équation de dirac

Asymptotic Analysis 4 (1991) 235-255
N orth-Holland
235
Estimations semi-classiques pour l'opérateur
de Schrodinger à potentiel de type coulombien
et avec champ magnétique
Abderemane Mohamed
Université de Nantes, Faculté des Sciences, Département de Mathématiques URA 760, 2, rue de la Houssinière,
44072 Nantes Cedex 03, France
Revised version received 14 July 1990
Abstract
Mohamed, A., Estimations semi-classiques pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien et avec champ
magnétique, Asymptotic Analysis 4 (1991) 235-255.
We give a BKW method in the semiclassical analysis of a Schrodinger operator in a magnetic field, with an electrical potential
having singularities of Coulombian type. As applications, we obtain sharp estima tes for the splitting in the double wells
problem and for the first band in the periodic problem.
O. Introduction
On s'intéresse à l'étude semi-classique du spectre de l'opérateur de Schrodinger avec champ
magnétique ph = «hji)\l + a(x))2 + V(x), avec un potentiel électrique V(x) admettant des
puits à singularités de type coulombien. Notre objet est donc de déterminer certaines propriétés
asymptotiques du spectre de ph quand h tend vers zéro.
De nombreux travaux traitent le cas où V( x) est COC! et sans champ magnétique; ce sont
essentiellement ceux de Helffer et Sjostrand [8-11] et de Martinez [18,19] et [20]. Quand on est
en présence d'un champ magnétique COC!, on doit citer les travaux récents de Helffer et Sjostrand
[13-16] et [7]. Depuis l'article de Harrell [5] où on fait l'étude des doubles puits très éloignés, le
cas où V est singulier n'a pas été très étudié. Seul le cas de la molécule H; a fait l'objet de
travaux dans [2,4,22]. Nous renvoyons à [6] pour une bibliographie plus complète sur le sujet.
Dans ce travail nous suivons le point de vue de Helffer et Sjostrand développé dans les
travaux cités ci-dessus et nous utiliserons largement leurs techniques.
Pour l'étude du spectre discret de ph, nous montrons que les premières valeurs propres de ph
sont exponentiellement proches de celles du problème de Dirichlet sur on ouvert contenant tous
les puits. Nous donnons une méthode BKW permettant de trouver le développement asymptotique en puissance de h de la première valeur propre et la fonction propre associée. Comme dans
les travaux de Helffer et Sjostrand, la méthode BKW permet d'en déduire de nombreuses
applications, nous en donnons une, le cas du double puits symétrique où nous établissons le
comportement asymptotique du "splitting", la distance entre les deux premières valeurs propres.
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236
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
Le cas des autres valeurs propres, les niveaux d'énergie élevées, sera traité dans un autre travail
[21] où les techniques utilisés seront moins puissantes que la méthode BKW, mais donneront tout
de même des informations suffisantes pour donner le "splitting".
Quand V( x) ainsi que le champ magnétique sont périodiques et de même période, nous
localisons asymptotiquement le spectre de ph. Si on suppose de plus que le champ magnétique
est nul ou sous certaines conditions sur ce champ, il est connu que le spectre de ph est constitué
de bandes. La méthode BKW permet alors de donner le comportement asymptotique de la taille
de la première bande, ce qui permet d'améliorer le résultat de Knauf [17].
Nous remercions vivement Helffer pour les nombreuses discussions que nous avons eues avec
lui sur ce sujet.
1. Inégalités d'énergie et stabilité
1.1. Inégalité d'énergie à la Helffer-Sjostrand
On considère sur IR n le potentiel électrique V( x) et magnétique a (x) vérifiant les hypothèses
suivantes
N
L
V(x) = co(x) +
cj(x)/I x - x j l,
avec cj(x)
E
coo(lR n; IR), j = 0,1, ... , N;
j~l
(1.1a)
A =
XN }
{Xl"'"
a(x)
(LIb)
(1.2)
est un ensemble de N points de IR n.
coo(lR n; IR n ).
(al(x), ... , an{x)) E
Le champ magnétique B(x) est identifié à une matrice n
=
déf
B(x) = (axJak(x) - aXkaj(x))h:;k,j<:;n'
X
n antisymétrique:
x = (x\ ... , xn).
(1.3)
lim Inf V(x) ~ O.
(1.4)
On suppose qu'il existe No et Co tels que
v( X) ~ Co 1 x
1 No
si 1 Xl> Co
et que
[x[->co
Sous ces hypothèses, il est connu (cf. [1] ou [24]) que, si n > 2, l'opérateur
ph=
i:, (hDj+a j (x))2+ V(x)
(O<h~l
et
Dj=~
axi),
j~l
est essentiellement auto-adjoint sur L 2(lR n) à partir de Cooo(lR n), l'espace des fonctions COO et à
support compact sur IR n.
Quand n ~ 2, la forme variationnelle q~( a),
n
q~(a)(u) =
L
II(hDj+a j (x))uI1 2 + (V(x)u; u),
"\lUE
Cooo(lR n ),
(1.5)
j~l
admet une unique extension semi-bornée et fermée de domaine D(q~(a)), (II' Il désigne la
norme sur L 2(lR n) et (.; .) le produit scalaire associé). L'opérateur auto-adjoint sur L 2(lR n),
réalisation de ph que nous considérerons, sera l'extension de Priedrichs associée à q~(a) que
nous noterons encore p\ de domaine D(ph):
D(ph)= {uED(q~(a)); ph UE L 2(lR n )}.
(1.6)
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
Si Q est un ouvert de \Rn de frontière de classe C oo ne rencontrant pas A,
réalisation de Dirichlet de ph sur L 2( Q) de domaine
p~
237
désignera la
d'f
D(P~)={uEH~(Q); P~U:;'phUEL2(Q)};
(1.7)
(Hm(Q) désigne l'espace de Sobolev d'ordre m sur Q et Hom(Q) celui dont toutes les traces sont
nulles).
Quand Q est borné, P~ est un opérateur à résolvante compacte; par contre ph n'est pas
nécessairement à résolvante compacte. L'hypothèse (1.4) assure que le spectre essentiel de ph,
aess ( ph), est contenu dans la demi-droite des réels positifs \R +. Le spectre de ph, a( ph), vérifie
donc
(1.8)
où CÀ./h))j~l est la suite croissante de valeurs propres négatives de ph, chaque valeur propre
étant comptée autant de fois que sa multiplicité qui est finie.
Dans toute la suite on adoptera la convention suivante, toute constante positive indépendante
de h sera notée C et pour tout y E \Rn et tout R > 0, Q(y; R) désignera la boule Q(y; R) =
{XE\Rn; Ix-Yi <R}.
Soient QI"'" QN des ouverts bornés de classe C oo vérifiant
pour j = 1, ... , N.
