Utiliser les nombres rationnels Définition et comparaison I. Définitions Quotient de deux nombres décimaux : On veut écrire le résultat de la division de 13 par 7. Effectue-la : 13 7 Que remarques-tu ? ........................................................................ Le quotient de 13 par 7 n’est pas un nombre décimal, c’est un nombre que l’on note : 13 7 . Définition : Le quotient de deux nombres 𝑎 et 𝑏 est le nombre par lequel il faut multiplier 𝑏 pour obtenir 𝑎. 𝑎 On le note 𝑏. 𝑎 𝑏× =𝑎 𝑏 1) Fractions et nombres en écriture fractionnaire Définition : 𝑎 L’écriture d’un quotient 𝑎 ÷ 𝑏 sous la forme 𝑏 est appelée écriture fractionnaire du nombre. Le nombre situé au-dessus du trait de fraction est le numérateur. Le nombre situé en dessous du trait de fraction est le dénominateur. Définition 𝑎 Si le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers, 𝑏 est une fraction. 2) Nombres rationnels Définition : Tous les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction sont appelés nombres rationnels. Remarque : Les nombres entiers et les nombres décimaux sont des nombres rationnels également 2 20 415 2= = 4,15 = 1 10 100 II. Fractions égales 1) Règle à connaitre Propriété On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre. a ak Si 𝑏 et 𝑘 sont non nuls, alors = . b bk Exemples : 3 3 × 7 21 24 24 ÷ 2 12 = = = = 4 4 × 7 28 18 18 ÷ 2 9 2) Simplifier une fraction Définition : Simplifier une fraction c’est chercher une fraction qui lui est égale mais qui a des numérateurs et dénominateurs plus petits (plus simples). Pour cela on divise, le numérateur et le dénominateur par un même nombre bien choisi. Exemples : 26 26 ÷ 2 13 = = 14 14 ÷ 2 7 33 33 ÷ 3 11 = = 27 27 ÷ 3 9 45 45 ÷ 5 9 = = 25 25 ÷ 5 5 3) Mettre deux fractions au même dénominateur Méthode : Pour mettre deux fractions au même dénominateur, il faut regarder les deux dénominateurs et chercher un nombre qui est dans la table des deux dénominateurs (on dira un multiple commun aux deux dénominateurs). Ensuite on multiplie les numérateurs et dénominateurs de chaque fraction par le bon nombre pour obtenir le dénominateur commun choisi. Exemple : 7 6 On considère les fractions 3 et 5. On doit donc trouver un multiple (nombre qui est dans la table) de 3 et de 5. C’est donc 15 qu’on choisit. Alors : 7 7 × 5 35 = = 3 3 × 5 15 𝑒𝑡 6 6 × 3 18 = = 5 5 × 3 15 III. Comparer des fractions Propriété : Pour comparer deux fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur. Alors la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Toutefois, si les fractions ont le même numérateur, alors à plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur. Enfin on peu aussi comparer les deux fractions à 1. En effet, si le numérateur d’une fraction est supérieur à son dénominateur, alors elle est supérieure à 1. Sinon elle est inférieure à 1. Exemples : Comparer On met 4 7 𝟒 𝟕 𝟗 𝒆𝒕 ∶ 𝟏𝟒 4 8 sur 14 ∶ 7 = 14 8 < 9 donc 8 9 14 𝟓 4 9 < 14 donc 7 < 14 𝟕 Comparer 𝟏𝟐 et 𝟏𝟖 : On cherche un multiple commun à 12 et 18 : c’est 36. On met les deux fractions sur 36 : 5 15 7 14 = 36 et 18 = 36. 12 15 > 14 donc 15 36 > 14 36 5 𝟕 𝟕 𝟏𝟒 𝟑𝟐 Comparer 𝟏𝟏 et 𝟏𝟑 : Les deux fractions ont le même numérateur : 7 7 11 < 13 donc 11 > 13. 7 donc 12 > 18. Comparer 𝟏𝟕 et 𝟐𝟗 : On remarque que 14 < 17 donc 14 17 <1 32 et 32 > 29 donc 29 > 1 14 32 Donc 17 < 29.