équation de dirac

Asymptotic Analysis 4 (1991) 235-255
N orth-
Holland
235
Estimations semi-classiques pour l'opérateur
de Schrodinger à potentiel de type coulombien
et avec champ magnétique
Abderemane Mohamed
Université de Nantes, Faculté des Sciences, Département de Mathématiques URA 760, 2, rue de la Houssinière,
44072 Nantes Cedex 03, France
Revised version received 14 July 1990
Abstract
Mohamed, A., Estimations semi-classiques
pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien et avec champ
magnétique, Asymptotic Analysis 4 (1991) 235-255.
We give a BKW method in the semiclassical analysis of a Schrodinger operator in a magnetic field, with an electrical potential
having singularities of Coulombian type. As applications, we obtain sharp estima tes for the splitting in the double wells
problem and for the first band in the periodic problem.
O. Introduction
On s'intéresse à l'étude semi-classique du spectre de l'opérateur de Schrodinger avec champ
magnétique ph = «hji)\l + a(x))2 + V(x), avec un potentiel électrique V(x) admettant des
puits à singularités de type coulombien. Notre objet est donc de déterminer certaines propriétés
asymptotiques du spectre de ph quand h tend vers zéro.
De nombreux travaux traitent le cas où V( x) est COC! et sans champ magnétique; ce sont
essentiellement ceux de Helffer et Sjostrand [8-11] et de Martinez [18,19] et [20]. Quand on est
en présence d'un champ magnétique COC!, on doit citer les travaux récents de Helffer et Sjostrand
[13-16] et [7]. Depuis l'article de Harrell [5] où on fait l'étude des doubles puits très éloignés, le
cas
où V est singulier n'a pas été très étudié. Seul le cas de la molécule H; a fait l'objet de
travaux dans [2,4,22]. Nous renvoyons à [6] pour une bibliographie plus complète sur le sujet.
Dans ce travail nous suivons le point de vue de Helffer et Sjostrand développé dans les
travaux cités ci-dessus et nous utiliserons largement leurs techniques.
Pour l'étude du spectre discret de ph, nous montrons que les premières valeurs propres de ph
sont exponentiellement proches de celles du problème de Dirichlet sur on ouvert contenant tous
les puits.
Nous donnons une méthode BKW permettant de trouver le développement asympto-
tique
en puissance de h de la première valeur propre et la fonction propre associée. Comme dans
les travaux de Helffer et Sjostrand, la méthode BKW permet d'en déduire de nombreuses
applications, nous en donnons une, le cas du double puits symétrique où nous établissons le
comportement asymptotique du "splitting", la distance entre les deux premières valeurs propres.
0921-7134/9l/$03.50 © 1991 -Elsevier Science Publishers B.V. (North-Holland)

236 A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
Le cas des autres valeurs propres, les niveaux d'énergie élevées, sera traité dans un autre travail
[21]
où les techniques utilisés seront moins puissantes que la méthode BKW, mais donneront tout
de même des informations suffisantes pour donner le "splitting".
Quand V( x) ainsi que le champ magnétique sont périodiques et de même période, nous
localisons asymptotiquement le spectre de ph. Si on suppose de plus que le champ magnétique
est nul ou sous certaines conditions sur ce champ, il est connu que le spectre de ph est constitué
de bandes. La méthode BKW permet alors de donner le comportement asymptotique de la taille
de la première bande, ce qui permet d'améliorer le résultat de Knauf [17].
Nous remercions vivement Helffer pour les nombreuses discussions que nous avons eues avec
lui
sur ce sujet.
1. Inégalités d'énergie et stabilité
1.1. Inégalité d'énergie à la Helffer-Sjostrand
On considère sur IR n le potentiel électrique V( x) et magnétique a (x) vérifiant les hypothèses
suivantes
N
V(x) = co(x) + L cj(x)/I x -xj l, avec cj(x) E coo(lR
n;
IR), j = 0,1, ... , N;
j~l
A = {Xl"'" XN } est un ensemble de N points de IR n.
a(x) = (al(x), ... , an{x)) E coo(lR
n;
IR
n).
Le champ magnétique B(x) est identifié à une matrice n X n antisymétrique:
déf
B(x) = (axJak(x) -aXkaj(x))h:;k,j<:;n' x = (x\ ... , xn).
On suppose qu'il existe No et Co tels que
v( X) ~ Co 1 x 1 No si 1 Xl> Co et que
lim Inf V(x) ~ O.
[x[->co
Sous ces hypothèses, il est connu (cf. [1] ou [24]) que, si n > 2, l'opérateur
ph= i:, (hDj+a
j
(x))2+ V(x) (O<h~l et Dj=~ axi),
j~l
(1.1a)
(LIb)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
est essentiellement auto-adjoint sur L2 (lR
n) à
partir de Cooo(lR
n
), l'espace des fonctions COO et à
support compact sur IR n.
Quand n ~ 2, la forme variationnelle q~( a),
n
q~(a)(u) = L II(hDj+a
j(x))uI1 2+
(V(x)u; u), "\lUE Cooo(lR
n
),
(1.5)
j~l
admet une unique extension semi-bornée et fermée de domaine D(q~(a)), (II' Il désigne la
norme sur L2 (lR
n) et
(.; .) le produit scalaire associé). L'opérateur auto-adjoint sur L2 (lR
n
),
réalisation de ph que nous considérerons, sera l'extension de Priedrichs associée à q~(a) que
nous noterons encore p\ de domaine D(ph):
D(ph)= {uED(q~(a)); ph UE L2 (lR
n
)}. (1.6)

