Mécanique des uides : uide parfait (PC*) ___________________________________ Question de cours Démontrez le théorème de Bernoulli dans le cas d'un liquide parfait, incompressible, etc. Exercice Siphon On considère le dispositif représenté ci contre, alimenté par un débit D constant. Déterminez le comportement du dispositif en fonction de D. Solution tant que le niveau est sous h2 , il monte. Quand il atteint h2 , début siphon. 2 2 Ligne de courant depuis entrée siphon : v2A + pρA = v2B + pρB . Si juste avant siphon, vA = 0 et pA = p patm + ρg (zp − h1 ). Avec pB = patm car dans le jet, on a vB = 2g (z − h1 ). Le débit de sortie vaut donc d = vB s = s 2g(z − h1 ). Si s 2g(h3 − h1 ) < D, le dispositif déborde. p p • Si s 2g(h2 − h1 ) > D, le niveau descend jusqu'à zmin tel que s 2g(zmin − h1 ) = D • p ______________________________________ Question de cours Démontrez le théorème de Bernoulli dans le cas d'un liquide parfait, incompressible, etc. Exercice Hélice On modélise une souerie par le dispositif représenté ci contre. Dans tout l'exercice, l'air sera supposé être un uide parfait, homogène et incompressible tant qu'il est susamment loin de l'hélice. On ne tiendra pas compte de la pesanteur. 1. Déterminez la diérence de pression P2 − P1 de part et d'autre de l'hélice. 2. En déduire par un bilan de quantité de mouvement la force exercée par l'hélice sur le uide, puis la puissance fournie par l'hélice. 1 3. Retrouver ce résultat par des considération énergétiques. Solution Bernoulli à gauche et à droite : patm ρ = p1 ρ + 2 vavant 2 et patm ρ + v22 2 = p2 ρ + 2 vapres 2 . Conservation du débit : vavant = vapres et on a P2 − P1 = 21 ρv22 . Système = système ouvert +ce qui rentre entre t et t+dt + ce qui sort entre t et t+dt. −−→ − → quantité de mouvement à l'instant t : − p− ouvert (t) + Savant vavant dtρvavant ux −−→ − → quantité de mouvement à l'instant t+dt : − p− ouvert (t + dt) − Sapres vapres dtρvapres ux et Sapres = Savant vapres = vavant donc dp dt = 0, donc Fhelice−jet = −Fpression = (P2 − P1 ) S = 21 Sρv22 et puissance = force x vitesse = 12 Sρvavant v22 = 12 Dm v02 . ______________________________________ Exercice Jet d'eau sur une plaque Un jet d'eau de section transervse e × l arrive avec une vitesse v0 − u→ x sur une plaque inclinée de masse M . On considère qu'il donne naissance à deux jets de sections e1 × l et e2 × l et de vitesse v1 et v2 . On suppose le liquide parfait et incompressible, son écoulement irrotationnel et on négligera les eets de la pesanteur. tance du centre de gravité de la plaque à l'axe. Déterminez l'angle α en négligeant le poids du uide. 1. Déduire de la conservation de la matière une relation entre e, e1 , e2 , v0 , v1 et v2 . 2. Déduire du théorème de Bernouilli une seconde relation entre e, e1 et e2 . 3. En appliquant un bilan de quantité de mouvement à un système convenablement choisi, déterminez l'expression de e1 , e2 et de la force → − F appliquée par le jet sur la plaque. 4. On considère à présent que la plaque est at→ autour duquel tachée à un axe colinéaire à − u z elle peut tourner librement. On note d la dis- Solution 1. Conservation de la matière : débit entrant (lev0 ) = débit sortant (le1 v1 + le2 v2 ) donc ev0 = e1 v1 + e2 v2 . 