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Électromagnétisme
Iannis Aliferis
École Polytechnique de l’Université Nice Sophia Antipolis
Polytech’Nice Sophia
Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année, 2012–2013
http://www.polytech.unice.fr/~aliferis
Introduction
Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . .
Règles du jeu / conseils . . . . . . . .
Un tout petit peu d’histoire. . . . . .
Qu’est-ce qu’on fait ici? . . . . . . . .
Forces gravitationnelle et électrique
L’É/M est partout! . . . . . . . . . . .
Champs électromagnétiques . . . . .
Comment ça marche? . . . . . . . . .
Champ électrostatique . . . . . . . . .
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Analyse vectorielle: champ, flux
La notion de champ. . . . . . . . . .
Coordonnées cartésiennes . . . . . .
Coordonnées cylindriques . . . . . .
Coordonnées sphériques . . . . . . .
Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le produit scalaire: une projection
Vecteurs unitaires . . . . . . . . . . .
[Extra] Le vecteur de position ~
r. .
Coordonnées cartésiennes (bis) . .
Champ scalaire . . . . . . . . . . . . .
Champ vectoriel . . . . . . . . . . . .
Flux d’un champ vectoriel (intro).
Flux d’un champ vectoriel. . . . . .
Loi de Gauss (électrostatique) . . .
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Analyse vectorielle 2: divergence
Couper un volume en morceaux. . . . . . . . .
Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi de Gauss (électrostatique): forme locale.
Calcul de la divergence. . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de la divergence (1) . . . . . . . . .
Théorème de la divergence (2) . . . . . . . . .
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École Polytechnique de l’UNS
Polytech’Nice-Sophia
Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année
2012–2013
Loi de Gauss: intégrale vers locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Superposition
35
~
~
~
Le principe de superposition: 1 + 1 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Exemple de superposition: deux plans infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Visualisation de champs vectoriels
Deux approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un autre regard sur le flux (et la divergence) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lignes de champ en électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
. 39
. 40
. 41
Travail dans un champ électrostatique: potentiel
Le travail de A vers B (1) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le travail de A vers B (2) . . . . . . . . . . . . . . . . .
De quoi dépend WA→B ? . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Du travail au potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potentiel: le travail par charge. . . . . . . . . . . . . . .
Travail: charge × ddp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potentiel créé par une charge ponctuelle . . . . . . . .
Du champ électrostatique au potentiel . . . . . . . . .
Du potentiel au champ électrostatique . . . . . . . . .
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Analyse vectorielle 3: gradient
52
Le gradient d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Le gradient dans les trois systèmes de coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Du champ au potentiel: un raccourci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Analyse vectorielle 4:circulation, rotationnel
Couper une surface en morceaux. . . . . . . . . .
Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rotationnel du champ électrostatique. . . . . .
Calcul du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le rotationnel en coordonnées cartésiennes . .
Le rotationnel en coordonnées cylindriques . .
Le rotationnel en coordonnées sphériques . . .
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Énergie électrostatique
Charge ponctuelle . . . . . . . . . .
Ensemble de N charges (1) . . .
Ensemble de N charges (2) . . .
Distribution continue de charges
Densité volumique d’énergie . . .
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Électrostatique: récapitulatif
70
Équations du champ électrique (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Équations du champ électrique (2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Conducteurs en électrostatique
Qu’est-ce qu’un conducteur?. . . . . . . . .
Le champ et les charges à l’intérieur. . . .
Le champ et les charges dans une cavité .
Le champ à la surface du conducteur (1)
Le champ à la surface du conducteur (2)
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École Polytechnique de l’UNS
Polytech’Nice-Sophia
Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année
2012–2013
Rigidité diélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Rigidité diélectrique: quelques valeurs typiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Courants électriques
Des charges en mouvement. . . . . . . . . . . . . .
Calculer la densité de courant . . . . . . . . . . . .
Conservation de la charge: forme intégrale . . .
Conservation de la charge: forme locale . . . . .
Électronique: loi des nœuds. . . . . . . . . . . . . .
Vitesses des électrons dans les conducteurs (1)
Vitesses des électrons dans les conducteurs (2)
Vitesses des électrons dans les conducteurs (3)
Courants dans les conducteurs. . . . . . . . . . . .
Conductivité: quelques valeurs typiques. . . . . .
Électronique: loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . .
Électronique: puissance consommée . . . . . . . .
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Magnétostatique
Magnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Champ magnétique d’une charge en mouvement
Sources du champ magnétique . . . . . . . . . . . .
Force magnétique (Laplace et Lorentz) . . . . . . .
Force magnétique sur un courant . . . . . . . . . . .
Force entre deux courants. . . . . . . . . . . . . . . .
Loi d’Ampère (forme intégrale) . . . . . . . . . . . .
Théorème du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi d’Ampère (forme locale) . . . . . . . . . . . . . .
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Magnétostatique: récapitulatif
105
Équations du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
~
Analyse vectorielle 5: le nabla ∇
L’opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Opérations avec le nabla (1) . . . . . . . . . . . . .
Opérations avec le nabla (2) . . . . . . . . . . . . .
Quelques formules avec le nabla . . . . . . . . . .
Le(s) Laplacien(s): nabla au carré . . . . . . . . .
Gauss, Stokes, etc.: un autre point de vue (1) .
Gauss, Stokes, etc.: un autre point de vue (2) .
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Électrostatique – Magnétostatique:une comparaison
115
Deux champs bien différents (?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Phénomènes d’Induction(enfin, un peu de mouvement!)
« Force » électromotrice (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
« Force » électromotrice (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fem due au mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fem due au mouvement: des exemples! . . . . . . . . . . . . . .
Induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi de Faraday (forme intégrale) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi de Faraday (forme locale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La règle du flux magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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École Polytechnique de l’UNS
Polytech’Nice-Sophia
Le champ électrique induit . . . . . .
Inductance: mutuelle . . . . . . . . . .
Inductance: self. . . . . . . . . . . . . .
Énergie magnétique (1) . . . . . . . .
Énergie magnétique (2) . . . . . . . .
~ non conservatif
[Bizarre] Champ E
Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année
2012–2013
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Induction: récapitulatif
132
Les 4 équations, forme intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Les 4 équations, forme locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Équations de Maxwell
Un problème avec la loi d’Ampère? . . . . . . . .
Le terme qui manque: courant de déplacement
James Clerk Maxwell (1831–1879) . . . . . . . . .
Les trois régimes en électromagnétisme. . . . . .
Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . .
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Ondes
Qu’est-ce qu’une onde? . . . . . . . .
[Rappel] L’argument d’une fonction
Propagation d’une impulsion
..
L’équation d’onde (1) . . . . . . . . .
L’équation d’onde (2) . . . . . . . . .
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Ondes électromagnétiques
La prévision théorique de Maxwell (1) . . . .
La prévision théorique de Maxwell (2) . . . .
La lumière est une onde électromagnétique!
Le spectre électromagnétique . . . . . . . . . .
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Ondes électromagnétiques planes, progressives,monochromatiques (OPPM)
Onde monochromatique vers +z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propagation d’une sinusoïde
.................................
Onde électromagnétique PPM selon +êz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Onde électromagnétique PPM selon k̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notation complexe: définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notation complexe: avantages (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notation complexe: avantages (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notation complexe: avantages (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notation complexe: application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équations de Maxwell: régime harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équations de Maxwell dans le cas d’une OPPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriétés d’une OPPM dans le vide
............................
Polarisation linéaire d’une OPPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisation circulaire d’une OPPM
............................
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OPPM dans les conducteurs
Conducteurs et loi d’Ohm (bis) . . . . . . . . . . .
Les équations de Maxwell dans un conducteur .
L’équation d’onde dans un conducteur . . . . . .
OPPM dans un bon conducteur
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École Polytechnique de l’UNS
Polytech’Nice-Sophia
Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année
2012–2013
Conditions aux limites vide-conducteur
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Interface vide-conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Puissance électromagnétique: vecteur de Poynting
[Rappel] Énergie électro/magnétostatique . . . . . . . .
Énergie électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Travail du champ électromagnétique . . . . . . . . . . .
Énergie É/M et puissance fournie (1) . . . . . . . . . . .
Énergie É/M et puissance fournie (2) . . . . . . . . . . .
Énergie É/M et puissance fournie (3) . . . . . . . . . . .
Puissance É/M transportée: vecteur de Poynting . . .
[Produit de deux fonctions harmoniques]. . . . . . . . .
Énergie et puissance d’ondes É/M harmoniques . . . .
OPPM énergie électrique = magnétique . . . . . . . . .
Impédance caractéristique du vide . . . . . . . . . . . . .
Champ électrique dans la matière
Diélectriques (isolants). . . . . . . . . . . . . . . . .
Effet de la polarisation de la matière . . . . . . .
Polarisation: charges induits . . . . . . . . . . . . .
Loi de Gauss dans les diélectriques . . . . . . . . .
Milieux LHI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Permittivité relative: quelques valeurs typiques .
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Champ magnétique dans la matière
Phénomènes magnétiques: dus aux courants
Magnétisation: courants induits . . . . . . . . .
Loi d’Ampère dans les diélectriques . . . . . .
Milieux LHI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Susceptibilité magnétique: quelques valeurs .
Ferromagnétisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Équations de Maxwell dans la matière
Courant de polarisation . . . . . . . . . . . . .
Équations de la divergence . . . . . . . . . . .
Équations du rotationnel . . . . . . . . . . . .
Équations de Maxwell dans la matière (1) .
Équations de Maxwell dans la matière (2) .
Équations de Maxwell dans la matière (3) .
Énergie et puissance dans la matière . . . .
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216
OPPM dans les milieux lhi
OPPM dans un milieu lhi . . . . .
Types de pertes dans la matière.
Permittivité effective . . . . . . . .
Nombre d’onde complexe . . . . .
Coefficients α et β . . . . . . . . .
Milieu lhi sans pertes . . . . . . . .
Milieu lhi avec pertes . . . . . . . .
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Refléxion / transmission entre deux milieux lhi
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Conditions aux limites entre deux milieux lhi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5
www.polytech.unice.fr/~aliferis
École Polytechnique de l’UNS
Polytech’Nice-Sophia
Incidence
Incidence
Incidence
Incidence
Incidence
Incidence
Incidence
Incidence
Incidence
Incidence
Incidence
Incidence
Incidence
Incidence
normale sur une interface . . . . . . . .
normale: conditions aux limites . . . .
normale: coefficients amplitude . . . .
normale: coefficients puissance. . . . .
oblique sur une interface: définitions .
oblique ⊥: champs . . . . . . . . . . . . .
oblique ⊥: Snel – Descartes . . . . . .
oblique ⊥: conditions aux limites . . .
oblique ⊥: coefficients amplitude
oblique ⊥: coefficients puissance . . .
oblique k: champs . . . . . . . . . . . . .
oblique k: conditions aux limites . . .
oblique k: coefficients amplitude
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oblique k: coefficients puissance . . . .
Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année
2012–2013
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Polytech’Nice-Sophia
Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année
2012–2013
Ce document contient les transparents du cours mais il n’est en aucun cas complet (auto-suffisant) ; une
grande quantité d’information (commentaires, explications, diagrammes, démonstrations etc.) est donnée
pendant les séances, oralement ou à l’aide du tableau.
Le logo du logiciel R à droite d’un titre contient un lien vers le script illustrant les résultats présentés
dans le transparent. L’étude du graphique (mais pas celle du script !) fait partie intégrante du cours. Tous
les scripts sont accessibles dans la partie « Documents / Compléments multimédia » du site :
http://www.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/cip2/electromagnetisme/
Toutes les ressources externes, disponibles en lien hypertexte à partir de ce document, sont aussi répertoriées
dans la partie « Ressources Externes » du site :
http://www.polytech.unice.fr/~aliferis/fr/teaching/courses/cip2/electromagnetisme/
Les extraits vidéo proviennent du cours du Professeur Walter Lewin, MIT : Walter Lewin, 8.02 Electricity
and Magnetism, Spring 2002. (Massachusetts Institute of Technology : MIT OpenCourseWare),
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/8-02Electricity-and-MagnetismSpring2002/CourseHome/
(Accessed September 9, 2009). License : Creative Commons BY-NC-SA.
Document préparé avec LATEX et powerdot, sous licence Creative Commons BY-NC-SA :
Paternité – Pas d’Utilisation Commerciale – Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France.
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Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année
2012–2013
Introduction
2
Plan du cours
Introduction
Analyse vectorielle
Électrostatique
Magnétostatique
Phénomènes d’induction
Équations de Maxwell
Ondes électromagnétiques
26 séances cours + 26 séances TD (39h × 2)
H Optique ondulatoire
6 séances cours + 6 séances TD (9h × 2)
H
H
H
H
H
H
H
3
Règles du jeu / conseils
H
Travail individuel
Contrôles : 3 (IA) + 1 (PV)
Coefficients croissants
14%, 18%, 22%, 26%
◮ Contrôle continu : quiz, tableau, etc.
20% (harmonisation des notes entre groupes TD)
◮
◮
H
H
H
H
Les transparents
Classeurs, prise de notes
[email protected] : http://jalon.unice.fr
...
4
8
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Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année
2012–2013
Un tout petit peu d’histoire. . .
H
H
H
H
H
L’ambre (ἤλεκτρον) et l’aimant (μαγνήτης) :
3000 ans d’histoire !
Premières traces écrites :
Thalès (624–547 av. J.C.)
Platon (427–341 av. J.C.)
Deux phénomènes distincts. . .
. . . unifiés à la fin du XIXe siècle (1864)
par James Clerk Maxwell (1837–1879)
(et après ?)
5
Qu’est-ce qu’on fait ici ?
Pourquoi étudier l’électromagnétisme ?
La technologie (toutes ces applications. . . )
C’est tout ?
H Les quatre forces (interactions) de la Nature :
H
H
1.
2.
3.
4.
H
Gravitationnelle
Électromagnétique
Nucléaire forte
Nucléaire faible
Dans quels contextes ? Dans quel ordre ?
6
9
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2012–2013
Forces gravitationnelle et électrique
Deux électrons
me = 9.1 × 10−31 kg
qe = −1.6 × 10−19 C
H Force gravitationnelle
H
Fg = G
H
me me
r2
Force électrique
Fe = kc
H
H
qe qe
r2
(G = 6.67 × 10−11 N m2 kg−2 )
(kc = 8.99 × 109 N m2 C−2 )
Fe /Fg = 0.23 × 1042
1 × 1026 m
Univers
= 0.6 × 1041
=
proton
1.6 × 10−15 m
7
L’É/M est partout !
Les forces et les phénomènes électromagnétiques se
trouvent partout autour de nous !
(mais pourquoi on ne sent rien ?)
8
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2012–2013
Champs électromagnétiques
H
H
~ et B
~ pour décrire ces phénomènes ?
Pourquoi utiliser les champs E
Force électrique entre deux charges : loi de Coulomb
~ = kc q1 q2 û1→2
F
r2
Valable uniquement si les charges sont immobiles !
Sinon ? la formule devient très compliquée. . .
H Force électromagnétique (force de Lorenz) :
~ = q(E
~ +~
~
F
v ∧ B)
(1)
~ et B.
~
Exercée sur une charge q de vitesse ~
v se déplaçant dans un champ E
Valable toujours.
9
Comment ça marche ?
1. Les charges « sources » (immobiles ou pas) créent des champs.
2. Les champs agissent sur d’autres charges (force de Lorenz).
~ et B)
~ créés par les
Il suffit de (bien) décrire les champs (E
sources.
Charge : valeur multiple de qe . . .
10
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2012–2013
Champ électrostatique
H
H
H
« Statique » : les charges ne se déplacent pas
Loi de Coulomb (1785)
Force exercée par la charge 1 sur la charge 2 :
~1→2 =
F
1 q1 q2
û1→2
4πǫ r 2
| {z 0}
kc
H
Champ électrique généré par la charge 1 :
~
~ 1 , F1→2 = 1 q1 û1→2
E
q2
4πǫ0 r 2
H
Donc, à partir du champ électrique :
~1→2 = q2 E
~1
F
11
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2012–2013
Analyse vectorielle : champ, flux
12
La notion de champ
H
H
H
H
H
Champ scalaire : l’association à chaque point de l’espace d’un scalaire (un seul nombre) : p.ex.
température, altitude, . . .
Champ vectoriel : l’association à chaque point de l’espace d’un vecteur (longueur et orientation) :
p.ex. vent, vitesse, . . .
Il faut d’abord pouvoir se repérer et s’orienter dans l’espace !
Systèmes de coordonnées (1, 2 ou 3 dimensions ?)
Vecteurs
13
13
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Système de coordonnées cartésiennes
Variable
valeurs
longueur élémentaire
x
y
z
] − ∞, ∞[
] − ∞, ∞[
] − ∞, ∞[
dx
dy
dz
H
H
H
H
H
Surface élémentaire dS
x constant : dy dz
y constant : dz dx
z constant : dx dy
Volume élémentaire dV = dx dy dz
Vecteur de position : ~
r = xêx + yêy + zêz
Un système d’exception ! les trois variables ont les mêmes dimensions (longueur) et sont
équivalentes.
(et l’oreille interne ?)
14
Système de coordonnées cylindriques
Variable
valeurs
longueur élémentaire
ρ
φ
z
[0, ∞[
[0, 2π]
] − ∞, ∞[
dρ
ρ dφ
dz
Surface élémentaire dS
ρ constant : ρ dφ dz
φ constant : dρ dz
z constant : ρ dρ dφ
H Volume élémentaire dV = ρ dρ dφ dz
r = ρêρ + zêz
H Vecteur de position : ~
H
15
14
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Système de coordonnées sphériques
Variable
valeurs
longueur élémentaire
r
θ
φ
[0, ∞[
[0, π]
[0, 2π]
dr
r dθ
r sin θ dφ
Surface élémentaire dS
r constant : r 2 sin θ dφ dθ
θ constant : r sin θ dr dφ
φ constant : r dr dθ
H Volume élémentaire dV = r 2 sin θ dr dθ dφ
H Vecteur de position : ~
r = rêr
H
16
Vecteurs
Objet mathématique ayant une longueur (norme), une direction et un sens (orientation).
