Guides d'onde : Théorie et applications

Chapitre 2
Guides d’onde
Dans ce chapitre, les propri´ et´ es de plusieurs types de lignes de transmission seront
´
etudi´ ees. On a vu au chapitre pr´ ec´ edent que les lignes de transmission sont caract´ eris´ ees
par une constante de propagation et une imp´ edance caract´ eristique, et une att´ enuation.
On verra comment calculer ces diff´ erents param` etres.
On verra aussi des limites d’utilisation pour plusieurs de ces guides d’onde, en termes
de fr´ equence et/ou dimensions. Les guides d’onde peuvent supporter plus d’une mode
de transmission ; il est important, pour r´ eduire la dispersion, d’avoir un seul mode qui se
propage. S’il y a plus d’un mode, l’information est distribu´ ee entre les ondes de diff´ erente
fr´ equence. Il y a dispersion, et possibilit´ e de perte d’information. Les modes sup´ erieurs
peuvent contenir de l’´ energie que le r´ ecepteur ne peut pas capter. Il est important, autant
que possible, d’avoir un seul mode qui se propage dans un guide.
2.1 Solutions g ´ en ´ erales des ondes TEM, TE et TM
Les ´ equations qui permettent de calculer les fr´ equences de coupure des diff´ erents
modes proviennent des ´ equations de Maxwell. On suppose que les champs ´ electriques
et magn´ etiques sont harmoniques dans le temps, et que la propagation se fait selon l’axe
z. Les champs ´ electriques et magn´ etiques peuvent ˆ etre ´ ecrits selon :
¯
E(x, y,z) = [¯ e(x, y) + ˆ zez(x, y)]e−jβz (2.1)
¯
H(x, y,z) = h¯ h(x, y) + ˆ zhz(x, y)ie−jβz (2.2)
o` u¯ e(x, y) et ¯ h(x, y) repr´ esentent les composantes transversales des champs ´ electriques et
magn´ etiques (composantes en ˆ xet ˆ y), et ezet hzsont les composantes longitudinales.
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CHAPITRE 2. GUIDES D’ONDE
Si la r´ egion du guide d’onde est sans sources, les ´ equations de Maxwell peuvent ˆ etre
´
ecrites selon :
∇× ¯ E=−jωµ ¯ H(2.3)
∇× ¯ H=jω ¯ E(2.4)
On peut solutionner ces ´ equations pour obtenir les quatre composantes transversales
en fonction des composantes longitudinales (Ex,Ey,Hxet Hyen fonction de Ezet Hz) :
Hx=j
k2
c ω ∂Ez
∂y −β∂Hz ∂x !(2.5a)
Hy=−j
k2
c ω ∂Ez
∂x +β∂Hz ∂y !(2.5b)
Ex=−j
k2
c β∂Ez
∂x +ωµ∂Hz ∂y !(2.5c)
Ey=j
k2
c −β∂Ez
∂y +ωµ∂Hz ∂x !(2.5d)
o` u
k2
c=k2−β2(2.6)
est le nombre d’onde de coupure. Comme au chapitre pr´ ec´ edent,
k=ω√µ =2π
λ(2.7)
est le nombre d’onde du mat´ eriau du guide d’onde.
2.1.1 Ondes TEM
Les ondes TEM sont caract´ eris´ ees par Ez=Hz= 0. ` A partir des ´ equations 2.5, on obtient
que tous les champs transversaux sont nuls, ` a moins que k2
c= 0, ce qui donne un r´
esultat
ind´ etermin´ e. On solutionne les ´ equations de Maxwell pour obtenir :
β=ω√µ =k(2.8)
ce qui veut dire que kc= 0 pour les ondes TEM.
Les ondes TEM peuvent seulement exister lorsque deux ou plusieurs conducteurs sont
pr´ esents.
L’imp´ edance de l’onde TEM est donn´ ee par :
ZT EM =Ex
Hy
=−Ey
Hx
=ωµ
β=rµ =η(2.9)
Gabriel Cormier 2 GELE5223

CHAPITRE 2. GUIDES D’ONDE
2.1.2 Ondes TE
Les ondes TE sont caract´ eris´ ees par Ez= 0 et Hz,0. Dans ce cas-ci, kc,0, et
β=qk2−k2
c(2.10)
est fonction de la fr´ equence et de la g´ eom´ etrie du guide d’onde.
L’imp´ edance de l’onde TE est :
ZT E =Ex
Hy
=−Ey
Hx
=kη
β(2.11)
2.1.3 Ondes TM
Les ondes TM sont caract´ eris´ ees par Hz= 0 et Ez,0. Dans ce cas-ci, kc,0, et
β=qk2−k2
c(2.12)
est fonction de la fr´ equence et de la g´ eom´ etrie du guide d’onde.
