Telechargé par Haj mohamed

cours vco

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Initiation aux problèmes de télécommunications
. Etude d’un outil fondamental : la boucle à verrouillage de phase (P.L.L.) .
• La boucle à verrouillage de phase (P.L.L. Phase Lock Loop) est un système qui permet d’asservir la phase
d’un oscillateur local à celle d’un signal extérieur (techniquement, il est, en effet impossible de fabriquer deux
oscillateurs ayant des phases instantanées rigoureusement identiques ou même ne dérivant pas l’une par rapport à
l’autre). On les trouve dans la plupart des systèmes électroniques usuels : synthétiseur de fréquence, récepteur de
télévision, téléphones cellulaires… En général, elle se présente sous forme de circuit intégré (4046 par
exemple…). Cependant, par la suite, nous essaierons de réaliser les différents blocs qui la composent par des
éléments discrets afin d’en comprendre le principe.
• Avant d’aller plus loin, on rappelle la notion de phase et de fréquence instantanées. Si on considère un
signal s(t) = Sm.cos(ϕ(t)), on peut donner les définitions suivantes :
- ϕ(t) est la phase instantanée
- la pulsation instantanée est ω(t) = dϕ(t)/dt
- la fréquence instantanée f(t) = ω(t)/2π
On verra que dans le cas de signaux modulés en fréquence ou en phase, ω et ϕ ne sont plus des constantes
comme c’est la cas pour des signaux sinusoïdaux.
I. Présentation de la structure de la P.L.L.
Le système se présente sous la forme d’un système bouclé dans lequel on va trouver les éléments suivants :
• Le comparateur de phase :
Ce système doit fournir un signal u(t) de la forme
u pb ( t ) = K c .(ϕ e − ϕ s )
Il existe plusieurs façons de le réaliser. L’une des méthodes consiste à utiliser un multiplieur et à se servir du
filtre passe bas qui se trouve juste après. En effet dans ce cas, on récupère en sortie du multiplieur le signal
k.A.B
u m ( t ) = k.A.B. cos(ϕ e ). cos(ϕs ) =
.[cos(ϕ e + ϕs ) + cos(ϕ e − ϕs )]
2
Si le système est asservi en fréquence, ce signal est voisin de la somme d’une sinusoïde de fréquence 2fe avec
un signal basse fréquence. Si le filtre passe-bas élimine le premier terme, on se retrouve avec
k.A.B
u pb ( t ) =
. cos(ϕ e − ϕ s )
2
La relation obtenue n’est pas linéaire. Cependant, si l’écart de phase, une fois la boucle accrochée se
stabilise, alors on peut linéariser autour de ce point, pourvu que l’écart ne soit pas trop important. Alors, on a
u( t ) = k cp .(ϕ e − ϕs )
rq : dans bon nombre de systèmes, on utilise une autre technique, qui consiste à transformer, via un
comparateur, les signaux d’entrée et de sortie en des créneaux de même phase. Les deux créneaux obtenus sont
envoyés dans un ou exclusif (XOR). On prend alors la valeur moyenne grâce à un filtre passe bas, ce qui permet
de récupérer un signal réellement proportionnel à la variation de phase sur une plage de fréquence donnée.
1
Entre 0 et π, la réponse du comparateur est donc de la forme
V
u pb = DD .(ϕ e − ϕ s ) = k cp .(ϕ e − ϕ s )
π
• L’oscillateur commandé en tension (V.C.O. = voltage controled oscillator):
Un oscillateur commandé en tension a, en simplifiant, une caractéristique donnant une variation de fréquence
évoluant linéairement avec la tension d’entrée pour une plage [Vmin ;Vmax]. En revanche, en dehors de cette zone,
la fréquence du signal de sortie est fixée à Fmin ou Fmax.
• Filtre passe-bas :
Pour simplifier l’étude qui va suivre, on va supposer, dans un premier temps que la caractéristique du filtre
passe-bas est idéalisée.
II. Fonctionnement de la boucle : capture et verrouillage.
• Pour décrire le comparateur de phase réalisé avec un multiplieur, nous avons fait l'hypothèse que le signal
d'entrée de la boucle et le signal de sortie du V.C.O. avaient des variations de phase proches. Pour que cela soit
vrai, il est nécessaire que la boucle soit verrouillée, c'est à dire que la fréquence du signal d'entrée prenne une
valeur comprise dans une plage étroite qui dépend des éléments qui la composent.
• La plage qui permet au système de s'accrocher est appelée plage de capture (plage d'accrochage,
"acquisition range"…). Elle dépend principalement de la fréquence de coupure du filtre passe-bas.
• Une fois que la boucle est accrochée, la plage de fréquence qui lui permet de rester dans cet état est appelée
plage de verrouillage (plage de poursuite, plage de maintien, tracking range, lock range…). Cette plage dépend
principalement de zone de fréquence dans laquelle le V.C.O. et le comparateur de phase se comportent
linéairement. Elle doit être plus large que la plage d'accrochage, sinon la boucle ne peut pas fonctionner…
II.1. Capture.
• Présentation du problème: On suppose que la boucle n'est pas accrochée. On rapproche progressivement la
fréquence fe du signal d'entrée de la fréquence centrale du V.C.O. F0. Dès que fe rentre dans une plage de
2
fréquence [F0-Fcap; F0+Fcap], la boucle va s'accrocher et la fréquence de sortie du V.C.O. va atteindre fe après un
régime transitoire caractérisant la dynamique de la boucle…
• La boucle n'est pas encore accrochée.