Notation :
~
le vecteur : A
~ ou A (un nombre)
sa norme : kAk
H Un vecteur est défini par ses trois composantes :
 
A1
~ = A2 
A
A3
H
H
Les A1 , A2 , A3 dépendent du système de coordonnées choisi, mais le vecteur non !
~ a la même orientation que A
~ mais kûA k = 1 !
H Astuce : le vecteur ûA = 1~ A
kAk
Vecteur « unitaire »
17
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Le produit scalaire : une projection
H
~ et B,
~ deux vecteurs formant un angle θ :
Le produit scalaire de A
~ ·B
~ = kAkk
~ Bk
~ cos θ
A
~ ·B
~ = AB cos θ (notation plus simple)
A
(2)
(Ne pas oublier le point · entre les vecteurs !)
~ sur la direction de B
~!
H A cos θ : la projection de A
H Si û un vecteur unitaire (orientation) :
H
~ · û = projection de A
~ sur la direction de û
A
Dans tous les systèmes de coordonnées :
~ ·B
~ = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3
A
(3)
18
Vecteurs unitaires
H
H
H
Des vecteurs « à part »
Notation : lettre miniscule + chapeau û, n̂, ê, . . .
Information sur l’orientation :
Systèmes de coordonnées : êx , êρ , êθ , . . .
montrent le sens d’augmentation de la variable concernée
◮ Surfaces : n̂
montrent le sens de la normale par rapport à la surface (donc la définissent + entrée/sortie)
◮
H
« Utilité » :
◮
~ sur la direction du vecteur unitaire û : A
~ · û
« Extraire » la composante d’un vecteur A
(C’est quoi les composantes d’un vecteur ?)
19
16
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[Extra] Le vecteur de position ~
r
Pour chaque point M , le vecteur ~
r indique :
la distance par rapport à l’origine (OM )
l’orientation (de O vers M ).
H Coordonnées cartésiennes, M (x, y, z) :
H
~
r = xêx + yêy + zêz
H
Coordonnées cylindriques, M (ρ, φ, z) :
~
r = ρêρ + zêz
(où est passé φ ?)
H Coordonnées sphériques, M (r, θ, φ) :
~
r = rêr
(où sont passés θ et φ ?)
20
Système de coordonnées cartésiennes (bis)
Variable
valeurs
longueur élémentaire
x
y
z
] − ∞, ∞[
] − ∞, ∞[
] − ∞, ∞[
dx
dy
dz
Surface élémentaire dS
x constant : dy dz
y constant : dz dx
z constant : dx dy
H Volume élémentaire dV = dx dy dz
H Un système d’exception ! les trois variables ont les mêmes dimensions (longueur) et sont
équivalentes.
H En plus, les trois vecteurs unitaires êx , êy , êz , restent les mêmes à chaque point de l’espace !
H
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Champ scalaire
Champ scalaire : l’association à chaque point de l’espace d’un scalaire (un seul nombre) : p.ex.
température, altitude, . . .
H Un champ scalaire est une fonction de 3 variables
p.ex. en coordonnées cartésiennes : Φ(x, y, z)
H
22
Champ vectoriel
Champ vectoriel : l’association à chaque point de l’espace d’un vecteur (module et direction) :
p.ex. vent, vitesse, . . .
H Un champ vectoriel est un ensemble de 3 fonctions (les composantes) chacune de 3 variables (les
coordonnées) :


Ax (x, y, z)
~
A(x,
y, z) = Ay (x, y, z) 
Az (x, y, z)
H
H
Ne pas confondre composantes et coordonnées !
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Flux d’un champ vectoriel (intro)
(Qu’est-ce qui traverse une surface ?)
H Champ vectoriel ~
h : kg s−1 m−2
H Surface élémentaire (ouverte) dS
◮
◮
◮
H
Surface ouverte S
◮
H
Vecteur normal à la surface n̂
~ = n̂ dS
Vecteur dS
~?
Que représente ~
h · dS
Que représente
Surface fermée S
◮
Que représente
R
S
~
~?
h · dS
H
S
~
~?
h · dS
24
Flux d’un champ vectoriel
H
H
~
Champ vectoriel A
Surface (ouverte) S
~ à travers S :
Flux du champ A
Z
~ · dS
~
A
ou
I
~ · dS
~
A
ou
S
H
Z
~ · n̂ dS
A
(4)
I
~ · n̂ dS
A
(5)
S
Surface (fermée) S (n̂ sortant)
~ à travers S :
Flux du champ A
S
S
Le flux à travers une surface fermée donne des informations sur les « sources » du champ à
l’intérieur de la surface
25
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Loi de Gauss (électrostatique)
H
H
Électrostatique : les charges sont immobiles
Loi de Gauss : « Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la
charge totale incluse à l’intérieur de cette surface »
I
S
~ · dS
~=
E
I
~ · n̂ dS = Qint
E
ǫ0
S
(6)
−9
−1 (rappel sur les
La constante ǫ0 (permittivité du vide) est égale à 8.85 × 10−12 F m−1 ≈ 10
36π F m
−1
dimensions : F = C V ).
H n̂ est perpendiculaire à chaque point de la surface S et sa direction est vers l’extérieur de celle-ci.
H Le champ électrique en V m−1
H
26
20
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Analyse vectorielle 2 : divergence
27
Couper un volume en morceaux. . .
H
H
H
H
H
Volume V entouré par S (donc fermée)
Partager V en V1 , V2 , entourés par S1 , S2
I
I
~ · n̂ dS =
A
Continuer. . .
S1
S
. . . jusqu’où ?
Surface fermée Si élémentaire
I
S
~ · n̂1 dS +
A
~ · n̂ dS =
A
X I
i
Si
I
S2
~ · n̂2 dS
A
~ · n̂i dS
A
(7)
28
21
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Divergence
H
H
H
Quel est le flux à travers une surface élémentaire fermée ?
Divergence = flux surface élémentaire / volume
1
∆V→0 ∆V
~ , lim
div A
H
H
H
H
I
S
~ · dS
~
A
(8)
~ : un champ scalaire ! (> 0, < 0, = 0)
div A
~ ∝ flux à travers surface fermée autour de ce point
À chaque point de l’espace, div A
flux ∝ sources
~ est proportionnelle
La divergence du champ A
à la densité volumique des sources qui le génèrent.
29
Loi de Gauss (électrostatique) : forme locale
H
Surface élémentaire autour d’un volume élémentaire ∆V incluant une charge ∆Q :
I
S
H
H
~ · dS
~=
E
I
~ · n̂ dS = ∆Q
E
ǫ0
S
Densité volumique
R de charge ρ = dQ/ dV
Charge ∆Q = ∆V ρ dV = ρ∆V
I
~ · dS
~ = ρ∆V
E
ǫ0
S
~= ρ
div E
ǫ0
H
(9)
(et alors ?)
30
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Calcul de la divergence
Système de coordonnées cartésiennes
Surface élémentaire autour de (x, y, z) :
cube centré à (x, y, z), de dimensions ∆x, ∆y, ∆z
H Calculer le flux à travers sa surface
H
H
H
~=
div A
flux
∆x,∆y,∆z→0 volume
~=
div A
∂Ax ∂Ay
∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
lim
H
H
(10)
Systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques. . .
31
Théorème de la divergence (1)
H
H
H
Surface fermée S autour d’un volume V
Découper V en plusieurs petits morceaux Vi
Si la surface (fermée) autour de Vi
flux à travers S =
X
flux à travers Si
i
I
S
H
~ · n̂ dS =
A
X I
i
Si
~ · n̂i dS
A
À la limite où la surface Si devient infiniment petite (englobe ∆V → 0) :
I
1
~ · n̂i dS = div A
~
lim
A
∆V→0 ∆V Si
32
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Théorème de la divergence (2)
flux
volume
divergence =
I
Si
H
H
Donc :
I
S
~ · n̂i dS = div A
~ dV
A
~ · n̂ dS =
A
Z
~ dV
div A
(11)
V
Théorème
◮
◮
◮
de la divergence
de Gauss
de Ostrogradsky
33
Loi de Gauss : intégrale vers locale
H
Loi de Gauss, forme intégrale (6), tr.26 :
I
~ · n̂ dS = Qint
E
ǫ0
S
R
r ) dV
La charge à l’intérieur de S : Qint = V ρ(~
R
H
~
~ dV
H Le flux à travers S : S E · n̂ dS = V div E
H
Z
Z
~
div E dV =
H
V
V
ρ(~
r)
ǫ0
dV
~= ρ
div E
ǫ0
34
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Superposition
35
Le principe de superposition : ~1 + ~1 = ~2
L’effet de la somme = la somme des effets
Charge ponctuelle qi à ~
ri ,
~i à ~
crée un champ E
r:
qi
~
r −~
ri
1
~ i (~
E
r) =
4πǫ0 k~
r −~
ri k2 k~
r −~
ri k
P
~ r)
~ r) =
H Ensemble de charges crée E(~
i Ei (~
H Distribution continue de charges,
densité volumique ρ (C m−3 ), crée :
Z
~
r −~
r′
1
1
~
ρ(~
r ′ ) dV ′
E(~
r) =
4πǫ0 V ′ k~
r −~
r ′ k2 k~
r −~
r ′ k | {z }
H
H
dq
H
Condition : pas d’interaction entre les charges !
36
Exemple de superposition : deux plans infinis
H
H
H
H
H
H
Deux plans parallèles
Distance entre les plans : d
Un plan infini de densité surfacique +ρs
Un plan infini de densité surfacique −ρs
~ partout dans l’espace
Calculer le champ E
(un seul plan : TD 1, 1.3 ; WL, L3, 37m58s-41m00s )
~1 + ~1 = ~2
37
25
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Visualisation de champs vectoriels
38
Deux approches
1. Dessiner des vecteurs
H
H
H
~ r)
À chaque point ~
r dessiner le vecteur E(~
L’origine du vecteur à ~
r
Diagramme “quiver” (carquois)
2. Dessiner des « lignes de champ »
H
H
H
H
H
H
Lignes continues
~ (orientation)
Tangentes au champ E
~
Lignes/surface ∝ kEk (module)
Ne se croisent jamais
Pas de superposition !
(moins maniables que le champ. . . )
39
Un autre regard sur le flux (et la divergence)
nombre de lignes
∝E
surface perpendiculaire
Z
~ · dS
~
flux à travers S =
E
H
S
∝
Z
nombre de lignes traversant dS
S
= nombre de lignes traversant S
H
H
H
H
H
lignes traversant = lignes sortant − lignes entrant
Flux positif : sorties > entrées
Flux nul : équilibre entrées/sorties
Flux négatif : sorties < entrées
Divergence : flux « local »
40
26
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Lignes de champ en électrostatique
Loi
H de Gauss : Q
ρ
~
~
S E · n̂ dS = ǫ0 ou div E = ǫ0
H Nombre de lignes traversant une surface fermée
∝ Q (à l’intérieur)
H Trois règles d’or :
H
H
1. Les lignes commencent (ր) sur les charges positives. . .
2. . . . et se terminent (ց) sur les charges negatives
3. Le nombre de lignes (ր − ց) autour d’une charge Q, est proportionnel à Q
Exemples de lignes de champ :
Applet “Electric field lines”
et expériences de Walter Lewin (MIT) :
Graines de gazon (WL, L2, 42m25-43m40)
Jeu de ballon ! (WL, L2, 45m55-49m24)
41
27
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Travail dans un champ électrostatique : potentiel
42
Le travail de A vers B (1)
Une charge (fixe) ponctuelle Q à l’origine
(le reste n’est que superposition !)
H On déplace une charge « test » q
~ de Q
dans le champ E
H Quel est le travail dépensé de A à B ?
(« dépensé » : par celui qui déplace la charge)
H Travail = force × déplacement :
H
~ · d~l = F
~ · t̂ dl
dW = F
H
H
(J = N m)
t̂ : vecteur unitaire, tangent à d~l
WA→B =
Z
Γ: ~
rA →~
rB
~ · d~l
F
43
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Le travail de A vers B (2)
H
Force exercée sur la charge q pendant le déplacement :
(« exercée » : par celui qui déplace la charge)
~ = −F
~el = −(q E)
~
F
H
Travail dépensé de A à B :
WA→B = −q
Z
Γ: ~
rA →~
rB
~ · d~l
E
(12)
Γ: ~
rA → ~
rB le chemin de A vers B (lequel ? )
44
De quoi dépend WA→B ?
H
H
H
H
H
. . . après réflexion,
WA→B ne dépend que de ~
rA et ~
rB
~ k êr )
(parce que E
Il n’y a que les points de départ et d’arrivée qui interviennent !
Le chemin Γ de A à B ne compte pas !
Conséquence :
le travail le long d’une courbe fermée est nul,
donc :
I
I
~ · t̂ dl = 0
~
~
E
E · dl =
(13)
Γ
Γ
« La circulation du champ électrique
le long d’une courbe fermée, est nulle »
H Les forces électrostatiques sont conservatrices
H
45
29
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Du travail au potentiel
H
H
H
WA→B = f (~
rA , ~
rB ) =?
Remarque : WP →A + WA→P = 0
WA→B = WA→P →B (le chemin ne compte pas)
= WA→P + WP →B
= −WP →A + WP →B
H
H
Travail dépensé de A à B par charge déplacée : WA→B /q
WA→B
WP →B
WP →A
=
−
q
q
q
(14)
46
Potentiel : le travail par charge
H
On choisit un point de référence P et on définit le potentiel à chaque point A de l’espace :
V (~
rA ) ,
H
H
WP →A
q
(15)
q[V (~
rB ) − V (~
rA )]
(16)
Le potentiel V (~
r ) est un champ scalaire
Le potentiel du point de référence :
V (~
rP ) =
H
J C−1 = V
WP →P
=0
q
Le travail dépensé de A à B :
WA→B
(14),(15)
=
47
30
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Travail : charge × ddp
H
V (~
rB ) − V (~
rA ) : différence de potentiel (ddp)
WA→B = q[V (~
rB ) − V (~
rA )] = charge × ddp
H
Si WA→B > 0 on fournit de l’énergie
à la charge déplacée
◮
◮
H
(17)
q > 0 et V (~
rB ) > V (~
rA )
q < 0 et V (~
rB ) < V (~
rA )
Si WA→B < 0 on récupère de l’énergie
(déplacement « spontané » A → B)
◮
◮
q > 0 et V (~
rB ) < V (~
rA )
q < 0 et V (~
rB ) > V (~
rA )
48
Potentiel créé par une charge ponctuelle
H
H
H
H
Charge Q à l’origine
~ = 1 Q2 êr
E
4πǫ0 r
Potentiel = travail / charge ; référence P à l’infini
Z
W∞→A
~ · t̂ dl
V (~
rA ) =
E
=−
q
Γ: ~
r∞ →~
rA
Z
Q
1
=−
êr · (−êr dr)
4πǫ0 Γ: ~r∞ →~rA r 2
Z ∞
Q
1
dr attention aux bornes !
=
4πǫ0 rA r 2
1 ∞
Q
1 Q
−
=
=
4πǫ0
r rA
4πǫ0 rA
(18)
Ensemble de charges ou distribution de charges :
superposition
49
31
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Du champ électrostatique au potentiel
H
Travail dépensé de A vers B par charge déplacée :
WA→B
= V (~
rB ) − V (~
rA )
q
Z
~ · d~l
E
=−
alors que V (~
rB ) − V (~
rA ) =
Γ: ~
rA →~
rB
Z
dV
Γ: ~
rA →~
rB
~ · d~l
dV = −E
(19)
À un point de l’espace, examiner les cas :
dV > 0 (max ?) ; dV < 0 (min ?) ; dV = 0
H Exemple : un condensateur (plaques parallèles) ;
Van de Graaf et tube fluorescent (WL, L4, 43m00-49m01) ;
Applet “Charges and Fields”
H
50
Du potentiel au champ électrostatique
H
H
~ · d~l
dV = −E
En coordonnées cartésiennes, V (~
r ) = V (x, y, z) :
dV =
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
et
d~l = dxêx + dyêy + dzêz
donc
~=
−E
−−→
∂V
∂V
∂V
êx +
êy +
êz , grad V
∂x
∂y
∂z
−→
~ = −−
E
grad V
H
(V m−1 )
(20)
−→
~ · d~l = −
Remarque : dV = −E
grad V · d~l
51
32
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Analyse vectorielle 3 : gradient
52
Le gradient d’un champ scalaire
H
−−→
−−→
dV = grad V · d~l = grad V · t̂ dl
−−→
dV
dérivée selon t̂
grad V · t̂ =
dl
H
Le gradient d’un champ scalaire V :
1. Est un champ vectoriel
2. Perpendiculaire aux équipotentielles
(V = cste, dV = 0)
3. Montre la direction de la plus forte
augmentation de V ( dV max)
−−→
4. Module : dV
dl max (max quand t̂ k grad V )
V (~
rB ) − V (~
rA ) =
Z
rappel : f (b) − f (a) =
Z
−−→
grad V · t̂ dl
{z }
Γ: ~
rA →~
rB |
dV / dl
b
f ′ (x) dx =
a
Z
b
a
df
dx
dx
53
Le gradient dans les trois systèmes de coordonnées
H
H
H
H
H
−−→
dV = grad V · d~l
Exprimer dV et d~l. . .
