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Détente gaz réel méthane

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LYCEE D'EXCELLENCE
BENGUERIR
DEVOIR LIBRE DE THERMODYNAMIQUE
Dans tout le problème, le gaz naturel est assimilé à du méthane pur, de masse molaire M = 16 g.mol-1 .
On rappelle que : 1 bar = 105 Pa .
1. Refroidissement du gaz naturel
Pour toute cette partie :
* Le mélange est assimilé à un gaz de Van der Waals dont l'équation d'état pour une mole s'écrit :
p=
RT
a
− 2
V−b V
avec a = 0,232 Pa.m6.mol-1 ; b = 4,33.10-5m3 .mol-1 et R = 8,31 J.K-1.mol-1
* On adopte l'expression approchée suivante pour l'enthalpie molaire H du méthane, qu’on ne demande pas d’établir:
2a 
H = H 0 + (CV + R ) T +  b −
p
RT 

où H0 est une constante.
1.1. S désignant l'entropie molaire, T la température et V le volume molaire, on rappelle la relation mettant
en jeu les coefficients calorimétriques CV et l d'un fluide réel :
T dS = CV dT + l dV
1.1.a Établir les relations de Clapeyron :
 ∂2 p 
 ∂p 
 ∂C 
l = T   ;  V  = T  2 
 ∂T  V  ∂V  T
 ∂T  V
1.1.b. Montrer que CV est indépendant du volume V ; on admettra que CV est aussi indépendant de la température et on prendra CV = 27,0 J.K-1. mol-1 . Exprimer l en fonction de R , T , V et b . En déduire l'expression de la
variation d'énergie interne molaire U2 – U1 entre deux états E1 (V1 ,T1 ) et E2 (V2 ,T2 ) en fonction de CV , a , V1 , V2 ,
T1 , T2 .
l.2.a. On réalise une détente (D) du méthane dans une conduite calorifugée munie d'un étranglement où les
frottements sont importants : le fluide évolue de l'état E1 (p1 ,T1 ) à l'état E2 (p 2 ,T2 ) avec p2 < p l et on admet que son
enthalpie molaire est conservée : H1 = H2 .
- Calculer (∂H /∂T)p ; que peut-on en conclure sur le sens des variations de H avec T à p constante ?
- Calculer (∂H /∂p)T, ; discuter le sens des variations de H avec p à T constante en fonction de T .
- En déduire que la détente (D) peut permettre de refroidir le fluide quelle que soit la valeur de la pression finale p 2 , dès lors que la température initiale T1 est inférieure à une température limite TL qu'on exprimera en fonction de a , b et R . Calculer numériquement TL pour le méthane.
1.2.b. On réalise une détente (D) du méthane et on fixe la pression finale à p 2 = 1,2 bar.
-Quel est l'intérêt, en termes de séurité de l'installation de choisir p 2 légèrement supérieure à la pression atmosphérique ?
-Calculer la valeur qu'il faut choisir pour la pression initiale p l si on veut atteindre T2 = 120 K en partant de
Tl = 300 K .
1.3. Le coût de la compression initiale nécessaire en1.2.b étant excessif on refroidit le mélange jusqu'à Tl =
160 K avant de le détendre. Établir l'expression de l'entropie molaire du mélange en fonction de la température et
du volume.
-Calculer la variation d'entropie d'une mole de mélange évoluant selon une détente (D) de l'état E1 (Tl = 160
K, p 1 = 47,8 bar) à l'état E2 (T2 = 120 K, p 2 = 1,2 bar): on pourra admettre que les volumes numériques (tirés de
l'équation d'état) sont resp. V1 = 4,7 10-4 m3 et V2 = 8,1 10-3 m3 .
- Calculer l'entropie créée (ou variation d'entropie de l'univers) au cours de cette évolution et commenter.
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