Si fe < F0 - Fc, le V.C.O. oscille à F0. En effet, dans ce cas, le signal d'entrée présente les fréquences F0-fe et
F0+fe qui sont toutes les deux supérieures à Fc ce qui fait que le signal en sortie du passe-bas est nul, d'où une
fréquence Fo en sortie de l'oscillateur.
On aurait pu raisonner en faisant décroître la fréquence d'entrée à partir d'un état où la boucle n'est pas
accrochée ce qui aurait fait apparaître le caractère particulier de la fréquence F0 + Fc.
• La boucle s'accroche: état permanent atteint par le système.
Lorsque fe va rentrer dans la plage [F0-Fc ; F0+Fc], il va apparaître une tension non nulle en sortie du filtre
passe-bas, ce qui va faire évoluer la fréquence de sortie de l'oscillateur.
Pour comprendre l'évolution du système, on va présenter ce dernier en terme de système bouclé dans lequel
tous les éléments ont un comportement linéaire (simplification).
On supposera que le filtre passe-bas est du premier ordre. On va faire un changement de variable, afin de
travailler avec des fréquences fe’ et fr’ qui sont les écarts des fréquence d’entrée fe et de sortie fr à la fréquence
centrale du V.C.O. f0. On pourra ainsi éviter de travailler avec des grandeurs continues, délicates à gérer en
terme de variables de Laplace.
On a alors
f r ' ( t ) = f r ( t ) − f 0 = K 0 .u( t ) soit
f r ' ( p ) = K 0 .u ( p)
En terme de phase, on en déduit que
2.π.K 0
dϕ r ' ( t )
= 2.π.K 0 .u( t ) soit ϕ r ' ( p) =
.u ( p )
p
dt
De plus
2.π.f e '
1 dϕ e '
fe ' = fe − f0 =
soit
ϕ e ' ( p) =
.
p
2.π dt
On remarque également que
u pb = k cp .(ϕ e − ϕ r ) = k cp .(ϕ e '−ϕ r ' )
En utilisant les expressions précédentes (fruit de linéarisations représentant des hypothèses « lourdes »), on
peut établir les schémas suivants :
Si on raisonne en terme de fréquence, appliquer soudainement une sinusoïde à fe revient à appliquer un
échelon de fréquence d’amplitude fe . D’après le théorème de la valeur finale, on a
lim (f e ' ( t ) − f r ' ( t )) = lim (f e ( t ) − f r ( t )) = lim ( p.(f e ' ( p) − f r ' ( p)))
t →∞
t →∞
p →0
En calculant l’écart de phase, on trouve que
f e ' ( p) − f r ' ( p) = f e ' ( p ) − (
2.π.k cp .K.K 0
p.(1 + τ.p)
(f e ' ( p) − f r ' ( p)))
ce qui conduit à
f e ' ( p) − f r ' ( p) =
1+
f e ' ( p)
2.π.k cp .K.K 0
p.(1 + τ.p)
d’où
lim (f e ( t ) − f r ( t )) = lim ( p.(f e ' ( p) − f r ' ( p))) = 0
t →∞
p→ 0
3
Le signal de sortie de V.C.O. sera de même fréquence que la sinusoïde d’entrée. En revanche, une fois le
régime permanent établi, on va vérifier que ces deux signaux sont déphasés l’un par rapport à l’autre
♦ Calcul du déphasage entre le signal d’entrée et le signal de sortie du V.C.O. :
Dans le cas d’un comparateur de phase à base de multiplieur et de filtre passe-bas, le signal u(t) est de la
forme u( t ) = k cp . cos(ϕ e ( t ) − ϕ r ( t )) = k cp . cos ϕ( t ) . En régime permanent, on a égalité de fréquence pour e(t) et
r(t) et ϕ(t) est constante. On peut donc écrire que
f e = f r = f 0 + k cp .K.K 0 . cos ϕ
soit que
cos ϕ =
fe − f0
k cp .K.K 0
Dans le cas particulier où fe=f0, on trouve donc que cosϕ = 0, ce qui signifie que le déphasage peut prendre
les valeurs + ou - π/2. La position stable dépend du signe du gain du V.C.O. et du comparateur de phase…
• La boucle s'accroche: dynamique d'évolution du système.
Si on s'intéresse à la dynamique de la réponse en fréquence, on calcule la fonction de transfert en boucle
fermée du système ce qui donne
2.π.k cp .K.K 0
∆f r ( p)
=
∆f e ( p )
p.(1 + τ.p)
=
2.π.k cp .K.K 0
1
1
=
τ
1
2
2
.
m
p2
1+
.p +
.p
1+
1+
.p + 2
2.π.k cp .K.K 0
2.π.k cp .K.K 0
p.(1 + τ.p)
ω0
ω0
On constate qu'il s'agit d'un système du second ordre avec
2.π.k cp .K.K 0
1
1
m=
et
ω0 =
τ
2 2.π.k cp .K.K 0 .τ
Si on réalise le filtre passe-bas avec un filtre R-C, alors K = 1 et τ sera choisi pour que le coefficient
d'amortissement soit assez fort pour limiter le dépassement. On s'assurera ainsi une bonne marge de phase.