Coordonnées cartésiennes
Coordonnées cylindriques
−−→
∂V
∂V
∂V
grad V =
êx +
êy +
êz
∂x
∂y
∂z
(21)
−−→
1 ∂V
∂V
∂V
êρ +
êφ +
êz
grad V =
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
(22)
−−→
∂V
1 ∂V
1 ∂V
grad V =
êr +
êθ +
êφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
(23)
Coordonnées sphériques
54
33
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Du champ au potentiel : un raccourci
R
~ · t̂ dl
V (~
rB ) − V (~
rA ) = − Γ: ~rA →~rB E
Deux conditions pour prendre un raccourci :
~ n’a qu’une seule composante. . .
1. Le champ E
2. . . . correspondant à une variable de longueur
~ = Eρ êρ
H Exemple : coord. cylindriques et E
−→
~ = −−
◮ Commencer par E
grad V
◮ Équ. (22) : ∂V /∂φ = 0 et ∂V /∂z = 0
◮ Donc V est fonction uniquement de ρ !
dV (ρ)
◮ Eρ (ρ) = − dρ = −V ′ (ρ)
Z
V (ρ) = − Eρ (ρ) dρ + C
H
H
◮
(24)
C : constante à déterminer en imposant une valeur de V
(p.ex. Vréf = 0)
55
34
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Analyse vectorielle 4 :
circulation, rotationnel
56
Couper une surface en morceaux. . .
H
~ le long de Γ :
Circulation du champ A
Z
~ · d~l ou
A
Γ
Z
Γ
~ · t̂ dl
A
Circulation : un nombre (> 0, < 0, = 0)
égal à la valeur moyenne de Atan × longueur de Γ
H À partir de maintenant : courbe Γ fermée
H Surface S (ouverte) entourée par Γ (fermée)
H Partager S en S1 , S2 , entourées par Γ1 , Γ2
I
I
I
~
~
A · t̂1 dl +
A · t̂ dl =
H
Continuer. . .
Γ1
Γ
I
Γ
H
H
~ · t̂ dl =
A
. . . jusqu’où ?
Courbe fermée Γi et surface Si : élémentaires
X I
i
Γi
Γ2
(25)
~ · t̂2 dl
A
~ · t̂i dl
A
(26)
57
35
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Rotationnel
Quelle est la circulation le long d’une
courbe élémentaire fermée ?
courbe élémentaire fermée
H Rotationnel , circulation
aire surface plane entourée
H Faire intervenir le vecteur n̂ de la surface
H Sens de circulation t̂ ↔ sens de la normale n̂
(Périph’ externe ↔ tour Eiffel)
H
H
1
∆S→0 ∆S
−
→~
n̂ · rot A
, lim
I
Γ
~ · t̂ dl
A
(27)
−
→~
rot A
: un champ vectoriel ! (norme + sens)
−
→ ~
−
→~
À chaque point de l’espace, n̂ · rot A
(composante du rot A
selon n̂) ∝ circulation autour de ce
point sur le bord d’une surface élémentaire ⊥ n̂
−
→~
H Si le champ « tourne » (krot Ak
=
6 0), il fait des tourbillons autour du vecteur du rotationnel
(règle de la main droite).
−
→~
H La surface dont n̂ k rot A
contient un tourbillon du champ.
H Visualisation : un moulin immergé dans le champ.
H
H
58
Rotationnel du champ électrostatique
H
H
Courbe élémentaire autour d’une surface plane ∆S
Circulation du champ électrostatique (13) :
I
H
Γ
~ · d~l =
E
I
Γ
~ · t̂ dl = 0
E
Circulation par surface plane :
−
→~
n̂ · rot E
= lim
∆S→0
H
H
1
0=0
∆S
Pour toutes les surfaces ∆S, n̂ !
Rotationnel du champ électrostatique :
−
→~ ~
rot E
=0
H
(28)
(et alors ?)
59
36
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Calcul du rotationnel
H
Système de coordonnées cartésiennes
circulation courbe élémentaire fermée
−
→ ~
n̂ · rot A
= lim
∆S→0
aire surface plane entourée
Trois courbes élémentaires autour de (x, y, z) :
1. n̂ = êz : surface plane, centrée à (x, y, z),
de dimensions ∆x, ∆y (∆S = ∆x∆y)
H Calculer la circulation le long de cette courbe
H
∂Ay
∂Ax
−
→ ~ −
→ ~
êz · rot A
= rot A|
−
z =
∂x
∂y
H
Les deux autres courbes (n̂ = êx et n̂ = êy ) :
∂Az
∂Ay
−
→~
rot A|
−
x =
∂y
∂z
,
∂Ax ∂Az
−
→~
rot A|
−
y =
∂z
∂x
60
Le rotationnel en coordonnées cartésiennes
−
→ ~
rot A
=
êx
êy
êz
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
(29)
Ax Ay Az
développer selon la première ligne !
=

∂Az
∂y
 ∂A
 ∂zx
∂Ay
∂x
37
−
−
−

∂Ay
∂z
∂Az 
∂x 
∂Ax
∂y
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Le rotationnel en coordonnées cylindriques
ρêφ êz
ê
1 ∂ρ
−
→~
∂
∂
rot A
=
∂φ
∂z
ρ ∂ρ
Aρ ρAφ Az


∂Aφ
1 ∂Az
−

 ρ∂A∂φρ ∂A∂zz

− ∂ρ
=
 h ∂z
i
∂A
1 ∂(ρAφ )
− ∂φρ
ρ
∂ρ
(30)
62
Le rotationnel en coordonnées sphériques
êr rêθ r sin θêφ
1
∂
∂
∂
∂θ
∂φ
r 2 sin θ ∂r
Ar rAθ r sin θAφ
h
i

∂(sin θAφ )
∂Aθ
1
−
∂θ
∂φi 
 r sinhθ
 1 1 ∂Ar ∂(rAφ ) 
=  r sin θ ∂φ − ∂r

h
i 

∂Ar
1 ∂(rAθ )
− ∂θ
r
∂r
−
→ ~
rot A
=
38
(31)
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Énergie électrostatique
64
Charge ponctuelle
H
Travail dépensé P → A = Énergie potentielle
WP →A = q[V (~
rA ) − V (~
rP )] = qV (~
rA ) = U e
H
L’énergie potentielle électrostatique d’une charge q :
(32)
Ue = qV (~
r)
H
V (~
r ) : potentiel créé par toutes les autres charges
65
Ensemble de N charges (1)
H
H
H
Ue : Le travail dépensé pour déplacer toutes les charges de P → A
Charges déplacées l’une après l’autre, qi à ~
ri
Vj (~
ri ) : potentiel créé au point ~
ri par la charge qj
Déplacée
Présente(s)
Travail dépensé
q1
q2
q3
...
qN
—
q1
q1 , q2
...
q1 , . . . , qN −1
0
q2 V1 (~
r2 )
q3 V1 (~
r3 ) + q3 V2 (~
r3 )
...
qN [V1 (~
rN ) + . . . + VN −1 (~
rN )]
PN P
Ue = i=2 j<i qi Vj (~
ri )
Total :
H
Peut-on trouver une formule plus simple ?
66
39
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Ensemble de N charges (2)
P P
Ue = N
ri )
i=2
j<i qi Vj (~
1 qi qj
= qj Vi (~
rj ) (normal !)
H Remarque : qi Vj (~
ri ) = 4πǫ
0 ri,j
H On ajoute l’autre moité des termes et on divise par deux !
H
N
N −1
1 XX
1 XX
qi Vj (~
ri ) +
qi Vj (~
ri )
2
2
i=2 j<i
i=1 j>i
 

N
N
X
X
X
X
1
1
qi 
=
Vj (~
ri )
qi Vj (~
ri ) =
2
2
Ue =
i=1
i=1 j6=i
j6=i
N
Ue =
H
1X
qi V (~
ri )
2
(33)
i=1
V (~
ri ) : potentiel créé au point ~
ri par toutes les autres charges (sauf la qi )
67
Distribution continue de charges
1. Volumique : dq = ρ(~
r ) dV
2. Surfacique : dq = ρs (~
r ) dS
r ) dl
3. Linéique : dq = ρl (~
H
H
1
Ue =
2
Z
ρ(~
r )V (~
r ) dV
(34)
1
Ue =
2
Z
ρs (~
r )V (~
r ) dS
(35)
1
Ue =
2
Z
ρl (~
r )V (~
r ) dl
(36)
V
S
Γ
V (~
r ) : le potentiel au point ~
r créé par la distribution
Intégrer sur les charges
68
40
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Densité volumique d’énergie
H
~ plutôt que de potentiel V et de charges ρ ?
Peut-on exprimer l’énergie en termes de champ E
Z
1
Ue =
ρ(~
r )V (~
r ) dV
2 V
~
ρ = ǫ0 div E
−
−
→
~ = −grad V
E
H
Sans démonstration : la (34) devient
1
Ue =
2
H
H
Z
ǫ0 E 2 (~
r ) dV
(37)
V
ǫ0 E 2 /2 : densité volumique d’énergie (J m−3 )
Intégrer partout dans l’espace !
69
41
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Électrostatique : récapitulatif
70
Équations du champ électrique (1)
H
Forme intégrale : flux et circulation
Forme locale : divergence et rotationnel
I
~ · n̂ dS = Qint
E
ǫ0
S
I
~ · t̂ dl = 0
E
~ = ρ
div E
ǫ0
−
→~ ~
rot E
=0
Γ
H
Potentiel
−→
~ = −−
E
grad V
Z
~ · t̂ dl
E
V (~
rB ) − V (~
rA ) = −
Γ: ~
rA →~
rB
Z
~ = Ex êx : V (x) = − Ex (x) dx + C
Si E
71
42
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Équations du champ électrique (2)
H
Énergie potentielle électrostatique
N
1X
qi V (~
ri )
2
i=1
Z
1
Ue =
ρ(~
r )V (~
r ) dV
2 V
Z
1
ǫ0 E 2 (~
r ) dV
Ue =
2 V
Ue =
72
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Conducteurs en électrostatique
73
Qu’est-ce qu’un conducteur ?
Conducteur (contraire : isolant ou « diélectrique »)
Contient des porteurs de charge en libre circulation
« Porteurs de charge » :
électrons libres dans le métal
H Les charges (électrons) sont libres à se déplacer
H Les charges (+ ou −) se repoussent le plus loin possible : on retrouve des charges uniquement sur
la surface d’un conducteur. . .
H
H
H
74
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Le champ et les charges à l’intérieur
H
H
H
H
« À l’intérieur » : dans le métal
À l’équilibre électrostatique, les charges ne se déplacent plus (par définition). . .
. . . alors qu’il y a des électrons libres à l’intérieur !
Pas de déplacement parce que pas de force !
~ = ~0
E
à l’intérieur d’un conducteur
Loi de Gauss à l’intérieur du conducteur :
~ = ~0 ⇒ Qint = 0
forme intégrale : E
~
~ =0⇒ρ=0
forme locale : E = ~0 ⇒ div E
H L’intérieur du conducteur est neutre !
H
75
Le champ et les charges dans une cavité
H
H
H
« Cavité » : la partie interne d’un conducteur creux
Cavité vide (neutre)
~ : chemin Γ dans la cavité et dans le conducteur
Calculer la circulation de E
~ = ~0
E
dans une cavité sans charge
Loi de Gauss à l’intérieur du conducteur :
forme intégrale : Qcav + Qsurf. int = 0
H Pas de charges sur la surface interne si cavité vide !
(WL, L5, 28m26–31m27)
~ ext
H Mêmes résultats en présence d’un champ E
(WL, L5, 43m13–45m41)
H Principe de blindage (cage de Faraday)
(WL, L5, 45m43–49m58)
H
76
45
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Le champ à la surface du conducteur (1)
À l’équilibre, les charges ne se déplacent plus. . .
~ tangentielle
. . . pas de composante E
~
Le champ E est nul à l’intérieur
Des charges uniquement sur la surface :
densité surfacique ρs (C m−2 )
H Loi de Gauss : un cylindre autour de la surface
H
H
H
H
~ = ρs n̂
E
ǫ0
H
(38)
~ est
Le champ E
1. perpendiculaire à la surface du conducteur
2. proportionnel à la densité surfacique des charges
H
Un conducteur (+ ses cavités sans charge)
forme une région équipotentielle
77
Le champ à la surface du conducteur (2)
H
H
H
H
H
H
H
H
Deux sphères métalliques, rayons R1 , R2
Très éloignées ; connectées par un fil conducteur
Charges Q1 , Q2
Densité de charge surfacique ρsi = Qi /4πRi2
1 Qi
Potentiel : V (Ri ) = 4πǫ
0 Ri
« Connectées » : V (R1 ) = V (R2 )
Q2
1
=⇒ Q
R1 = R2
Si R1 > R2 , ρs1 < ρs2 donc E1 < E2
Le champ électrique est plus fort aux endroits où le rayon de courbure est petit (p.ex.
pointes)
H
Démonstration : une casserole chargée
(WL, L6, 6m30–9m00)
78
46
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Rigidité diélectrique
Quand les isolants deviennent conducteurs. . .
R.D. : valeur maximale du champ électrique dans un isolant avant qu’il ne devienne conducteur
Mécanisme : quand E > Emax ,
électrons libres accélérés par le champ ; avalanche d’électrons libres ; le milieu s’ionise et devient
conducteur ; formation d’arc électrique ; son et lumière à la recombinaison électrons/ions
H Dans l’air Emax = 3 MV/m
H Si E > Emax , décharge électrostatique
(WL, L6, 40m27–42m10)
H Effet corona : décharge électrostatique sans formation d’arc ; « fuite » de charges par les pointes ;
champ électrique élevé, mais ne dépasse pas Emax
(WL, L6, 42m12–46m00)
H
H
H
79
Rigidité diélectrique : quelques valeurs typiques
Matériau
R.D. (MV m−1 )
Air (sec, à 25 ◦C)
Quartz
Titanate de strontium
Néoprène
Nylon
Pyrex
Huile silicone
Papier
Bakelite
Polystyrène
Teflon
3
8
8
12
14
14
15
16
24
24
60
Remarque : MV m−1 = kV mm−1
80
47
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Courants électriques
81
Des charges en mouvement
H
H
H
H
H
H
Courant électrique I = Charges / Temps
Quelques précisions. . .
« Courant » : à travers une surface
« Charges » : traversant la surface de façon perpendiculaire
Inclure la surface à la définition !
Densité de courant J~
◮
◮
◮
◮
Vecteur (champ vectoriel)
Direction : celle des charges positives
Module : charges traversant une surface ⊥ par unité de temps et de surface
Unités : C s−1 m−2 = A m−2
82
Calculer la densité de courant
Des porteurs de charges libres à se déplacer
Densité volumique des porteurs : n (m−3 )
Charge des porteurs : q (C)
Vitesse des porteurs : ~
v (m s−1 )
Un cylindre de longueur l et de section A ;
section ⊥ ~
v
H Charge totale dans le cylindre : Q = nlAq
traversant la section A en un temps t = l/v
H Densité de courant :
J~ = nq~
v
H
H
H
H
H
H
Si plusieurs types de porteurs :
J~ =
X
(A m−2 )
(39)
ni qi ~
vi
i
83
48
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Conservation de la charge : forme intégrale
H
Courant à travers une surface élémentaire :
~ = J~ · n̂ dS
dI = J~ · dS
H
Courant à travers une surface ouverte :
dQsurf
=
I=
dt
H
H
(> 0 ou < 0)
Courant à travers une surface fermée :
I
Z
dI =
Z
S
S
~=
J~ · dS
Z
S
J~ · n̂ dS
dQint
J~ · n̂ dS = −
dt
S
(40)
(41)
La charge totale dans l’Univers est constante :
d
(Qsurf fermée + Qint ) = 0
dt
84
Conservation de la charge : forme locale
H
À partir de (41) on remplace :
Z
I
~
div J~ dV (th. de la divergence)
J · n̂ dS =
V
S
Z
ρ(~
r ) dV
Qint =
V
H
Conservation de la charge :
r)
~ r ) = − ∂ρ(~
div J(~
∂t
H
(42)
Les « sources » du champ vectoriel J~
sont les variations temporelles de ρ !
85
49
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Électronique : loi des nœuds
H
En Électronique (« basses fréquences »),
pas d’accumulation de charges dans un circuit :
∂ρ(~
r)
=0
∂t
H
−→
Donc sur une surface S autour d’une jonction :
Z
I
div J~ dV = 0
J~ · n̂ dS =
V
S
H
div J~ = 0
Loi des nœuds (loi de Kirchhoff) :
X
Ii = 0 ,
I sortant > 0
i
H
Courant I constant le long d’un fil !
(6= d’une ligne de transmission. . . )
86
Vitesses des électrons dans les conducteurs (1)
H
H
H
H
H
H
Électrons libres, en absence de champ électrique :
mouvement aléatoire
Données cuivre, température T = 300 K
Vitesse de Fermi : vF ≈ 106 m s−1
Temps entre les collisions τ ≈ 10−14 s
Distance entre les collisions : d = vF τ ≈ 10−8 m
Densité des électrons libres : n ≈ 1029 m−3
Densité de courant :
?
J = nqvF ≈ 1029 1.6 × 10−19 106 A m−2
H
H
???
Vitesse moyenne nulle, J~ = ~0 !
H
87
50
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Vitesses des électrons dans les conducteurs (2)
Conducteur de longueur l, de section A
Appliquer une ddp U = V(+) − V(−)
H Champ dans le conducteur 6= ~
0!
