LYCEE D'EXCELLENCE BENGUERIR DEVOIR LIBRE DE THERMODYNAMIQUE Dans tout le problème, le gaz naturel est assimilé à du méthane pur, de masse molaire M = 16 g.mol-1 . On rappelle que : 1 bar = 105 Pa . 1. Refroidissement du gaz naturel Pour toute cette partie : * Le mélange est assimilé à un gaz de Van der Waals dont l'équation d'état pour une mole s'écrit : p= RT a − 2 V−b V avec a = 0,232 Pa.m6.mol-1 ; b = 4,33.10-5m3 .mol-1 et R = 8,31 J.K-1.mol-1 * On adopte l'expression approchée suivante pour l'enthalpie molaire H du méthane, qu’on ne demande pas d’établir: 2a H = H 0 + (CV + R ) T + b − p RT où H0 est une constante. 1.1. S désignant l'entropie molaire, T la température et V le volume molaire, on rappelle la relation mettant en jeu les coefficients calorimétriques CV et l d'un fluide réel : T dS = CV dT + l dV 1.1.a Établir les relations de Clapeyron : ∂2 p ∂p ∂C l = T ; V = T 2 ∂T V ∂V T ∂T V 1.1.b. Montrer que CV est indépendant du volume V ; on admettra que CV est aussi indépendant de la température et on prendra CV = 27,0 J.K-1. mol-1 . Exprimer l en fonction de R , T , V et b . En déduire l'expression de la variation d'énergie interne molaire U2 – U1 entre deux états E1 (V1 ,T1 ) et E2 (V2 ,T2 ) en fonction de CV , a , V1 , V2 , T1 , T2 . l.2.a. On réalise une détente (D) du méthane dans une conduite calorifugée munie d'un étranglement où les frottements sont importants : le fluide évolue de l'état E1 (p1 ,T1 ) à l'état E2 (p 2 ,T2 ) avec p2 < p l et on admet que son enthalpie molaire est conservée : H1 = H2 . - Calculer (∂H /∂T)p ; que peut-on en conclure sur le sens des variations de H avec T à p constante ? - Calculer (∂H /∂p)T, ; discuter le sens des variations de H avec p à T constante en fonction de T . - En déduire que la détente (D) peut permettre de refroidir le fluide quelle que soit la valeur de la pression finale p 2 , dès lors que la température initiale T1 est inférieure à une température limite TL qu'on exprimera en fonction de a , b et R . Calculer numériquement TL pour le méthane. 1.2.b. On réalise une détente (D) du méthane et on fixe la pression finale à p 2 = 1,2 bar. -Quel est l'intérêt, en termes de séurité de l'installation de choisir p 2 légèrement supérieure à la pression atmosphérique ? -Calculer la valeur qu'il faut choisir pour la pression initiale p l si on veut atteindre T2 = 120 K en partant de Tl = 300 K . 1.3. Le coût de la compression initiale nécessaire en1.2.b étant excessif on refroidit le mélange jusqu'à Tl = 160 K avant de le détendre. Établir l'expression de l'entropie molaire du mélange en fonction de la température et du volume. -Calculer la variation d'entropie d'une mole de mélange évoluant selon une détente (D) de l'état E1 (Tl = 160 K, p 1 = 47,8 bar) à l'état E2 (T2 = 120 K, p 2 = 1,2 bar): on pourra admettre que les volumes numériques (tirés de l'équation d'état) sont resp. V1 = 4,7 10-4 m3 et V2 = 8,1 10-3 m3 . - Calculer l'entropie créée (ou variation d'entropie de l'univers) au cours de cette évolution et commenter.
