Intégration sur un segment

Intégration sur un segment
I. Fonctions continues par morceaux
Soit a < b ∈ ℝ .
1°) Subdivision d’un segment
Déf : On appelle subdivision d’un segment [a ,b ] , toute famille finie de réels σ = (a 0 , a1 ,...,an ) telle que :
a = a 0 < a1 < ... < an = b .
Les ai sont alors appelés points de subdivision et les ]ai −1 ,ai [ sont appelés intervalles de subdivision.
p(σ )
a
b
a0
a1 a2
Déf : Soit σ = (a 0 , a1 ,...,an ) une subdivision de [a ,b ] .
a3
a4
On appelle pas de la subdivision σ le réel p (σ ) = max(ai −ai −1 ) .
1≤i ≤n
Déf : Soit σ = (a 0 , a1 ,...,an ) une subdivision de [a ,b ] . On appelle support de σ l’ensemble :
Supp(σ ) = {a 0 ,a1 ,...,an } .
Déf : Soit σ et σ ′ deux subdivisions de [a ,b ] . On dit que σ est plus fine que σ ′ ssi Supp(σ ′) ⊂ Supp(σ ) .
Déf : Soit σ1 et σ2 deux subdivisions de [a ,b ] . On appelle réunion de σ1 et σ2 la subdivision σ de support
Supp(σ1 ) ∪ Supp(σ2 ) .
2°) Fonction en escalier
Déf : Une fonction f : [a ,b ] → ℝ est dite en escalier ssi il existe σ = (a 0 , a1 ,...,an )
subdivision de [a ,b ] pour laquelle : ∀1 ≤ i ≤ n , f est constante sur ]ai −1 ,ai [ .
Cette subdivision σ est alors dite adaptée à f .
a
a0
Déf : On note E ([a ,b ], ℝ ) l’ensemble de ces fonctions.
a1
b
a3
a2
Prop : Soit f , g : [a ,b ] → ℝ et λ ∈ ℝ . Si f et g sont en escalier alors λ.f , f + g , fg , f le sont aussi.
3°) Fonction continue par morceaux
Déf : Une fonction f : [a ,b ] → ℝ est dite continue par morceaux ssi
il existe σ = (a 0 , a1 ,...,an ) subdivision de [a ,b ] pour laquelle :
∀1 ≤ i ≤ n , f est continue sur ]ai −1 ,ai [ et
a
a0
∀1 ≤ i ≤ n , lim
f , lim
f existent et sont finies.
+
−
ai−1
ai
a1
a2
b
a3
La subdivision σ est alors dite adaptée à la fonction f .
0
Déf : On note Cpm
([a ,b ], ℝ ) l’ensemble de ces fonctions.
Prop : Soit f , g : [a ,b ] → ℝ et λ ∈ ℝ .
Si f et g sont continues par morceaux alors λ.f , f + g , fg , f le sont aussi.
Prop : Toute fonction continue par morceaux sur [a ,b ] y est bornée.
4°) Approximation par des fonctions en escalier
Théorème :
Soit f : [a ,b ] → ℝ continue par morceaux.
ϕ ≤ f ≤ ψ
∀ε > 0, ∃ϕ, ψ ∈ E ([a ,b ], ℝ ) telles que 
.