rq: Il ne faut pas oublier que τ représente la coupure du filtre. C’est donc un paramètre qui influe sur la plage
de capture. Il faudra veiller à ce que cette fréquence de coupure maintienne une plage de capture inférieure à la
plage de verrouillage, sinon, la boucle ne pourra jamais s'accrocher!
rq: Lors de la capture, la dynamique (notamment l'amortissement) est importante. En effet, un dépassement
trop fort peut empêcher la capture. La boucle ne parviendra alors jamais à atteindre une état permanent. On est
dans le cas d’un système linéarisé théoriquement toujours stable mais qui est rendu instable par une non
linéarité…
rq : La tension en entrée du V.C.O. reste nulle tant que la fréquence d’entrée n’est pas dans la plage de
capture. Dès que fe rentre dans cette plage, la tension u évolue afin que fr tende vers fe. Une fois que le système a
atteint le régime permanent, u prend une valeur constante. Si on fait alors fluctuer lentement fe par rapport à la
dynamique de la boucle, u va suivre les évolutions de cette dernière …
• Bilan :
On en déduit donc la plage dans laquelle la fréquence du signal d'entrée permet au système de s'accrocher:
[F0 - Fc ; F0 + Fc ]
Le fait d'appliquer une sinusoïde dans cette plage en entrée de la boucle va permettre d'obtenir, en régime
permanent, un signal r(t) de même fréquence mais déphasé.
II.2. Plage de verrouillage.
Après avoir appliqué un signal de fréquence compris dans la plage de capture, on vient de voir que la sortie
de l'oscillateur se retrouvait, après un état transitoire, à même fréquence mais déphasée par rapport à l'entrée.
Nous allons maintenant faire varier lentement la fréquence fe. Nous supposerons par exemple qu'elle augmente
(le raisonnement serait identique pour une diminution…).
• Si on fait augmenter fe, on va finir par rencontrer la plage de fonctionnement non-linéaire du V.C.O.,
représentée dans notre cas par la fréquence Fmax. Au-delà de cette fréquence, le V.C.O. est incapable de répondre
à l'ordre qui lui est donné. Dans ce cas, la boucle décroche et la fréquence du V.C.O. revient à la valeur F0. En
effet, l'état fe = Fmax est instable. Dès que le système est poussé au-delà de Fmax, le filtre passe-bas permet de
récupérer un signal Vs(t) de la forme
Vs ( t ) = k cp .(2.π.f e .t − 2.π.Fmax .t + cte)
ce signal est nul en valeur moyenne ce qui fait que la fréquence du V.C.O. ne reste pas à Fmax, mais retombe à
F0. On définit ainsi la plage de verrouillage la plus large possible.
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• Cependant, la non linéarité du comparateur de phase peut elle aussi provoquer le décrochage de la boucle
(la tension en sortie du comparateur de phase à multiplieur est bornée, ce qui va limiter la plage de variation de
tension en entrée du V.C.O. et donc la plage de fréquence en sortie de ce dernier). Si on demande à la boucle de
s’accrocher sur une fréquence qui n’appartient pas à cette plage, elle en sera incapable…Dans ce cas, la plage de
capture dépendra des caractéristiques du comparateur de phase et du gain du V.C.O. …
• Pour résumer, dans le cas d’un comparateur de phase à multiplieur, on peut ainsi envisager les deux
configurations différentes suivant la caractéristique du V.C.O.:
Le cas 1 correspond à une plage de verrouillage imposée par le V.C.O. alors que le cas 2 correspond à une
plage de verrouillage imposée par le comparateur de phase.
rq : En pratique U peut évoluer avec l’amplitude du signal d’entrée, ce qui signifie que la plage de
verrouillage peut varier notablement suivant l’utilisation que l’on fait de la P.L.L….
II.2.3. Caractéristique statique générale.
On peut caractériser les différents états du V.C.O. suivant la fréquence du signal d'entrée sur la
caractéristique suivante (on suppose ici que c’est le V.C.O. qui limite la plage de verrouillage):
En gras, on a représenté l'évolution de la tension du V.C.O. (image de la fréquence de sortie) pour un signal
d'entrée présentant une fréquence croissante…A F0-Fc, on observe la capture, alors qu'à F0+Fmax, on observe le
décrochage (on sort de la plage de verrouillage)…
rq : les états transitoires n’ont pas été représentés… On suppose que l’évolution conduisant à cette
caractéristique se fait de façon quasi-statique.
Transmettre un signal.
I. Pourquoi il faut moduler pour transmettre ?
• Les signaux à transmettre occupent une plage de fréquence basse. Par exemple, un signal audio occupe la
plage [20Hz ; 20kHz] alors qu’un signal vidéo est compris dans la bande [0 ;6MHz]. Les modulations vont avoir
un double intérêt :
- décaler le spectre du signal informatif dans une plage de fréquence élevée pour rendre son émission plus
facile avec une antenne de taille convenable (ainsi un signal FM est transmis dans une plage de
fréquence voisine de 100 MHz, alors que les transmissions destinées aux téléphones portables se font au
voisinage du GHz…).