H
H
−→
U
U
~ = −−
E
grad V = − ê(−)→(+) = ê(+)→(−)
l
l
H
H
H
~e = qe E
~ sur les électrons libres
Force F
~f = −f~
Collisions : force de « friction » F
v
Forces et vitesse sur le même axe : pas de vecteurs
me
dv
= qe E − f v
dt
me dv
qe
+v = E
f dt
f
(43)
88
Vitesses des électrons dans les conducteurs (3)
H
Solution de (43) :
qe
f
v = C exp − t + E
me
f
Conditions initiales : v(t = 0) = 0
donc C = −qe E/f
H Unités de f /me : s−1 , on peut l’appeler 1/τ
q τ
e
v(t) = 1 − e−t/τ
E
me
H
H
Vitesse de dérive des électrons libres :
vd =
H
(44)
qe τ
E
me
t ≫ τ ≈ 10−14 s
(45)
Mobilité : µe = qe τ /me
89
51
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Courants dans les conducteurs
H
Vitesse de dérive −→ densité de courant :
nq 2 τ ~
J~ = nqe~
vd = e E
me
H
H
Loi d’Ohm (1827)
(46)
nqe2 τ
= nqe µe
me
(47)
Conductivité (Ω−1 m−1 = ℧/m = S m−1 )
σ=
H
~
J~ = σ E
Résistivité ρ =
1
σ
(Ω m)
90
Conductivité : quelques valeurs typiques
Matériau
σ (S m−1 )
Matériau
σ (S m−1 )
Quartz
Polystyrène
Caoutchouc
Porcelaine
Verre
Eau distillée
≈ 10−17
≈ 10−16
≈ 10−15
≈ 10−14
≈ 10−12
≈ 10−4
Eau salée
Silicone
Graphite
Acier
Plomb
Tungsten
Aluminium
Or
Cuivre
Argent
≈4
103
≈ 105
2 × 106
5 × 106
1.8 × 107
3.5 × 107
4.1 × 107
5.7 × 107
6.1 × 107
Sol sec
Eau
Graisse animale
≈ 10−3
≈ 10−2
≈ 4 × 10−2
Corps humain
≈ 0.2
Eau salée : quels porteurs ?
(WL, L9, 41m05–43m08)
91
52
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Électronique : loi d’Ohm
H
H
H
~ ou E
~ = 1 J~
J~ = σ E
σ
Densité de courant : J = I/A
Champ électrique : E = U/l
~ = 1 J~ −→ U = 1 l I , RI
E
σ
σA
H
Attention aux « conventions » :
1. U = V(+) − V(−) (ddp ou « tension »)
~ et J)
~
2. Sens de I : de (+) vers (−) (comme E
H
H
H
H
Attention, R n’est pas toujours constante !
σ ∝ τ (temps entre collisions)
I ↑⇒ T ↑⇒ τ ↓⇒ σ ↓⇒ ρ ↑⇒ R ↑
Exemple : tungsten (WL, L9, 22m25–23m02)
92
Électronique : puissance consommée
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
« Appliquer une ddp U = V(+) − V(−) sur un conducteur »
~ et un courant J~
On crée un champ E
Des charges positives se déplacent
spontanément : (+) → (−)
W(+)→(−) = q V(−) − V(+) = −qU
W(+)→(−) < 0 : travail restitué par la charge. . .
. . . donc fourni par le champ ; consommation
Le champ dépense dW = U dq pour chaque charge dq
Débit de charges déplacées : dq/ dt = I
Puissance consommée :
U dq
dW
=
= UI
P =
dt
dt
(48)
U et I selon les « conventions » (tr.92)
Si P = UI < 0 : générateur !
(WL, L10, 47m20–50m03)
93
53
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Magnétostatique
94
Magnétisme
H
H
H
H
H
H
H
H
H
Aimants, boussoles, . . .
Quel rapport avec l’électricité ?
Aucun, avant 1820 !
Hans Christian Ørsted (1777–1851)
études médicales, thèse en philosophie (1799)
Professeur à l’Univ. de Copenhague (1806)
Avril 1820 : cycle de conférences
« Pourquoi l’aiguille d’une boussole bouge pendant les orages ? »
Étude de l’interaction entre un courant électrique et une boussole
LA Découverte : un courant électrique provoque un effet magnétique ! ! !
La naissance de l’électromagnétisme
(WL, L11, 8m00–9m30)
95
Loi de Biot-Savart
H
H
H
H
H
H
H
. . . les nouvelles arrivent à Paris (11/9/1820)
Biot (1774–1862) et Savart (1791–1841) : formulation quantitative (30/10/1820)
Champ magnétique créé par un courant :
(loi de Biot-Savart)
~
~ = µ0 I dl ∧ r̂
dB
4π r 2
(49)
d~l : longueur élémentaire de courant
~
r : de l’élément de courant au point d’observation
r̂ = ~
r /r
µ0 = 4π10−7 H m−1 : perméabilité du vide
(valeur exacte)
96
54
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Champ magnétique d’une charge en mouvement
H
H
H
H
~ = µ0 I d~l∧r̂
Loi de Biot-Savart : dB
4π r 2
Conducteur (fil) de section S
~ dl (astuce !)
I d~l = JS
~
J = nq~
v
v ∧ r̂
µ0 S dlJ~ ∧ r̂
µ0 S dlnq~
=
2
2
4π
r
4π
r
H S dln : nombre de charges dans l’élément de courant
H Champ magnétique créé par une seule charge :
~ =
dB
v ∧ r̂
~ = µ0 q~
B
4π r 2
H
(50)
Attention : pas de courant stationnaire avec une seule charge ! formule approximative. . .
97
Sources du champ magnétique
~ : créé par des charges en mouvement (courants)
B
Impossible d’isoler des « charges magnétiques »
(on a toujours deux pôles dans un aimant !)
H « Il n’existe pas de monopôles magnétiques » ( ?)
H Loi de Gauss pour le champ magnétique :
H
H
I
S
~ · n̂ dS = 0 forme intégrale
B
~ = 0 forme locale
div B
(51)
(52)
98
55
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Force magnétique (Laplace et Lorentz)
H
Une charge en mouvement dans un champ magnétique subit une force :
~m = q~
~
F
v∧B
H
H
H
H
H
force de Laplace
(53)
~ : N s C−1 m−1 = T : Tesla
Unités de B
Unité non SI : Gauss, 1 G = 10−4 T
Champ magnétique terrestre : ≈ 0.5 G
~m ⊥ ~
F
v : pas de travail !
~ et d’un champ B
~ :
En présence d’un champ E
~ =F
~e + F
~m = q E
~ + q~
~
F
v∧B
~ +~
~
= q(E
v ∧ B)
force de Lorentz
(54)
99
Force magnétique sur un courant
H
H
H
H
H
H
Courant I dans un conducteur de section S
~ sur chaque porteur de charge : F
~m = q~
~
Dans un champ B,
v∧B
~
Force sur l’élément dl :
~m = n dlS F
~m = n dlSq~
~
dF
v∧B
J~ = nq~
v
~
JS dl = I~ dl = I d~l
Force magnétique sur un élément de courant I :
~m = I d~l ∧ B
~
dF
(55)
100
56
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Force entre deux courants
H
H
Deux conducteurs parallèles (infinis. . . )
~ 1 (TD 5.1)
Courant I1 génère champ B
B1 = µ 0
H
I1
2πρ
~m :
Élement de courant I2 subit force dF
~m = I2 d~l ∧ B
~1
dF
,
~1
d~l ⊥ B
force magnétique
I1 I2
= µ0
longueur
2πρ
H
H
H
(Conducteurs infinis → force totale infinie !)
Deux courants parallèles s’attirent
Deux courants opposés se repoussent
Ampère, 18/9/1820 (WL, L11, 15m00–17m15)
101
Loi d’Ampère (forme intégrale)
Ørsted : « le “champ magnétique” décrit des cercles »
Lignes de champ magnétique (TD 5.1 et 5.2) :
entourent les courants
H Ampère : mise en équation
~ calculée sur une courbe Γ, est proportionnelle au courant traversant la
H La circulation du champ B,
surface S associée à la courbe Γ :
Z
I
~
(56)
B · t̂ dl = µ0 J~ · n̂ dS
H
H
S
Γ
H
H
H
H
Courbe Γ : pas nécessairement un cercle !
Surface S : ouverte, Γ est son bord
t̂R et n̂ : Périph’externe ↔ Tour Eiffel (tr.#58)
~
S J · n̂ dS : le courant I enlacé par la courbe Γ
57
102
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Théorème du rotationnel
H
H
H
(. . . après le rappel des tr.#57 et #58. . . )
Surface S (ouverte) entourée par Γ (fermée)
Partager S en S1 , S2 , . . ., entourées par Γ1 , Γ2 , . . .
I
X I
~ · t̂ dl =
~ · t̂i dl
A
A
Γ
Γi
i
=
=
X
Zi
−
→ ~
rot A
· n̂ dS
S
I
H
Γ
~ · t̂ dl =
A
−
→~
n̂i · rot A
∆Si
Z
S
−
→~
rot A
· n̂ dS
(57)
Théorème de Stokes
103
Loi d’Ampère (forme locale)
H
Point de départ : loi d’Ampère forme intégrale, éq.(56) :
Z
I
~
B · t̂ dl = µ0 J~ · n̂ dS
S
Γ
H
Appliquer théorème de Stokes :
Z
H
S
−
→~
rot B
· n̂ dS = µ0
Z
S
pour toute surface ouverte S
Loi d’Ampère (forme locale) :
−
→~
rot B
= µ0 J~
H
J~ · n̂ dS
(58)
~ « tourne » autour de J~
Le champ B
104
58
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Magnétostatique : récapitulatif
105
Équations du champ magnétique
H
Flux et circulation (formes intégrale et locale)
I
~ · n̂ dS = 0
B
S
Z
I
~
J~ · n̂ dS
B · t̂ dl = µ0
Γ
~ =0
div B
−
→~
rot B
= µ0 J~
S
106
59
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~
Analyse vectorielle 5 : le nabla ∇
107
L’opérateur nabla
« Opérateur » : doit agir sur quelque chose !
(il ne doit jamais rester seul)
H Champs (scalaires ou vectoriels) : fonctions de plusieurs variables
H Coordonnées cartésiennes : les trois dimensions sont équivalentes
H Définir un « vecteur » spécial :
∂
∂
∂
~ =
, ,
∇
∂x ∂y ∂z
H
(59)
~ = ∂ êx + ∂ êy + ∂ êz
∇
∂x
∂y
∂z
H
L’opérateur nabla est un vecteur gourmand !
il agit sur des champs (scalaires ou vectoriels)
108
60
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Opérations avec le nabla (1)
~ comme un vecteur ordinaire
On peut traiter ∇
1. Vecteur fois scalaire : Φ(x, y, z) champ scalaire
H
−−→
~ = ∂Φ êx + ∂Φ êy + ∂Φ êz (21)
= grad Φ
∇Φ
∂x
∂y
∂z
(60)
~
2. Vecteur · vecteur : A(x,
y, z) champ vectoriel
~
~ ·A
~ = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az (10)
= div A
∇
∂x
∂y
∂z
(61)
~
3. Vecteur ∧ vecteur : A(x,
y, z) champ vectoriel
~ ∧A
~=
∇
êx
êy
êz
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
−
→ ~
= rot A
(29)
(62)
Ax Ay Az
109
Opérations avec le nabla (2)
H
H
~ : les résultats sont valables dans tous les systèmes de coordonnées !
Vecteur ∇
~ a une forme simple que dans le cartésien
Mais ∇
~ 6= ∂ êr + ∂ êθ + ∂ êφ
∇
∂r
∂θ
∂φ
p.ex.,
H
Opération
−−→
grad Φ
~
div A
−
→ ~
rot A
De
À
scalaire Φ
~
vecteur A
~
vecteur A
∆Φ
~A
~
∆
scalaire Φ
~
vecteur A
~
vecteur ∇Φ
~ ·A
~
scalaire ∇
~
~
vecteur ∇ ∧ A
!!!
scalaire ∇2 Φ
~
~ 2A
vecteur ∇
110
61
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Quelques formules avec le nabla
H
Plutôt simples :
−−→
~ · (∇Φ)
~
div grad Φ = ∇
, ∇2 Φ
−
→ −−→
~ ∧ (∇Φ)
~
rot grad Φ = ∇
= ~0
−
→~
~ · (∇
~ ∧ A)
~ =0
div rot A
=∇
H
(63)
(64)
(65)
Et une plus compliquée...
−
→−
→ ~ −−→
~ −∆
~A
~
rot rot A
= grad div A
(66)
~ ∧ (∇
~ ∧ A)
~ = ∇(
~ ∇
~ · A)
~ −∇
~ 2A
~
∇
(67)
ou
~ ∧ (B
~ ∧ C)
~ = B(
~ A
~ · C)
~ − C(
~ A
~ · B)
~
utiliser A
111
Le(s) Laplacien(s) : nabla au carré
~ ·∇
~ prend deux formes :
L’operateur ∇
1. Opérateur sur un scalaire : laplacien scalaire
H
~ · ∇)Φ
~
∆Φ , ∇2 Φ , (∇
cart
=
∂2Φ
∂x2
+
∂2Φ
∂y 2
+
(68)
∂2Φ
∂z 2
formules plus compliquées dans les autres systèmes !
2. Opérateur sur un vecteur : laplacien vectoriel
~A
~ ,∇
~ 2A
~ , (∇
~ · ∇)
~ A
~
∆
(69)
cart
= (∇2 Ax )êx + (∇2 Ay )êy + (∇2 Az )êz
Attention : décomposition en composantes ∇2 Ai uniquement en cartésiennes !
112
62
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Gauss, Stokes, etc. : un autre point de vue (1)
H
Théorème de Gauss (11) :
Z
H
V
S
~ · n̂ dS
A
S
−
→~
rot A
· n̂ dS =
Formule du gradient (tr.#53)
Z
Γ: ~
rA →~
rB
H
I
(3D → 2D)
Théorème de Stokes (57)
Z
H
~ dV =
div A
I
Γ
~ · t̂ dl
A
(2D → 1D)
−−→
grad V · t̂ dl = V (~
rB ) − V (~
rA )
(1D → 0D)
Formule de la primitive
Z
b
(1D → 0D sur une ligne droite)
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
113
Gauss, Stokes, etc. : un autre point de vue (2)
H
Théorème de Gauss (11) :
Z
V
H
S
S
~ ∧A
~ · n̂ dS =
∇
Formule du gradient (tr.#53)
Z
Γ: ~
rA →~
rB
H
I
~ · n̂ dS
A
(3D → 2D)
Théorème de Stokes (57)
Z
H
~ ·A
~ dV =
∇
I
Γ
~ · t̂ dl
A
(2D → 1D)
~ · t̂ dl = V (~
∇V
rB ) − V (~
rA )
(1D → 0D)
Formule de la primitive
Z
b
a
(1D → 0D sur une ligne droite)
f (x) dx = F (b) − F (a)
114
63
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Électrostatique – Magnétostatique :
une comparaison
115
Deux champs bien différents ( ?)
H
2+2 équations (formes locales)
Électrostatique
Magnétostatique
~ ·E
~ = ρ/ǫ0
∇
~ ∧E
~ = ~0
∇
~ ·B
~ =0
∇
~ ∧B
~ = µ0 J~
∇
(sources sans tourbillons)
Potentiel scalaire V
(tourbillons sans sources)
~
Potentiel vectoriel A
~ ∧ ∇V
~ = ~0
∇
~ = −∇V
~
E
~ ·∇
~ ∧A
~ =0
∇
~ =∇
~ ∧A
~
B
116
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Phénomènes d’Induction
(enfin, un peu de mouvement !)
117
« Force » électromotrice (1)
H
Dans un circuit (Électronique) :
~ crée le courant
force par charge, f,
~
f~ = f~s + E
H
H
H
f~s : force par charge dans la source
~ : champ électrostatique (partout)
E
« Force » électromotrice (définition générale) :
fem ,
H
I
f~ · t̂ dl
(V )
(71)
Γ
I
f~s · t̂ dl
(V )
(72)
Γ
Champ électrostatique : circulation nulle
fem =
H
(70)
Équ. (72) : cas spécial d’un circuit avec source
118
65
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« Force » électromotrice (2)
Loi d’Ohm : J~ = σ f~
À l’intérieur de la source idéale : pas de résistance
~ = 0 ⇒ f~s = −E
~
σ = ∞ ⇒ f~ = J/σ
H ddp aux bornes de la source :
Z
~ · t̂ dl
E
V+ − V− = −
Γ:(−)→(+)
Z
(−f~s ) · t̂ dl
=−
Γ:(−)→(+)
I
(72)
f~s · t̂ dl = fem
=
H
H
Γ
fem = ddp aux bornes de la source !
H Polarité : le vecteur t̂ va du (-) au (+) de la source
H fem = IR
H
119
fem due au mouvement
H
H
H
H
Un circuit se déplace dans un champ magnétique
...
fem : uniquement pendant les phases d’entrée/sortie
fem due au mouvement :
dΦB
fem = −
dt
(73)
où ΦB est le flux magnétique à travers le circuit :
Z
~ · n̂ dS
B
ΦB =
S
H
H
Changement de flux : source de tension !
fem génère I qui s’oppose au changement de ΦB !
120
66
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fem due au mouvement : des exemples !
~ : constant et uniforme dans une région
B
Circuit en déplacement |fem| = Blv (TD 8.1)
Circuit en rotation (TD 8.2)
(WL, L17, 17m10–18m20)
(gén. humain : WL, L17, 25m13–27m25)
(ampoule : WL, L17, 41m52–44m40)
H Conducteur sur rails |fem| = Blv (TD 8.3)
H Courants de Foucault (frein magnétique)
(WL, L17, 40m18–41m52)
H Circuit en chute « libre » dans un champ magnétique
(WL, L17, 47m18–48m40)
H
H
121
Induction électromagnétique
H
H
H
H
H
H
H
Expériences de Faraday (1831)
~ ..