0 ≤ ψ − ϕ ≤ ε
-1/8-
y = ψ (x )
ε
y = f (x )
a
y = ϕ (x )
b
x
h2
II. Construction de l’intégrale
h3
h1
1°) Intégrale d’une fonction en escalier
Soit a < b ∈ ℝ .
a
a0
a) définition
a1
a2
b
a3
Soit f : [a ,b ] → ℝ une fonction en escalier. Soit σ = (a 0 ,..., an ) une subdivision adaptée à f .
n
∀1 ≤ i ≤ n , posons hi la valeur de f sur ]ai −1 ,ai [ . On pose I σ ( f ) = ∑ hi (ai −ai −1 ) .
i =1
On peut montrer que I σ ( f ) est indépendante de la subdivision σ adaptée à f choisie.
Déf : Cette quantité est appelée intégrale de la fonction en escalier f sur [a ,b ] . On la note I [a ,b ] ( f ) .
b) propriétés
Prop : Soit f , g : [a ,b ] → ℝ en escalier et λ ∈ ℝ . I [a ,b ] (λ.f ) = λ.I [a ,b ] ( f ) et I [a ,b ] ( f + g ) = I [a ,b ] ( f ) + I [a ,b ] (g ) .
Prop : Soit f , g : [a ,b ] → ℝ en escalier.
Si f ≥ 0 alors I [a ,b ] ( f ) ≥ 0 .
Si f ≤ g alors I [a ,b ] ( f ) ≤ I [a ,b ] (g ) .
Prop : Soit f : [a ,b ] → ℝ en escalier et c ∈ ]a ,b[ . I [a ,b ] ( f ) = I [a ,c ] ( f ) + I [c ,b ] ( f ) .
2°) Définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux.
Soit a < b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℝ continue par morceaux.
Γf
Notons : Φ = {ϕ ∈ E ([a ,b ], ℝ ) / ϕ ≤ f }
}
Γf
Γϕ
et Ψ = {ψ ∈ E ([a ,b ], ℝ ) / f ≤ ψ} .
{
Γψ
{
}
Posons I − = I [a ,b ] (ϕ ) / ϕ ∈ Φ et I + = I [a ,b ] (ψ ) / ψ ∈ Ψ . a
On montre l’existence et l’égalité de sup I
−
a
b
b
+
et de inf I .
Déf : Cette valeur commune est appelée intégrale de f sur [a ,b ] . On la note
∫[
a ,b ]
f ou
∫[
a ,b ]
f (t )dt .
3°) Propriétés de l’intégrale
Soit a < b ∈ ℝ .
a) linéarité
Théorème :
Soit f , g : [a ,b ] → ℝ continues par morceaux et λ ∈ ℝ . ∫
[a ,b ]
Cor : Si f = g sauf en un nombre fini de points alors
∫[
a ,b ]
f =∫
λf = λ∫
[a ,b ]
[a ,b ]
f et
∫[
a ,b ]
g.
b) croissance
Théorème :
Soit f , g : [a ,b ] → ℝ continues par morceaux
Si f ≥ 0 alors
∫[
Si f ≤ g alors
∫[
a ,b ]
a ,b ]
f ≥0 .
f ≤∫
[a ,b ]
g.
Cor : Soit f : [a ,b ] → ℝ continue par morceaux. On a
∫[
a ,b ]
f ≤∫
[a ,b ]
f .
c) relation de Chasles
Théorème :
Soit f : [a ,b ] → ℝ continue par morceaux et c ∈ ]a ,b[ .
-2/8-
∫[
a ,b ]
f =∫
[a ,c ]
f +∫
[c ,b ]
f.
f +g = ∫
[a ,b ]
f +∫
[a ,b ]
g.
Γf
d) inégalité de la moyenne
Déf : Soit f : [a ,b ] → ℝ continue par morceaux.
On appelle valeur moyenne de f sur [a ,b ] le réel µ( f ) =
µ( f )
1
b −a
∫[
a ,b ]
f.
a
Théorème : (inégalité de la moyenne)
Soit f , g : [a ,b ] → ℝ continues par morceaux.
∫[
a ,b ]
fg ≤ sup f
[a ,b ]
∫[
a ,b ]
b
g .
e) inégalité de Cauchy Schwarz

 


Prop : Soit f , g : [a ,b ] → ℝ continues.  ∫ f (t )g (t )dt  ≤  ∫ f (t ) 2 dt  ∫ g (t ) 2 dt  .
 [a ,b ]
  [a ,b ]
 [a ,b ]

2
4°) Extension
Soit I un intervalle de ℝ .
Déf : Une fonction f : I → ℝ est dite continue par morceaux ssi f est continue par morceaux sur tout segment
0
(I , ℝ ) l’ensemble de ces fonctions.
[a ,b ] avec a < b ∈ I . On note Cpm
Déf : Soit f : I → ℝ continue par morceaux et a ,b ∈ I .