Pour tout ouvert borné
Q,
on notera (Àk(h;
Q))k~l
(1.9)
la suite croissante des valeurs propres de
P~.
Soient Ao l'ensemble des indices des puits:
Ao= {j; 1 ~j~Net cj(x j ) <O}.
(1.10)
Dans toute la suite Ao est supposé non vide et h sera dans ]0, ho[, où ho est positif et choisi
assez petit.
Soit J( h) un intervalle,
(1.11)
tel qu'il existe C> 1 vérifiant
C- 1 ~ b(h) < a(h) ~ C,
'Vh E]O, ho].
(1.12)
Soit À(h) une valeur propre de ph contenue dans J(h) et soit u h une fonction propre associée
normalisée par Il u h Il = 1.
On considère la distance d'Agmon modifiée dh(x, y), (cf. [8]), définie par la métrique
Riemannienne dégénérée (V(x) - À(h))+dx 2, dx 2 étant la métrique standard sur \Rn. Soit dh(x)
la distance aux puits de Ao:
(1.13)
Proposition 1.1. Sous les hypothèses précédentes, pour tout e, 0< e < 1, il existe CE>
pour tout h E ]0, ho], on ait
° tel que,
(1.14)
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
238
Preuve. Il suffit d'appliquer la démonstration de [8] et de remarquer que, grâce à (1.11) et (1.12),
pour tout Ro > 0 fixé assez grand, on a - C + (-À(h»1/2inf{ 1x - x j 1; jE Ao} < dh(x) < C +
(-À(h»1/2inf{ 1x - Xj 1; jE Ao}, '"iIh, 0 < h < ho et '"iIx E Q(O; Ro) et tel que inf{ 1x - Xj 1;
jE Ao} ~ h 2 C, C assez grand. On utilise l'égalité suivante établie dans [8] et [14]. Pour tout
ouvert Q de IR m à frontière de classe C 2 ne rencontrant pas A et pour toute fonction 1>( x) réelle
et Lipchitzienne sur IR n et à support compact, on a
qt_IV'<!>12(a)(e<!>/hu) =
Re!
e2<!>/hp hu·udx,
(1.15)
'"iIuED(pt).
Q
Pour tout R > 0 assez grand, on applique (1.15) avec U = u h et
XR(dh(x»: XR(t) = t, si t < R et XR(t) = R si t ~ R.
1> = (1 - E)1>R où 1>R(X) =
On obtient alors l'estimation:
q3(a)(u h e(1-E)<!>R/h) +EII(V-À(h))Y2 Uh e(1-E)<!>R/h II12 (D R)
<C
f
L
Ix-xjl <h 2C
JEAo
IUhI2Ix-xjl-l dx,
On passe en coordonnées polaires centrées en Xj' une intégration par partie et l'inégalité de
Cauchy-Schwarz permet de voir que
f
2
Ix-xjl<hC
1 dx
IUhI2Ix-x·l-l
dx<cjlXhUh
e(1-E)<PR/hI2Ix_x·IJ
,J
J
=
-
C/(n -1) j
a
r(
1Xh,jU h e(1-E)<PR/h 12) dx
< C{ 7q3(O)(Xh,jU h e(1-E)<PR/ h) + 7- 1h- 2
11
Xh,jU h 112},
ceci pour tout 7,0 < 7 < 1; r = 1x - x j 1 et Xh,j est une fonction de troncature telle que Xh,j(X)
soit egal à 1, si 1x - x j 1 < h 2C, et à 0, si 1x - x j 1 ~ 2h 2C.
On déduit alors aisément des deux estimations précédentes que, pour tout 7, 0 < 7 < 1, on a
q3(a)(u h e(1-E)<!>R/ h ) +EII(V-À(h))y2 uh e(1-E)<!>R/ h II12(D R)
<C
L
7q3(a)(Xh,jU h e(l-E)<PR/h )
+ (1 + 7- 1h- 2 ) Il Xh,jU h
11
2.
JEAo
En prenant
7
> 0 assez petit, on obtient donc facilement que
q3(a)(u h e(1-E)<!>R/ h ) +EII(V-À(h))y2 uh e(1-E)<!>R/ h Il12 (D R)
(1.16)
De (1.16) on déduit aisément (1.14) en faisant tendre R vers l'infini.
0
Soit jE Ao et soit k un entier> 0 fixé. Soit Àj,k(h) E I(h) la k-ième valeur propre de P!:j et
soit u·J, k(h; x) une fonction propre associée et normalisée par Il uJ , k(h; .) Il L2(D.) = 1.
J
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type cou/ombien
239
1.2. La fonction uj.k(h; x) est dans COO(.Qj\{x j }). Pour tout compact K inclus dans
.Qj \ {x j } et pour tout IX E rl::,r, il existe deux réels positifs Na et C" tels que
~oposition
(h'
l a"u
x
),k'
x)
1,,::::
'""
Preuve. On utilise (1.15) avec u = uj,k(h; .) et cf>(x) égal à
En coordonnées polaires (r, 0) centrée en Xj' ..vj s'écrit
..vj(r, 0) =
(1.17)
Ch-Na
e-J-À},k(hlIX-Xjl/h .
ex
V-Àj,k(h)
1x - x j 1- ..vj(x) dans .Qj'
H-Àj,k(h)) - 1/2 1o (-1 + Xh,JV(P, 0) dp,
r
où Xh,j est une fonction de troncature à support dans_Q(xj ; 2h2) et égale à 1 dans Q(x j , h 2).
On choisit en plus Xh,j radiale. On remarque que, sur .Qj' on a
1V'cf>(x) 12 = Ir- 1x{( -À j ,k(h))1/2 -
H-Àj,k(h)f1/2( -1 +Xh,j)V(X)} + O(h) 12,
ce qui donne que 1V(x) - Àj,k(h) - Xh,jV(X) - 1V'cf>(x) 12 1 ~ C, \;:jx
comme dans la démonstration de la Proposition (1.1), on obtient que
q~(a)(uj,k(h; .)e<l>lh)+h- 2
f
1
E
.Qj; par conséquent,
IUj,k(h; ·)e<l>lh I2dx
x-x} 1 ;;"ch 2
On déduit alors de l'estimation précédente que
q~(a)(uj,k(h; .)e<l>lh)+h-21Iuj,k(h; ·)e<l>lhI12~Ch-2.
On obtient alors aisément que
Il uj,k(h;
.) e<l>lh
Il HI(fJ) ~ ch- 2.
(1.18)
L'équation vérifiée par uj,k(h; x) et (1.18) permettent d'en déduire (1.17) par récurrence.