« Puisque J~ crée B.
~
est-ce que B crée J~ ? »
~ qui crée J.
~ ..
Conclusion : ce n’est pas B
~
mais les changements de B !
Aimant et boucle (WL, L16, 10m30–12m30)
Il n’y a pas de source dans la boucle ! f~s = ~0
~ =E
~
f~ = f~s + E
fem due au champ électrique induit (71)
I
~ · t̂ dl 6= 0 (comparer avec (13) !)
E
fem =
(74)
Γ
H
H
~ crée un champ E
~ !!!
La variation de B
« Champ électrique induit »
122
67
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Loi de Faraday (forme intégrale)
H
fem =
I
Γ
~ · t̂ dl = −
E
Z
~
dB
· n̂ dS
dt
S
(75)
Courbe (fermée) Γ : le bord de la surface (ouverte) S
Signe − : loi de Lenz :
~′
Le champ électrique induit génère des courants qui, à leur tour, génèrent un champ secondaire B
s’opposant à la variation du flux du champ magnétique initial.
H (La Nature n’aime pas le changement)
~ créé par une boucle de courant
H Rappel (TD 5) : champ B
H Solénoïde et boucle (WL, L16, 30m00–32m30)
H
H
123
Loi de Faraday (forme locale)
H
Point de départ : loi de Faraday (75) :
I
Γ
H
Z
S
~
dB
· n̂ dS
dt
Appliquer le théorème de Stokes :
Z
H
~ · t̂ dl = −
E
S
−
→~
· n̂ dS = −
rot E
Z
S
~
dB
· n̂ dS
dt
pour toute surface S
Loi de Faraday (forme locale) :
~
dB
−
→~
rot E
=−
dt
(76)
124
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La règle du flux magnétique
H
H
H
H
On combine la fem due au mouvement (73). . .
~
et la fem due aux variations de B(t)
(75)
(deux phénomènes bien différents ! ! !)
dΦB
dt
I
Z
~ · t̂ dl = − d
~ · n̂ dS
E
B
dt S
Γ
fem = −
H
H
(77)
(78)
~ n’est plus conservatif ! (circulation 6= 0)
En déhors de l’électrostatique, le champ E
L’intégrale
Z
~ · t̂ dl
E
Γ:~
rA →~
rB
H
dépend du chemin choisi !
(on reviendra sur ce sujet contre-intuitif, tr.#131)
125
Le champ électrique induit
H
H
H
Que nous dit la loi de Faraday ?
~ créent un champ E
~ induit
Les variations de B
Dans une région neutre (ρ = 0),
~
~ ·E
~ = ρ = 0 et ∇
~ ∧E
~ = − dB
∇
ǫ0
dt
H
~ en magnétostatique :
Analogie avec le champ B
~ ·B
~ = 0 et ∇
~ ∧B
~ = µ0 J~
∇
~ induit sont des boucles !
Les lignes du champ E
~
~ induit
B
E
H équivalences :
~ dt
µ J~
− dB/
H
0
µ0 Ienlacé
− dΦB / dt
126
69
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Inductance : mutuelle
H
H
Deux circuits séparés (p.ex. solénoïde et boucle)
~ 1 ⇒ Φ2
Courant I1 ⇒ B
Φ2 =
Z
S2
H
~ 1 · n̂2 dS2
B
~1 =
et B
I
Γ1
µ0 I1 d~l1 ∧ r̂
∝ I1
4π
r2
Le flux à travers le 2 est proportionnel au courant de 1 :
(79)
Φ2 = M21 I1
H
H
H
M21 = M12 = M inductance mutuelle entre les circuits
M : paramètre purement géométrique
Variations de I1 génèrent un courant I2 = fem2 /R2 :
fem2 = −
dI1
dΦ2
= −M
dt
dt
(80)
127
Inductance : self
H
H
Même phénomène avec un seul circuit !
~ ⇒ ΦB
Courant I ⇒ B
ΦB =
H
Z
S
~ · n̂ dS
B
~ =
et B
I
~ =
dB
I
Γ
Γ
Flux magnétique à travers un circuit ∝ courant
(81)
ΦB = LI
H
H
H
L : self-inductance ; unités Henry : H = Wb A−1 = V s A−1
L = ΦB /I : paramètre purement géométrique
Variations de I génèrent une f.e.m. . . . :
fem = −
H
µ0 I d~l ∧ r̂
∝I
4π r 2
dΦB
dI
= −L
dt
dt
(82)
. . . s’opposant aux variations !
128
70
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Énergie magnétique (1)
I
−
H
H
H
H
L
(−L dI/ dt)
L
I
+
(L dI/ dt)
+
−
⇐⇒
Puissance « consommée » : emmagasinée dans la self
dI
P = L
I
dt
P > 0 quand I ↑
I(t = 0) = 0 et I(t = t0 ) = I0
Énergie magnétique stockée dans la self :
Z
Um =
t0
0
(83)
1
P dt = . . . = LI02
2
(84)
129
Énergie magnétique (2)
H
Sans démonstration : la (84) devient
Um =
H
H
H
1
2
Z
V
1 2
B (~
r ) dV
µ0
(85)
B 2 /(2µ0 ) : densité volumique d’énergie (J m−3 )
Intégrer partout dans l’espace !
À comparer avec (37) :
Z
1
ǫ0 E 2 (~
r ) dV
Ue =
2 V
130
71
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~ non conservatif
[Bizarre] Champ E
Circuit simple : pile (fem = 1 V), R1 = 100 Ω, R2 = 900 Ω
Calculer courant et tensions
H Remplacer pile par dΦB / dt
Calculer courant et tensions : VR1 6= VR2 ! ! !
L’intégrale
Z
?
~ · t̂ dl =
E
VB − VA
−
H
Γ:~
rA →~
rB
dépend du chemin choisi WL, L16, 48m25–51m27
(vidéo avec la théorie WL, L16, 34m51–51m27 ; texte détaillé)
H Champ électrique non conservatif :
I
~ · t̂ dl 6= 0
E
Γ
ddp sur un chemin fermé 6= 0 (Contre-Intuitif)
M. C. Escher, “Ascending and descending” , 1960
131
72
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Induction : récapitulatif
132
Les 4 équations, forme intégrale
H
Flux et circulation
I
I
~ · n̂ dS = 1
E
ǫ0
S
S
Z
ρ dV
V
~ · n̂ dS = 0
B
I
Z
d
~
~ · n̂ dS
E · t̂ dl = −
B
dt
Z S
IΓ
~ · t̂ dl = µ0 J~ · n̂ dS
B
S
Γ
133
73
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Les 4 équations, forme locale
H
Divergence et rotationnel
~ ·E
~= ρ
∇
ǫ0
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ∧E
~ = − dB
∇
dt
~
~
~
∇ ∧ B = µ0 J
134
74
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Équations de Maxwell
135
Un problème avec la loi d’Ampère ?
1. « Tester » les équations du rotationnel :
~ ·∇
~ ∧E
~ = 0 OK
H ∇
~
~
~ = 0???
H ∇·∇∧B
(42) ∂ρ
~ · J~ = 0 −→
=0
∇
∂t
2. Appliquer la loi d’Ampère dans un cas
fil + condensateur
∂ρ
∂t
6= 0 :
La loi d’Ampère n’est pas valide en dehors de la magnétostatique
136
75
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Le terme qui manque : courant de déplacement
H
Loi d’Ampère (forme locale) :
~ ∧B
~ = µ0 J~
∇
H
Loi d’Ampère-Maxwell (forme locale) :
~
~ ∧B
~ = µ0 J~ + J~d = µ0 J~ + ǫ0 dE
∇
dt
H
(86)
Loi d’Ampère-Maxwell (forme intégrale) :
I
Γ
H
H
!
~ · t̂ dl = µ0
B
Z
S
J~ · n̂ dS + µ0
J~d : courant « de déplacement »
~ créent un champ B
~ induit !
Les variations de E
Z
~
dE
·n̂ dS
ǫ0
dt}
S | {z
(87)
J~d
137
James Clerk Maxwell (1831–1879)
138
76
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Les trois régimes en électromagnétisme
H
Électrostatique (aucun déplacement de charges, dρ/ dt = 0)
Magnétostatique (courants invariables dans le temps ; pas d’accumulation de charges,
(42)
~ · J~ = 0)
dρ/ dt = 0 −→ ∇
~ ·E
~= ρ
∇
ǫ0
~
~
~
∇∧E =0
H
~ ·B
~ =0
∇
~ ∧B
~ = µ0 J~
∇
Quasistatique : des variations lentes dans le temps
~ ·E
~= ρ
∇
ǫ0
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ∧E
~ = − dB
∇
dt
H
~ ∧B
~ = µ0 J~ + . . .
∇
|{z}
≈0
Régime « complet » : les équations de Maxwell
139
Les équations de Maxwell
H
Maxwell, 1864
~ ·E
~= ρ
∇
ǫ0
~
~
∇·B =0
(88)
(89)
~
~ ∧E
~ = − dB
∇
dt
(90)
~
~ ∧B
~ = µ0 J~ + µ0 ǫ0 dE
∇
dt
(91)
4 équations = 2 scalaires + 2 vectorielles = 2 + 6 = 8
Équations : sources vers champs
~ = q(E
~ +~
~
Force de Lorentz : effet des champs, F
v ∧ B)
(88)
~
~ · J~ = − dρ/ dt
H Conservation de la charge : ∇·(91)
−→ ∇
H Le champ électromagnétique s’auto-alimente !
H
H
H
140
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Ondes
141
Qu’est-ce qu’une onde ?
Vagues (océan, fleuve, . . . )
Ondes acoustiques
Vibrations d’une corde
Ondes sismiques
Signaux électriques
(lignes de transmission, neurones)
H ...
H Vagues mexicaines (la ola) : concert, match de foot.
H
H
H
H
H
Onde : une perturbation qui se propage dans un milieu, sans transporter de matière.
“Wave on a string”
142
[Rappel] L’argument d’une fonction
H
H
f (t) : fonction initiale
Comment décaler / retourner / changer d’échelle ?
f ( 12 (t − 7))
f (t − 3)
f (t)
2
1
t
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
f (−(t − 3))
f (−t)
2
7
8
9
10
9
10
f (−2(t − 7))
1
t
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
143
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Propagation d’une impulsion
durée T = 8 s
10 m
z
7m
longueur L = 4 m
3m
0m
b
b
b
θ
0s
tan θ = c = 0.5 m s−1
c=
b
b
b
b
b
b
b
b
10 s
L
T
18 s
20 s
t
À z = z0 , f (t − z0 /c) : f (·) retardée de z0 /c
À t = t0 , f − 1c (z − ct0 ) : f (·) retournée, dilatée par c, décalée à ct0
144
L’équation d’onde (1)
H
H
H
H
H
f (t − zc ) : onde se propageant vers +z
f (t + zc ) : onde se propageant vers −z
f (t ± zc ) = f ( ct±z
c ) = g(z ± ct) : autre vue
f (x, t) : fonction à deux variables, espace et temps
Dérivées temporelles et spatiales. . . premières
∂f
z ′
= f′
= f′ t ±
∂t
c
∂f
1
z ′
= ± f′
= f′ t ±
∂z
c
c
∂f
1 ∂f
=±
∂z
c ∂t
H
et secondes
∂2f
=
∂z 2
∂2f
= f ′′
∂t2
1 ∂2f
∂2f
=
∂z 2
c2 ∂t2
H
1
±
c
2
f ′′
(92)
(92) : équation d’onde (une dimension)
145
79
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L’équation d’onde (2)
H
Équation d’onde (trois dimensions)
∂2f
∂2f
1 ∂2f
∂2f
2
+
+
=
∇
f
=
∂x2
∂y 2
∂z 2
c2 ∂t2
(93)
Équations à dérivées partielles (spatiales et temporelle) :
la solution dépend des conditions initiales f (~
r , t = 0) et des conditions aux limites f (~
r=~
ri , t)
H f : propriété du milieu de propagation
H
◮
◮
◮
◮
H
hauteur de la surface de l’eau
pression acoustique
déplacement transversal d’une corde
...
vitesse de propagation c : dépend des paramètres du milieu
146
80
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Ondes électromagnétiques
147
La prévision théorique de Maxwell (1)
H
Les équations de Maxwell dans le vide, sans charges ni sources :
~ ·E
~ =0
∇
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ∧B
~ = µ 0 ǫ0 ∂ E
∇
∂t
~
~ ∧E
~ = − ∂B
∇
∂t
H
H
Équations différentielles couplées
~
Dérivée seconde pour découpler : agir avec ∇
(agir, mais comment ? quelles opérations ?)
2~
~ ∧∇
~ ∧E
~ =−∂∇
~ ∧B
~ = −ǫ0 µ0 ∂ E
∇
∂t
∂t2
~ ∧∇
~ ∧E
~ = ∇(
~ ∇
~ · E)
~ −∇
~ 2E
~ = −∇
~ 2E
~
∇
148
81
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La prévision théorique de Maxwell (2)
H
Équation vectorielle
2~
~ = ǫ0 µ 0 ∂ E
~ 2E
∇
∂t2
se décompose (uniquement en coordonnées cartésiennes) :
∇2 Ex,y,z = ǫ0 µ0
|{z}
∂ 2 Ex,y,z
∂t2
(94)
(95)
1/c2
H
H
Des ondes électromagnétiques existent !
Vitesse de propagation :
c= √
1
1
≈q
m s−1 ≈ 3 × 108 m s−1
ǫ0 µ 0
10−9
4π10−7
(96)
36π
149
La lumière est une onde électromagnétique !
√1
ǫ0 µ0
= 299 792 458 m s−1
H
c=
H
H
À partir de ǫ0 et µ0 on obtient la vitesse de la lumière
Une pure coïncidence ?
« La vitesse des ondes électromagnétiques est presque celle de la lumière. . . ce qui donne
une bonne raison de conclure que la lumière est en quelque sorte elle-même (en incluant
le rayonnement de chaleur, et les autres radiations du même type) une perturbation
électromagnétique qui se propage selon les lois de l’électromagnétisme. »
J.C. Maxwell, 1864
H
H
Confirmation expérimentale en 1888 par H. Hertz (1857–1894)
« Monsieur, à quoi ça sert ? »—« À rien. »
150
82
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Le spectre électromagnétique
Type
Radio
Micro-ondes
Infrarouge
Visible
Ultraviolet
Rayons X
Rayons Γ
Longueur d’onde λ (m)
10−1
>1×
1 × 10−3 –1 × 10−1
7 × 10−7 –1 × 10−3
4 × 10−7 –7 × 10−7
1 × 10−8 –4 × 10−7
1 × 10−11 –1 × 10−8
< 1 × 10−11
Fréquence f (Hz)
< 3 × 109
3 × 109 –3 × 1011
3 × 1011 –4 × 1014
4 × 1014 –7.5 × 1014
7.5 × 1014 –3 × 1016
3 × 1016 –3 × 1019
> 3 × 1019
151
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Ondes électromagnétiques planes, progressives,
monochromatiques (OPPM)
152
Onde monochromatique vers +z
H
H
Rappel TD 10.1 + visualisation en 3D
Perturbation initiale harmonique (à z = 0) :
f (z = 0, t) = cos
2π
t
T
= cos(ωt)
H
Onde se propageant selon +êz : t → t− zc
2π
2π
t−
z = cos(ωt − kz)
f (z, t) = cos
T
λ
H
H
H
H
H
λ = cT : longueur d’onde, la période spatiale (en m)
k = 2π/λ : nombre d’onde (en rad m−1 )
~
k = kk̂ = k(+êz ) : vecteur d’onde
φ(z, t) = ωt − kz : la phase de l’onde
vφ = ω/k = c : la vitesse de phase
153
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Propagation d’une sinusoïde
« duree » : période temporelle T = 8 s
10 m
« longueur » : période spatiale λ = 4 m
7m
z
3m
b
0m
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
0s
10 s
λ
2π/T
ω
c= =
= = λf
T
2π/λ
k
18 s
20 s
t
154
Onde électromagnétique PPM selon +êz
H
Onde Plane Progressive Monochromatique (OPPM)
~ r , t) = E
~ 0 cos(ωt − kz) = E(z,
~ t)
E(~
|{z}
(97)
cste
H
H
H
H
H
H
« Monochromatique » : cos(ωt − kz0 )
~ oscille dans le temps.
À chaque point de l’espace (~
r fixe), le champ E
Les oscillations sont déphasées en fonction de l’endroit.
« Progressive » : temps/espace couplés
f (t − z/c), onde selon +êz
« Plane » : le champ E~ est constant sur tout le plan z = z0
« Front d’onde » : lieu de points de même phase à t fixe
Onde plane = fronts d’onde plans
(D’autres formes d’onde existent : cylindriques, sphériques, . . . )
155
85
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Onde électromagnétique PPM selon k̂
H
Onde PPM se propageant selon êz :
~ r , t) = E
~ 0 cos(ωt − kz)
E(~
H
H
La phase de l’onde dépend uniquement de z
z : la projection de ~
r sur la direction de propagation êz
z=~
r · êz = ~
r · k̂
H
Cas général, onde PPM se propageant selon k̂ :
~ 0 cos(ωt − ~
~ r , t) = E
~ 0 cos(ωt − k k̂ · ~
k·~
r)
E(~
r )=E
|{z}
(98)
∆φ = φ1 − φ2 = ~
k · (~
r2 − ~
r1 ) = ~
k·~
r1→2
(99)
z si k̂=êz
H
H
H
Fronts d’onde : des plans perpendiculaires à k̂
OPPM : remplit tout l’espace (modèle mathématique !)