 ∫[a ,b ] f

b
b
b
On définit ∫ f (ou encore ∫ f (t )dt ) par : ∫ f = 
 0
a
a
a

−
f
 ∫[b ,a ]
Théorème :
Soit f , g : I → ℝ continues par morceaux et λ , µ ∈ ℝ .
Pour tout a ,b ∈ I on a
∫
b
a
b
si a < b
si a = b
si a > b
b
λ f + µg = λ ∫ f + µ ∫ g .
a
a
Théorème :
Soit f : I → ℝ continue par morceaux et a ,b , c ∈ I .
∫
b
a
c
b
f = ∫ f +∫ f .
a
c
III. Primitives et intégrales
Soit I un intervalle non singulier
1°) Primitives d’une fonction
Déf : On appelle primitive d’une fonction f : I → ℝ , s’il en existe, toute fonction F : I → ℝ dérivable telle
que F ′ = f .
Prop : Si f : I → ℝ admet une primitive F alors l’ensemble des primitives de f est constitué des fonctions de
la forme t ֏ F (t ) +C avec C ∈ ℝ
Déf : On note :
∫ f (t )dt = F (t ) +C
te
pour signifier que F est une primitive de f et pour Prop :
f , g : I → ℝ et λ , µ ∈ ℝ .
Si F et G sont primitives de f et g alors λF + µG est primitive de λ f + µg . Ainsi
∫ λ f (t ) + µg (t )dt = λ ∫ f (t )dt + µ ∫ g (t )dt .
-3/8-
Soit
2°) Primitives de fonctions usuelles
f (t )
∫ f (t )dt
I
t n avec n ∈ ℕ
t n +1
+C te
n +1
ℝ
1
avec n ∈ ℕ \ {0,1}
tn
−
1 1
+C te
n −1 t n −1
ℝ + * ou ℝ − *
t α avec α ∈ ℝ \ {−1}
1 α
t +C te
α +1
ℝ+ *
1
t
ln t +C te
ℝ + * ou ℝ − *
et
et +C te
lnt
t ln t − t +C
sint
− cos t +C te
ℝ
cost
sin t +C
te
ℝ
sht
ch t +C te
ℝ
cht
sh t +C
ℝ
1
1+ t 2
arctan t +C te
ℝ
1
1− t 2
1 1+ t
+C te
ln
2 1− t
]−∞, −1[ , ]−1,1[ et ]1,+∞[
arcsin t +C te
]−1,1[
ln(t + t 2 + 1) +C te
ℝ
ln t + t 2 −1 +C te
]−∞, −1] et [1,+∞[
1
1− t 2
1
1+t 2
1
t −1
2
ℝ
ℝ+ *
te
te
3°) Intégration par primitivation
Théorème :
Soit f : I → ℝ une fonction continue et a ∈ I .
x
f possède une unique primitive qui s’annule en a , c’est la fonction x ֏ ∫ f (t )dt .
a
Cor : Toute fonction réelle continue sur un intervalle I y admet des primitives.
b
Cor : Soit f : I → ℝ continue et F une primitive de f . ∀a ,b ∈ I , ∫ f (t )dt = [F (t )]a = F (b ) − F (a ) .
b
a
4°) Positivité de l’intégrale d’une fonction continue
Théorème :
Soit a < b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℝ . Si f est continue, positive et
En particulier :
Soit a < b et f : [a ,b ] → ℝ continue.
∫
b
Si
∫
b
Si
a
a
f (t ) dt = 0 alors f = 0 .
f 2 (t )dt = 0 alors f = 0 .
-4/8-
∫
b
a
f (t )dt = 0 alors f = 0 .
Cor : Soit a < b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℝ continue.
Si f ≥ 0 et f ≠ 0 alors
∫
b
Si f ≤ 0 et f ≠ 0 alors
∫
b
a
a
f (t )dt > 0 .
f (t )dt < 0 .
Cor : Soit a < b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℝ continue.
Si
∫
b
a
f (t )dt = 0 alors f = 0 ou bien f prend une valeur strictement positive et une valeur strictement
négative. Dans les deux cas : ∃c ∈ ]a ,b[ , f (c ) = 0 .
5°) Fonction définie par une intégrale
Pour dériver une fonction définie par g (x ) = ∫
v (x )
u (x )
f (t )dt avec f fonction continue, on introduit F primitive de
f et on a alors g (x ) = F (v (x )) − F (u (x )) qui permet d’obtenir g ′(x ) = v ′(x ) f (v (x )) − u ′(x ) f (u (x )) .
IV. Intégration par parties
Soit I un intervalle non singulier.
1°) Primitivation par parties
Soit u , v deux fonctions dérivables sur I .
uv est dérivable sur I et (uv ) ′ = u ′v + uv ′ .
Ainsi
∫ u ′v = ∫ (uv )′ − uv ′ = uv − ∫ uv ′ .
2°) Détermination de
∫ P (x )e
αx
dx
Soit P une fonction polynomiale de degré n ∈ ℕ et α ∈ ℝ * .
2 méthodes usuelles :
(1) Par ipp successives :
1
1
1
1
(−1)n (n )  αx
αx
αx
αx
te
∫ P (x )e dx = α P (x )e − α ∫ P ′(x )e dx =  α P (x ) − α 2 P ′(x ) + ... + αn +1 P (x )e +C
(2) D’après l’étude ci-dessus :
∫ P (x )e
αx