0
1.2. Étude asymptotique des valeurs propres et de la matrice d'interaction
On a une première approximation des valeurs propres des
pt.
j
Proposition 1.3. Pour tout entire k> 0 fixé et pour tout jE Ao, on a
h 2 À)
,
k(
h) ~ el'
h-->O'
(1.19)
k'
où (e j ,k)k>l est la suite croissante des valeurs propres de Pj =
- ~ = L~~lD~).
-~
+ c/xj)/r,
(r = r(x) =
Preuve. On utilise les inégalités
(1- 10) 1z 12 - (10- 1 -1) 1z' 12 ~ 1z + z' 12 ~ (1 + 10) 1z 12 + (10- 1 + 1) 1z' 12,
\;:jz,
Z'
E C, \;:je Elo, 1[,
1x 1
et
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240
on obtient alors que, si J!j(x)
=
c/x)/I x
- xj
l,
(1- e)q~_E-lc(O)(U) ~ q~(a)(u) ~ (1 + E)q~+E-1C(O)(U),
J
}
Vu
E
HJ(QJ);
Le principe de mini-max et la décroissance exponentielle des vecteurs propres de Pj permettent
de voir alors que
(1 - E)( h- 2ej .k - E-lC) ~ "Aj.k(h) ~ (1 + E)( h- 2ej .k + E-lC),
en prenant
1
E
= h on a
"Aj,k(h) - h- 2ej ,k 1 ~ Ch- l .
L'estimation (1.20) donne (1.19).
(1.20)
0
Si (ek)k:;d est la suite ordonnée de façon croissante des (ej,m)m:;"l,jEA o' alors la décroissance
exponentielle des fonctions propres donnée par la Proposition 1.1 et (1.20) montrent que, pour
tout k> 0 fixé, il existe C k tel que
(1.21)
Supposons que Ao contient plus d'un élément. Soit
So = inf { 1x j
-
Xk
1; x j et x k E A 0' x j =1= x
d.
(1.22)
On supposera dans toute la suite que
Q( Xj;
tSo) c Qj'
Vj E Ao.
(1.23)
Soit E> 0 choisi une fois pour toute assez petit. Pour tout jE Ao, on considère une fonction
de troncature C
Xi' vérifiant
OO
,
(1.24)
(si f(x) est une fonction, supp(f) désigne son support).
Soit I(h) un intervalle (1.11) vérifiant (1.12). Pour tout jE Ao, on considère les valeurs
propres de p!;,
}
et u·J, k( h; x) les fonctions propres associées et normalisées par
On introduit les fonctions
(1.26)
On considère Ej' le sous-espace vectoriel de L 2(1R n) engendré par les o/j,k pour les indices k tels
que l'on ait (1.25). Soit
(1.27)
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
241
et soit F l'image du projecteur spectral de ph sur I( h). Les estimations (1.20) et (1.21) montrent
que, quitte à modifier lègèrement I( h), on peut supposer que l'on a
{u
a(PÉJ Ua(ph)} n {(I(h)
JEAO
où m et C sont des constantes >
+ [-Ch m ,
Chm])\I(h)}
=O,
(1.28)
°
indépendantes de h. On a le théorème suivant.
Théorème 1.4. Sous les hypothèses précédentes, on a alors
d(E, F) = d(F, E) = O(e-~h-Vb(h)(SO+E)),
Si ho est assez petit, alors pour tout h
U
sh:a(ph)nI(h)~
E
h ~ O.
(1.29)
]0, ho L il existe une bijection,
a(PsqJnI(h), telle que
jEAo
(1.30)
(d(E, F) désigne la distance non symétrique: d(E, F) =
projection orthogonale sur E).
Il IlE -
IlFIlE
Il,
où IlE désigne la
La démonstration de ce théorème est identique à celle de [8], (voir aussi [6]), ceci compte-tenu
des Propositions 1.1 et 1.2.
Pour j E A 0 et pour tout k E ~ *, on note lX = (J, k) et v( lX) = j. Les fonctions 'l'j,k de (1.26)
sont donc notées 'l'a' Soient les fonctions
(1.31)
Si h E]O, hoL (1.29) montre que les ua' pour lX = (J, k) avec jE Ao et k tel que (1.25) soit
vérifié, forment une base de F, on en déduit une base orthonormée (e a) à l'aide de la matrice de
Gram (( ua; Ufi))a,fi:
(1.32)
e a = LMa,fiUfi'
f3
où M
=
(Ma,fi) a, fi est la matrice auto-adjointe positive telle que
M- 2
= ((ua' ufi)L,fi'
On suppose que
h 2l ( h) ~ {- 155 } ,
h-->O
150 >
o.
(1.33)
Si on remarque que, modulo un O(e- IlO (SO+E)/h 2 ), on a
M
=
Id -
1T
et M- 1
=
Id
+ 1T, où
T
= ((
'l'a; 'l'fi)) a,fi - Id'
on a alors la formule suivante de la matrice d'interaction de [8].
Proposition 1.5. La matrice de ph restreinte à F est donnée dans la base (e a ) par
J + W + R + O(e- IlO (SO+E)/h 2 ) ,
h ~ 0,
(1.34)
242
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
où J est la matrice diagonale, J = diag( À a)' W = (Wa.f3 ) a,f3 est la matrice d'interaction
TY",p =
Hwa,p + wf3 ,J,
(1.35)
avec
Wa,p
f
= h Xp(a)( vh(a)u a · up - ua' v h(a)uf3)' VXp(p) dx,
= (Ra,P)a,p avec Ra,p = (À p - Àa)(Ta,f3 - T'p,a)' Ta,p = t(o/a; 0/13)' (v\a)u = hvu + iau et Vu
= (axlU, ... ,axnU), ua(x)=uj,k(h; x), si ex = (J, k).
R
La démonstration est identique à celle de [8] et [14].
Si on suppose que, pour ex = (J, k) et f3 = (J', k') on a
Àj,k(h) -Àj',k,(h) =O(h N e-BoSo/h2),
(1.36)
\;:fN,
alors R = O(e- Bo (So+e)/h 2) et, comme dans [8] et [14], on peut préciser Wa,p quand v( ex) =t= v(f3) en
utilisant la formule de Stokes et on obtient que
~
TY",p = h Xp(a) [ ( h aan
+ in . a (x) ) Ua' Up -
Ua' ( h aan
+ in . a (x) ) Uf3 ]
dS r
(1.37)
r
est une hypersurface compacte et C coupant le segment [xp(a)' x p(f3)] transversalement en un
point za,p et tel que r c Qp(a) n Qp(f3)' le vecteur n = n(x) désigne la normale à r en x dirigée de
Qp(a) vers Qp(/3) et dS r la mesure Riemannienne induite sur r par dx. Si v( ex) = v(f3) on a
toujours TY",p = ü(e-Bo(So+e)/h\
Dans le cas où il existe une transformation affine et orthogonale sur !R n, g, telle que
g' Xa = x f3 ' V(gx) = V(x) et gol. B(g· x) = B(x)· go\ \;:fx E !Rn, où go est la partie linéaire de
g, alors on peut choisir Qp(a) et Qp(/3) tels que
OO
(1.38)
g' Qp(a) = Qp(p).