- Permettre de réaliser un multiplexage fréquentiel, c’est à dire de transmettre des signaux occupant la
même plage spectrale sur le même support (l’atmosphère dans notre cas…) sans noyer l’information
dans un mélange inextricable... Par exemple, chaque radio, ou chaque chaîne de télévision dispose d’une
plage de fréquence donnée, voisine mais disjointe de celle de ses concurrents… La plage sera
évidemment plus large pour des signaux vidéos que pour des signaux audios…
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exemple: sur la figure suivante, le signal informatif voit sa densité spectrale de puissance décalée vers les
hautes fréquences (vers la bande 2) pour permettre sa transmission. La bande 1 et la bande 3 restent
disponibles pour la transmission d'autres signaux informatifs qui occuperaient la même plage de fréquence
que le précédent…
• Lorsque l'on va récupérer le signal modulé, il va falloir à nouveau le transformer pour pouvoir en récupérer
une image la plus fidèle possible du signal informatif de départ. Cette étape s'appelle démodulation.
exemple : dans le cas d'un signal audio, il va falloir ramener le signal modulé reçu dans la plage
[20Hz;20kHz].
• Bilan:
l'ensemble d'un chaîne de transmission d'information peut donc se représenter de la façon suivante:
II. Remarques sur le choix des techniques de modulation ?
Le choix de la technique de modulation va être guidé par la fidélité du signal reçu au signal émis. Suivant le
type de signal transmis (numérique ou analogique), les problèmes ne se posent pas de la même façon…
Le choix dépend également du matériel disponible et de son coût…
II.1. Cas des signaux analogiques.
Pour les signaux analogiques, la transmission va être perturbée par deux types de problèmes susceptibles
d'altérer la densité spectrale de l'information : la distorsion et le bruit.
La distorsion va dépendre des composants utilisés lors de la modulation et de la démodulation.
Le bruit est quand à lui apporté par la chaîne de transmission (modulateur, canal, démodulateur). Pour avoir
une transmission de bonne qualité, on devra chercher à optimiser le rapport signal sur bruit après démodulation.
II.2. Cas des signaux numériques.
Cette fois le signal est codé sur deux états possibles (deux niveaux de tension fixes représentant "0" et "1") et
se présente comme une séquence aléatoire de ces deux états. Pour s'affranchir du bruit, il suffira de distinguer un
état de l'autre, ce qui est un critère beaucoup moins contraignant que dans les systèmes analogiques.
rq: si le bruit a moins de prise sur la transmission numérique, il faut tout de même garder à l'esprit que le
processus qui permet de passer d'un signal analogique à un signal numérique (échantillonnage et quantification
en amplitude) introduit forcément un bruit qui altère le signal réel, par nature analogique (sortie de la partie
physique d'un capteur quelconque…). Cependant, ce bruit peut être considérablement réduit en augmentant la
fréquence d'échantillonnage et le nombre de bits de quantification.
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Modulation et démodulation d'amplitude.
Cette technique consiste à transmettre l'information en modulant l'amplitude d'un signal appelé porteuse dont
la fréquence est assez élevée pour permettre la transmission.
I. Exemples de modulations d'amplitude.
Dans cette partie, s(t) représente le signal modulé, m(t) représente le signal modulant (celui qui représente
l'information) et p(t) = P.cos(ω0.t) représente la porteuse.
I.1.Modulations à double bande.
On va distinguer la modulation d'amplitude avec porteuse conservée (MAPC) et avec porteuse supprimée
(MAPS).
• Cas d'une MAPC: le signal modulé est de la forme suivante
s( t ) = S.(1 + k.m( t )). cos(ω0 .t )
L'enveloppe de la caractéristique s(m) est indépendante du signal m(t). Elle permet donc de juger rapidement
de la nature de la modulation et de sa linéarité.
- puissance du signal modulé
S2
S2
+ k 2 . .m 2
2
2
plage spectrale occupée: si F est la fréquence maximale dans le spectre de m(t), alors la bande de
fréquence occupée par le signal aura une largeur 2F et sera centré sur f0.
s2 =
-
rq: si k.mmin > -1, alors l'enveloppe de s(t) représente le signal modulant à une constante près. Dans le cas
contraire, l'enveloppe ne représente que la valeur absolue de 1+k.m(t) ce qui peut rendre la démodulation plus
complexe (la démodulation par détecteur d'enveloppe n’est plus adaptée). On parle alors de surmodulation.
• Cas d'une MAPs: le signal modulé est de la forme suivante
s( t ) = S.k.m( t ). cos(ω0 .t )
-
puissance du signal modulé
S2 2
.m
2
- plage spectrale occupée: si F est la fréquence maximale dans le spectre de m(t), alors la bande de
fréquence occupée par le signal aura une largeur 2F et sera centré sur f0. On constate cependant que la
raie à f0 a disparu dans ce type de modulation.
• Conclusion:
La MAPC nécessite une puissance d'émission plus importante, pour transmettre une puissance de signal
modulant donné. Cependant, on verra que disposer de la porteuse dans le spectre permet parfois de simplifier
la démodulation…
Dans la plupart des cas, on a f0 >> F.
s2 = k 2 .
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I.2. Autres exemples de modulation.
• Modulation B.L.U. (bande latérale unique) :
Nous venons de voir que le signal modulé fait apparaître deux bandes symétriques. Si on cherche à réduire
l'encombrement spectral, on aura donc intérêt à éliminer l'une de ces bandes Ce filtrage permettra de passer d'un
encombrement spectral de 2F à un encombrement spectral de F, sans perdre d'information (du moins dans le
cadre d'un filtrage idéal). Cette technique est utilisée en téléphonie.
