mf zone 1: On calcule les moments par rapport à G élément d'une section de la zone (1) située à l'abscisse x1 Mf 1 = −− Ax1 = A x1 → Mf 1 = − Fb x1 l x1=0→Mf 1=0 Fb a pour x1 = a → Mf 1 = − l pour zone 2 : Cette fois-ci G est dans une section située dans la zone(2) à l'abscisse x2 Mf 2 = −− A x 2 − F (x 2 − a)= ( A + F ) x 2 − F a = Mf 2 = Fa ( − x2 +1) l Ainsi à l'aide des 2 équations (1 pour chaque zone) de Mf nous traçons le graphe de variation de Mf. Laurent DESHAYES 36 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 10.9.2 Poutre sur deux appuis avec charge uniformément répartie charge répartie y RA x Ainsi la résultante de cette charge est une fonction de x x F=px G F= p.x l l/2 T pl 2 RB x/2 A Remarque: "p" est appelé le coefficient de répartition de charge exprimé en N/mm + - Ici, le coefficient de répartition de charge est une constante: p=cte, c'est pour cela que l'on dit la charge uniformément répartie. -pl 2 Attention : Tout comme Fi, Ri, p est une valeur algébrique Mf -pl² 8 + a) Action aux appuis Par raison de symétrie, on peut affirmer: A= B=− P pl =− 2 2 b) variation de l’effort tranchant T T= -( A + Fx ) => mais T= -( A + px) Fx = p.x => T = -p x + pl/2 (attention ici p est négatif ) x=0 T = pl/2 x=l T= -pl/2 c) variation du moment fléchissant Mf Mf = −( − A x − Fx p l x p x² ) = −( − ) 2 2 2 de la forme :y = a x² + b x (courbe représentative d'une parabole) - recherche de Mf maxi: ( Mf )' = dMf pl = − + px (c'est -T!) dx 2 Mf est maxi lorsque Mf' = 0 => X=l/2 Mf max i =− Pl² 8 Remarque: Notez sur les graphes de variation que lorsque T=0 (ou − − dMf = 0 ) Mf est maxi. dx Ce qui vérifie bien le calcul effectué. Laurent DESHAYES 37 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 10.9.3 Poutre encastrée avec charge ponctuelle en son extrémité y ReB S F Me z ME moment d'encastrement: G x a) Actions à l'encastrement Re B Equilibre de la poutre: * F + Re B = 0 l en projection sur Ay: T -F + x F + REB = 0 * MBF + ME = 0 REB = − F En projection sur Az: − F l = ME Mf b) variation de l'effort tranchant x T= -F - ( T est constant) c) variation du moment fléchissant Mf Fl Mf = -( -Fx ) = F x x varie de 0 à 1 Mf maxi = Fl 10.9.4 Poutre encastrée avec charge répartie a) calcul des actions à l'encastrement y la poutre est en équilibre: F(x) S x z ReB MB G Ftotale + Re B = 0 MBFtotale + Me = 0 Ftotale = pl 1) en projection sur Ay: Ft + Re B = 0 Re B = − pl 2) en projection sur Az: T l − Ft . + MeB = 0 2 pl + x Ft l 2 b) variation de l'effort tranchant T T = -px Mf si x = 0 si x = l T=0 T = − pl c) variation du moment fléchissant Mf x pl² 2 Laurent DESHAYES MeB = x Mf = −( − F ( x ). ) avec F ( x ) = px 2 x² => Mf = p équation d'une parabole 2 38 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 10.10 Etude de la déformée y= f(x) 10.10.1 Définition On appelle déformée la courbe d’équation y =f(x). qui est génére par l’ensemble des centres de gravité des sedctions droite après déformation . Y represente donc la distance « algébrique » qui separe tout centre de gravité après déformation de sa position avant déformation. y P x y x P A B 10.10.2Calcul par intégration On montre en utilisant les résultats du paragraphe 2.5 qu’une bonne approximation de la dérivée