Intégration sur un segment

- 1 / 8 -
a
b
a
0
a
1
a
2
a
3
a
b
a
0
a
1
a
2
a
3
I
In nt té ég gr ra at ti io on n s su ur r u un n s se eg gm me en nt t
I
I. .
F
Fo on nc ct ti io on ns s c co on nt ti in nu ue es s p pa ar r m mo or rc ce ea au ux x
Soit
a b
< ∈
ℝ
.
1
1° °) )
S
Su ub bd di iv vi is si io on n d d’ ’u un n s se eg gm me en nt t
Déf : On appelle subdivision d’un segment
[
]
,
a b
, toute famille finie de réels
0 1
( , ,..., )
n
a a a
σ
=
telle que :
0 1
...
n
a a a a b
= < < < =
.
Les
i
a
sont alors appelés points de subdivision et les
]
[
1
,
i i
a a
−
sont appelés intervalles de subdivision.
Déf : Soit
0 1
( , ,..., )
n
a a a
σ
=
une subdivision de
[
]
,
a b
.
On appelle pas de la subdivision
σ
le réel
1
1
( ) max( )
i i
i n
p a a
σ
−
≤ ≤
= −
.
Déf : Soit
0 1
( , ,..., )
n
a a a
σ
=
une subdivision de
[
]
,
a b
. On appelle support de
σ
l’ensemble :
{
}
0 1
Supp( ) , ,..., n
a a a
σ
=
.
Déf : Soit
σ
et
σ
′
deux subdivisions de
[
]
,
a b
. On dit que
σ
est plus fine que
σ
′
ssi
Supp( ) Supp( )
σ σ
′
⊂
.
Déf : Soit
1
σ
et
2
σ
deux subdivisions de
[
]
,
a b
. On appelle réunion de
1
σ
et
2
σ
la subdivision
σ
de support
1 2
Supp( ) Supp( )
σ σ
∪
.
2
2° °) )
F
Fo on nc ct ti io on n e en n e es sc ca al li ie er r
Déf : Une fonction
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
est dite en escalier ssi il existe
0 1
( , ,..., )
n
a a a
σ
=
subdivision de
[
]
,
a b
pour laquelle : 1
i n
∀ ≤ ≤
,
f
est constante sur
]
[
1
,
i i
a a
−
.
Cette subdivision
σ
est alors dite adaptée à
f
.
Déf : On note
[
]
( , , )
a b
E
ℝ
l’ensemble de ces fonctions.
Prop : Soit
[
]
, : ,
f g a b
→
ℝ
et
λ
∈
ℝ
. Si
f
et
g
sont en escalier alors
. , , ,
f f g fg f
λ
+
le sont aussi.
3
3° °) )
F
Fo on nc ct ti io on n c co on nt ti in nu ue e p pa ar r m mo or rc ce ea au ux x
Déf : Une fonction
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
est dite continue par morceaux ssi
il existe
0 1
( , ,..., )
n
a a a
σ
=
subdivision de
[
]
,
a b
pour laquelle :
1
i n
∀ ≤ ≤
,
f
est continue sur
]
[
1
,
i i
a a
−
et
1
1 ,lim ,lim
i i
a a
i n f f
+ −
−
∀ ≤ ≤
existent et sont finies.
La subdivision
σ
est alors dite adaptée à la fonction
f
.
Déf : On note
[
]
0
( , , )
pm
a b
C
ℝ
l’ensemble de ces fonctions.
Prop : Soit
[
]
, : ,
f g a b
→
ℝ
et
λ
∈
ℝ
.
Si
f
et
g
sont continues par morceaux alors
. , , ,
f f g fg f
λ
+
le sont aussi.
Prop : Toute fonction continue par morceaux sur
[
]
,
a b
y est bornée.
4
4° °) )
A
Ap pp pr ro ox xi im ma at ti io on n p pa ar r d de es s f fo on nc ct ti io on ns s e en n e es sc ca al li ie er r
Théorème :
Soit
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
continue par morceaux.
[
]
0, , ( , , )
a b
ε ϕ ψ
∀ > ∃ ∈
E
ℝ
telles que
0
f
ϕ ψ
ψ ϕ ε
≤ ≤
≤ − ≤
.
p
(
)
σ
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
b
a
y
x
=
ψ
(
)
y
f
x
=
(
)
y
x
=
ϕ
(
)
a
x
b
ε

- 2 / 8 -
a
b
a
0
a
1
a
2
a
3
h
1
h
2
h
3
a
b
Γ
ϕ
Γ
f
a
b
Γ
ψ
Γ
f
I
II I. .