Déphasage entre deux points ~
r1 , ~
r2 :
156
Notation complexe : définition
H
Formule d’Euler :
H
Application à une OPPM :
n o
e j φ = cos(φ) + j sin(φ) → cos(φ) = Re e j φ
~ r , t) = E
~ 0 cos(ωt − ~
E(~
k ·~
r + δ)
o
n
~ 0 e j (ωt−~k·~r+δ)
= Re E
n
o
~ 0 e j δ e j (ωt−~k·~r)
= Re E
o
n
~ e j (ωt−~k·~r)
= Re Ẽ
0
o
n
~ r , ω)e j ωt
, Re Ẽ(~
H
(100)
~ r , ω) : représentation (ou amplitude) complexe de E(~
~ r , t)
Ẽ(~
~ r , ω) fréquence
~ r , t) ←→ Ẽ(~
temps E(~
157
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Notation complexe : avantages (1)
H
~ r , ω) : plus simple à manipuler ! (addition)
Ẽ(~
~ r , t) = E
~1 (~
E(~
r , t) + E~2 (~
r , t)
~ 1 cos(ωt − ~
~ 2 cos(ωt − ~
=E
k·~
r + δ1 ) + E
k·~
r + δ2 )
= . . . ??? . . .
o
o
n
n
~ (~
~ (~
j ωt
j ωt
+
Re
= Re Ẽ
Ẽ
r
,
ω)e
r
,
ω)e
2
1
o
n
~ (~
~ (~
j ωt
e
r
,
ω)
+
Ẽ
r
,
ω)
= Re Ẽ
1
2
~ r , ω) = Ẽ
~ (~
~ r , ω)
Ẽ(~
1 r , ω) + Ẽ2 (~
H
H
(101)
On additionne les représentations complexes, comme des vecteurs
On ne multiplie jamais des représentations complexes !
(une seule exception, quand on sait ce qu’on fait. . . ; équ. (136), tr.#183)
158
Notation complexe : avantages (2)
H
~ r , ω) : plus simple à manipuler ! (∂/∂t)
Ẽ(~
o
n
∂ ~
∂
~
j ωt
E(~
r , t) = Re Ẽ(~
r , ω)e
∂t
∂t ∂ j ωt
~
r , ω) e
= Re Ẽ(~
∂t
n
o
~ r , ω)e j ωt
= Re j ω Ẽ(~
∂ ~
~ r , ω)
E(~
r , t) ←→ j ω Ẽ(~
∂t
(102)
159
87
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Notation complexe : avantages (3)
H
~ r , ω) : plus simple à manipuler ! (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
Ẽ(~




n
o
∂
∂ ~
∂
OPPM
~ e j (ωt−~k·~r) = Re Ẽ
~
j (ωt−~
k·~
r)
E(~
r , t) =
Re Ẽ
e
0
0

|{z}
∂x
∂x
∂x
cste
o
o
n
n
~ r , ω)e j ωt
~ e j (ωt−~k·~r) = Re − j k Ẽ(~
= Re − j kx Ẽ
x
0
∂ ~
~ r , ω)
E(~
r , t) ←→ − j kx Ẽ(~
∂x
~ = ∂ êx + ∂ êy + ∂ êz ←→
∇
∂x
∂y
∂z
←→ − j kx êx − j ky êy − j kz êz = − j ~
k
(103)
160
Notation complexe : application
H
Notation complexe :
o
n
~ r , ω)e j ωt
~ r , t) = Re Ẽ(~
E(~
~ r , ω) = Ẽ
~ e− j ~k·~r
Si OPPM : Ẽ(~
0
H
H
(104)
Passer du domaine « temporel » au domaine « fréquentiel »
Remplacer dans les équations de Maxwell :
~ r , ω)
~ r , t) −→ Ẽ(~
E(~
∂/∂t −→ + j ω
~ −→ − j ~
Si OPPM : ∇
k
(105)
(106)
(107)
161
88
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Équations de Maxwell : régime harmonique
H
o
n
~ r , ω)e j ωt
~ r , t) = Re Ẽ(~
E(~
Dans le vide, sans charges ni courants :
~ ·E
~=0
∇
−→
~ ·B
~=0
∇
−→
~
~ ∧E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
~ ∧B
~ = ǫ0 µ 0 ∂ E
∇
∂t
H
~ =0
~ · Ẽ
∇
~ =0
~ · B̃
∇
(108)
(109)
−→
~ = − j ω B̃
~
~ ∧ Ẽ
∇
(110)
−→
~ = j ωǫ µ Ẽ
~
~ ∧ B̃
∇
0 0
(111)
L’équation d’ondes (94) devient l’équation de Helmholtz :
~ + ω 2 µ ǫ Ẽ
~ =0
~ 2 Ẽ
∇
0 0
(112)
162
Équations de Maxwell dans le cas d’une OPPM
H
o
n
o
n
~ r , ω)e j ωt
~ e j (ωt−~k·~r) = Re Ẽ(~
~ r , t) = E
~ 0 cos(ωt − ~
E(~
k·~
r + δ) = Re Ẽ
0
Dans le vide, sans charges ni courants :
~ · E~ = 0
∇
−→
~ ·B
~=0
∇
−→
~
~ ∧ E~ = − ∂ B
∇
∂t
~
~ ∧B
~ = ǫ0 µ 0 ∂ E
∇
∂t
~ =0
− j~
k · Ẽ
~ =0
− j~
k · B̃
(113)
(114)
−→
~
~ = − j ω B̃
− j~
k ∧ Ẽ
(115)
−→
~
~ = j ωǫ µ Ẽ
− j~
k ∧ B̃
0 0
(116)
~ ⊥~
k, le champ électrique est transversal
1. (113) : Ẽ
~
k, le champ magnétique est transversal
2. (114) : B̃ ⊥ ~
~ = 1~
~
~
21 ~
~
3. (115) ; B̃
ω k ∧ Ẽ ;(116) : Ẽ = c ω B̃ ∧ k (rappel k = ω/c)
~ ⊥ B̃
~
4. (115) ou (116) : Ẽ
163
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Propriétés d’une OPPM dans le vide
H
Une OPPM est une onde TEM :
Le champ électrique est transversal (TE) : perpendiculaire à k̂
Le champ magnétique est transversal (TM) : perpendiculaire à k̂
~ B,
~ ~
H Les vecteurs E,
k forment un trièdre direct :
◮
◮
~ ∧B
~ k~
E
k
H
H
(117)
Les champs électrique et magnétique sont en phase
L’équation d’ondes en régime harmonique (112) impose :
(− j ~
k)2 + ω 2 µ0 ǫ0 = 0 −→ k2 = ω 2 µ0 ǫ0
H
(118)
~
~ est constant :
Le rapport kEk/k
Bk
~ ~ ~ ~k
~ = k ∧ E E⊥
~
~ = 1 kEk
B
−→ kBk
ω
c
(119)
164
Polarisation linéaire d’une OPPM
H
« Polarisation » : l’orientation du vecteur du champ électrique
E~ = E0 cos(ωt − ~
k·~
r )û
H
H
~ ⊥~
Cas d’une OPPM k̂ = êz : E
k
Polarisation linéaire : l’orientation ne change pas dans le temps
~
◮ Polarisation verticale (V) : Ẽ = E e− j kz ê
0
x
~
◮ Polarisation horizontale (H) : Ẽ = E0 e− j kz êy
~ et êx
◮ Cas général : angle θ entre E
E~ = E0 cos(ωt − kz)(cos θêx + sin θêy )
~ = E e− j kz (cos θê + sin θê )
Ẽ
0
x
(120)
y
165
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Polarisation circulaire d’une OPPM
H
H
Deux composantes Ẽx et Ẽy
Même amplitude, déphasage 90◦
~ = E e− j kz (ê + j ê )
Ẽ
0
x
y
~ = E0 cos(ωt − kz)êx − E0 sin(ωt − kz)êy
E
H
H
H
À t fixe, regarder dans le sens de propagation
Rotation dans le sens horaire : polarisation droite (RCP)
Rotation dans le sens anti-horaire : polarisation gauche (LCP) :
~ = E e− j kz ( j ê + ê )
Ẽ
0
x
y
~
E = −E0 sin(ωt − kz)êx + E0 cos(ωt − kz)êy
H
(121)
(122)
Attention : à z fixe, le vecteur E~ tourne dans l’autre sens !
166
91
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OPPM dans les conducteurs
167
Conducteurs et loi d’Ohm (bis)
H
Loi d’Ohm (46) :
~
J~˜ = σ Ẽ
H
Conducteur électrique « parfait » (PEC) : σ = ∞ :
~
PEC
~ = J˜ −→
Ẽ
0
σ
H
H
H
~ nul à l’intérieur d’un conducteur parfait
Champ Ẽ
~ = 0 indépendamment de σ)
(Électrostatique : E
Rappel TD 4.4 :
ρ(t) = ρ(t = 0)e−t/tr
,
tr = ǫ0 /σ
Régime harmonique : dans un conducteur ρ = 0 si T ≫ tr −→ f ≪
H « Bon conducteur » : σ ≫ ǫ0 ω
σ
ǫ0
168
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Les équations de Maxwell dans un conducteur
H
~ =0
~ · Ẽ
∇
~ = − j ω B̃
~
~ ∧ Ẽ
∇
~ =0
~ · B̃
∇
~ = µ J~˜ + j ωµ ǫ Ẽ
~
~ ∧ B̃
∇
0
0 0
~
= µ (σ + j ωǫ )Ẽ
0
0
~ = − j ω∇
~ = (− j µ ωσ + µ ǫ ω 2 )Ẽ
~
~ ∧∇
~ ∧ Ẽ
~ ∧ B̃
∇
0
0 0
~ = −∇
~ −∇
~ = ∇(
~
~ 2 Ẽ
~ ∇
~ · Ẽ)
~ ∧∇
~ ∧ Ẽ
~ 2 Ẽ
∇
H
Équation d’onde (vectorielle) :
~ = ( j µ ωσ − µ ǫ ω 2 )Ẽ
~
~ 2 Ẽ
∇
0
0 0
(123)
169
L’équation d’onde dans un conducteur
H
Équation d’onde (scalaire, en cartésiennes) :
∇2 Ẽ = ( j µ0 ωσ − µ0 ǫ0 ω 2 )Ẽ
H
(124)
Essayer une solution type OPPM (104) :
~
Ẽ = E0 e− j k·~r
σ
−k2 = −µ0 ǫ0 ω 2 + j µ0 ωσ −→ k2 = ω 2 ǫ0 µ0 1 − j
ǫ0 ω
H
H
Nombre d’onde complexe k̃ !
Approximation bon conducteur :
1− j√
µ0 ωσ
σ ≫ ǫ0 ω → k̃2 = − j µ0 ωσ → k̃ = √
2
(125)
170
93
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OPPM dans un bon conducteur
H
Direction de propagation k̂ = êz :
~ =E
~ 0 e− j k̃z
Ẽ
√ µ ωσ
√ µ ωσ
~ 0 e− 02 z e− j 02 z
=E
| {z } | {z }
atténuation
H
Épaisseur de peau :
δ,
H
r
2
µ0 ωσ
(127)
OPPM dans un bon conducteur :
~ =E
~ 0 e−z/δ e− j z/δ
Ẽ
H
H
(126)
propagation
(128)
Longueur d’onde : λ = 2πδ p
ω
= 2ω/µ0 σ (dépend de ω !)
Vitesse de phase : vφ = 1/δ
94
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171
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Conditions aux limites vide-conducteur
172
Interface vide-conducteur
H
Les équations de Maxwell dans un conducteur :
~ =0
~ · B̃
∇
~ = µ J~˜ + j ωµ ǫ Ẽ
~
~ ∧ B̃
∇
0
0 0
~
= µ0 (σ + j ωǫ0 )Ẽ
σ
~
Ẽ
= j ωµ0 ǫ0 1 +
j ωǫ0
σ
~
= j ωµ0 ǫ0 1 − j
Ẽ
ωǫ0
|
{z
}
~ =0
~ · Ẽ
∇
~ = − j ω B̃
~
~ ∧ Ẽ
∇
ǫ̃
H
H
H
Que se passe-t-il à l’interface entre deux milieux ?
Les champs peuvent être continus ou pas !
Appliquer chaque équation sous forme intégrale :
choisir volumes/surfaces/courbes élémentaires de part et d’autre de l’interface
173
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Conditions aux limites
H
H
Milieu 1 : vide ; milieu 2 : conducteur
n̂ : ⊥ à l’interface ; du métal (2) vers le vide (1)
~ − Ẽ
~ ) = ρ̃ /ǫ
n̂ · (Ẽ
1
2
s 0
~
~
n̂ ∧ (Ẽ1 − Ẽ2 ) = ~0
~ − B̃
~ )=0
n̂ · (B̃
1
2
~
~
n̂ ∧ (B̃1 − B̃2 ) = µ0 J~˜s
ρs : densité de charges surfacique (C m−2 )
~
H J˜s : densité de courant surfacique (A m−1 )
6= 0 seulement si σ = ∞
~ : composante normale à l’interface
H n̂ · E
~ : composante tangentielle à l’interface
H n̂ ∧ E
H
Ẽnor1 − Ẽnor2 = ρ̃s /ǫ0
B̃nor1 − B̃nor2 = 0
B̃tan1 − B̃tan2 = µ0 J˜s
Ẽtan1 − Ẽtan2 = 0
H
H
Composantes tangentielles du champ électrique continues
Composantes normales du champ magnétique continues
174
96
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Puissance électromagnétique : vecteur de Poynting
175
[Rappel] Énergie électro/magnétostatique
H
H
H
Énergie électrostatique Ue (37) :
1
Ue =
2
Z
ǫ0 E 2 (~
r ) dV
1
Um =
2
Z
1 2
B (~
r ) dV
µ0
V
Énergie magnétostatique Um (85) :
V
Électromagnétisme : les champs dépendent du temps
~ r ) → E(~
~ r , t)
E(~
~ r ) → B(~
~ r , t)
B(~
E 2 (~
r ) → E 2 (~
r , t)
B 2 (~
r ) → B 2 (~
r , t)
176
97
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Énergie électromagnétique
H
L’énergie « stockée » dans un volume V :
1
Uem (t) =
2
H
H
H
Z V
1 2
r , t) dV
ǫ0 E (~
r , t) + B (~
µ0
2
(129)
Comment évolue l’énergie électromagnétique dans le temps ?
Que se passe-t-il dans un volume V ?
~ B
~
1. Énergie Uem emmagasinée dans les champs E,
2. Travail du champ sur les charges du volume (« milieu »)
à travers la force de Lorentz : puissance P fournie au milieu
3. Échange d’énergie avec le monde extérieur
à travers la surface S qui englobe V :
puissance Pt sortant du volume
Conservation de l’énergie :
dUem
+ P + Pt = 0
dt
177
Travail du champ électromagnétique
H
~ r , t), B(~
~ r , t) agit sur les charges du volume :
Le champ électromagnétique E(~
~ = q(E~ + ~
~
F
v ∧ B)
H
Travail élementaire dans un volume dV :
~ · d~l = F
~·~
~ ·~
dW = F
v dt = q(E~ + ~
v ∧ B)
v dt
= q E~ · ~
v dt = ρ dV E~ · ~
v dt = E~ · J~ dV dt
H
Puissance fournie par le champ É/M aux charges du volume V :
P=
Z
V
dW
=
dt
Z
V
E~ · J~ dV
(130)
178
98
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Parcours des Écoles d’Ingénieurs Polytech, 2e année
2012–2013
Énergie É/M et puissance fournie (1)
H
H
~ et B
~
Écrire E~ · J~ en fonction uniquement de E
~
Utiliser Maxwell-Ampère pour éliminer J :
~
1 ~ ~
~ − ǫ0 E~ · ∂ E
E~ · J~ =
E · (∇ ∧ B)
µ0
∂t
H
Propriété analyse vectorielle :
~ · (E~ ∧ B)
~ =B
~ · (∇
~ ∧ E)
~ − E~ · (∇
~ ∧ B)
~
∇
H
Loi de Faraday :
~
~ · (∇
~ ∧ E)
~ = −B
~ · ∂B
B
∂t
H
Regrouper les trois équations :
E~ · J~ = . . . (transparent suivant)
179
Énergie É/M et puissance fournie (2)
H
Densité volumique de puissance fournie :
~
~
~ · J~ = −ǫ0 E~ · ∂ E − 1 B
~ · ∂B − 1 ∇
~ · (E~ ∧ B)
~
E
∂t
µ0
∂t
µ0
H
Densité volumique d’énergie électrique :
1
∂
1
ǫ0 E 2 = ǫ0 E~ · E~ =⇒
2
2
∂t
H
1
ǫ0 E 2
2
∂ E~
= ǫ0 E~ ·
∂t
=
Densité volumique d’énergie magnétique :
1 2
∂
1 ~ ~
B · B =⇒
B =
2µ0
2µ0
∂t
1 1 2
B
2 µ0
~
1 ~ ∂B
B·
µ0
∂t
180
99
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Énergie É/M et puissance fournie (3)
H
Ce qui se passe dans un volume élementaire :
1 ~ ~
1 ~
∂ 1 ~ ~
~ =0
~
~
B·B + ∇
· (E~ ∧ B)
ǫ0 E · E +
E·J +
| {z }
{z
}
∂t 2
2µ0
µ0 |
|
{z
}
puissance/m3
flux de ?/m3
(131)
énergie/m3
H
H
Intégrer sur le volume V (+ théorème de la divergence) :
Z
Z
1
d
1 ~ ~
~
~
~
~
E · J dV +
ǫ0 E · E + B · B dV
dt V 2
µ0
V
I
1 ~ ~
+
(E ∧ B) · n̂ dS = 0
S µ0
(132)
Conservation de l’énergie :
P+
dUem
+ (puissance qui sort de V) = 0
dt
(133)
181
Puissance É/M transportée : vecteur de Poynting
H
Puissance qui sort du volume V :
Pt =
H
I
S
1 ~ ~
(E ∧ B) · n̂ dS
µ0
Densité surfacique de puissance transportée :
~
~ , 1 E~ ∧ B
S
µ0
H
H
(W m−2 )
~ : vecteur de Poynting , montre la direction de la puissance
S
Puissance transportée par une onde à travers une surface S :
Z
~ · n̂ dS
S
Pt =
(134)
(135)
S
182
100
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[Produit de deux fonctions harmoniques]
H
Exemple : les champs d’une onde É/M harmonique
n
o
n
o
~
j ωt
~ t) = E
~ 0 cos(ωt − kz + φ) = Re E
~ 0 e j φ e j (ωt−kz) = Re Ẽ(z)e
E(z,
o
n
o
n
~
j ωt
~ t) = B
~ 0 cos(ωt − kz + θ) = Re B
~ 0 e j θ e j (ωt−kz) = Re B̃(z)e
B(z,
H
Produit des modules : EB 6= Ẽ B̃ !