seconde de y est donnée par la relation y' ' = Mf EIGZ Or nous savons que Mf est une fonction de x. Il suffira donc pour remonter à y d’intéger deux fois l’expression ci dessus en calculant les constantes d’intégration grâce à des solutions particulières appellées encore conditions aux limites. y 10.10.3Application à un exemple Cas d’une charge concentrée au bout d’une poutre encastrée On a Mf = P.x ( P est une valeur algébrique ici négative) P A B x P.x On en déduit : y ' ' = soit encore EI y’’= P. x EIGZ En intégrant une première fois on a : EI y’= P. x² + k1 2 Calcul de k1 On remarque que en B lorque x = l (longueur AB) la tangente à la courbe est horizontale en raison de l’encastrement donc y’ = 0 Ce qui nous donne k1 = - P.l ² 2 En intégrant une seconde fois on a : x3 l² EI y = P. - P . x + k2 2 6 Calcul de k2 On remarque que en B lorque x = l (longueur AB) y =0 Laurent DESHAYES 39 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 Ce qui nous donne k2 = P.l 3 3 Finalement : EI y = P. y= l² P.l 3 x3 -P .x+ et en particulier pour x = 0 emplacement de la charge on a : 2 6 3 P.l 3 3EI 10.11 Principe de superposition 10.11.1 Enoncé: Dans la limite des déformations élastiques en un point quelconque d'une poutre, le vecteur déformation et le vecteur contrainte résultant de l'application d'un ensemble d’actions sont respectivement égales à la somme géométrique des vecteurs déformations, et des vecteurs contraintes résultant de l'application de chacune de ces actions agissant séparément. 10.11.2Utilisation de ce principe Ce principe est très utile car il permet de ramener une étude de cas de sollicitations complexes à une somme d'étude de sollicitations simples. Laurent DESHAYES 40 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 F1 F2 A F1 B F2 A B A A1 Actions aux appuis: A = A1 + A 2 B1 B A2 B2 B = B1 + B2 T = T1 + T2 T1 X A T2 y A x B A B B Effort tranchant : T = T1 + T2 Mf = Mf1 + Mf2 Mf1 B A X A Mf2 X A B Moment Fléchissant : Mf =Mf1 + Mf2 = Mf Mf 1 + Mf 2 = = 1 + 2 I/v I/v Laurent DESHAYES 41 X Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 11 Flexion déviée 11.1 Définition P 1 , P 2, R A …ne Une poutre sera sollicité en flexion déviée si les différentes actions s’exercent pas dans un des plans de symétrie de la poutre mais dans un plan quelquonque qui doit cependant contenir la ligne des barycentres (cf ci-dessous). 11.2 Méthode de résolution La méthode la plus classique consiste à appliquer le principe de superposition. En ce qui concerne l’effort tranchant T la décomposition est inutile et nous avons toujours moy ( en Mpa ) = T ( en N ) S ( en mm² ) En ce qui concerne le moment fléchissant celui-ci sera décomposé en deux moments Mfy’ et Mfz’ portés respectivement par les deux axes principaux d’inertie Gy’ et Gz’ (voir fig ci-dessus). L’expression de la contrainte normale sera donc : = Mfy' z ' Mfz' y' − IGy' IGz' avec Mfy’ = Mf x sin et Mfz’ = Mf x cos sin z ' cos y ' − IGz' IGy' soit encore : = Mf ainsi : Laurent DESHAYES sin cos max = Mf max − IGy' IGz' y ' max z ' max 42 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 12 Sollicitations composées 12.1 Contraintes de même nature L'étude des sollicitations a fait apparaître deux types de contraintes: • contraintes normales ( extension - compression - flexion) • contraintes tangentielles (cisaillement - torsion) Remarque : Les sollicitations composées faisant intervenir un même type de contrainte se traitent de façon simple puisque ces contraintes peuvent s'ajouter géométriquement (principe de superposition) = + 1 Flexion flexion+extension 1+ 2 2 Extension 1 + cisaillement Torsion 1 + 2 = 2 torsion+cisaillement 12.2 Contraintes de nature différente Les sollicitations composées faisant intervenir des contraintes de nature différente se traitent indépendament en vérifiant que la contrainte idéale i = 2 + 4 2 reste inféreure à Rpe exemple 1: traction + cisaillement S1 S2 (I) F T s ds t ds G2 G F T Isolons la portion de poutre (I) située à droite de la section S2 et étudions son équilibre. Soit G2, le centre de gravité de la section S2 Réduisons en G2 le torseur (système de forces) associé aux forces extérieures F + T + dS + dS = 0 MGzds + MGz ds = 0 Si l'on suppose que les contraintes et sont réparties uniformément dans la section: Laurent DESHAYES 43 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 = On a : T S et = N S exemple 2: Flexion + torsion On calcule le moment idéal de torsion Mfi et le moment idéal de flexion Mti Mfi = (1 − 1 1 )Mf + Mti 2k 2k Mf 2 + Mt 2 et k = Avec Mti = Reg Re On prendra k = 0,5 pour les aciers doux et alliages d’aluminium k = 0,8 pour les matériaux moulés sauf la fonte k =1 pour la fonte 12.3 Application: Soit un arbre guidé en rotation dans deux paliers A et B, lié en translation par le palier A (les deux parties seront assimilées à deux appuis simples) + En C et D cet arbre porte deux pignons à denture droite servant à transmettre un couple de 360mN. F1 A C D B 0,5m 0,5m 0,2m z Ces deux pignons exercent sur l'arbre deux xefforts radiaux. F1=-4000N F2 y F2=1200N situés dans le même plan vertical. (les composantes tangentielles des efforts sur les pignons seront négligés). Déterminer le diamètre minimum à donner à cet arbre si l'acier constituant celui-ci possède les caractéristiques suivantes: Rpe=100N/mm2 Rpg=50N/mm2 a) actions aux appuis Fext → poutre = 0: RA + F 1 + RB + F 2 = 0projection Ax: R A + F 1 + R B + F 2 = 0 RA 1 − F 1 0,5 + F 2 = 0 (2) Mext → poutre = 0: (1) (2) → RA = − F 1 0,5 + F 2 0, 2 → RA = 2240 N (1) → RB − ( RA + F 1 + F 2 ) → Laurent DESHAYES RB = 560N 44 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 b) variation de T T(N) C B D + - - 0 x1 0.5 T 1 = R A = 2240 N 0.5 x 2 1 zone 2: T 2 = R A + F 1 = −1760 N 0.5 x 3 1. 2 zone 3: T 3 = R A + F 1 + R B = −1200 N zone 1: x -1200 c) Variation de Mf zone 1: x -240 x = 0 MF 1 = 0 MF 1 = − RA x = −2240 x x = 0.5 MF 1 = −1120 Nm zone 2: Mf 2 = − RA x − F 1( x − 05 .) . MF 1 = MF 2 = −1120 Nm x = 05 → Mf 2 = 1760 x − 2000 x = 1 MF 2 = −240 Nm -1120 zone 3: Mt(Nm) MF 3 = − RA x − F 1 ( x − 0.5) − RB ( x − 1) x = 1 MF 2 = MF 3 = −240 MF 3 = 1200 x − 1440 x = 12 . MF 3 = 0 360 x d) variation de Mt Mt est constant entre C et D Mt=360 Nm e) calcul du diamètre de l'arbre Mf max i = 20 Nm Mt max i = 360Nm 2 M if = 0.5 1120 + 0.5 (1120) + ( 360) 2 M it = (1120) + ( 360) => 2 2 M if = 1148 Nm M it = 1176 Nm à la torsion: max i = à la flexion: m = Mit 16 Rpg → D = 49mm D 3 Mif 32 Rpe → D = 49mm D3 Laurent DESHAYES 45 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 Les deux voies de calcul conduisent au même résultat. 