Cours3 IngNumSimul

Les ´equations scalaires d’ordre 1
Les ´equations diff´erentielles d’ordre 2
Utilisation de la fonction odeint du module scipy.integrate
Chapitre 3
R´esolution approch´ee d’´equations diff´erentielles
Module 2: Ing´enierie num´erique et simulation
MPSI1/PCSI2
Texte
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17 juin 2015
Module 2: Ing´enierie num´erique et simulation CPGE GSR 2014-2015 1/ 32

Les ´equations scalaires d’ordre 1
Les ´equations diff´erentielles d’ordre 2
Utilisation de la fonction odeint du module scipy.integrate
Plan
1Les ´equations scalaires d’ordre 1
La m´ethode d’Euler
La m´ethode de Heun, ou RK2
La m´ethode de Runge-Kutta (ou RK4)
2Les ´equations diff´erentielles d’ordre 2
3Utilisation de la fonction odeint du module scipy.integrate
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Les ´equations scalaires d’ordre 1
Les ´equations diff´erentielles d’ordre 2
Utilisation de la fonction odeint du module scipy.integrate
La m´ethode d’Euler
La m´ethode de Heun, ou RK2
La m´ethode de Runge-Kutta (ou RK4)
Principe g´en´eral
Soit n∈N∗et Uun ouvert de RxR. Une ´equation diff´erentielle
d’ordre 1 (r´esolue) est une ´equation de la forme :
y0(t) = F(y(t),t)
o`u Fest une application continue sur U`a valeurs dans Rnet o`u la
fonction inconnue yest de classe C1 sur un certain intervalle de R
, `a valeurs dans Rn.
Dans le cas o`u n = 1, on parle d’une ´equation diff´erentielle
scalaire ; dans le cas g´en´eral, on obtient un syst`eme diff´erentiel.
Si (t0,y0) ∈U, r´esoudre le probl`eme de Cauchy en (t0,y0), c’est
trouver un couple (I,y) o`u Iest un intervalle de R et o`u y est une
fonction de classe C1 de Idans Rntels que
y(t0) = y0et ∀t∈Iy0(t) = F(y(t),t)
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Les ´equations scalaires d’ordre 1
Les ´equations diff´erentielles d’ordre 2
Utilisation de la fonction odeint du module scipy.integrate
La m´ethode d’Euler
La m´ethode de Heun, ou RK2
La m´ethode de Runge-Kutta (ou RK4)
La m´ethode d’Euler
Principe
On cherche `a r´esoudre sur [a, b] l’´equation de la forme :
y0(t) = F(y(t),t)avec y(t0) = y0
Si y(t) est de classe C1 alors, connaissant y(ti), on peut ´evaluer de fa¸con
approch´e, y(ti+1) par son d´eveloppement de Taylor `a l’ordre 1 :
y(ti+1) = y(ti) + y0(ti)x(ti+1 −ti)
Soit en posant h=ti+1 −tiet avec y(ti) = f(y(ti),ti) :
y(ti+1) = y(ti) + f(y(ti),ti)xh
Connaissant y(a), on ´evalue par it´erations successives les valeurs approch´ees de
la fonction y(t) :
[y(a),y(a+h),y(a+ 2h),y(a+ 3h)...y(b−h),y(b)]
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Les ´equations scalaires d’ordre 1
Les ´equations diff´erentielles d’ordre 2
Utilisation de la fonction odeint du module scipy.integrate
La m´ethode d’Euler
La m´ethode de Heun, ou RK2
La m´ethode de Runge-Kutta (ou RK4)
Interpr´etation g´eom´etrique
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