Système dynamique de Lorenz

Système dynamique de Lorenz
Présentation de la problématique
Modèle de Lorenz
Système dynamique différentiel de Lorenz
Points fixes
Attracteur étrange
Articles connexes
Bibliographie
Notes et références
Bien que le caractère vraisemblablement chaotique de la météorologie fut pressenti par Henri Poincaré , le
météorologue, Edward Lorenz est considéré comme étant le premier à le mettre en évidence, en 1963.
Mathématiquement, le couplage de l'atmosphère avec l'océan est décrit par le système d'équations aux
dérivées partielles couplées de Navier-Stokes de la mécanique des fluides. Ce système d'équations était
beaucoup trop compliqué à résoudre numériquement pour les premiers ordinateurs existant au temps de
Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplifié de ces équations pour étudier une
situation physique particulière : le phénomène de convection de Rayleigh-Bénard. Il aboutit alors à un
système dynamique différentiel possédant seulement trois degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer
numériquement que les équations de départ.
Ce système différentiel s'écrit :
Dans ces équations, σ (nombre de Prandtl), ρ (rapport du nombre de Rayleigh au nombre de Rayleigh
critique) et β sont trois paramètres réels positifs.
Sommaire
Présentation de la problématique
1, 2
Modèle de Lorenz
Système dynamique différentiel de Lorenz

Attracteur étrange de Lorenz
est proportionnel à l'intensité du mouvement de convection, est proportionnel à la différence de
température entre les courants ascendants et descendants, et est proportionnel à l'écart du profil de
température vertical par rapport à un profil linéaire (Lorenz 1963 p. 135).
Les points fixes du système sont les solutions constantes du système différentiel. Il en existe un
quand et trois quand :
le point fixe (0,0,0), qui existe quelles que soient les valeurs des paramètres σ, ρ et β ;
deux points fixes symétriques par rapport à l'axe :
et : , qui n'existent que lorsque .
Lorsque les paramètres σ, ρ et β prennent les valeurs ,
et , le système dynamique différentiel de Lorenz
présente un « attracteur étrange » en forme d'ailes de papillon,
représenté sur la figure ci-contre.
Pour presque toutes les conditions initiales (différentes de celles des
points fixes), l'orbite du système se promène sur l'attracteur, la
trajectoire commençant par s'enrouler sur une aile, puis sautant d'une
aile à l'autre pour commencer à s'enrouler sur l'autre aile, et ainsi de
suite, de façon apparemment erratique.
Attracteur
Système dynamique
Théorie du chaos
Météorologie
(en) Edward N. Lorenz, Deterministic non-periodic flow, Journal of the Atmospheric Sciences
20(2) (1963), 130–141. Format pdf (http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/1520-0469%
281963%29020%3C0130%3ADNF%3E2.0.CO%3B2).
(en) W. Tucker, « A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem », Found. Comp.
Math., vol. 2, 2002, p. 53–117 (lire en ligne (http://www.math.uu.se/~warwick/main/rodes.html)).
Points fixes
Attracteur étrange
Articles connexes
Bibliographie

Ce document provient de « https://fr.wikipedia.org/w/index.php?
title=Système_dynamique_de_Lorenz&oldid=158315874 ».
La dernière modification de cette page a été faite le 10 avril 2019 à 08:18.
Droit d'auteur : les textes sont disponibles sous licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes
conditions ; d’autres conditions peuvent s’appliquer. Voyez les conditions d’utilisation pour plus de détails, ainsi que les
crédits graphiques. En cas de réutilisation des textes de cette page, voyez comment citer les auteurs et mentionner la
licence.
Wikipedia® est une marque déposée de la Wikimedia Foundation, Inc., organisation de bienfaisance régie par le
paragraphe 501(c)(3) du code fiscal des États-Unis.
1. « Notre second exemple sera fort analogue au premier et nous l’emprunterons à la
météorologie. Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec
quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-
elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la
pluie ou le beau temps, alors qu’ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une
prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les
régions où l’atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet
équilibre est instable, qu’un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d’état de le
dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et
non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu’il aurait épargnées. Si on avait connu
ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d’avance, mais les observations n’étaient ni assez
serrées, ni assez précises, et c’est pour cela que tout semble dû à l’intervention du hasard. Ici
encore nous retrouvons le même contraste entre une cause minime, inappréciable pour
l’observateur, et des effets considérables, qui sont quelquefois d’épouvantables désastres. »
Henri Poincaré, Science et Méthode, Flammarion, 1908.
2. [PDF] « Science et Méthode, p.37. » (http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/philo/textesph/Scien
ceetmethode.pdf), sur l’Académie de Nancy-Metz (consulté le 27 juin 2013)
Notes et références