13 Flambage, Flambement 13.1 Définition Une poutre normalement sollicitée en compression est soumise au fambement (où flambage) si à partir d’une certaine charge la poutre fléchit superposant ainsi de la flexion: La charge qui provoque le flambement s’appelle charge critique. x x F y y G G z dessin ci-contre le phénomène du flambage. Fc z Le - F montre Fc 13.2 Charge critique d’EULER (seul la théorie du fambement selon Euler sera développée ici) C’est la charge au delà de laquelle le risque de flambage apparaît. Nous avons vu en flexion que y ' ' = Mf avec ici Mf = - F .y EIGZ soit encore: EIGZ y”” + F.y = 0 (1) on a la une équation différentielle qui a pour solution: y = C sin (n. L x ) avec: y = 0 en x = 0 et en X = L et y = C en x = L 2 En remplaçant y et y’’ par leur expression dans l’equation 1 on obtient: F= n ² ² EIGZ L² n représente le nombre de courbure.; en général n= 1 Finalement la charge crtique d’EULER a pour expression Fc ( Mpa ) = ² EIGZ L² E : Module d’élasticité transversal en Mpa IGZ : Moment quadratique le plus faible de la section S en mm4 L : Longueur libre de flambement en mm et définie comme suit en tenant compte de la façon dont la poutre est tenue à ses deux: extrémités Laurent DESHAYES 46 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 Cf page suivante. L=l L = 0.7 l L = 0.5 l L=2l 13.3 Elancement L’élancement représente la proportion entre la dimension longitudinale de la poutre et ses dimensions transversales. Il a pour expression : λ= L ρ avec : rayon de giration en mm qui a pour expression ρ = IGZ S est donc un nombre sans dimension 13.4 Contrainte critique La contrainte critique est la contrainte de compression au delà de laquelle une poutre d’élancement risque de flamber. En reportant l’expression de dans Fc on obtient : Fc = π² E S F et comme avant le flambement on a σ = λ² S σc = π² E qui dépend du matériaux et de l(élancement de la poutre λ² Laurent DESHAYES On obtient : 47 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 13.5 Elancement critique II est évident que pour que la poutre résiste la contrainte critique doit rester inférieure à la limite élastique du matériaux qui la compose. Il existe donc un élancement critique défini ainsi : en partant de c =Re on a : λc 2 = π² E qui ne dépend que de la nature du matériaux Re Exemples de valeur courantes de Matériaux Limite élastique Module d’élasticité élancement critique Re longitudinal Aciers : S 235 240 Mpa 200 000 Mpa 90 Alliage Aluminium : 2017 140 Mpa 74 000 Mpa 70 Bronzes : Cu Sn 6 P (état H14) 160 Mpa 80 000 Mpa 70 13.6 Charge maximale admissible En règle générale on admet que la charge maximale admissible (hors coefficient de sécurité) est égale à la moitié de la charge critique ; Soit encore Fc = 2 Fadm On en déduit une méthode de calcul simplifié qu’on appelle la méthode d’Euler – Rankine Exemple pour les poutres en acier S235 Poutres courtes Poutres moyennes Poutre élancées Fadm = Rpc x S Laurent DESHAYES Fadm = Rpc x S λ 1+ λc 2 Fadm = Rpc x S λ 2 λc 2 48 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 14 Moment