L’imp´ edance de l’onde TM est :
ZT M =Ex
Hy
=−Ey
Hx
=βη
k(2.13)
2.1.4 Att ´ enuation due aux pertes di ´ electriques
L’att´ enuation dans un guide d’onde peut ˆ etre caus´ ee par les pertes dans le di´ electrique
(αd) ou les pertes dans le conducteur (αc). L’att´ enuation totale est la somme des deux
att´ enuations, α=αc+αd.
L’att´ enuation caus´ ee par le conducteur d´ epend de la structure physique du guide, et
doit donc ˆ etre ´ evalu´ ee s´ epar´ ement pour chaque guide d’onde. Si le guide est rempli d’un
di´ electrique uniforme, l’att´ enuation due au di´ electrique peut ˆ etre calcul´ ee ` a partir de la
constante de propagation.
En utilisant la constante di´ electrique complexe (=r0(1 −tanδ)), on peut ´ ecrire la
constante de propagation selon :
γ=αd+jβ =qk2
c−k2
=qk2
c−ω2µ0r0(1 −tanδ)
(2.14)
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CHAPITRE 2. GUIDES D’ONDE
De fac¸on g´ en´ erale, les pertes di´ electriques dont faibles, et donc tanδ1, ce qui permet
de simplifier (` a l’aide d’une s´ erie de Taylor) :
γ=k2tanδ
2β+jβ (2.15)
o` uk2=ω2µ0r0, le nombre d’onde sans pertes.
Si les pertes sont faibles, la constante de phase βest la mˆ eme, et l’att´ enuation est :
αd=k2tanδ
2β[Np/m] (2.16)
pour les ondes TE ou TM. Pour les ondes TEM, β=k, ce qui donne
αd=ktanδ
2[Np/m] (2.17)
2.1.5 Fr ´ equence de coupure
Les modes TM et TE poss` edent une fr´ equence de coupure fc: c’est une fr´ equence au-
dessous de laquelle ces modes ne peuvent pas se propager dans le guide. Une onde se
propage seulement lorsque βest r´ eel, ce qui se produite seulement lorsque k > kc. Le
mode TEM ne poss` ede pas de fr´ equence de coupure.
Normalement, dans un guide, on veut seulement 1 mode qui se propage. On peut donc
calculer les fr´ equences d’op´ eration d’un guide en fonction des fr´ equences de coupure des
modes sup´ erieurs.
2.2 Guide parall ` ele plan
Les plaques parall` eles forment le guide d’onde le plus simple ; elles peuvent supporter
des modes de propagation TE, TM et TEM. Bien qu’on ne s’en sert pas de fac¸on pratique,
les plaques parall` eles permettent de mod´ eliser des structures plus complexes. La figure
2.1 montre un exemple de plaques parall` eles. On suppose que Wd.
Pour le mode TEM, l’imp´ edance du milieu est donn´ ee par :
Z0=ηd
W(2.18)
o` uη=pµ/ est l’imp´ edance intrins` eque du milieu. L’imp´ edance est constante et d´ epend
seulement de la g´ eom´ etrie et des param` etres du milieu. La vitesse de phase est aussi
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CHAPITRE 2. GUIDES D’ONDE
z
y
x
W
d
,µ
Figure 2.1 – Plaques parall` eles
constante :
vp=ω
β=1
√µ (2.19)
Pour le mode TM, la fr´ equence de coupure du mode nest obtenue par la condition
k=kc, ce qui donne
fc=kc
2π√µ =n 2d√µ (2.20)
Pour le mode TE, la mˆ eme condition s’applique pour calculer la fr´ equence de coupure,
et on obtient, pour le mode n:
fc=n
2d√µ (2.21)
Le tableau 2.1 r´ esume les ´ equations les plus utiles pour les plaques parall` eles.
Tableau 2.1 – Sommaire des ´ equations des plaques parall` eles (Source : Pozar)
Param` etre Mode TEM Mode TMnMode TEn
k ω√µ ω√µ ω√µ
kc0nπ/d nπ/d
β ω√µ pk2−k2
cpk2−k2 c
λc∞2π/kc= 2d/n 2π/kc= 2d/n
λg2π/k 2π/β 2π/β
αd(ktanδ)/2 (k2tanδ)/2β(k2tan δ)/2β
αcRs/ηd 2kRs/βηd 2k2
cRs/kβηd
La figure 2.2 montre l’att´ enuation due au conducteur pour les modes TEM, TM1et
T E1. Noter que l’att´ enuation tend vers l’infini au fur et ` a mesure que l’on s’approche de la
fr´ equence de coupure.
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