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Système dynamique de Lorenz

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Système dynamique de Lorenz
Sommaire
Présentation de la problématique
Modèle de Lorenz
Système dynamique différentiel de Lorenz
Points fixes
Attracteur étrange
Articles connexes
Bibliographie
Notes et références
Présentation de la problématique
Bien que le caractère vraisemblablement chaotique de la météorologie fut pressenti par Henri Poincaré
météorologue, Edward Lorenz est considéré comme étant le premier à le mettre en évidence, en 1963.
1, 2
, le
Modèle de Lorenz
Mathématiquement, le couplage de l'atmosphère avec l'océan est décrit par le système d'équations aux
dérivées partielles couplées de Navier-Stokes de la mécanique des fluides. Ce système d'équations était
beaucoup trop compliqué à résoudre numériquement pour les premiers ordinateurs existant au temps de
Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplifié de ces équations pour étudier une
situation physique particulière : le phénomène de convection de Rayleigh-Bénard. Il aboutit alors à un
système dynamique différentiel possédant seulement trois degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer
numériquement que les équations de départ.
Système dynamique différentiel de Lorenz
Ce système différentiel s'écrit :
Dans ces équations, σ (nombre de Prandtl), ρ (rapport du nombre de Rayleigh au nombre de Rayleigh
critique) et β sont trois paramètres réels positifs.
est proportionnel à l'intensité du mouvement de convection,
est proportionnel à la différence de
température entre les courants ascendants et descendants, et
est proportionnel à l'écart du profil de
température vertical par rapport à un profil linéaire (Lorenz 1963 p. 135).
Points fixes
Les points fixes du système sont les solutions constantes
quand
et trois quand
:
du système différentiel. Il en existe un
le point fixe (0,0,0), qui existe quelles que soient les valeurs des paramètres σ, ρ et β ;
deux points fixes symétriques par rapport à l'axe
et :
:
, qui n'existent que lorsque
.
Attracteur étrange
Lorsque les paramètres σ, ρ et β prennent les valeurs
,
et
, le système dynamique différentiel de Lorenz
présente un « attracteur étrange » en forme d'ailes de papillon,
représenté sur la figure ci-contre.
Pour presque toutes les conditions initiales (différentes de celles des
points fixes), l'orbite du système se promène sur l'attracteur, la
trajectoire commençant par s'enrouler sur une aile, puis sautant d'une
aile à l'autre pour commencer à s'enrouler sur l'autre aile, et ainsi de
suite, de façon apparemment erratique.
Attracteur étrange de Lorenz
Articles connexes
Attracteur
Système dynamique
Théorie du chaos
Météorologie
Bibliographie
Edward N. Lorenz, Deterministic non-periodic flow, Journal of the Atmospheric Sciences
20(2) (1963), 130–141. Format pdf (http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/1520-0469%
281963%29020%3C0130%3ADNF%3E2.0.CO%3B2).
(en) W. Tucker, « A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem », Found. Comp.
Math., vol. 2, 2002, p. 53–117 (lire en ligne (http://www.math.uu.se/~warwick/main/rodes.html)).
(en)
Notes et références
1. « Notre second exemple sera fort analogue au premier et nous l’emprunterons à la
météorologie. Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec
quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblentelles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la
pluie ou le beau temps, alors qu’ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une
prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les
régions où l’atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet
équilibre est instable, qu’un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d’état de le
dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et
non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu’il aurait épargnées. Si on avait connu
ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d’avance, mais les observations n’étaient ni assez
serrées, ni assez précises, et c’est pour cela que tout semble dû à l’intervention du hasard. Ici
encore nous retrouvons le même contraste entre une cause minime, inappréciable pour
l’observateur, et des effets considérables, qui sont quelquefois d’épouvantables désastres. »
Henri Poincaré, Science et Méthode, Flammarion, 1908.
2. [PDF] « Science et Méthode, p.37. » (http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/philo/textesph/Scien
ceetmethode.pdf), sur l’Académie de Nancy-Metz (consulté le 27 juin 2013)
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