statique et moment quadratique d’une surface plane par rapport à un axe 14.1 Moment statique d'une surface plane par rapport à un axe situé dans son plan y' On appelle moment statique de l'élément s par rapport à l'axe x'x le produit s.y de l'élément s par sa distance à l'axe y. s = s.y y x x' o Le moment statique est du signe de y. y On appelle moment statique de la surface plane S par rapport à un axe situé dans son plan x'x, la somme algébrique des moments de tous les éléments de la surface x' x = s y ou x' x = y ds 14.2 Théorème *Enoncé Le moment statique d'une surface plane S par rapport à un axe x'x est égal au produit de l'aire de la surface par la distance de son centre de gravité à l'axe. y s G = S. y G y yG x x' o y' * Démonstration (à partir d'un exemple) Laurent DESHAYES 49 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 soit une surface de forme rectangulaire : l'axe x'x est parallèle à l'un de ses côtés y.ds x ' x = dx y dy y.dx.dy = G b avec ds = dx.dy P S P S dS b a 2 = y.dy dx yG 0 x a car y n'est pas fonction de x a 2 y2 xx'= x 2 ab2 b = = ab. 2 2 xx' = S y G * Conséquence Si l'axe x'x passe par le centre de gravité de la surface, le moment statique de cette surface par rapport à l'axe x'x set nul, puisque yG = D. * Unités En choisissant le mm pour unité de longueur on a : x'x en mm3 le moment statique est homogène à un volume 14.3 Moment quadratique d'une surface par rapport à un axe situé dans son plan 14.3.1 Définition y' On appelle moment quadratique de la surface plane S par rapport à l'axe xx'' de son plan, la somme des moments quadratiques de tous ses éléments. s I xx' = S . y 2 y x o x' ou encore I xx' = y maxi y mini y2 . dS y 14.3.2 Unités Le moment quadratique d'une surface est homogène une longeur à la puissance quatre ( L4 ) il s'exprime en général en mm4 Laurent DESHAYES 50 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 14.3.3 Théorème de Huygens Le moment quadratique d'une surface (S) par rapport à un axe xx'' de son plan est égal à la somme : - du moment quadratique de cette surface par rapport à l'axe ( ) parallèle à xx' et passant par son centre de gravité. - du produit de l'aire de la surface par le carré de la distance des deux axes. I xx' = I + S d 2 * Démonstration dS Y y G I xx' = Y 2dS avec Y = d + y I xx' = y 2dS + d 2dS + 2 y d . dS = y 2dS + d 2 dS + 2d y . dS d x moment quadratique x' surface S de la section par rapport à l' axe ( , ) moment statique de la section par rapport à l' axe ( , ) passant par G Laurent DESHAYES I xx' =I =0 + S d2 51 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 14.4 Moment quadratique polaire d'une surface plane par rapport à un axe perpendiculaire à cette dernière 14.4.1 Définition On appelle moment quadratique de la surface plane S par rapport à l'axe zz' (ou au point O), la somme des moments quadratiques par rapport à l'axe de tous ses éléments z' S (S) O Io = s x ² 14.4.2 Relation liant Ixx', Iyy' et Io xx' et yy' sont deux axes ⊥ du plan de (S) y' z'passant par O. Par définition : y dS Io = S 2 y x o x x' avec 2 = x 2 + y 2 = S x 2 + S y 2 Io = Ixx ' + Iyy ' y z Laurent DESHAYES On prendra généralement le pôle au centre de gravité de la surface. 