A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien 237
Si Q est un ouvert de \Rn de frontière de classe C
oo
ne rencontrant pas A, p~ désignera la
réalisation de Dirichlet de ph sur L 2( Q) de domaine
d'f
D(P~)={uEH~(Q); P~U:;'phUEL2(Q)}; (1.7)
(Hm(Q) désigne l'espace de Sobolev d'ordre m sur Q et Hom(Q) celui dont toutes les traces sont
nulles).
Quand Q est borné, P~ est un opérateur à résolvante compacte; par contre ph n'est pas
nécessairement à résolvante compacte. L'hypothèse (1.4) assure
que le spectre essentiel de ph,
aess ( ph), est contenu dans la demi-droite des réels positifs \R +. Le spectre de ph, a( ph), vérifie
donc
(1.8)
où CÀ./h))j~l est la suite croissante de valeurs propres négatives de ph, chaque valeur propre
étant comptée autant de fois que sa multiplicité qui est finie.
Dans toute la suite on adoptera la convention suivante, toute constante positive indépendante
de h sera notée C et pour tout y E \Rn et tout R > 0, Q(y; R) désignera la boule Q(y; R) =
{XE\Rn; Ix-Yi <R}.
Soient QI"'" QN des ouverts bornés de classe C
oo
vérifiant
pour j = 1, ... , N. (1.9)
Pour tout ouvert borné Q, on notera (Àk(h; Q))k~l la suite croissante des valeurs propres de
P~.
Soient Ao l'ensemble des indices des puits:
Ao= {j; 1 ~j~Net cj(x
j)
<O}. (1.10)
Dans toute la suite Ao est supposé non vide et h sera dans ]0, ho[, où ho est positif et choisi
assez petit.
Soit J( h) un intervalle,
(1.11)
tel qu'il existe C> 1 vérifiant
C-
1
~ b(h) < a(h) ~ C, 'Vh E]O, ho].
(1.12)
Soit À(h) une valeur propre de ph contenue dans J(h) et soit uh une fonction propre associée
normalisée
par Il uh Il = 1.
On considère la distance d'Agmon modifiée dh(x, y), (cf. [8]), définie par la métrique
Riemannienne dégénérée
(V(x) - À(h))+dx
2,
dx
2
étant la métrique standard sur \Rn. Soit dh(x)
la distance aux puits de Ao:
(1.13)
Proposition 1.1. Sous les hypothèses précédentes, pour tout e, 0< e < 1, il existe CE> ° tel que,
pour tout h E ]0, ho], on ait
(1.14)