C
Co on ns st tr ru uc ct ti io on n d de e l l’ ’i in nt té ég gr ra al le e
1
1° °) )
I
In nt té ég gr ra al le e d d’ ’u un ne e f fo on nc ct ti io on n e en n e es sc ca al li ie er r
Soit
a b
< ∈
ℝ
.
a
a) ) d dé éf fi in ni it ti io on n
Soit
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
une fonction en escalier. Soit
0
( ,..., )
n
a a
σ
=
une subdivision adaptée à
f
.
1
i n
∀ ≤ ≤
, posons
i
h
la valeur de
f
sur
]
[
1
,
i i
a a
−
. On pose
1
1
( ) ( )
n
i i i
i
I f h a a
σ−
=
= −
∑
.
On peut montrer que
( )
I f
σ
est indépendante de la subdivision
σ
adaptée à
f
choisie.
Déf : Cette quantité est appelée intégrale de la fonction en escalier
f
sur
[
]
,
a b
. On la note
[ ]
,
( )
a b
I f
.
b
b) ) p pr ro op pr ri ié ét té és s
Prop : Soit
[
]
, : ,
f g a b
→
ℝ
en escalier et
λ
∈
ℝ
.
[ ] [ ]
, ,
( . ) . ( )
a b a b
I f I f
λ λ
=
et
[ ] [ ] [ ]
, , ,
( ) ( ) ( )
a b a b a b
I f g I f I g
+ = +
.
Prop : Soit
[
]
, : ,
f g a b
→
ℝ
en escalier.
Si
0
f
≥
alors
[ ]
,
( ) 0
a b
I f
≥
.
Si
f g
≤
alors
[ ] [ ]
, ,
( ) ( )
a b a b
I f I g
≤
.
Prop : Soit
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
en escalier et
]
[
,
c a b
∈
.
[ ] [ ] [ ]
, , ,
( ) ( ) ( )
a b a c c b
I f I f I f
= +
.
2
2° °) )
D
Dé éf fi in ni it ti io on n d de e l l’ ’i in nt té ég gr ra al le e d d’ ’u un ne e f fo on nc ct ti io on n c co on nt ti in nu ue e p pa ar r m mo or rc ce ea au ux x. .
Soit
a b
< ∈
ℝ
et
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
continue par morceaux.
Notons :
[
]
{
}
( , , )/
a b f
ϕ ϕΦ = ∈ ≤Eℝ
et
[
]
{
}
( , , )/a b f
ψ ψ
Ψ = ∈ ≤Eℝ .
Posons
[ ]
{
}
,
( )/
a b
I I ϕ ϕ
−
= ∈Φ
et
[ ]
{
}
,
( )/
a b
I I ψ ψ
+
= ∈ Ψ
.
On montre l’existence et l’égalité de
sup
I
−
et de
inf
I
+
.
Déf : Cette valeur commune est appelée intégrale de
f
sur
[
]
,
a b
. On la note
[ ]
,a b
f
∫
ou
[ ]
,
( )d
a b
f t t
∫
.
3
3° °) )
P
Pr ro op pr ri ié ét té és s d de e l l’ ’i in nt té ég gr ra al le e
Soit
a b
< ∈
ℝ
.
a
a) ) l li in né éa ar ri it té é
Théorème :
Soit
[
]
, : ,
f g a b
→
ℝ
continues par morceaux et
λ
∈
ℝ
.
[ ] [ ]
, ,a b a b
f f
λ λ=
∫ ∫
et
[ ] [ ] [ ]
, , ,a b a b a b
f g f g
+ = +
∫ ∫ ∫
.
Cor : Si
f g
=
sauf en un nombre fini de points alors
[ ] [ ]
, ,a b a b
f g
=
∫ ∫
.
b
b) ) c cr ro oi is ss sa an nc ce e
Théorème :
Soit
[
]
, : ,
f g a b
→
ℝ
continues par morceaux
Si
0
f
≥
alors
[ ]
,
0
a b
f
≥
∫
.
Si
f g
≤
alors
[ ] [ ]
, ,a b a b
f g
≤
∫ ∫
.
Cor : Soit
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
continue par morceaux. On a
[ ] [ ]
, ,a b a b
f f
≤
∫ ∫
.
c
c) ) r re el la at ti io on n d de e C Ch ha as sl le es s
Théorème :
Soit
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
continue par morceaux et
]
[
,
c a b
∈
.
[ ] [ ] [ ]
, , ,a b a c c b
f f f
= +
∫ ∫ ∫
.

- 3 / 8 -
Γ
f
a
µ
(
)
f
b
d
d) ) i in né ég ga al li it té é d de e l la a m mo oy ye en nn ne e
Déf : Soit
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
continue par morceaux.
On appelle valeur moyenne de
f
sur
[
]
,
a b
le réel
[ ]
,
1
( )
a b
f f
b a
µ=
−
∫
.
Théorème : (inégalité de la moyenne)
Soit
[
]
, : ,
f g a b
→
ℝ
continues par morceaux.