• Modulation B.L.A. (bande latérale atténuée) :
Cependant, dans le cas où les signaux à transmettre occupent toute la plage spectrale de 0 à F, la dernière
technique va provoquer une altération des basses fréquences. Dans ce cas, on conserve une partie de la bande
inutile afin de rendre le filtrage plus simple.
Cette technique est utilisée pour transmettre des signaux vidéo. En effet, ces derniers occupent une large
bande (6MHz pour l'image plus le son) ce qui rend l'élimination d'une bande intéressante. Cependant une part
notable de l'information se trouve en deçà de 50 Hz, ce qui rend le filtrage dangereux pour l'information. On va
donc conserver une partie de la bande inutile (talon de 1,25 MHz).
• Double modulation en quadrature :
Cette technique permet de transmettre simultanément deux signaux différents en même temps, en modulant
chacun d'entre eux par une porteuse de même fréquence, mais en quadrature. La détection synchrone permet
d'éliminer les signaux en quadrature. On pourra alors récupérer l'un des signaux. Pour l'autre, on aura recours à
un déphaseur supplémentaire…
La modulation des signaux de chrominance dans le système P.A.L. se fait en grande partie à partir de ce
principe.
Dans les paragraphes II et III, il ne sera pas question de décrire toutes les techniques utilisées pour moduler
un signal en amplitude. On se limitera à ce qui est facilement réalisable en T.P. avec le matériel dont nous
disposons…
II. Techniques de modulation d'amplitude.
Nous allons décrire comment réaliser facilement une modulation d'amplitude MAPC ou MAPS avec un
multiplieur (de type AD633 par exemple). Ce composant permet de faire à la fois une somme et un produit.
On pose E = 10V
• Si c(t) est nul et que a(t) =m(t) et b(t) = p(t), alors
s(t) =(1/E).m(t).p(t)
ce qui correspond à un signal MAPS.
• Si c(t) = b(t) = p(t) et a(t) = m(t), alors
s(t) = (1/E).(m(t).p(t)) + p(t) = (1+m(t)/E).p(t)
ce qui correspond à un signal MAPC.
• Dans les deux cas, on prendra une porteuse sinusoïdale p(t) = P.cos(ω0.t).
III. Techniques de démodulation.
Dans cette partie, nous allons distinguer la modulation non cohérente qui restitue l'enveloppe du signal
modulé (qui n'est pas forcément une image du signal modulant) de la modulation cohérente qui restitue
directement le signal modulant (mais qui demande de reconstruire la porteuse).
8
III.1. Démodulation non cohérente.
On va supposer que le signal modulé est de type MAPC sans surmodulation. Alors l'enveloppe du signal est
identique au signal modulant, à une composante continue près…
On va réaliser le montage suivant:
Dans ce montage, la diode doit être rapide pour conserver un comportement de diode aux fréquences
considérées. On utilise donc une diode de détection (Schottky).
Si les éléments R et C sont correctement calculés, on se retrouve avec un signal de sortie v(t) de la forme
suivante:
rq: dans le cas d'un signal ayant un spectre dont les composantes sont de fréquence inférieure à Fm, on peut
calculer un encadrement du produit RC pour que le système fonctionne.
1 / f 0 << RC <<
1 − m2
2.π.m.Fm
où m est l'indice de modulation (m = k.mmax).
Ce compromis est lié à la phase de décharge de la capacité dans la résistance lorsque la diode est bloquée. En
effet, la décroissance de tension qui en résulte doit être assez rapide pour suivre la variation d'amplitude mais pas
trop par rapport à la porteuse, car cela introduirait alors une déformation importante du signal démodulé par
rapport au signal émis.
rq: dans le cas d'un signal surmodulé, l'enveloppe ne représente plus l'information et ce type de démodulation
perd tout intérêt…
III.2. Démodulation cohérente.
• Détection synchrone:
Le principe de cette démodulation est celui de la détection synchrone. Si s(t) représente le signal modulé et si
on suppose que l'on dispose de la porteuse ayant servi à la modulation (même amplitude et même phase), alors,
en réalisant le montage suivant, on peut récupérer le signal modulant.
On a s( t ) = S.(1 + k.m( t )). cos(ω0 .t ) et on suppose disposer de p( t ) = P. cos(ω0 .t ) (signal de même fréquence
et en phase avec la porteuse). Alors, en sortie du multiplieur, on récupère
1 + cos(2.ω0 .t )
S.P
S.P
d i ( t) =
.(1 + k.m( t )). cos 2 ( ω0 .t ) =
.(1 + k.m( t )).
E
E
2
soit finalement
S.P
d i ( t) =
.[1 + cos(2.ω0 .t ) + k.m( t ) + m( t ). cos(2.ω0 .t )]
2.E
En calculant la fréquence de coupure du filtre correctement, on peut éliminer tous les termes et ne récupérer
que
S.P
d( t ) =
.[1 + k.m( t )]
2. E
Il ne reste plus qu'à éliminer la composante continue et on récupère un signal proportionnel à m(t).