EB = E0 B0 cos(ωt − kz + φ) cos(ωt − kz + θ)
1
= E0 B0 [cos(φ − θ) + cos(2ωt − 2kz + φ + θ)]
2
o
1
1 n
< EB > = E0 B0 cos(φ − θ) = . . . = Re E0 e j φ B0 e− j θ
2
2
H
o
1 n
< EB > = Re Ẽ B̃ ∗
2
(136)
Le seul cas où on peut multiplier des amplitudes complexes ! (cf. tr.#158)
183
Énergie et puissance d’ondes É/M harmoniques
H
H
Énergie moyenne É/M emmagasinée dans les champs :
Z o
n
o
n
1
1
~
~
~
~
∗
∗
< Uem > =
ǫ0 Re Ẽ · Ẽ + Re B̃ · B̃
dV
4 V
µ0
Puissance moyenne É/M fournie au milieu :
1
<P > =
2
H
(137)
Z
V
o
n
~ · J~˜∗ dV
Re Ẽ
Puissance moyenne É/M transportée par l’onde :
Z
~ > · n̂ dS
<S
< Pt > =
(138)
(139)
S
~> =
<S
H
n
o
1
~ ∧ B̃
~∗
Re Ẽ
2µ0
(140)
~ > k (W m−2 )
Intensité : I = k < S
184
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OPPM énergie électrique = magnétique
H
Une OPPM d’amplitude E0 se propageant selon k̂ = êz dans le vide :
~ = E e− j kz ê
Ẽ
0
x
~ = k E e− j kz ê
B̃
0
y
ω
E~ = E0 cos(ωt − kz)êx
~ = k E0 cos(ωt − kz)êy
B
ω
H
Densités volumiques d’énergie (TD 13.1a) :
instantanée
1
1
élec. : ǫ0 E02 [1 + cos(2ωt − 2kz)]
2
2
1 1 k2 2 1
E [1 + cos(2ωt − 2kz)]
mag. :
2 µ0 ω 2 0 2
H
H
moyenne
1
ǫ0 E02
4
1 1 k2 2
E
4 µ0 ω 2 0
(141)
(142)
OPPM dans le vide : énergie électrique = énergie magnétique
Égalité en énergies instantanées (et moyennes)
185
Impédance caractéristique du vide
H
Densité de puissance transportée par une OPPM (TD 13.1e) :
~ = 1 k E02 1 [1 + cos(2ωt − 2kz)] êz
S
µ0 ω 2
r
1 k 2
1 ǫ0 2
~
<S > =
E êz =
E êz
2µ0 ω 0
2 µ0 0
H
H
H
On peut réécrire le dernier résultat :
√ 2
√ 2
E0 / 2
E0 / 2
~
k <S > k = p
=
Z0
µ0 /ǫ0
(143)
2 /R
Rappel : en électronique, < P > = Veff
Impédance caractéristique du vide :
Z0 ,
r
µ0
= (120π)Ω ≈ 377 Ω
ǫ0
(144)
186
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Champ électrique dans la matière
187
Diélectriques (isolants)
H
H
H
H
H
Les charges ne sont pas libres à se déplacer
Tous les électrons sont liés aux atomes/molécules
6= conducteurs
Intrinséquement neutres
~ extérieur ?
Quel est l’effet d’un champ E
(retour pour l’instant à l’électrostatique)
1. Création de dipôles (−q/ + q) induits
p
~ , qdû−→+
moment dipolaire
2. Effet proportionnel à la cause
~
p
~ = αE
α : polarisabilité atomique
3. Alignement des dipôles permanents
Rappel : graines de gazon
(WL, L2, 42m25-43m40)
188
Effet de la polarisation de la matière
« Polarisation » : se réfère aux dipôles
(Rien à voir avec linéaire/circulaire etc.)
On n’examine pas les causes pour l’instant
(polarisation induite ou permanente)
H Matière : grand nombre de dipôles dans un volume
~:
H Vecteur de polarisation P
densité volumique de moment dipolaire électrique :
H
H
H
1 X
p
~i
∆V →0 ∆V
~ , lim
P
(C m m−3 = C m−2 )
(145)
i
189
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Polarisation : charges induits
Matière neutre polarisée :
apparition de charges « liées » !
H Dans un volume V :
H
1. À la surface :
~ · n̂
ρs liées = P
(C m−2 )
(146)
~ ·P
~
ρliées = −∇
(C m−3 )
(147)
2. À l’intérieur :
3. Matière neutre :
H
I
S
ρs liées dS +
Z
V
ρliées dV = 0
~
ρliées , ρs liées génèrent champ électrique dû à P
190
Loi de Gauss dans les diélectriques
H
Deux types de charges :
1. « Libres » : on peut les choisir/placer etc.
2. « Liées » : on n’a aucun contrôle sur elles
H
Loi de Gauss (électrostatique) :
~ ·E
~ = 1 (ρliées + ρlibres )
∇
ǫ0
1
~ ·P
~ + ρlibres )
= (−∇
ǫ0
~ · (ǫ0 E
~ + P)
~ = ρlibres
∇
H
~ , ǫ0 E
~ +P
~ (C m−2 )
D
(148)
~ ·D
~ = ρlibres
∇
(149)
~ : déplacement (ou induction) électrique, en C m−2
D
191
104
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Milieux LHI
H
Linéaire :
~ = ǫ0 χe E
~
P
(150)
χe : susceptibilité électrique
~ = ǫ0 E
~ +P
~ = ǫ0 (1 + χe )E
~
D
(151)
~ = εE
~
, ǫ0 ǫr E
ǫr : permittivité relative ε/ǫ0 (ou constante diélectrique)
H
H
H
Homogène : ǫr ne dépend pas de ~
r
Isotrope : ǫr est un scalaire
Milieux lhi :
~ ·D
~ = ρlibres
(149) : ∇
~
~
D=ǫ
0 ǫr E
−→
~ ·E
~ = ρlibres /ǫ0 ǫr
∇
remplacer ρ −→ ρlibres et ǫ0 −→ ǫ0 ǫr dans la loi de Gauss
192
Permittivité relative : quelques valeurs typiques
Matériau
ǫr
Vide
Hydrogène
Air (sec)
Diamand
Sel
Silicone
Eau
Glace (−30 ◦C)
1
1.00025
1.00054
5.2
5.9
11.8
80.1
99
193
105
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Champ magnétique dans la matière
194
Phénomènes magnétiques : dus aux courants
Aimants, boussoles, Pôle Nord, etc. :
des courants dans la matière
H Une boucle de courant I :
H
m
~ , IAn̂
H
H
H
H
H
m
~ : moment dipolaire magnétique
A : aire de la boucle
Dans la matière, m
~ créés par les électrons
Orientation aléatoire : résultat nul
~ extérieur ?
Quel est l’effet d’un champ B
~
1. Diamagnétisme : m
~ s’orientent contre B
~
2. Paramagnétisme : m
~ s’orientent selon B
~ à grandes échelles
3. Ferromagnétisme : m
~ s’orientent selon B
195
Magnétisation : courants induits
H
H
~
Équivalent de la polarisation P
~
Vecteur de magnétisation M :
densité volumique de moment dipolaire magnétique :
1 X
m
~i
∆V→0 ∆V
~ , lim
M
(A m2 m−3 = A m−1 )
(152)
i
H
Dans un volume V :
1. À la surface :
~ ∧ n̂
J~s liés = M
(A m−1 )
(153)
~ ∧M
~
J~liés = ∇
(A m−2 )
(154)
2. À l’intérieur :
196
106
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Loi d’Ampère dans les diélectriques
H
Deux types de courants :
1. « Libres » : on peut les choisir/placer etc.
2. « Liés » : on n’a aucun contrôle sur eux
H
Loi d’Ampère (magnétostatique) :
~ ∧B
~ = µ0 (J~liés + J~libres )
∇
~ ∧M
~ + J~libres )
= µ0 (∇
~ ∧
∇
H
1 ~
~
B−M
µ0
= J~libres
~ −M
~ (A m−1 )
~ , 1B
H
µ0
(155)
~ ∧H
~ = J~libres
∇
(156)
~ : « champ H » (excitation magnétique) en A m−1
H
197
Milieux LHI
H
Linéaire :
~ = χm H
~
M
(157)
~ = µ0 (H
~ + M)
~ = µ0 (1 + χm )H
~
B
(158)
χm : susceptibilité magnétique
~ = µH
~
, µ0 µr H
µr : perméabilité relative µ/µ0
H
H
H
Homogène : µr ne dépend pas de ~
r
Isotrope : µr est un scalaire
Milieux lhi :
~ ∧H
~ = J~libres
(156) : ∇
~
~
B=µ
0 µr H
−→
~ ∧B
~ = µ0 µr J~libres
∇
remplacer J~ −→ J~libres et µ0 −→ µ0 µr dans la loi d’Ampère
198
107
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Susceptibilité magnétique : quelques valeurs
Matériau diaOr
Argent
Cuivre
Eau
CO2
Hydrogène
H
H
χm
10−5
−3.4 ×
−2.4 × 10−5
−9.7 × 10−6
−9.0 × 10−6
−1.2 × 10−8
−2.2 × 10−9
Matériau para-
χm
Oxygène
Sodium
Aluminium
Tungsten
Platine
Oxygène liquide
1.9 × 10−6
8.5 × 10−6
2.1 × 10−5
7.8 × 10−5
2.8 × 10−4
3.9 × 10−3
µ r = 1 + χm ≈ 1
Oxygène liquide démo (WL, L21, 43m00-46m22)
199
Ferromagnétisme
µr entre 102 et 106 !
Orientation de m
~ par domaines (≈ 1020 atomes)
Orientation permanante : magnétisation
~ non uniforme : force d’attraction vers B
~ fort
Dans un champ magnétique B
(WL, L21, 20m10-23m00)
H Écouter les domaines magnétiques s’orienter : effet Barkhausen (1919) (WL, L21, 25m50-30m30)
~ H
~
H Phénomène d’hystérésis B/
H Température de Curie (WL, L21, 37m00-40m10)
H
H
H
H
Matériau
Nickel (Ni)
Fer (Fe)
Cobalt (Co)
H
Tc (◦C)
354
770
1115
~ E
~
Équivalent : matériaux ferroélectriques, hystérésis P/
200
108
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Équations de Maxwell dans la matière
201
Courant de polarisation
Retour aux phénomènes variables dans le temps
~ etc.)
~ −→ Ẽ
H Régime harmonique (∂/∂t −→ j ω, E
H Polarisation/magnétisation dans la matière
H Apparition de charges/courants « liés » :
H
~
~ · P̃
polarisation (147) : ρ̃liées = −∇
~
~ ∧ M̃
magnétisation (154) : J~˜liés = ∇
H
Variation de ρ̃liées : courant de polarisation
~ · J~˜ = − j ω ρ̃)
(Rappel (42) : ∇
~ =∇
~
~ · P̃)
~ · j ω P̃
~ · J~˜pol = − j ω ρ̃liées (147)
= − j ω(−∇
∇
~
J~˜pol = j ω P̃
H
(159)
Un nouveau terme de courant à ajouter dans l’équation de Maxwell-Ampère !
202
Équations de la divergence
H
Champ électrique (loi de Gauss)
1
~ = ρ̃ = 1 (ρ̃
~ + ρ̃
~ · Ẽ
~ · P̃
(−∇
(88) : ∇
liées + ρ̃libres ) =
libres )
ǫ0
ǫ0
ǫ0
H
~ + P̃)
~ = ∇
~ = ρ̃
~ · (ǫ0 Ẽ
~ · D̃
∇
libres
(160)
~ =0
~ · B̃
(89) : ∇
(161)
Champ magnétique
203
109
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Équations du rotationnel
H
Champ électrique (loi de Faraday)
~
~ = − j ω B̃
~ ∧ Ẽ
(90) : ∇
H
(162)
Champ magnétique (loi de Maxwell-Ampère)
~ = µ (J~˜ + J~˜
~˜
~
~ ∧ B̃
(91) : ∇
0 liés
libres + Jpol + j ωǫ0 Ẽ)
(159)
~ + J~˜
~
~
~ ∧ M̃
= µ0 (∇
libres + j ω P̃ + j ωǫ0 Ẽ)
~ + J~˜
~
~ ∧ M̃
= µ (∇
+ j ω D̃)
0
~ ∧
∇
1 ~
~
B̃ − M̃
µ0
libres
~
~ = J~˜
~ ∧ H̃
= ∇
libres + j ω D̃
(163)
204
Équations de Maxwell dans la matière (1)
H
Forme « inutilisable »
~ = ρ̃/ǫ
~ · Ẽ
∇
0
~ =0
~ · B̃
∇
~ = − j ω B̃
~
~ ∧ Ẽ
∇
(164a)
(164b)
(164c)
~ = µ (J~˜ + j ωǫ Ẽ)
~
~ ∧ B̃
∇
0
0
H
(164d)
Charges et courants : « libres » et « liés »
ρ̃ = ρ̃liées + ρ̃libres
+ J~˜
J~˜ = J~˜ + J~˜
liés
H
H
libres
pol
Équations valables quel que soit le milieu
Incovénient : calculer les charges/courants que l’on ne contrôle pas
205
110
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2012–2013
Équations de Maxwell dans la matière (2)
H
Forme « généralisée »
~ = ρ̃
~ · D̃
∇
libres
~
~ · B̃ = 0
∇
~
~ = − j ω B̃
~ ∧ Ẽ
∇
(165a)
(165b)
(165c)
~ = J~˜
~
~ ∧ H̃
∇
libres + j ω D̃
H
H
(165d)
Charges et courants : uniquement « libres » (on ne l’écrira plus !)
Relations constitutives
~
~ + P̃
~ = ǫ Ẽ
D̃
0
~ = µ (H̃
~ + M̃)
~
B̃
0
Équations valables quel que soit le milieu
~
~
H Difficulté : calculer les champs P̃ et M̃
H
206
Équations de Maxwell dans la matière (3)
H
Forme spéciale : milieux linéaires, homogènes, isotropes (lhi)
~ = ρ̃
~ · Ẽ
∇
libres /ǫ
~ =0
~ · H̃
∇
~
~ = − j ωµH̃
~ ∧ Ẽ
∇
(166a)
(166b)
(166c)
~ = J~˜
~
~ ∧ H̃
∇
libres + j ωǫẼ
H
H
(166d)
Charges et courants : uniquement « libres » (on ne l’écrira plus !)
Relations constitutives : utilisées dans (165) −→ (166)
~ = ǫ Ẽ
~ + P̃
~ lhi
~ = ǫẼ
~
D̃
= ǫ0 ǫr Ẽ
0
lhi
~ = µ (H̃
~ + M̃)
~ =
~ = µH̃
~
B̃
µ0 µr H̃
0
H
H
Équations valables uniquement pour les milieux lhi (y compris le vide !)