[ ] [ ] [ ]
, ,
,
sup
a b a b
a b
fg f g
≤
∫ ∫
.
e
e) ) i in né ég ga al li it té é d de e C Ca au uc ch hy y S Sc ch hw wa ar rz z
Prop : Soit
[
]
, : ,
f g a b
→
ℝ
continues.
[ ] [ ] [ ]
22 2
, , ,
( ) ( ) ( ) ( )
a b a b a b
f t g t t f t t g t t
≤
∫ ∫ ∫
d d d
.
4
4° °) )
E
Ex xt te en ns si io on n
Soit
I
un intervalle de
ℝ
.
Déf : Une fonction :
f I
→
ℝ
est dite continue par morceaux ssi
f
est continue par morceaux sur tout segment
[
]
,
a b
avec
a b I
< ∈
. On note
0
( , )
pm
I
C
ℝ
l’ensemble de ces fonctions.
Déf : Soit :
f I
→
ℝ
continue par morceaux et ,
a b I
∈
.
On définit
b
a
f
∫
(ou encore
( )d
b
a
f t t
∫
) par :
[ ]
[ ]
,
,
si
0 si
si
a b
b
a
b a
f a b
f a b
f a b
<
= =
− >
∫
∫
∫
Théorème :
Soit , :
f g I
→
ℝ
continues par morceaux et ,
λ µ
∈
ℝ
.
Pour tout ,
a b I
∈
on a
b b b
a a a
f g f g
λ µ λ µ+ = +
∫ ∫ ∫
.
Théorème :
Soit :
f I
→
ℝ
continue par morceaux et , ,
a b c I
∈
.
b c b
a a c
f f f
= +
∫ ∫ ∫
.
I
II II I. .
P
Pr ri im mi it ti iv ve es s e et t i in nt té ég gr ra al le es s
Soit
I
un intervalle non singulier
1
1° °) )
P
Pr ri im mi it ti iv ve es s d d’ ’u un ne e f fo on nc ct ti io on n
Déf : On appelle primitive d’une fonction :
f I
→
ℝ
, s’il en existe, toute fonction :
F I
→
ℝ
dérivable telle
que
F f
′
=
.
Prop : Si :
f I
→
ℝ
admet une primitive
F
alors l’ensemble des primitives de
f
est constitué des fonctions de
la forme ( )
t F t C
+
֏
avec
C
∈
ℝ
Déf : On note : ( )d ( )
te
f t t F t C
= +
∫
pour signifier que
F
est une primitive de
f
et pour Prop : Soit
, :
f g I
→
ℝ
et ,
λ µ
∈
ℝ
.
Si
F
et
G
sont primitives de
f
et
g
alors
F G
λ µ
+
est primitive de
f g
λ µ
+
. Ainsi
( ) ( )d ( )d ( )d
f t g t t f t t g t t
λ µ λ µ+ = +
∫ ∫ ∫
.

- 4 / 8 -
2
2° °) )
P
Pr ri im mi it ti iv ve es s d de e f fo on nc ct ti io on ns s u us su ue el ll le es s
( )
f t
( )d
f t t
∫
I
n
t
avec
n
∈
ℕ
1
1
n
te
t
C
n
++
+
ℝ
1
n
t
avec
{
}
\ 0,1
n
∈
ℕ
1
1 1
1
te
n
C
n
t
−
− +
−
*
+
ℝ
ou
*
−
ℝ
t
α
avec
{
}
\ 1
α
∈ −
ℝ
11
te
t C
α
α
+
+
*
+
ℝ
1
t
ln
te
t C
+
*
+
ℝ
ou
*
−
ℝ
e
t
e
t te
C
+
ℝ
ln
t
ln
te
t t t C
− +
*
+
ℝ
sin
t
cos
te
t C
− +
ℝ
cos
t
sin
te
t C
+
ℝ
sh
t
ch
te
t C
+
ℝ
ch
t
sh
te
t C
+
ℝ
2
1
1
t
+
arctan
te
t C
+
ℝ
2
1
1
t
−
1 1
ln
2 1
te
t
C
t
+
+
−
]
[
]
[
, 1 , 1,1
−∞ − −
et
]
[
1,
+∞
2
1
1
t
−
arcsin
te
t C
+
]
[
1,1
−
2
1
1
t
+
2
ln( 1)
te
t t C
+ + +
ℝ
2
1
1
t
−
2
ln 1
te
t t C
+ − +
]
]
, 1
−∞ −
et
[
[
1,
+∞
3
3° °) )
I
In nt té ég gr ra at ti io on n p pa ar r p pr ri im mi it ti iv va at ti io on n
Théorème :
Soit :
f I
→
ℝ
une fonction continue et
a I
∈
.
f
possède une unique primitive qui s’annule en
a
, c’est la fonction
( )d
x
a
x f t t
∫
֏ .