2. Théorème de Bernoulli : dans les jets libres, p = p0 donc + pρ0 = 21 + pρ0 = 22 + pρ0 car toutes les v0 = v1 = v2 soit e = e1 + e2 avec la relation précédente. v02 2 v2 v2 hypothèses pour théorème général. On a donc 3. Système = système ouvert +ce qui rentre entre t et t+dt + ce qui sort entre t et t+dt. −−→ − → quantité de mouvement à l'instant t : − p− ouvert (t) + lev0 dtρv0 ux → −0 → −0 −−→ quantité de mouvement à l'instant t+dt : − p− ouvert (t + dt) − le1 v1 dtρv1 n + le2 v2 dtρv2 n −−−−→ → − → − dp −−→ −−→ f erme Régime stationaire : − p− = −le1 v1 ρv1 n0 + le2 v2 ρv2 n0 − lev0 ρv0 − u→ ouvert = cste donc x dt • Forces extérieures : − Pression : lLp0 → n car pressiontube f erme − pressioncontact plaque = 0 − pressioncontact plaque − ∗ Plaque sur jet = - jet sur plaque et comme uide parfait, eort purement normal : −F → n 2 Daniel Suchet - 2012 → − → − → − → − → − − → → − 0 PFD : −le1 v1 ρv1 n0 + le2 v2 ρv2 n0 − lev0 ρv0 − u→ x = lLp0 n − F n et ux = cosα n − sinα n et on trouve avec v0 = v1 = v2 ( ( 4. TMC : poids : Mpoids e1/2 = 21 e (1 ± sinα) −e1 + e2 + esinα = 0 ⇔ −leρv02 cosα = lLp0 − F F = lLp0 + leρv02 cosα →. Force : M = F l = l2 Lp + l2 eρv 2 cosα. = −mgdsinα− u z F 0 0 enlève le terme en l Lp0 . Equilibre : l Lp0 + l 2 2 2 eρv02 cosα Pression extérieure . = M gdsinα donc tanα ' l2 eρv02 M gd ___________________________________________ Exercice Force de pression dues au vent sur un hangar On considère un hangar, modélisé par un demi cylindre de rayon R et de longueur L, soumis à un vent dont la vitesse loin du hangar est donnée par v∞ − u→ x . Sur un côté du hangar, une ouverture inniment ne est aménagée sur tout la longueur et on note A un point de cette ouverture. Dans le hangar, l'air est au repos et la pression uniforme. On suppose l'air comme un uide parfait et son écoulement comme incompressible et irrotationnel. 1. Commentez rapidement les hypothèses. −−→ − − 2. Montrez que la vitesse → v de l'écoulement peut être écrite comme → v = gradφ et déterminez l'équation vériée par le potentiel φ. 3. On cherche des solutions de l'équation précédente par analogie avec l'électrostatique. (a) Démontrez qu'en l'absence de charge, le potentiel électrostatique vérie la même équation que φ. (b) Rappelez le potentiel électrostatique crée par une charge ponctuelle en tout point de l'espace et tracez en rapidement les lignes de champ. (c) Rappelez le potentiel électrostatique crée par un dipole en tout point de l'espace et tracez en rapidement les lignes de champ. (d) En déduire qu'on peut chercher φ sous la forme − φ(→ r ) = Arcosθ + B cosθ r2 + C r +D 4. Déterminez l'expression du champ de vitesse. 5. En déduire la force de pression Spar unité de longueur exercée par l'air sur le hangar. Solution 1. Hypothèses −−→ → − −→ − − − 2. rot→ v = 0 ⇒→ v = gradφ et div → v = 0 ⇔ ∆φ = 0 3. Analogies → − (a) Maxwell Gauss : div E = −∆V = 0 (b) Une charge crée V = q 1 4π0 r → − . Le champ associé vérie E = q → 1 − 4π0 r 2 ur donc dr rdθ ∧ Er 0 =0⇔ rEr dθ = 0 ⇔ θ = cste (c) Un dipole crée V = Er Eθ p cosθ 4π0 r 2 → − . Le champ associé vérie E = 2cosθ/r3 sinθ/r3 p 4π0 0 donc dr rdθ ∧ =0 dr r d(sinθ) = 2 cosθdθ sinθ = 2 sinθ ⇒ r = r0 sin2 θ (d) Par linéarité, on peut prendre une CL de toutes les solutions précédentes. r cosθ = x marche aussi, donc on peut l'ajouter. 3 Daniel Suchet - 2012 − C 4. φ(→ r ) = Arcosθ + B cosθ r2 + r + D R3 C v cosθ 1 − 3 ∞ − Acosθ − 2B cosθ r r3 r2 → − 3 = v = −Asinθ − B sinθ r3 −v∞ sinθ 1 + Rr3 0 0 → − v (r = ∞) = − v→ ∞ donc A = v∞ vr (r = R) = 0 ∀θ donc 2B = R2 A et C = 0 2 2 2 1 − 4sin2 θ = p∞ + ρ2 v∞ donc p(R, θ) = p∞ + ρ2 v∞ − 2ρv∞ sin2 θ. 2 Pour θ = π, p(R, θ) = pA donc pext (R, θ) = pA − 2ρv∞ sin2 θ. − → →. Seule la composante suivant − → 2 Sur un morceau LRdθ, la force vaut pA LRdθur − pA − 2ρv∞ sin2 θ LRdθ− u u r z 2 compte ie 2ρv∞ sin2 θLRdθ (sinθ). La force totale par unité de longueur vaut donc 5. Bernouilli donne 2 2ρv∞ R ´π 0 v2 2 + ρp = cste = 2 v∞ 2 2 sin2 θsinθdθ = −2ρv∞ R + pρ∞ ´π 0 h 2 1 − cos2 θ d(cosθ) = 2ρv∞ R −cosθ + cos3 θ 3 iπ 0 2 = 83 ρv∞ R ___________________________________________ 4 Daniel Suchet - 2012