dx = Q (x )eαx +C te avec Q fonction polynomiale de degré n .
On peut alors chercher Q par coefficients inconnus de sorte que :
(Q (x )eαx ) ′ = (Q ′(x ) + αQ (x ))eαx = P (x )eαx .
3°) Détermination de
∫ P (x ) cos(αx )dx
et
∫ P (x )sin(αx )dx
Soit P une fonction polynomiale de degré n ∈ ℕ et α ∈ ℝ ∗ . Détermination de
∫ P (x ) cos(αx )dx .
2 méthodes usuelles :
(1) Par ipp successives : ∫ P (x )cos(αx )dx =
(2) Par l’étude ci-dessus :
1
1
P (x )sin αx − ∫ P ′(x )sin(αx )dx = ...
α
α
∫ P (x ) cos(αx )dx = A(x ) cos(αx ) + B (x )sin(αx ) +C
te
avec A, B fonctions
polynomiales de degrés inférieurs à n . On peut alors chercher A et B par coefficients inconnues de sorte que :
(A(x ) cos αx + B (x ) sin αx )′ = P (x ) cos αx
Détermination
∫ P (x )sin(αx )dx
: idem
-5/8-
4°) Intégration par parties
Théorème :
Soit u , v : I → ℝ de classe C 1 et a ,b ∈ I .
∫
b
a
b
u ′v = [uv ]a − ∫ uv ′ .
b
a
V. Changement de variables
Soit I et J des intervalles non singuliers
1°) Idée
Soit u : I → J et F : J → ℝ dérivables. F u est dérivable et (F u ) ′ = u ′×F ′ u .
On note encore (F (u )) ′ = u ′F ′(u ) . Ainsi
∫ u ′F ′(u ) = F (u ) +C .
En particulier :
1 n +1
u +C te ,
n +1
u′
1
1
Pour n ∈ ℕ, n ≥ 2 , ∫ n = −
+C te ,
u
n −1 u n−1
1
u α +1 +C te (en particulier α = ±1 2 ).
Pour α ∈ ℝ , ∫ u ′u α du =
α +1
u′
te
u
u
te
te
te
∫ u = ln u +C , ∫ u ′e = e +C , ∫ u ′ sin u = − cos u +C , ∫ u ′ cos u = sin u +C ,
te
te
∫ u ′ sh u = ch u +C , ∫ u ′ ch u = sh u +C ,
Pour n ∈ ℕ ,
u′
∫ 1+ u
2
∫ u ′u
n
=
= arctan u +C te .
2°) Primitivation par changement de variables
Soit u : I → J dérivable et f : J → ℝ possédant une primitive F .
∫ u ′(t ) f (u (t ))dt = F (u (t )) +C . Pour exploiter cette formule, on écrit :
x = u (t ) , dx = u ′(t )dt : ∫ u ′(t ) f (u (t ))dt = ∫ f (x )dx = F (x ) +C = F (u (t )) +C
te
On a
te
te
.
Lors de cette manipulation, on dit qu’on a réalisé le changement de variable défini par la relation x = u (t ) .
3°) Intégration par changement de variables
Théorème :
Soit u : I → J de classe C 1 et f : J → ℝ continue.
b
∀a ,b ∈ I , ∫ f (u (t ))u ′(t )dt = ∫
a
u (b )
u (a )
f (x )dx .
4°) Changement de variables affines
a) principe
Les changements de variables affines sont ceux de la forme x = α t + β avec α, β ∈ ℝ et α ≠ 0 .
b) propriétés géométriques
b
Prop : Soit τ ∈ ℝ et f : ℝ → ℝ continue. ∀a ,b ∈ ℝ, ∫ f (t + τ )dt = ∫
b +τ
a +τ
a
f (t )dt .
Prop : Soit a > 0 et f : [−a , a ] → ℝ continue.
Si f est paire alors
∫
Si f est impaire alors
a
−a
a
f (t )dt = 2 ∫ f (t )dt .
0
∫
a
−a
f (t )dt = 0 .
Prop : Soit T > 0 et f : ℝ → ℝ continue et T périodique. ∀a ∈ ℝ, ∫
a
-6/8-
a +T
T
f (t )dt = ∫ f (t )dt .
0
VI. Méthodes d’approximation d’intégrales
Soit a < b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℝ continue. Notre objectif est d’approcher numériquement
∫
b
a
f (t )dt .
1°) Par les sommes de Riemann
Soit n ∈ ℕ∗ et ∀ 0 ≤ k ≤ n ,ak = a + k
Rn+ =
b −a
.
n
b −a n
b −a
b −a n −1
b −a
f (ak ) =
f (ak ) =
( f (a1 ) + ⋯ + f (an )) et Rn− =
( f (a 0 ) + ⋯ + f (an −1 ))
∑
∑
n k =1
n
n k =0
n
Déf : Rn+ (resp. Rn− ) est appelée somme de Riemann associée aux rectangles à droites (resp. à gauche) de la
fonction f .
Théorème :
b
Si f est k lipschitzienne (en particulier si f est C 1 ) alors Rn+ , Rn− → ∫ f (t )dt
a
En particulier : Pour a = 0 et b = 1 .
1
1
1 n k 
1 n −1  k 
Soit f : [ 0,1] → ℝ continue. ∑ f   → ∫ f (t ) dt et ∑ f   → ∫ f (t )dt .
0
0
n k =1  n 
n k =0 n 
2°) Méthode des trapèzes
b −a
.
n
n
b −a
b −a  f (a 0 )
f (an ) 
Tn = ∑
( f (ak −1 ) + f (ak )) =
+ f (a1 ) + ⋯ + f (an −1 ) +
.