Dans ce cas il existe une jauge c/>a,p( x) telle que
a(x)
+ V c/>a, 13 (x)
= goa(g-lx).
P!l et P!lp(f3) sont . alors unitairement équivalents. Par conséquent Àa(h)=Àa(h) et on peut
prendre uf3(x) = e- 11>a,p(x)/h ua (g-lx). On obtient alors dans ce cas que
fJ
v(a)
Wa,p = h
jr Xp(a) [n (x) . V h(a (x»
u
u a( x) . a( g-lx )
-ua(x)(goln(x)· (v h(a(g-lx))u a )(g-lx))] e i 1>a,p(x)/h dS r
(1.39)
La formule (1.39) nous permettra de connaître le comportement asymptotique de TY",f3 dans
certains cas, comme nous allons le voir dans les chapitres suivants.
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
243
2. Développement asymptotique du niveau fondamental et applications
2.1. Méthode BKW
On conserve les hypothèses du Chapitre 1. On s'intéresse à la première valeur propre de P~ et
de sa fonction propre, ceci pour un j donné dans A o. Pour simplifier l'écriture, on note' Q
l'ouvert Qi' Q = Qi' et on suppose que Xi = O. On travaille en coordonnées polaires (r, 0):
r = 1 x 1 et 0 = x / r.
Le potentiel V(x) n'a donc qu'une singularité dans Q, celle-ci étant à l'origine:
V(x)= -Tr- 1 +s(x),
(2.1a)
Test une constante >0,
Si(X) ECOO(Q),
s(x)=sO(x)+r-lsl(x),
i=O,l
et
Sl(O) =0.
(2.1b)
On suppose, ce qui est toujours possible quitte à changer de jauge, que:
diva(x)=O,
'VXEQ,
(diva(x)=\~lDkak(x)).
(2.2)
Notons E ( h) la première valeur propre de P~ et U h ( X ) une function propre associée
normalisée par uh(O) = 1, nous verons plus loin que uh est continu.
La Proposition 1.3 montre que, pour tout h E]O, h o[, E(h) est une valeur propre simple et
que
dist(E(h), a(P~)\ {E(h)}) ~ Ch- 2 ,
(2.3)
(dist( d, 8?J) désigne la distance Euclidienne de d à 8?J). On cherche E (h) sous la forme
E(h)
=
h- 2
L
hiEj ,
(2.4)
j~O
et la fonction propre uh(x) sous la forme
uh(x) = IPh(X) e-<I>h(x)/h 2 ,
avec
IPh(X) = c(h)
L
hjIPj(x),
i~O
c(h) étant une constante>
o.
(2.5)
avec 8> O.
(2.6)
D'après la Proposition 1.3 on a
Eo =
-T 2
2 déf
/(n -1) = - 8 2 ,
Soit <Po(x) défini par: <Po(x) = 8r. La fonction vh(x) = uh(x) e<l>o(x)/h 2 vérifie l'équation
-h 2 D.v h + 2( 8r- l x - h ia(x))· 'Vv h + (1 a 12 + 2ih- 18r- l x· a
+ s )v h
- (E(h) - h- 2E o)v h = 0,
les coefficents de 'Vv h et de vh dans l'équation sont dans Loo(Q), par conséquent, comme Vh est
dans Hl(Q), V h est dans H 2 (Q) en plus il est Holdérien: 1vh(x) - Vh(Y) 1 ~ CI x - y l, 'Vx et
y E Q. Mais les résultats de régularité des solutions d'une équation d'ordre 2 à coéficients dans
LOO (cf. [3]), permettent de voir que v h est en fait de c1assse Cl et à gradient HOlderien, c'est à
dire Holderien d'ordre 2. On peut donc raisonnablement chercher <Ph(X) - <Po(x) ainsi que IPh(X)
Holderien d'ordre 2.
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
244
La présence d'un champ magnétique nécessite d'ajouter un terme imaginaire dans la phase (cf.
[14]), on va donc chercher <Ph(X) sous la forme <Ph(X) = <Po(x) + ihl/;(x).
On écrit l'équation en h:
(h- 2
L hiEi ) <Ph =
(ihLlI/; - 2ih- 18r- l x· \lI/;
+
1
\lI/;
1
2)
<Ph
J:;"l
+ 2( 8r- l x + ih\ll/;)
. \l<Ph - h 2 t:.<Ph - 2ih\l<Ph· a
+ 2ih- l <ph( 8r- 1x + ih\ll/;)· a + (s + 1 a 12)<ph'
(2.7)
(la fonction s(x) est celle de (2.1) et 8 est donnée par (2.6)). Les termes en h- 1 dans (2.7)
mon tren t que 1/; ( x) doit vérifier l'équation:
2i8aA = 2i8r- 1x· a(x) - El.
On obtient que I/;(x)
d'ordre 2, on choisit
=
ft f). a(pf))
dp + i8- l rE 1 , (f)
=
xjr). Comme on cherche I/;(x) Holdérien
(2.8)
on a donc
1/; (x)
1orf). a(pf)) dp
=
cOO(il),
E
(2.9)
ce qui résout l'équation de la phase. Les équations de transport vont découler de
h -2 (
L
hiEi ) <Ph
=
28 ar<Ph + ( 1 \lI/;
12 -
2a . \lI/;
+s +
1
a
12 )
<Ph
J:;,,2
+ ih(t:.I/;<Ph + 2\l<Ph(\l1/; - a)) - h 2 t:.<Ph·
(2.10)
On obtient les équations de transport (Tk ) suivantes.
28 ar<po(x)
avec
+ (wo(x)
W o(x) =
28 ar<Pl(X)
1
\l 1/; (x)
+ (wo(x)
avec rI (x)
=
- E2)<Po(x)
12
+
1
=
a (x)
0,
12 -
2a (x) . \l 1/; (x)
+ s (x) .
-E2)<Pl(x) =E3<Po(x) -rl(x),
i( t:.1/; (x)<Po(x) + 2\l1/; (x) . \l<po(x) - 2a(x) . \l<po(x)).
Pour k)o 2,
28 ar<p k ( x) + ( W o( x) - E 2) <Pk ( X )
avec rk(x)
=
i( <Pk-l(X)
t:.1/;(x)
=
E k + 2<PO ( x) - rk ( X ) ,
+ 2\lI/;(x)· \l<Pk-l(X) -
2a(x)\l<Pk_l(X))
- t:.<Pk-2 (x).