Cependant, nous avons éludé un problème: comment récupérer une porteuse en phase avec celle qui a servi à
la modulation? On peut tendre un câble BNC en salle de TP, mais dans le cas d'une transmission herzienne, ça
n'est plus possible… Il va donc falloir la reconstruire à partir du signal reçu.
• Reconstruction de la porteuse:
Pour reconstruire une porteuse p’(t) de même fréquence que la porteuse ayant été utilisée pour la modulation
et présentant un déphasage constant avec cette dernière, on va devoir avoir recours à une boucle à verrouillage de
9
phase (il serait illusoire d’espérer réaliser deux oscillateurs de fréquences rigoureusement identiques et en
phase…).
Soit s(t) le signal à démoduler, p’(t) le signal en sortie du V.C.O. de la P.L.L. que nous allons utiliser. On
suppose que la P.L.L. peut s’accrocher sur la fréquence de la porteuse. Pour cela, on va notamment amener la
fréquence centrale de l’oscillateur à une valeur proche de celle de la porteuse.
On note
s( t ) = S.(1 + k.m( t )). cos(ω0 .t )
et
p' ( t ) = P'. cos(ω0 .t − ϕ( t ))
Après le multiplieur, on récupère le signal
S.P'
k m .s( t ).p' ( t ) = k m .
.(1 + k.m( t ))(cos ϕ( t ) + cos(2.ω0 .t − ϕ( t )))
2
En choisissant un filtre adapté, on récupère un signal u’(t) tel que
S.P'
u' ( t ) = k m .
.(1 + k.m( t )). cos ϕ( t )
2
Si la réponse du V.C.O. est de type
d ϕ( t )
= 2.π.K 0 .u' ( t )
dt
alors la phase vérifie l’équation
dϕ( t )
= π.K 0 .k m .S.P' (1 + k.m( t )).dt
cos ϕ( t )
Si on prend une primitive de chaque membre de l’égalité, on constate que celle de la seconde va diverger
pour t tendant vers l’infini. Or, une primitive du premier terme est de la forme
⎛ ϕ( t ) π ⎞
+ ⎟)
ln(tan⎜
4⎠
⎝ 2
Pour que ce terme diverge, il faut que la tangente tende vers 0 ou l’infini, c’est à dire que
ϕ π
ϕ π
π
+ →0
ou
+ →
2 4
2 4
2
Le déphasage va donc tendre vers +π/2 ou -π/2. Ce résultat est du même type que celui trouvé dans le
paragraphe de la P.L.L. quand on s’intéressait au cas ou fe = f0 (Cf III.2.).
• Utilisation pour la démodulation :
Lors de la description du principe de la détection synchrone, nous avons travaillé avec une porteuse
reconstruite en phase avec la porteuse initiale. Une porteuse en quadrature va conduire à un signal nul. Pour
éviter ce problème, il va donc falloir adjoindre un déphaseur à la porteuse reconstruite. Ce type de montage peut
par exemple être réalisé simplement de la façon suivante :
p’’ est un signal déphasé par rapport à p’. Globalement, la détection cohérente sera réalisée au moyen du
système suivant :
10
. Modulation et démodulation de fréquence .
• Lorsque l'on s'intéresse à un signal de type sinusoïdal S(t).cos(Φ(t)) destiné à servir de porteuse, on peut
moduler son amplitude pour intégrer l'information. C'est la première idée qui a été historiquement appliquée.
Cependant, on peut également envisager de maintenir S constant et de moduler Φ(t). On parle alors de
modulation angulaire. Dans ce cas, on va distinguer
- la modulation de fréquence:
dΦ ( t )
f ( t ) = f 0 + K.m( t ) soit Φ ( t ) = 2.π.f 0 .t + 2.π. K.m( t ).dt car 2.π.f ( t ) =
dt
le signal modulé est alors de la forme
∫
∫
s( t ) = S. cos(2.π.f 0 .t + 2.π. K.m( t ).dt )
-
la modulation de phase :
cette fois, on a directement
Φ ( t ) = 2.π.f 0 .t + K.m( t )
soit
s( t ) = S. cos(2.π.f 0 .t + K.m( t ))
• Par la suite, nous nous intéresserons principalement à la modulation de fréquence.
I. réalisation d'une modulation angulaire et exemples d'application.
I.1. Modulation angulaire avec un V.C.O.
La solution la plus simple consiste à utiliser un V.C.O. ce qui permet de contrôler la fréquence du signal de
sortie à partir de la tension d'entrée. Cette dernière sera alors le signal modulant (celui qui contient
l'information). On réalise ainsi directement une modulation de fréquence. Si on veut réaliser une modulation de
phase, il suffit de dériver le signal modulant avant de l'envoyer au V.C.O.. La dérivation n'est qu'une forme de
filtrage particulier. On peut envisager d'autres filtrages avant d'envoyer le signal à l'oscillateur commandé, ce qui
conduit à une définition plus générale de la modulation angulaire.
• Exemple d'allure de signal modulé en fréquence:
I.2. réalisation pratique.
En pratique, on pourra utiliser les G.B.F. disposant de la fonction wobulation. Il suffit pour cela de rentrer le
signal informatif (éventuellement après un filtrage particulier) sur la borne "sweep in", ce qui vous permettra de
faire fluctuer la fréquence de sortie du signal au rythme du signal modulant.
On peut également utiliser un V.C.O. intégré. Ce type de composant existe en tant que tel, mais il est
également présent dans les boucles à verrouillage de phase intégrées (on a par exemple un oscillateur accessible
dans les 4046).