Cor : Toute fonction réelle continue sur un intervalle
I
y admet des primitives.
Cor : Soit :
f I
→
ℝ
continue et
F
une primitive de
f
.
[ ]
, , ( )d ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
a b I f t t F t F b F a
∀ ∈ = = −
∫
.
4
4° °) )
P
Po os si it ti iv vi it té é d de e l l’ ’i in nt té ég gr ra al le e d d’ ’u un ne e f fo on nc ct ti io on n c co on nt ti in nu ue e
Théorème :
Soit
a b
< ∈
ℝ
et
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
. Si
f
est continue, positive et
( )d 0
b
a
f t t
=
∫
alors
0
f
=
.
En particulier :
Soit
a b
<
et
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
continue.
Si
( ) d 0
b
a
f t t
=
∫
alors
0
f
=
.
Si
2
( )d 0
b
a
f t t
=
∫
alors
0
f
=
.

- 5 / 8 -
Cor : Soit
a b
< ∈
ℝ
et
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
continue.
Si
0
f
≥
et
0
f
≠
alors
( )d 0
b
a
f t t
>
∫
.
Si
0
f
≤
et
0
f
≠
alors
( )d 0
b
a
f t t
<
∫
.
Cor : Soit
a b
< ∈
ℝ
et
[
]
: ,
f a b
→
ℝ
continue.
Si
( )d 0
b
a
f t t
=
∫
alors
0
f
=
ou bien
f
prend une valeur strictement positive et une valeur strictement
négative. Dans les deux cas :
]
[
, , ( ) 0
c a b f c
∃ ∈ =
.
5
5° °) )
F
Fo on nc ct ti io on n d dé éf fi in ni ie e p pa ar r u un ne e i in nt té ég gr ra al le e
Pour dériver une fonction définie par
( )
( )
( ) ( )d
v x
u x
g x f t t
=
∫
avec
f
fonction continue, on introduit
F
primitive de
f
et on a alors
( ) ( ( )) ( ( ))
g x F v x F u x
= −
qui permet d’obtenir
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))
g x v x f v x u x f u x
′ ′ ′
= −
.
I
IV V. .
I
In nt té ég gr ra at ti io on n p pa ar r p pa ar rt ti ie es s
Soit
I
un intervalle non singulier.
1
1° °) )
P
Pr ri im mi it ti iv va at ti io on n p pa ar r p pa ar rt ti ie es s
Soit
u
,
v
deux fonctions dérivables sur
I
.
uv
est dérivable sur
I
et ( )
uv u v uv
′ ′ ′
= +
.
Ainsi ( )
u v uv uv uv uv
′ ′ ′ ′
= − = −
∫ ∫ ∫
.
2
2° °) )
D
Dé ét te er rm mi in na at ti io on n d de e
( )e d
x
P x x
α
∫
Soit
P
une fonction polynomiale de degré
n
∈
ℕ
et
*
α
∈
ℝ
.
2 méthodes usuelles :
(1) Par ipp successives :
( )
2 1
1 1 1 1 ( 1)
( )e d ( )e ( )e d ( ) ( ) ... ( ) e
n
x x x n x te
n
P x x P x P x x P x P x P x C
α α α α
α α α α α
+
−
′ ′ 
= − = − + + +
∫ ∫
(2) D’après l’étude ci-dessus :
( )e d ( )e
x x te
P x x Q x C
α α
= +
∫
avec
Q
fonction polynomiale de degré
n
.
On peut alors chercher
Q
par coefficients inconnus de sorte que :
( ( )e ) ( ( ) ( ))e ( )e
x x x
Q x Q x Q x P x
α α α
α
′ ′
= + =
.
3
3° °) )
D
Dé ét te er rm mi in na at ti io on n d de e
( )cos( )d
P x x x
α
∫
e et t
( )sin( )d
P x x x
α
∫
Soit
P
une fonction polynomiale de degré
n
∈
ℕ
et
α
∗
∈
ℝ
. Détermination de
( )cos( )d
P x x x
α
∫
.
2 méthodes usuelles :
(1) Par ipp successives :
1 1
( )cos( )d ( )sin ( )sin( )d ...
P x x x P x x P x x xα α α
α α
′
= − =
∫ ∫
(2) Par l’étude ci-dessus : ( )cos( )d ( )cos( ) ( )sin( )
te
P x x x A x x B x x C
α α α= + +
∫
avec
,
A B
fonctions
polynomiales de degrés inférieurs à
n
. On peut alors chercher
A
et
B
par coefficients inconnues de sorte que :
(
)
( )cos ( )sin ( )cos
A x x B x x P x x
α α α
′
+ =
Détermination
( )sin( )d
P x x x
α
∫
: idem