Pour simplifier l'étude de la régularité des <Pk(X), nous allons introduire des espaces de
fonctions adaptés.
Pour tout réel m soit dm l'espace
(2.11)
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
245
dl est une algèbre. Les opérateurs ~ et les Dj opèrent de dl dans d- l . On a les propriétés
suivantes:
dl Cd-l,
(2.12a)
V
Ed l et w Ed- l
V
Ed l et v(x)
w(X) = I(x)
=1=
= vw Ed- 1 .
0, \::Ix E!ï
+ r- 1g(x)
=
(2.12b)
(2.12c)
l/v Ed 1 .
Ed- 1 et 1(0) = 0
= v(x)
= lrw(pO) dp Ed 1 .
o
(2.12d)
D'après (2.1), on a
s Ed1
et
(2.13)
W o Ed- 1 .
On va chercher les crk dans dl. L'équation de transport (To) montre que
<Po(x) = exp ( -1Ô-1
Ia
r
(
(2.14)
wo{pO) - E 2) d P ),
<Po est da~s dl si, d'après (2.12d), on prend E 2 = 10(0), si wo(x) = lo(x)
go E C ro ( Q) et go(O) = O. On obtient donc que
E 2 =SO(O),
+ r- 1go(x), avec 10 et
(SO(x) est défini dans (2.1)).
(2.15)
Dans (Tl) on a alors rI Ed- 1 et donc d'après (2.I2c) et (2.14) on a wl(x) = r1(x)/<poCx) Ed- l .
Mais d'après (Tl)'
(2.16)
<Pl sera dans dl si on prend E3 = 11(0), si w1(x) = Il(x)
gl(O) = O.
On vérifie aisément, grâce à (2.2), que dans ce cas
E3 = i ~ </; (0) = i diva (0) =
+ r-lgl(x),
Il et gl E croCQ) avec
o.
(2.17)
Pour k;;" 2, l'équation de transport (Tk ) donne que
<Pk(X) = -1 ô- 1<po(x)l (w k (pO) -Ek+2) dp,
o
Une récurrence sur k montre que
r
wk(x) = Ik(x)
+ r- 1gk (x)
EfI,
avec wk(x) =rk(x)/<po(x).
(Jk et gk E Cro(!ï) avec gk(O) =
(2.1S)
0),
et donc
(2.19)
<Pk Edt,
si, à chaque étape, on prend
(2.20)
Ek+2 = Ik(O).
De plus, pout tout k, <P2k' W 2k ' i<P2k+1 et
iE2k+ 1 sont donc des réels.
iW 2k +l
sont des fonctions réelles et les sclaraires E2k et
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
246
Remarquons que la détermination de la suite (Ek ) k;;, 0 se prête bien au calcul formeL En effet
si on connaît les coefficients d'ordre ~ N de la série de Taylor en zéro de fo(x) et go(x), à la
k-ième étape, on connaîtra les coefficients d'ordre ~ N - k de la série de Taylor en zéro de fk et
gk; ces derniers permettent de connaitre Ek+2 et ceux de fk+l et gk+l à l'ordre N - k - 1 par un
algorithme simple, compte-tenu de la définition de rk(x) dans (Tk ) et celle de wk(x).
Un argument classique permet de voir que les E2k+l sont nuls pour tout kEN. En effet si
x(x) est une fonction de troncature égale à 1 dans un voisinage de zéro et à support dans Q,
pour tout entier N ~ 0, on considère
Uh,N(X) =x(x) e-<Ph(x)/h 2
N
N
L
hJq;J(x)
Eh,N = h- 2
et
hJEJ .
(2.20)
k~O
k~O
On a e<po/ h2uh ,N Es1'l n HJ(Q), et donc Uh,N
que
L
E
D(P/l). On vérifie aisément qu'il existe C N >
°tel
//(p h - Eh,N )U h,NI/L2 (.Q) ~ hN+n-1CN ,
(2.21a)
Iqt-Eh,)a)(uh,N) 1 ~hN+2n-lCN'
(2.21b)
(2.21c)
Comme p/l est auto-adjoint, on a forcément Eh,N
E ~,
pour tout N, et donc E2k+l = 0; Vk
EN.
Théorème 2.1. On suppose que les hypothèses du Chapitre 1 sont vérifiées. Soit Q un ouvert borné
de ~ n, à frontière de classe CCXl ne rencontrant pas A, et tel que Q ne contient qu'un seul puits
xJEA, JEAo·
Alors la première valeur propre E(h) de la réalisation de Dirichlet de ph sur Q, P/l, et la fonction
propre continue associée, uh(x), et normalisée par uh(x) = 1, vérifient les propriétés suivantes,
pour tout h E ]0, ho[, ho étant choisi > et assez petit.
(i) E(h) est une valeur propre simple.
(ii) E(h) admet un développement asymptotique en h 2 calculable, E(h):::: h-2LJ;;,oh2JE2J' dans
le sens suivant: pour tout entier N ~ 0, il existe C N > tel que
°
°
N
1
E(h) - h- 2
L h 2JE 2;
1
(2.22)
~ h2NCN"
j~O
(iii) Il existe une phase CPh( x) telle que e<Ph(x)/h 2 u h( x) admette un développement asymptotique
en h,
+00
e<P.(X)/h 2 uh (x)::::
L
hJuj(x),
j~O
dans le sens où, pour tout entier N> 0, il existe CN >
° tel que l'on ail
(2.23)
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
De plus, pour toute fonction, C oo ,
existe CX,N > tel que l'on ait
°
x,
247
à support ne rencontrant pas x j et pour tout entier N;;:, 0, il
(2.24)
où ko est un entier indépendant de h, N, X et D. (q{(a) est celui défini dans (1.5)).
Preuve. La démonstration résulte essentiellement de ce qui précède. En effet (2.20) et (2.21)
montrent que, pour tout N, il existe CN > 0 tel que a(pt) n] - CNh N- 1 + Eh N' Eh N +
hN-1CN[ oF fi. La Proposition 1.3 permet d'en déduire que 1E(h) - Eh,N 1 ~ CNh N'-\ ce' qui
établit (2.22).
Pour établir (2.23), on utilise les résultats de Helffer-Sjostrand qui ont permis d'établir le
Théorème 1.4 (cf. Proposition 2.5 de [8]), pour voir que
Il - Cfih; fih,N) 1 ~ h(N-l)/2CN et
(2.25)
114h,N IIL2(.!]) ~ hN-1CN ,
avec fih(X) = uh(x)/ Il uh IIL 2 (.!]), fih,N(X) = Uh,N(X)/ Il Uh,N IIL 2(.!]),
(fih' !!h,N h 2 ('!])!!h,N(X), On a évidemment, compte-tenu de (2.22), que
et
II(ph - E(h))4h,NII ~ CNh N- 1.