Ressemblent aux équations (164) mais avec ǫ, µ et charges/courants libres
207
111
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2012–2013
Énergie et puissance dans la matière
H
On peut reprendre les calculs qui ont conduit à (131) mais à partir des équations de Maxwell
généralisées (165)
dP
pertes :
= E~ · J~ (W/m3 )
dV
énergie é/m :
1~ ~ 1~ ~
dUem
·E+ B·H
= D
dV
2
2
~ = E~ ∧ H
~
Poynting : S
H
(W m−2 )
(J m−3 )
(167)
(168)
Dans le cas spécial du vide, on retrouve (129) et (134)
208
112
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2012–2013
OPPM dans les milieux lhi
209
OPPM dans un milieu lhi
H
H
H
H
On peut reprendre tous les résultats obtenus dans le vide
Remplacer ǫ0 −→ ǫ et µ0 −→ µ
Faire apparaître uniquement les charges et les courants « libres »
Dans un milieu lhi sans sources ni courants :
◮
◮
◮
Une OPPM est une onde TEM
~ H,
~ ~
Les vecteurs E,
k forment un trièdre direct
Le nombre d’onde est donné par :
√
√
√
√
k = ω µǫ = ω µ0 ǫ0 µr ǫr = k0 µr ǫr
◮
(169)
~
~ est constant :
Le rapport kEk/k
Hk
r
~
~ E⊥
~ ~
k ~
ǫ ~
k∧E
k
~
~
~
−→ kHk =
kEk =
kEk
B = µH =
ω
ωµ
µ
Z,
◮
r
~
kEk
µ
=
~
ǫ
kHk
impédance caractéristique (Ω)
(170)
~ et H
~ sont en phase si ǫ, µ réels
Les champs E
210
113
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Types de pertes dans la matière
1. Pertes de conductivité (ohmiques)
~
(46) : J~˜ = σ Ẽ
loi d’Ohm
σ : conductivité en S m−1
~ = ǫ χ̃ Ẽ
~
2. Pertes diélectriques : (150) → P̃
0 e
ǫ̃ = 1 + χ̃e , ǫ′ − j ǫ′′ = ǫ0 (ǫ′r − j ǫ′′r ) = ǫ0 ǫ̃r
~ = χ̃ H̃
~
3. Pertes magnétiques : (157) → M̃
m
µ̃ = 1 + χ̃m , µ′ − j µ′′ = µ0 (µ′r − j µ′′r ) = µ0 µ̃r
(on considère toujours ici µr ≈ 1)
211
Permittivité effective
H
Pertes ohmiques et diélectriques dans Maxwell-Ampère :
σ
~
~
~
~
~
Ẽ
(166) : ∇ ∧ H̃ = σ Ẽ + j ωǫ̃Ẽ = j ωǫ0 ǫ̃r − j
|{z}
ωǫ0
˜
J~
H
Définir une permittivité effective
ǫ̃reff
H
σ
, ǫ̃r − j
= ǫ′r − j
ωǫ0
ǫ′′r
σ
+
ωǫ0
= ǫ′reff − j ǫ′′reff
(171)
L’équation de Maxwell-Ampère (166)
~
~ ∧H
~ = j ωǫ0 ǫ̃reff Ẽ
∇
H
On peut reprendre tous les résultats précédents (lhi sans pertes) et remplacer ǫr −→ ǫ̃reff
212
114
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Nombre d’onde complexe
H
Le nombre d’onde
H
Nombre d’onde complexe !
p
√
k = ω µǫ −→ k̃ = ω µǫ̃eff
k̃ , β− j α
~ =E
~ 0 e− j k̃z = E
~ 0 e− j (β− j α)z = E
~ 0 e−αz e− j βz
Ẽ
~ 0 e−αz cos(ωt − βz)
E~ = E
H
H
H
β : « constante de phase » (rad m−1 )
α : « coefficient d’atténuation » (Np m−1 )
δ = 1/α : « profondeur de peau »
213
Coefficients α et β
H
Milieu lhi sans pertes magnétiques, avec permittivité complexe
q
q
p
√
k̃ = ω µ0 ǫ0 µr ǫ̃reff = k0 µr (ǫ′reff − j ǫ′′reff ) = k0 µr ǫ′reff
H
H
s
1− j
ǫ′′reff
ǫ′reff
Tangente de pertes , ǫ′′reff /ǫ′reff
Coefficient d’atténuation / constante de phase :
α = k0
r
β = k0
r
s
1/2
′′ 2
µr ǫ′reff
ǫreff
 1+
− 1
2
ǫ′reff
µr ǫ′reff
2
s
 1+
115
ǫ′′reff 2
ǫ′reff
1/2
+ 1
(172)
(173)
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Milieu lhi sans pertes
H
Milieu sans pertes : ǫ′′ = 0
α=0
β=ω
H
La vitesse de phase :
vφ =
H
Indice de réfraction :
La longueur d’onde :
λ=
µǫ′
ω
c
c
=p
= ≤c
′
β
n
µ r ǫr
n,
H
p
p
(174)
(175)
µr ǫ′r
2π
λ0
λ0
=p
≤ λ0
=
′
β
n
µ r ǫr
215
Milieu lhi avec pertes
H
Milieu avec pertes : ǫ′′ 6= 0
α 6= 0
β 6= ω
H
La vitesse de phase (réelle) :
vφ =
H
µǫ′
c
ω
ω
ω
n o=
√
√
=
=
β
Re ω µǫ̃
Re
µr ǫ̃r
Re k̃
=
c
≤c
Re {ñ}
(176)
Indice de réfraction (complexe) :
ñ ,
H
p
La longueur d’onde (réelle) :
λ=
p
(177)
µr ǫ̃r
2π
λ
2π
√0
n o=
=
β
Re
µr ǫ̃r
Re k̃
116
=
λ0
≤ λ0
Re {ñ}
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Refléxion / transmission entre deux milieux lhi
217
Conditions aux limites entre deux milieux lhi
H
Les équations de Maxwell dans la matière (165)
~ = ρ̃
~ · D̃
∇
~
~ = − j ω B̃
~ ∧ Ẽ
∇
H
H
~ =0
~ · B̃
∇
~
~ = J~˜ + j ω D̃
~ ∧ H̃
∇
Interface entre deux milieux lhi, n̂ de 2 vers 1
Même procédure que celle du tr.#174
~ ) = ρ̃
~ − D̃
n̂ · (D̃
2
s
1
~ − B̃
~ )=0
n̂ · (B̃
1
ǫ1 Ẽnor1 − ǫ2 Ẽnor2 = ρ̃s
2
~ − Ẽ
~ ) = ~0
n̂ ∧ (Ẽ
1
2
~
~
n̂ ∧ (H̃1 − H̃2 ) = J~˜s
(178a)
µ1 H̃nor1 − µ2 H̃nor2 = 0
(178b)
Ẽtan1 − Ẽtan2 = 0
(178c)
H̃tan1 − H̃tan2 = J˜s
(178d)
~
~
Ẽ
tan continu ; H̃nor continu (si milieux non magnétiques)
~
H J˜s : courant surfacique (A m−1 ), uniquement sur un conducteur parfait
H
218
Incidence normale sur une interface
H
H
H
Interface entre deux milieux lhi à z = 0
Incidence normale : k̂i = êz (TD 14.1)
Ondes incidente, réflechie et transmise :
~ = E e− j ~ki ·~r ê = E e− j ki z ê
Ẽ
i
i0
x
i0
x
~ = Ẽ e− j ~kr ·~r ê = Ẽ e+ j ki z ê
Ẽ
r
r0
x
r0
x
~
− j~
kt ·~
r
− j kt z
Ẽ = Ẽ e
ê = Ẽ e
ê
t
H
t0
x
t0
x
~ = (k̂ ∧ Ẽ)/
~ Z̃ :
Champs magnétiques H̃
~ = + 1 E e− j ki z ê
H̃
i0
y
i
Z̃1
~ = − 1 Ẽ e+ j ki z ê
H̃
r
r0
y
Z̃1
~ = + 1 Ẽ e− j kt z ê
H̃
t
t0
y
Z̃2
219
117
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Incidence normale : conditions aux limites
Appliquer les conditions aux limites (178) à z = 0
~
H (178a) : pas de composantes normales de Ẽ
~
H (178b) : pas de composantes normales de B̃
H
H
~ (selon ê )
(178c) : composantes tangentielles de Ẽ
x
Ei0 + Ẽr0 = Ẽt0
H
~ (selon ê )
(178d) : composantes tangentielles de H̃
y
Ei0 Ẽr0
Ẽt0
−
=
Z̃1
Z̃1
Z̃2
220
Incidence normale : coefficients amplitude
H
H
Coefficients de réflexion/transmission en amplitude :
r̃ ,
Ẽr0
Z̃2 − Z̃1
=
Ei0
Z̃2 + Z̃1
(179)
t̃ ,
2Z̃2
Ẽt0
=
Ei0
Z̃2 + Z̃1
(180)
Quelques propriétés
1. 1 + r̃ = t̃
2. r, t réels si milieux sans pertes : pas de déphasage
2 −Z1
r= Z
Z2 +Z1 < 0 si Z2 < Z1
Milieux non magnétiques : Z2 < Z1 =⇒ ǫ1 > ǫ2
ǫ1 > ǫ2 =⇒ v1 < v2 (milieu « lent » vers « rapide »)
q
3. Si milieu 2 conducteur parfait : Z̃2 = ǫ′ −µ2j σ → 0, r = −1, t = 0
◮
◮
◮
ω
118
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221
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Incidence normale : coefficients puissance
H
Puissance transportée :
1
1
2
Ei0
Ii = Re
2
Z̃
1
1
1
1
1
2
2
Ir = Re
|Ẽr0 | = Re
|r̃|2 Ei0
2
2
Z̃1
Z̃1
1
1
1
1
2
2
It = Re
|Ẽt0 | = Re
|t̃|2 Ei0
2
2
Z̃2
Z̃2
H
Coefficients de réflexion/transmission en intensité :
R,
T ,
It
Ii
Ir
= |r̃|2
Ii
(181)
o
n
Re 1/Z̃2
o |t̃|2 = 1 − R
n
=
Re 1/Z̃1
(182)
222
Incidence oblique sur une interface : définitions
H
H
H
H
H
H
Interface entre deux milieux lhi à z = 0
« Plan d’incidence » : défini par n̂ et k̂i
« Angle d’incidence » θi : entre n̂ et k̂i (0 ≤ θi ≤ 90◦ )
« Angle de réflexion » θr : entre n̂ et k̂r (0 ≤ θr ≤ 90◦ )
« Angle de réfraction » θt : entre n̂ et k̂t (0 ≤ θt ≤ 90◦ )
Incidence oblique :
~
ki = ki sin θi êx + ki cos θi êz
~
kr = ki sin θr êx − ki cos θr êz
~
kt = kt sin θt êx + kt cos θt êz
H
H
H
H
H
H
(kr = ki )
~ ⊥ plan d’incidence (TD 14.2)
Polarisation perpendiculaire (⊥, s, TE) : E
~
Polarisation parallèle (k, p, TM) : E k plan d’incidence (TD 14.3)
Cas général : perpendiculaire + parallèle
Milieux non magnétiques (µ1,2 = µ0 ) sans pertes (ǫ1,2 réels)
√
k = k0 ǫr = nk0
√
Z = Z0 / ǫr = Z0 /n
223
119
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Incidence oblique ⊥ : champs
H
H
~ ⊥ plan d’incidence (TD 14.2)
Polarisation perpendiculaire (⊥, s, TE) : E
Champs électriques :
~ = E e− j ~ki ·~r ê
Ẽ
i
i0
y
H
~ = E e− j ~kr ·~r ê
Ẽ
r
r0
y
~ = E e− j ~kt ·~r ê
Ẽ
t
t0
y
~
~ = (k̂ ∧ Ẽ)/Z
:
Champs magnétiques H̃
~ = 1 E e− j ~ki ·~r (− cos θ ê + sin θ ê )
H̃
i
i0
i x
i z
Z1
~ = 1 E e− j ~kr ·~r (+ cos θ ê + sin θ ê )
H̃
r0
r x
r z
r
Z1
~ = 1 E e− j ~kt ·~r (− cos θ ê + sin θ ê )
H̃
t
t0
t x
t z
Z2
224
Incidence oblique ⊥ : Snel – Descartes
H
H
Appliquer les conditions aux limites (178) à z = 0
~ (selon êy )
(178c) : composantes tangentielles de E
~
~
~
Ei0 e− j ki ·~r + Er0 e− j kr ·~r = Et0 e− j kt ·~r
H
Égalité possible à condition que :
~
ki · ~
r =~
kr · ~
r =~
kt · ~
r
H
∀~
r = (x, y, 0)
∀~
r = (x, y, 0)
« Continuité de la phase sur l’interface »
Conséquences :
~
ki · ~
r =~
kr · ~
r ⇒ sin θi = sin θr ⇒ θi = θr
~
ki · ~
r =~
kt · ~
r ⇒ n1 sin θi = n2 sin θt
(183)
(184)
Loi de (Willebrord) Snel – Descartes
H Simplifier la notation : θ1 , θi = θr et θ2 , θr
225
120
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Incidence oblique ⊥ : conditions aux limites
Appliquer les conditions aux limites (178) à z = 0
~
H (178a) : pas de composantes normales de Ẽ
~
H (178b) : composantes normales de B̃ (selon ê )
H
z
µ0
H
1
1
1
Ei0 sin θ1 + µ0 Er0 sin θ1 = −µ0 Et0 sin θ2
Z1
Z1
Z2
~ (selon ê )
(178c) : composantes tangentielles de Ẽ
y
Ei0 + Er0 = Et0
(178b) + Z = Z0 /n + Snell-Descartes = (178c)
~
H (178d) : composantes tangentielles de H̃ (selon êx )
−
H
1
1
1
Ei0 cos θ1 +
Er0 cos θ1 =
Et0 cos θ2
Z1
Z1
Z2
Mêmes relations en incidence normale (cf. tr.#220) si on définit Z⊥ , Z/ cos θ
226
Incidence oblique ⊥ : coefficients amplitude
H
Coefficients de réflexion/transmission en amplitude :
r⊥ ,
Z2⊥ − Z1⊥
Er0
=
Ei0
Z2⊥ + Z1⊥
(185)
t⊥ ,
Et0
2Z2⊥
=
Ei0
Z2⊥ + Z1⊥
(186)
Z1
cos θ1
Z2
,
cos θ2
Z1⊥ ,
Z2⊥
H
H
H
H
r⊥ , t⊥ dépendent de θ1
r⊥ 6= 0 (TD 14.2g)
Si milieu 2 conducteur parfait : Z2 = 0, r⊥ = −1, t⊥ = 0
Z⊥ = |Etan |/|Htan | (comp. tangentielles à l’interface, ici |Ey |/|Hx |)
227
121
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Incidence oblique ⊥ : coefficients puissance
H
Puissance transportée de façon normale à l’interface :
1 1 2
E cos θ1
2 Z1 i0
1 1 2
1 1 2 2
Ir =
Er0 cos θ1 =
r E cos θ1
2 Z1
2 Z1 ⊥ i0
1 1 2
1 1 2 2
It =
Et0 cos θ2 =
t E cos θ2
2 Z2
2 Z2 ⊥ i0
Ii =
H
Coefficients de réflexion/transmission en intensité :
Ir
2
= r⊥
Ii
(187)
It
1/Z2 cos θ2 2
=
t = 1 − R⊥
Ii
1/Z1 cos θ1 ⊥
(188)
R⊥ ,
T⊥ ,
228
Incidence oblique k : champs
H
H
~ k plan d’incidence (TD 14.3)
Polarisation parrallèle (k, s, TM) : E
Champs magnétiques :
~ = 1 E e− j ~ki ·~r ê
H̃
i
i0
y
Z1
H
~ = 1 E e− j ~kr ·~r ê
H̃
r
r0
y
Z1
~ = 1 E e− j ~kt ·~r ê
H̃
t
t0
y
Z2
~ = (H̃
~ ∧ k̂)Z :
Champs électriques Ẽ
~ = E e− j ~ki ·~r (+ cos θ ê − sin θ ê )
Ẽ
i
i0
i x
i z
~
~ = E e− j kr ·~r (− cos θ ê − sin θ ê )
Ẽ
r
r0
r x
r z
~ = E e− j ~kt ·~r (+ cos θ ê − sin θ ê )
Ẽ
t
H
t0
t x
t z
Même procédure que celle du cas ⊥ (cf. tr.#225) :
1. Continuité de phase sur l’interface : ~
ki · ~
r =~
kr · ~
r =~
kt · ~
r
2. Snel – Descartes : θi = θr et n1 sin θi = n2 sin θt
3. θ1 , θi = θr et θ2 , θt
229
122
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Incidence oblique k : conditions aux limites
Appliquer les conditions aux limites (178) à z = 0
~
H (178a) : composantes normales de D̃ (selon êz )
H
−ǫ1 Ei0 sin θ1 − ǫ1 Er0 sin θ1 = −ǫ2 Et0 sin θ2
~
(178b) : pas de composantes normales de B̃
~
H (178c) : composantes tangentielles de Ẽ (selon êx )
H
Ei0 cos θ1 − Er0 cos θ1 = Et0 cos θ2
H
~ (selon ê )
(178d) : composantes tangentielles de H̃
y
Ei0 Er0
Et0
+
=
Z1
Z1
Z2
(178a) + Z = Z0 /n + Snell-Descartes = (178d)
H On définit Zk , Z cos θ
230
Incidence oblique k : coefficients amplitude
H
Coefficients de réflexion/transmission en amplitude :
rk , −
tk ,
Z2k − Z1k
Er0
=
Ei0
Z2k + Z1k
2Z2k cos θ1
Et0
=
Ei0
Z2k + Z1k cos θ2
(189)
(190)
Z1k , Z1 cos θ1
Z2k , Z2 cos θ2
H
H
H
H
H
~ i et E
~ r sont opposés
rk , −Er0 /Ei0 parce que si θ1 ≈ 0, E
rk , tk dépendent de θ1
rk = 0 si θ1 = θB : angle de Brewster, tan θB = Z1 /Z2 (TD 14.3d)
Si milieu 2 conducteur parfait : Z2 = 0, rk = −1, tk = 0
Zk = |Etan |/|Htan | (comp. tangentielles à l’interface, ici |Ex |/|Hy |)
231
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Incidence oblique k : coefficients puissance
H
Puissance transportée de façon normale à l’interface :
1 1 2
E cos θ1
2 Z1 i0
1 1 2
E cos θ1 =
Ir =
2 Z1 r0
1 1 2
E cos θ2 =
It =
2 Z2 t0
Ii =
H
1 1 2 2
r E cos θ1
2 Z1 k i0
1 1 2 2
t E cos θ2
2 Z2 k i0
Coefficients de réflexion/transmission en intensité :
Ir
= rk2
Ii
(191)
It
1/Z2 cos θ2 2
t = 1 − Rk
=
Ii
1/Z1 cos θ1 k
(192)
Rk ,
Tk ,
232
124
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