I.3. exemples d'applications de la modulation de fréquence.
• En transmissions radiofréquence, la bande F.M. occupe la plage [88MHz, 108MHz].
• Dans le système S.E.C.AM. utilisé en France pour la transmission des signaux de télévision, les signaux de
couleur sont transmis par modulation de fréquence.
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II. Spectre du signal modulé – Bande de Carson.
Nous allons voir que le spectre des signaux modulés en fréquence est plus complexe que celui des signaux
modulés en amplitude. Cependant, il faut garder à l'esprit que ce qui nous intéresse, c'est plus la plage de
fréquence occupée par le signal modulé que son spectre proprement dit. C'est en effet cette plage qui permet de
déterminer la largeur des canaux de transmission que l'on utilisera pour le multiplexage fréquentiel.
II.1. Cas d'un signal modulant sinusoïdal.
• remarque préliminaire:
Ce cas n'a aucun intérêt pratique puisqu'une sinusoïde transporte bien peu d'information (sa fréquence et son
amplitude…). Cependant, il est pédagogiquement intéressant car c'est l'un des rares cas où l'on peut calculer le
spectre.
• décomposition en série de Fourier :
Si le signal modulant est m(t) = Mmax.cos (2.π.fm.t), alors, le signal modulé en fréquence est de la forme
K.M max
. sin( 2.π.f m .t )] = S. cos[2.π.f 0 .t + k. sin(2.π.f m .t )]
s( t ) = S. cos[2.π.f 0 .t +
fm
Un tel signal peut se décomposer en série de Fourier, ce qui conduit à la relation
∞
⎡
⎤
s( t ) = S.⎢J 0 ( k ). cos(2.π.f 0 .t ) +
J n ( k ). ( −1) n +1 . cos[2.π.(f 0 − n.f m ).t ] + ( −1) n . cos[2.π.(f 0 + n.f m ).t ] ⎥
n =1
⎣⎢
⎦⎥
où les termes Jn(k) sont les valeurs en k des fonctions de Bessel d'ordre n. Ces fonctions ont l'allure suivante:
∑
(
)
• Spectre du signal modulé par une sinusoïde:
En exploitant la décomposition en séries de Fourier, on constate que le spectre obtenu est symétrique par
rapport à une raie centrale, qui correspond à la fréquence de la porteuse.
L'amplitude des différentes raies d'ordre n (à n.fm de f0) est donnée par les valeurs des fonctions de Bessel
d'ordre n pour la valeur k (on rappelle que k = K.Mmax/fm).
rq: En jouant sur k (par l'intermédiaire de l'amplitude du signal modulant par exemple), on peut annuler la
raie à f0. Pour ça, on donne à k une valeur proche de 2,4.
• Plage spectrale occupée:
En s'intéressant à la puissance du signal modulé, on peut montrer que 98% de cette dernière est transmise
dans la plage [f0-B/2;f0+B/2], avec B = 2.(1+k).fm. Pour réaliser une transmission correcte, on peut donc se
contenter de réserver une plage de fréquence de largeur B centrée sur f0.
rq: si k est assez fort, alors B ≈ 2.k.fm = 2.K.Mmax, ce qui est indépendant de fm. C'est un grand avantage de la
modulation de fréquence sur la modulation de phase…
II.2. Cas d'un signal modulant quelconque.
Dans la pratique, le signal informatif à transmettre peut être vu comme un signal aléatoire occupant
principalement une plage spectrale donnée. Dans ce cas, il n'est plus question de calculer le spectre. Cependant,
on peut tout de même dire que la majeure partie de la puissance du signal sera comprise dans une bande de
fréquence donnée appelée bande de Carson. Cette plage est définie de la façon suivante:
B = 2.( ∆f max + Fmax )
-
∆fmax représente l’excursion de fréquence imposée par le signal modulant.
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-
Fmax la borne supérieure du spectre du signal modulant (où au moins la borne au delà de laquelle il ne
reste plus qu'une partie infime de la puissance de signal).
II.3. Remarque générale sur les modulations angulaires.
Le signal modulé angulairement par la somme m1(t)+m2(t), n'est pas relié simplement avec la somme des
signaux modulés respectivement par m1(t) et m2(t). C'est une grande différence avec les signaux modulés en
amplitude.
rq: cette caractéristique des modulations angulaires représente l'un des inconvénients du système S.E.C.A.M.
par rapport au système P.A.L. (il rend par exemple plus délicat le mélange d'images, important pour la
réalisation des effets spéciaux).
III. Exemple de démodulation de fréquence.
III.1. Démodulation par discriminateur.
On peut utiliser un discriminateur qui va convertir une variation de fréquence en variation de tension, ce
qui revient à transformer une modulation de fréquence en modulation d'amplitude. Le discriminateur idéal
revient à réaliser un dérivateur (qui sort une tension proportionnelle à la fréquence de l'harmonique
considéré). On va ainsi convertir un signal modulé en fréquence en un signal modulé en amplitude. A la suite
du discriminateur, on va alors récupérer le signal modulant en utilisant un dispositif de détection d'enveloppe
(Cf démodulation d’amplitude).
III.2. Démodulation par déphasage.