Comme pour tout
10,
0<
10
dh,N(x) = !!h(X) -
(2.26)
< 1, on a
f IVllvl 2 dX~EIIV'h(a)vI12+E-lh-2CllvI12,
fJ
'<jvEH~(D),
on déduit de (2.25) et (2.26) que
IIV'h(a )4h,N IIL2(.!]) ~ h N- 3CN ·
(2.27)
L'estimation (2.23) s'obtient alors aisément de (2.25)-(2.27).
Pour établir (2.24), il suffit de suivre la démonstration de la Proposition 1.2 et de remarquer
que, compte-tenu de (1.17), il existe un entier ko tel que, pour tout N;;:, 0, on ait
(ph _ E(h))4h,N = O(h N- ko e-v'-Eo IX- Xj l/h 2 ),
h ~ O.
D
Une première application de (2.22) est la suivante. Supposons que le champ magnétique est
constant et égal à B et que a(x) = B· x. Notons E(h; B) la première valeur propre de pt. On a
alors
E(h; B) = E(h; 0) +
~
X :
~~ o-lh 4 111B1112 + O(h 6 ),
h
~ 0,
où 0 = -lim x ~Xj 1x - x j 1V(x) et IIIBII12 = ~tr B *B (tr A désigne la trace de la matrice A). La
perturbation du niveau fondamental de ph par un champ magnétique constant est donc de
l'ordre de h 4 fois le champ au carré. On a le même résultat si B(x) n'est pas constant à condition
que B(O) ne soit pas nul, il suffit de remplacer dans la formule précédente B par B(O).
2.2. Applications aux symétries
On a une première application à l'étude de la matrice d'interaction W définie dans la
Proposition 1.5. On garde les hypothèses et les notations de la Proposition 1.5.
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type cou/ombien
248
Proposition 2.2. Soit lX = (J, 1) et f3 = (k, 1) avec j =1= k, jet k
[Xj' Xk ] est inclus dans !J j U !J k et que (1.36) est vérifié.
Alors l'élément w,..f3 de la matrice W vérifie
( C- 1h- n -
li
lm
où
Bj,k=
1 e-'\·l(h)lxj-Xkl
w•.• e"-",··
f
I
1
w,.,f3
~
- Re
~
Ch- n -
~
Ch- n
Ao. On suppose que le segment
E
eih-1(Jj.k
(2.28a)
1 e-i\.l(h)lxj-Xkl,
e- À j.1(h)lxj -
Xk- Xj l-l(xk- x J·a(x) dl+
[xj,xj.d
X
f
(2.28b)
kl,
I
Xk- Xj l-l(xk- x J·a(x) dl,
[xk,xj.d
Xj,k est le milieu du segment [Xj' x k ], les intégrales définissant Bj,k sont des intégrales d'arcs
orientés.
Preuve. La démonstration résulte, comme dans [8,14], de (1.36), (1.37), (2.22)-(2.24) et du
théorème de la phase stationnaire. D
Cas du double puits.
Soit Vo(x) un potentiel vérifiant (1.1) et (1.4) avec A = {a} et Ao = {l}. Soit p> O. On
considère le potentiel
V(x) = Vo(Xl
+ p,
x')
+ Vo( -Xl + p,
X'),
X 1 = (2
X , ... , X n)'
SI X = (1
X, X 2, ... , x n) .
(2.29)
Le nouveau potentiel vérifie (1.1) et (1.4) avec A = {Xl' X 2 } et Ao = {l, 2}, et les deux puits sont
symétriques: Xl = (p, 0, ... ,0) = - X 2 .
On suppose que (1.2) et (1.3) sont vérifiés et qu'en plus on a:
diva(x)=O,
(2.30a)
\txE~n,
et, si Jo est la matrice diagonale Jo = diag( -1, 1, ... ,1),
JoB( -xl, x')JO = B{xI, x'),
\;Ix
E
~n.
°
(2.30b)
Théorème 2.3. Sous les hypothèses précédentes, il existe ho> tel que, pour tout h E]O, ho[,
l'opérateur ph admette ses deux premières valeurs propres ÀI (h) et À2 (h) qui sont simples et
asymptotiquement proches. Le "splitting" À 2 (h) - ÀI(h) admet un développement asymptotique de
la forme
À 2 (h) - ÀI(h) :::::: h- n -
l e-2PV-Eo/h2
L
yjh j ,
(2.31)
j)oO
dans le sens suivant. Pour tout entier N
Ih n +1 (À 2 (h) - ÀI(h))
( Eo
=
n
~1
~
e2PV-Eo/h2 -
lim 1 x 1 Vo (X)) .
x--->O
0, il existe CN >
#0 YjhJI
°tel que
~ hN+ICN ,
(2.32)
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
249
Preuve. Comme il n'y a que deux puits symétriques par rapport au plan L = {x E IR n; Xl = O},
on peut choisir QI et Q2 symétriques par rapport à L et tel que QI coupe L. Les hypothèses
(2.29) et (2.30) assurent alors que Pl:1 et Pl:2 sont unitairement équivalents et donc Àll, (h) =
À 2,l(h). L'étude de la matrice W = (U:,fJ)O'~(k,l),fJ~(j,l), k et i E {l, 2}, le Théorème 2.1 et la
Proposition 2.2 donnent le Théorème 2.3. 0
"Splitting" pour H/ dans un champ magnétique.
On travaille dans IR 3, n = 3, avec un champ magnétique constant B. Soit
1 Z 1 = 1 et soit R» l. On considère l'opérateur sur L2(1R3)
Z E
IR 3 tel que
3
HB,R=
L
(Dj-a j (x))2-a(l x l- 1 + Ix-Rzl- l
),
°
i~l
où a> 0 est donné et où a(x) = ~B· x. Si on suppose qu'il existe C> tel que, pour tout R> 1,
on ait 1 B 1 ~ CR- 3 / 2 , et si le champ B est parallèle à z, l'homogénéité permet alors d'utiliser le
Théorème 2.3 et on a les propriétés suivantes. Les deux premières valeurs propres de H B , R' À RI,
et À R,2 sont simples dès que R est assez grand et on a
R- l In(À R
Quand B
=
2 -
,
ÀR
1)
,
~
R->+oo
-
/aj2.
0, ce résultat a été obtenu par [5,22] et aussi [4] (voir aussi [2]).
3. Opérateur de Schrodinger à potentiel périodique
3.1. Cas sans champ magnétique
Soit (Zll ... , zn) une base de IR n et soit K la cellule de base
K= {xElRn; x=
:f, ljzj' IjE] - t ~[, i=I, ... ,n}
(3.1)
:f, yjZj' (Yl, ... ,yJ E71.. n}.