52 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 14.5 Application 14.5.1 Moment quadratique d'un rectangle par rapport à un axe confondu avec un côté Bande élémentaire b ds = b. dy dy Ixx ' = h h y 2 ds = 0 h 0 by 2 . dy = b y 2 . dy h 0 y x x' y 3 bh 3 Ixx ' = b = 3 3 14.5.2 Moment quadratique d'un rectangle par rapport à un axe parallèle à un côté passant par le centre de gravité de la surface Application du théorème de Huyghens b !! Exercice à faire à l’aide du 6.5.1 G h x bh 3 ( Résultat : I = 12 Laurent DESHAYES ) 53 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 14.5.3 Moment quadratique, par rapport à un axe, de surface décomposables en rectangles Déterminer la position du centre de gravité de la section d'un profilé en U et son moment quadratique par rapport à Gx1. x 1) Centre de gravité x1 10 Ainsi le 1er lieu du Cdg est déterminé. Mais à quel endroit sur Oy se trouve G ? G O La plaque étant symétrique par rapport à l'axe Oy , G (centre de gravité de la plaque) se trouve sur Oy. 10 y C'est la position de l'axe Gx1 qu'il faut déterminer. 40 1- on décompose la surface en éléments simples où l'on peut déterminer aisément les Cdg 40 soit 2 1 S3 ==> G3 G2 G1 S1 ==> G1 S2 ==> G2 P2 y O P1 P G3 P3 3 Ainsi on peut associer à chacune des surfaces un poids proportionnel à l'étendu de celles-ci. Ainsi : S1 : rectangle de 10 par 60 ==> P1 : k.600 S2 : rectangle de 10 par 30 ==> P2 : k.300 S3 : rectangle de 10 par 30 ==> P3 : k.300 Si l'on calcule la somme des moments de ces vecteurs par rapport à 0 elle devra être égale au moment de P par rapport à 0 Laurent DESHAYES 54 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 M 0 P1 + M 0 P 2 + M 0 P 3 = M 0P P en G à l' abscisse x ; P = k.12000 P 1 en G 1 à l' abscisse 5 P 1 en G 2 à l' abscisse 25 P 3 en G 3 à l' abscisse 25 ==> 5.600+25.300+25.300 = x.12000 ==> x = 15 2) Moment quadratique Ix1 A l'aide du théorème de Huygens et du résultat du paragraphe 552 : b3 b2 3 1 G2 G3 1 h2 G x1 G1 h1 d 1 = 2 , 5 cm d 2 = 1cm S 2 = S 3 = 3 cm S 1 = 6 cm 2 d2 b1 1 2 b1h13 12 b h3 I 2 11 = 2 2 12 b h3 I 3 11 = 3 2 12 I 2 . 1 . 1 = 2 , 25 I 1 = h1 = b2 = b3 = 10 h2 = 30 ; b1 = 60 I 3 . 1 . 1 = 2 , 25 Th. de huygens : I 2 xi = I i i + I 1 = 0 , 5 S . d i2 I 2 x1 = 2 , 25 + 3. ( 2 , 5 ) 2 = 21 I 3 x1 = 2 , 25 + 3. ( 2 , 5 ) 2 = 21 I1 x1 = 0 , 5 + 6 . (1) 2 = 6 , 5 Ix1 = I 2 x1 Laurent DESHAYES + I 3 x1 + I1 x1 = 48 , 5 cm 4 55 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 14.5.4 Moment quadratique polaire d'un rectangle par rapport au centre de gravité Io = Ixx' + Iyy' y' b Io = Ix' x + Iy' y x h O bh 3 hb 3 bh (b² + h² ) + = 12 12 12 x' Io = si h = b (carré ) alors: y b4 6 Io = 14.5.5 Moment quadratique polaire d'un cercle dont le pôle est confondu avec le centre Io = 0 2 . ds R y' d Io = 0 2 .2 d = 2 0 3 .d R R 4 R4 Io = 2 = 2 4 x' x avec ds = 2 d O en fonction de d : Io = d4 R y Laurent DESHAYES Remarque : Ixx' = Iyy' = 32 Io d 4 = 2 64 56 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 Extrait de caractéristiques de divers matériaux utilisés en Sciences Industrielles E: module d'élasticité longitudinal v: coefficient de Poisson (sans unité) p .masse volumique aL : coefficient de dilatation linéique Re: limite élastique R, : résistance à la