On peut également utiliser le montage suivant:
• Le déphaseur:
Si le signal modulé qui arrive en entrée est de la forme
s( t ) = S. cos(2.π.f 0 .t + ϕ( t )) avec
dϕ( t )
= 2.π.K.m( t )
dt
alors, le signal en sortie du déphaseur sera de la forme
s d ( t ) = S. cos(2.π.f 0 .t + ϕ( t ) + θ( t ))
(pour un exemple de structure, Cf. démodulation d’amplitude par détection synchrone)
avec
tan (θ 2 ) = − R.C.ω( t ) (Cf. déphaseur) où ω( t ) = 2.π.f 0 + 2.π.K.m( t ) pulsation instantanée.
• Le multiplieur:
En sortie du multiplieur, on récupère
u( t ) = K m .
S2
.[cos(4.π.f 0 .t + 2.ϕ( t ) + θ( t ) ) + cos(θ( t ) )]
2
• Filtrage passe-bas:
Après filtrage, en supposant que Fc << 2.f0 et que ϕ(t) varie lentement par rapport à f0, alors, en sortie du
filtre, on récupère
Vm ( t ) = K m .
1 − (R.C.Φ ( t ) )2
S2
1 − tan 2 ( θ( t ) / 2)
.
. cos(θ( t ) ) = α. cos(θ( t )) = α.
=
α
2
1 + tan 2 ( θ( t ) / 2)
1 + (R.C.Φ ( t ) )2
• Hypothèses sur la forme du signal et conclusion:
D'après le calcul précédent, on a
1 − R 2 C 2 (2.πf 0 + 2.π.K.m( t ) )2
Vm ( t ) = α.
1 + R 2 C 2 (2.πf 0 + 2.π.K.m( t ) )2
En choisissant la constante de temps R.C du déphaseur de telle sorte que 2.π.f0.R.C = 1, on récupère
− R 2 .C 2 . 8.π 2 .K.f 0 .m( t ) + 4.π 2 .K 2 .m 2 ( t )
Vm ( t ) = α.
2 + R 2 .C 2 . 8.π 2 .K.f 0 .m( t ) + 4.π 2 .K 2 .m 2 ( t )
En choisissant une faible excursion en fréquence, i.e. K.m(t) << 2.f0, on peut écrire, en réalisant des
développements limités que
[
]
[
13
]
Vm ( t ) = −α.2.π.R.C.K.m( t )
III.3. Démodulation par P.L.L.
• Il s'agit d'une utilisation directe de la boucle à verrouillage de phase. En effet, si on suppose que cette
dernière est assez rapide pour assurer une phase instantanée en sortie de l'oscillateur qui suit la phase instantanée
du signal d'entrée, alors la tension en entrée du V.C.O. sera à chaque instant une image de la variation de
fréquence du signal d'entrée.
• Signal d'entrée:
Considérons un signal dont la fréquence est de la forme
1 dϕ e ( t )
f (t) = f 0 + f e ' (t) =
2.π dt
Alors, on peut écrire que
2.π.f e ' ( p)
ϕ e ' ( p) =
p
• Le V.C.O.:
On a
2.π.K 0 .u( p)
f r ' ( t ) = K 0 .u( t ) soit ϕ r ' ( p) =
p
• Système complet:
Par la suite, on va s’intéresser aux fluctuations ∆u(t) de u(t), on supposera que fo≈fr. La fonction de transfert
qui nous intéresse est alors de la forme :
1 K0
G0
u ( p)
=
=
2
τ
1
f e ' ( p)
1+
.p +
.p 2 1 + 2.m. p + p
2.π.k cp .K.K 0
2.π.k cp .K.K 0
ω
ω2
0
0
On constate que les deux grandeurs évoluerons de façon identique pourvu que l'on soit dans la bande
passante du système. Le choix de K et τ pour le filtre sera fait en choisissant un compromis entre la rapidité
(bande passante la plus grande possible) et la stabilité (éviter les dépassements trop importants qui pourraient
nous faire sortir de la plage de verrouillage). On rappelle que
2.π.k cp .K.K 0
1
1
ω0 =
et que
m= .
.
τ
2 2.π.k cp .K.K 0 .τ
III.4. Un exemple particulier : la modulation F.S.K. (« frequency shift keying »).
Supposons que le signal informatif à transmettre soit une succession aléatoire de niveaux hauts (« 1 »
logique) et bas (« 0 » logique). Lorsque la porteuse est modulée par un signal informatif de ce type, le signal
modulé sera une sinusoïde de fréquence f0 pour les niveaux « 0 » et f1 pour les signaux de niveaux « 1 ».
Le signal informatif étant aléatoire pour celui qui le reçoit, son spectre n’est pas connu à priori. Cependant,
on peut montrer que la densité spectrale de puissance d’un tel signal se présente sous la forme suivante (Te
représente la durée d’un niveau « 0 » ou « 1 »)
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Pour démoduler, on utilisera une P.L.L. qui s’accrochera sur f0 lors de la réception d’un « 0 » et sur f1 lors de
la réception d’un « 1 ». Il suffira alors de récupérer le signal en entrée du V.C.O. qui prendra une forme de
créneau (à un transitoire près dépendant de la rapidité de la boucle).
Il ne reste plus qu’à remettre le signal en forme pour obtenir des niveaux de tensions voulus qui
correspondent à « 0 » ou « 1 ».
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