(3.2)
J=l
On considère le réseau T:
T= {YElR n ; Y=
J~l
On fait l'hypothèse suivante sur le potentiel électrique V. Vest réel et périodique:
V(x)=V(x+y),
'<:fyET.
(3.3)
V n'a qu'un seul puits de type coulombien dans K:
V(x)=co(x)+c(x)jlxl,
c(O) < 0,
c(x) et co(x)
'<:fxEK,
E
(3.4)
C"'(K).
On suppose évidemment que n» 2. L'opérateur,
de Friedrichs associée sur L 2 (lR n ).
ph =
-h 2jj.
+ V(x), désignera aussi l'extention
250
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
La théorie de Floquet, (voir par exemple [23]), dit que le spectre de ph est constitué de bandes
(bk(h»k;<d:
O(ph) = oess(ph) = Ubk(h),
bk(h) =
U
(3.5)
t..hk(e) ,
k
où (t..~( e) k ~ 1 est la suite croissante des valeurs propres de l'opérateur de Floquet sur
L 2 (K), ph,O, défini à partir de la forme variationnelle qv(O)(u) sur H\K) avec les conditions
aux bords de Floquet:
(3.6)
L'adaptation des techniques de Helffer et Sjostrand faite par Outassourt [29] dans le cas où V
est C oo marche encore pour notre cas.
On considère un ouvert a à bord C oo vérifiant:
aC
(1 + e)KC
(1 + 2e)K,
(3.7)
où e> 0 est choisi assez petit de façon à ce qu'il n'y ait qu'un seul puits dans a, l'origine. Soit pli
la réalisation de Dirichlet sur a de ph. Soit t..k(a, h) la k-ième valeur propre de pli et soit uZ(x)
la fonction propre associée, normalisée par
Il uZ IIL
2 (Q)
= 1.
Soit X une fonction de troncature à support dans
.
h
f onctIOn
VO,k:
V;,k(X) =
L
a
qui vaut un sur (1
+ e)K. On définit la
(3.8)
eiO'Y'Ty(XuZ)(x),
yET
où 'T/f)(x)=f(x-y) et e·y=L.j~lejYj' si y=L.j~lYjZ.i' et e=(el, ... ,en)E~n. La fonction
U;,k vérifie les conditions de Floquet et on a V;,k E D(ph,{J). De plus grâce à (1.17) on a
h = t.. k (a , h)vO,k
h + O(e-~';-Àk(Q,h)(So+e)/h) ,
phV(),k
où So = inf {
1Z
(3.9)
il; 1 <. j <. n } .
Soit U~,k( x) la fonction propre normalisée de ph,O associée à la k-ième valeur propre ÀO,k( h).
On vérifie aisément en utilisant les techniques du Chapitre 1 que
où d(x) = inf{ 1 x - yi; y ET}. Comme dans [29], les estimations (3.9) et (3.10) permettent de
voir que l'on a
t..(),k(h)
=
t..k(a, h)
+2
L
cos(e· y)~ + O(e- h-\So+e)(-À k(Q,h»1/2),
(3.11)
yET
ceci uniformément en
l'origine et celui en y:
eE
~n.
On a noté dans (3.11)
~
le terme d'intéraction entre le puits à
(3.12)
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
On a ~ = 0, si
1
1 ~ 1 .:::;;
y
1
=
L~~ll
Yj 1 ~ 2. D'après (1.17) il existe No> 0 tel que si
1
y
1
251
= 1 on ait:
Ch-No e-';-ÀkCfJ,h)(So/h).
On en déduit alors les résultats suivants.
Théorème 3.1. Sous les hypothèses (3.3) et (3.4), pour tout entier N> 0 fixé, les N premières
bandes, b1(h), ... , bN(h), vérifient la propriété suivante.
Il existe C et No > 0 tel que, pour tout h > 0 assez petit, on ait:
1
bk(h)
bk(h)
où
1
-~
bk(h)
1
1 .:::;;
Ch-No e-';-À k CSo/h 2 ),
C [-
Vk = 1, ... , N,
C + Àk/h2, C + Àk/h2];
(3.13)
désigne le diamètre de bk(h) et (Àk)k;;"l la suite croissante des valeurs propres de
+ c(O)/1 x 1 sur L2(jRn).
Pour la première bande, on peut préciser le résultat précédant, car d'après (2.28) on a
- Ch- n- 1 e-';-ÀkC So/h 2 ).:::;; ~.:::;;
-
C-1h- n- 1 e-';-À k CSo/h 2 )
si 1 y 1 = 1.
Ceci permet de déduire le théorème suivant.
Théorème 3.2. Sous les hypothèses du Théorème 3.1, il existe C> 0 tel que, pour tout h > 0 assez
petit, on ait
(3.14)
où b1(h) = [b1(h), bt(h)] est la première bande de ph et lX =
et h 2bt(h) ont un développement asymptique en h 2 calculable:
b1(h) ~ bt(h) ~
L
V-c(O) /(n
- 1). De plus h 2b 1 (h)
h- 2+ 2kE 2k .
k;;"O
L'encadrement (3.14) précise le résultat de Knauf ([17]).
3.2. Cas avec un champ magnétique périodique
On suppose que (3.3) est vérifié et que l'on est en présence d'un champ magnétique B(x), Cao
et périodique de même période que V( x):
B(x)=B(x+y),
VyET, VxEjRn.
(3.15)
On peut raisonnablement supposer que le potentiel magnétique est cao:
a(x)
E
cao(jRn; jRn).
La propriété (3.15) montre que, pour tout y
vérifiant
(3.16)
E
T, il existe une fonction réelle et cao, </>/x),
(3.17)
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
252
Au lieu de (3.4), on va supposer que V(x) a dans K un nombre fini de singularités de type
coulombien: il existe un entier N>O, des fonctions (cix»j~O,l, ... ,N et N points dans
K, Xl"'" X N , tels que l'on ait
N
L
V(x)=co(x)+
(3.18a)
cj(x)/Ix-xjl,
j~l
Cj(x)
A
E
déf
K =
CCO(K;
J=
~),
{x l , ... ,XN
}
(3 .18b)
0,1, ... , N,
(3.18c)
cK.
On supposera toujours qu'il existe un indice J, 0 <J < N, tel que
c)x j
)
(3.18)'
< O.
Soit Q un ouvert à frontière CoQ vérifiant
A
K
(3.19a)
cQc2K,
V(x)
E
CXl(Q\A K
(3.19b)
).
Soit pli la réalisation de Dirichlet de ph sur Q. Soit (»'k(Q, h))hl la suite croissante des
valeurs propres de pli et soit (uZ( x)h;" 1 la suite orthonormée de fonctions propres associée.