2
n
n
2
2 
k =1
Soit n ∈ ℕ∗ et ∀ 0 ≤ k ≤ n ,ak = a + k
Théorème :
Si f est de classe C 2 alors Tn = ∫ f (t )dt +O (1 n 2 ) l’erreur est un O (1 n 2 ) .
b
a
3°) Méthode de Simpson
a + ak 
b −a n
Sn =
f (ak −1 ) + 4 f  k −1
 + f (ak ) .
∑


6n k =1
2
Théorème :
Si f est de classe C 3 alors Sn = ∫ f (t )dt +O (1 n 3 ) l’erreur est un O (1 n 2 ) .
b
a
VII. Extension aux fonctions complexes
Soit I un intervalle non singulier de ℝ . Les définitions qui suivent prolongent les définitions réelles.
1°) Construction de l’intégrale d’une fonction complexe
Déf : On dit que f : I → ℂ est une fonction continue par morceaux ssi Re( f ) et Im( f ) le sont. On note
0
Cpm
(I , ℂ) l’ensemble de ces fonctions.
Déf : Soit f : I → ℂ continue par morceaux et a ,b ∈ I .
On appelle intégrale de la fonction f de a à b le complexe :
∫
b
a
b
b
f (t )dt = ∫ Re( f )(t )dt + i ∫ Im( f )(t )dt .
a
a
Prop : Soit f , g : I → ℂ continues par morceaux, λ ∈ ℂ et a ,b ∈ I .
∫
b
a
b
λf = λ∫ f ,
a
∫
b
a
b
b
f + g = ∫ f + ∫ g et
a
a
∫
b
a
b
f =∫ f .
Prop : Soit f : I → ℂ continue par morceaux et a ,b , c ∈ I .
-7/8-
a
∫
b
a
c
b
f = ∫ f +∫ f .
a
c
Théorème :
Soit a ≤ b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℂ continue par morceaux.
∫
b
a
b
f (t )dt ≤ ∫ f (t ) dt .
a
2°) Intégration et dérivation
Déf : Soit f : I → ℂ , on appelle primitive de f s’il en existe toute fonction F : I → ℂ dérivable telle que
F′= f .
Théorème :
Soit f : I → ℂ continue et a ∈ I .
x
f possède une unique primitive s’annulant en a , c’est la fonction x ֏ ∫ f (t )dt .
a
b
Cor : Si F est une primitive de f alors ∀a ,b ∈ I , ∫ f (t )dt = [F (t )]a .
b
a
VIII. Formules de Taylor
I désigne un intervalle non singulier de ℝ .
1°) Formule de Taylor avec reste intégral
Théorème :
Soit f ∈ C n +1 (I , ℂ) et a ∈ I . Pour tout x ∈ I on a :
x (x − t )n
(x −a )2
(x −a )n (n )
f ′′(a ) + ⋯ +
f (a ) + ∫
f (n +1) (t )dt
a
2!
n!
n!
n
x (x − t )n
(x −a )k (k )
soit encore f (x ) = ∑
f (a ) + ∫
f (n +1) (t )dt
a
k!
n!
k =0
f (x ) = f (a ) + (x −a ) f ′(a ) +
(x −a )k (k )
f (a ) est appelée partie régulière du développement de Taylor de f à
∑
k!
k =0
n
Le terme polynomial
l’ordre n en a . Le terme
∫
a
x
(x − t )n (n +1)
f
(t )dt est appelé reste intégral de ce développement.
n!
2°) Inégalité de Taylor Lagrange
Théorème :
Soit f ∈ C n +1 (I , ℂ) et a ∈ I .
On suppose : ∃M ∈ ℝ + , ∀x ∈ I , f (n +1) (x ) ≤ M .
n +1
x −a
(x −a )k (k )
f (a ) ≤
M.
k!
(n + 1)!
k =0
n
On a ∀x ∈ I , f (x ) − ∑
-8/8-