rupture A% : allongement pour cent) Matériaux E (Mpa) Métaux non ferreux Aluminium (AI) 69 000 Alliages d'Al moulés 70 000 Alliages d'Al corroyés 70 000 Alliages d'Al silicium 70 000 Cuivre 112 000 Coussinets à l'étain 52 000 Coussinets au plomb 29 000 Cupro-aluminiums 117 000 Bronzes au plomb 97 000 Bronzes phosphoreux 110 000 Bronzes frittés 60 000 Laitons 100 000 Magnésium 45 000 Magnésium et alliages 41 000 Nickel 210 000 Titane 110 000 Titane et alliages 110 000 Zinc 85 000 Zinc et alliages 85 000 Métaux ferreux Aciers au carbone 210 000 Aciers faiblement alliés 210 000 Aciers fortement alliés 210 000 Aciers inoxydables 193 000 Aciers rapides 210 000 Fontes grises ou FGL 115 000 Fontes FGS 165 000 Fontes malléables MN... 170 000 Fer 207 000 Fer fritté 80 000 Fer forgé 170 000 Thermoplastiques Nylons (polyamides) 1 900 Polycarbonate 2 400 Polyéthylène haute densité 1 100 Polyéthylène basse densité 300 Polypropylène 1 500 Polystyrène 3 200 Polytétrafluoroéthylène 500 PVC 4 100 Thermodurcissables Epoxides 2 500 Phénoplastes 4 000 Polyesters 3 500 Caoutchoucs Caoutchouc naturel 4 Caoutchouc nitrile 4 Caoutchouc silicone Céramiques Alumine AI2O3 380 000 Béton 35 000 Carbure de silicium SiC 450 000 Graphite haute résistance 27 000 Granite 70 000 Grès 40 000 Fibre de carbone 450 000 Magnésie MgO 207 000 Marbre 55 000 Nitrure de silicium Si3N4 304 000 Verre de silice SiO2 75 000 Verre borosilicate 62 000 Zircone ZrO2 152 000 Bois Chêne 12 000 Douglas 12 000 Epicéa 12 000 Pin Laurent DESHAYES 10 000 Re (Mpa) Rr (Mpa) A% (kg/m 3) l x 10 20-130 70-240 40-500 40-120 7-25 60-150 140-300 100-550 90-150 20-35 1-35 1-8 1-25 15-25 6-45 0,34 0,33 0,33 0,33 0,36 180-300 500-600 300-600 300-700 7-20 3-25 60-50 250-500 41 75-180 120-140 170-480 <1200 270-600 165 150-280 350-480 240-550 <1300 2-60 14 2-19 10-40 15-25 5-20 140-370 190-440 2-20 0,33 0,33 0,33 0,22 0,33 0,35 0,33 0,31 0,33 0,33 0,27 0,27 8 960 7400 10 100 7 500 8 900 8700 6400 8 600 1740 1740 8 800 4 540 4 540 7130 7 000 180-600 < 1 000 290-980 < 1 800 3-22 8-21 180-650 400-990 10-45 100-260 250-600 190-430 130 150-400 400-900 380-650 260 0,3-0,8 2-15 2-18 45 0,3 0,3 0,3 0,27 0,3 0,26 0,28 0,26 0,27 0,2 0,3 7 850 7 800 7 800 7 900 7 800 7 200 7 200 7 300 7 870 6100 7 870 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 50-80 50-70 22-40 5-20 30-50 20-50 15-35 10-60 20-50 80-120 20-80 200-600 250-600 5-75 250-500 5-450 0,4 1150 1200 960 920 1150 1 050 2 200 1300 100 70 110 220 10 80 120 100 30-90 35-60 40-90 250 750 250-900 1500 1400 1200 55 70 75 24-32 7-24 10 500-800 400-600 100-800 1 000 980 1600 100 3 950 2 400 2 900 1700 2 770 2 300 3 580 2 770 3 200 2 200 2 230 5 560 8,8 - 250-500 1.6-4.1 450-550 0,35 0,35 0.50 0.50 0,26 0,2 0,19 - 70-280 80-1 00 - 40-60 10-30 105 50-180 410-580 110 70 140-240 50-100 50-80 20-80 30-90 0.19 0,36 0.24 0.16 0.20 0.32 0,29 2 710 6 680 450 410 400 23 24 24 24 17 23 20 18 18 18 19 27 27 27 10 14 40 35 57 4,7 3,0 7,2 9,0 14,0 11,0 3,6 0,5 3,3 10,0 57 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 Formulaire de flexion/déformation Laurent DESHAYES 58 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 Laurent DESHAYES 59 Cours de Résistance des Matériaux - 2019/2020 T Laurent DESHAYES 60