Théorème 3.3. Sous les hypothèses (3.3), (3.15), (3.16), (3.18)-(3.19), alors pour tout entier M > 0,
il existe deux réels positifs E(M) et C l (M) tels que, pour tout h > 0 assez petit, on ait
dist(Àk(Q, h); Uess(ph))
< C l (M)
e- E(M)h- 2 ,
'<:fk = 1, ... , M.
(3.20)
Il existe en plus y/(M) > 0 et C2 (M) > 0 tels que si fL est un réel vérifiant
C2 (M) e-T/(M)h- 2
<
IfL-Àk(Q, h)l,
'<:fk=I, ... ,M,
fL < À M+ l (Q, h) - C2 (M) e-T/(M)h- 2 ,
(3.21)
alors on a
(3.22)
Preuve. Soit (2 un ouvert contenant A K tel que (2 c Q. Soit M un entier > 0 fixé. Les constantes
> 0 ne dépendant que de M seront notées indépendamment soit E, soit C ou soit Y/. On a
évidemment - Ch- 2 < Àk(Q, h) < - C- lh- 2 , '<:fk = 1, ... , M.
Soit x(x) une fonction de troncature à support dans Q et égale à 1 sur (2. Pour tout y E r et
pout tout k, on considère la fonction vk,/x) = eicpy(x)X(x + y)uZ(x + y) où </>y(x) est celle
définie dans (3.17). Si Qy est l'ouvert Qy = Q - y, pli est unitairement équivalent à pli et
(eicpy(X)uZ(x + y)h;"l est une base orthonormée de foncti~ns propres de Pliy associées aux valeurs
propres (Àk(Q, h»k;"l' La décroissance exponentielle des uZ(x), pour k < M, montre que
Il ( p h -Àk(Q,
h) ) Vk,y Il <Ce -T/h- 2 ,'<:fk-l,
... ,M.
Comme la suite (vk,y)y E r engendre un sous-espace de L 2 (1R n) de dimension infinie, on en déduit
(3.20).
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
253
Soit maintenant J.l vérifiant (3.21). On a J.l ~ - Ch- 2.
Soit P le sous-espace vectoriel de L 2(lR n ) engendré par les Uk,y(x) définis ci-dessus, ceci pour
tout k ~ M et pour tout y Er. Pour tout U E D(ph), on écrit
U=UF+U °
F'
° pl. .
avecUFE p ,uFE
(3.23)
On a UF(X)=LhETO=~~lak,y(U)Uk,/X)), avec (ak,)YETEt2, par conséquent UFED(ph) et
comme U E D(P ) on a aussi u~ E D(p h ).
On vérifie aisément que, si C2 (M) est assez grand et y/(M) assez petit, (3.21) implique
(3.24)
Soit (20 un ouvert contenant K et contenu dans 2K tel que V(x)
spectres de pli et de p;o sont asymptotiquement proches,
E
C OO «(2o \A K
).
Comme les
on peut supposer sans restriction que
Q=(2o:::lK.
(3.25)
Soit alors Xo une fonction de troncature, égale à 1 sur K et à support dans
L x~(x) = 1,
avec Xy(x) = Xo(x
+ y)/(
L
Q.
On a
1/2
(Xo(x
+ P ))2)
(3.26)
pET
yET
On vérifie aisément que l'on a
y
(3.27)
Soit Py le sous-espace propre de Pliy associé aux M premières valeurs propres. On écrit
(3.28)
Comme XyU~ E D(Pli) ainsi que Uy' on a u$ E D(pli)
La décroissance exponentielle des uZ(x), (3.23) et (3.28) permettent de voir que
Il uy Il L2(Dy) ~
C e _."h- 2 11 u~ IIL2(Dy)'
(3.29)
L'hypothèse (3.21) sur J.l et (3.28) montrent que
Il (ph -
J.l) u$IIL2(Dy) ~ Ch- 2 11 u$IIL2(Dy)'
On a donc les estimations suivantes.
II(ph-J.l)uYII:2(Dy)+lqt(a)(uY)I~Ch-41IUylli2(Dy)'
Il (ph -
J.l) u$II:2(D
y)
~ Ch- 4 u$II:2(D + 11 qt( a)( u$) 1·
11
y)
et
(3.30a)
(3.30b)
254
A. Mohamed / Estimations pour l'opérateur de Schrodinger à potentiel de type coulombien
Comme qt(a)(xyu~) = qt(a)(uy) + qt(a)(u~) et que II(ph - p,)xyu~ 11
II(ph - p,)u~ IIZ2(Qy)' on déduit de (3.27)-(3.30) que
II(ph -
2 =
II(ph - p,)uy Ilz2(Q)
y
+
p,) u~112 > Ch- 4 11 u~112 + Ch 2 [ -q~(a)( u~) + 2~qt(a )(xyU~) 1
- C e- 11 h-2110"2
Il UF li,
'Vu E D ( P h) .
(3.31 )
LJ
Mais qt(a)(u~) = Lyqt(a)(xyu~) l '\7X y 1 u~112, comme V(x) et le champ magnétique sont
périodiques et de même période et comme on a 2fV 11 12 dx ~ q~(a)(f) + Ch- 2 11 1 11 2, 'VIE
Hli( D), si h est assez petit, on déduit aisément de (3.31) que
(3.32)
On remarque maintenant que (ph - p,)uF et (ph - p,)2UF sont dans F modulo un ü(e- 11h - 2 ),
plus précisément, on a grâce à (3.23) et à la définition de F que
1((ph_p,)UF ;
(ph-p,)u~)1 =1((ph_p,)\F; u~)1
~ C e- 11h - 2 11
UF
1111 u~ Il.
(3.33)
De (3.23), (3.24), (3.32) et (3.33) on déduit que
Il ( ph -
P, )
u Il
2
> C e - 11 h- Il u Il 2 ,
2
Cette dernière estimation établit (3.22).
'Vu
E
D ( ph) .
0
Remarque. Considérons les transformations unitaires sur L2(~n)
Si les Ty commutent entre eux, alors on peut appliquer la théorie de Floquet et on obtient,
comme dans le cas sans champ magnétique, que le spectre de ph est constitué de bandes
(bk(h)h~l' Si l'hypothèse (3.4) est en plus vérifiée on a alors les analogues des Théorèmes (3.1)
et (3.2).
Si (3.4) est vérifié et s'il existe a E (~*)n tel que les Ty pour y E ar commutent entre eux, la
théorie de Floquet marche encore, il est alors possible de faire une étude plus fine des premières
bandes de ph. L'étude de la matrice d'interaction est fort compliquée dans ce cas comme le
montrent les travaux faites quand V est COCO et n = 2, dans [15,16].
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