Détente gaz réel méthane

DEVOIR LIBRE DE THERMODYNAMIQUE
Dans tout le problème, le gaz naturel est assimilé à du méthane pur, de masse molaire M = 16 g.mol-1 .
On rappelle que : 1 bar = 105 Pa .
1. Refroidissement du gaz naturel
Pour toute cette partie :
* Le mélange est assimilé à un gaz de Van der Waals dont l'équation d'état pour une mole s'écrit :
2
V
a
bV
RT
p−
−
=avec a = 0,232 Pa.m6.mol-1 ; b = 4,33.10-5m3.mol-1 et R = 8,31 J.K-1.mol-1
* On adopte l'expression approchée suivante pour l'enthalpie molaire H du méthane, qu’on ne de-
mande pas d’établir:
( ) p
RT
a2
bTRCHH V0
−+++= où H0 est une constante.
1.1. S désignant l'entropie molaire, T la température et V le volume molaire, on rappelle la relation mettant
en jeu les coefficients calorimétriques CV et l d'un fluide réel :
T dS = CV dT + l dV
1.1.a Établir les relations de Clapeyron :
V
2
2
T
V
VTp
T
V
C
;
T
p
Tl
∂ ∂
=
∂
∂
∂
∂
=
1.1.b. Montrer que CV est indépendant du volume V ; on admettra que CV est aussi indépendant de la tempé-
rature et on prendra CV = 27,0 J.K-1. mol-1 . Exprimer l en fonction de R , T , V et b . En déduire l'expression de la
variation d'énergie interne molaire U2 – U1 entre deux états E1 (V1 ,T1) et E2 (V2 ,T2) en fonction de CV , a , V1 , V2 ,
T1 , T2 .
l.2.a. On réalise une détente (D) du méthane dans une conduite calorifugée munie d'un étranglement où les
frottements sont importants : le fluide évolue de l'état E1(p1 ,T1) à l'état E2(p2 ,T2) avec p2 < pl et on admet que son
enthalpie molaire est conservée : H1 = H2 .
- Calculer (∂H /∂T)p; que peut-on en conclure sur le sens des variations de H avec T à p constante ?
- Calculer (∂H /∂p)T, ; discuter le sens des variations de H avec p à T constante en fonction de T .
- En déduire que la détente (D) peut permettre de refroidir le fluide quelle que soit la valeur de la pression fi-
nale p2 , dès lors que la température initiale T1 est inférieure à une température limite TL qu'on exprimera en fonc-
tion de a , b et R . Calculer numériquement TL pour le méthane.
LYCEE D'EXCELLENCE
BENGUERIR

1.2.b. On réalise une détente (D) du méthane et on fixe la pression finale à p2 = 1,2 bar.
-Quel est l'intérêt, en termes de séurité de l'installation de choisir p2 légèrement supérieure à la pression at-
mosphérique ?
-Calculer la valeur qu'il faut choisir pour la pression initiale pl si on veut atteindre T2 = 120 K en partant de
Tl = 300 K .
1.3. Le coût de la compression initiale nécessaire en1.2.b étant excessif on refroidit le mélange jusqu'à Tl =
160 K avant de le détendre. Établir l'expression de l'entropie molaire du mélange en fonction de la température et
du volume.
-Calculer la variation d'entropie d'une mole de mélange évoluant selon une détente (D) de l'état E1 (Tl = 160
K, p1 = 47,8 bar) à l'état E2 (T2 = 120 K, p2 = 1,2 bar): on pourra admettre que les volumes numériques (tirés de
l'équation d'état) sont resp. V1 = 4,7 10-4 m3 et V2 = 8,1 10-3 m3.
- Calculer l'entropie créée (ou variation d'entropie de l'univers) au cours de cette évolution et commenter.