238 A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
Preuve. Il suffit d'appliquer la démonstration de [8] et de remarquer que, grâce à (1.11) et (1.12),
pour tout Ro > 0 fixé assez grand, on a - C + (-À(h»1/2inf{ 1 x -xj 1; jE Ao} < dh(x) < C +
(-À(h»1/2inf{ 1 x -Xj 1; jE Ao}, '"iIh, 0 < h < ho et '"iIx E Q(O; Ro) et tel que inf{ 1 x -Xj 1;
jE Ao} ~ h2C, C assez grand. On utilise l'égalité suivante établie dans [8] et [14]. Pour tout
ouvert Q de IR m à frontière de classe C2 ne rencontrant pas A et pour toute fonction 1>( x) réelle
et Lipchitzienne
sur IR n et à support compact, on a
qt_IV'<!>12(a)(e<!>/hu) = Re! e2 <!>/hp
h
u·udx, '"iIuED(pt). (1.15)
Q
Pour tout R > 0 assez grand, on applique (1.15) avec U = uh et 1> = (1 - E)1>R où 1>R(X) =
XR(dh(x»: XR(t) = t, si t < R et XR(t) = R si t ~ R.
On obtient alors l'estimation:
q3(a)(u
h
e(1-E)<!>R/h) +EII(V-À(h))Y2
Uh
e(1-E)<!>R/
h
II1
2
(D
R
)
<C L f IUhI2Ix-xjl-l dx,
JEAo Ix-xjl <h
2C
On passe en coordonnées polaires centrées en Xj' une intégration par partie et l'inégalité de
Cauchy-Schwarz permet de voir que
f
IUhI2Ix-x·l-l dx<cjlXhUh e(1-E)<PR/hI2Ix_x·I-
1
dx
2 J ,J J
Ix-xjl<hC
= - C/(n -1) j a
r( 1 Xh,jUh
e(1-E)<PR/
h
12) dx
< C{ 7q3(O)(Xh,jU
h
e(1-E)<PR/
h) +
7-
1
h-
2
11 Xh,jUh 112},
ceci pour tout 7,0 < 7 < 1; r = 1 x -xj 1 et Xh,j est une fonction de troncature telle que Xh,j(X)
soit egal à 1, si 1 x -xj 1 < h2C, et à 0, si 1 x -xj 1 ~ 2h
2C.
On déduit alors aisément des deux estimations précédentes que, pour tout 7, 0 < 7 < 1, on a
q3(a)(u
h
e(1-E)<!>R/
h)
+EII(V-À(h))y2
uh
e(1-E)<!>R/
h
II1
2
(D
R
)
< C L 7q3(a)(Xh,jU
h
e(l-E)<PR/
h) +
(1 + 7-
1
h-
2)
Il Xh,jUh 11
2.
JEAo
En prenant 7 > 0 assez petit, on obtient donc facilement que
q3(a)(u
h
e(1-E)<!>R/
h)
+EII(V-À(h))y2
uh
e(1-E)<!>R/
hIl12
(D
R
)
De (1.16) on déduit aisément (1.14) en faisant tendre R vers l'infini. 0
(1.16)
Soit
jE Ao et soit k un entier> 0 fixé. Soit Àj,k(h) E I(h) la k-ième valeur propre de P!:j et
soit u·
k(h; x) une fonction propre associée et normalisée par Il uJ k(h; .) Il L2(D.) = 1.
J, , J

A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type cou/ombien 239
~oposition 1.2. La fonction uj.k(h; x) est dans COO(.Qj\{xj}). Pour tout compact K inclus dans
.Qj \ {x
j} et pour tout
IX E rl::,r, il existe deux réels positifs Na et C" tels que
l
a"u (h' x) 1,,:::: Ch-Na e-J-À},k(hlIX-Xjl/h (1.17)
x ),k' '"" ex .
Preuve. On utilise (1.15) avec u = uj,k(h; .) et cf>(x) égal à V -Àj,k(h) 1 x -xj 1- ..vj(x) dans .Qj'
En coordonnées polaires (r, 0) centrée en Xj' ..vj s'écrit
-
1/2
1
r
..vj(r, 0) = H -Àj,k(h)) (-1 + Xh,JV(P, 0) dp,
o
où Xh,j est une fonction de troncature à support dans_Q(x
j;
2h2) et égale à 1 dans Q(x
j, h 2
).
On choisit en plus Xh,j radiale. On remarque que, sur .Qj' on a
1V'cf>(x) 12= Ir-
1
x{( -À
j
,k(h))1/2 -H -Àj,k(h)f1/2( -1 +Xh,j)V(X)} + O(h) 12,
ce qui donne que 1 V(x) - Àj,k(h) - Xh,jV(X) -1 V'cf>(x) 121 ~ C, \;:jx E .Qj; par conséquent,
comme dans la démonstration de la Proposition (1.1), on obtient que
q~(a)(uj,k(h; .)e<l>lh)+h-
2f IUj,k(h;
·)e<l>
lh
I2dx
1 x-x} 1 ;;"ch
2
On déduit alors de l'estimation précédente que
q~(a)(uj,k(h; .)e<l>lh)+h-21Iuj,k(h; ·)e<l>lhI12~Ch-2.
On obtient alors aisément que
Il uj,k(h; .) e<l>lh Il HI(fJ) ~ ch-
2. (1.18)
L'équation vérifiée par uj,k(h; x) et (1.18) permettent d'en déduire (1.17) par récurrence. 0
1.2. Étude asymptotique des valeurs propres et de la matrice d'interaction
On a une première approximation des valeurs propres des pt.
j
Proposition 1.3. Pour tout entire k> 0 fixé et pour tout jE Ao, on a
h 2 À) k ( h) ~ el' k'
, h-->O'
(1.19)
où (e
j
,k)k>l est la suite croissante des valeurs propres de Pj = -~ + c/xj)/r, (r = r(x) = 1 x 1 et
- ~ = L~~lD~).
Preuve. On utilise les inégalités
(1- 10) 1 z 12 - (10-
1
-1) 1 z' 12 ~ 1 z + z' 12 ~ (1 + 10) 1 z 12 + (10-
1 + 1) 1
z' 12,
\;:jz, Z' E C, \;:je Elo, 1[,