Symétrie en Physique: Algèbres de Lie

arXiv:1205.3335v1 [hep-th] 15 May 2012
2011-2012
Sym´etrie en Physique: Alg`ebres de Lie,
Th´eorie des groupes et Repr´esentations
Adil Belhaj1
Centre of Physics and Mathematics, CPM-CNESTEN, Rabat, Morocco
May 16, 2012
1belha[email protected]

Abstract
These notes form an introduction to Lie algebras and group theory. Most of the material
can be found in many works by various authors given in the list of references. The reader
is referred to such works for more detail.

Ce travail est une note de cours sur la sym´etrie en physique: Alg`ebres de Lie et
la th´eorie des groupes que nous avons pr´epar´es pour les ´etudiants de DESA et Master
Physique Math´ematique: Lab de Physique des Hautes Energies: Mod´elisation et Simula-
tion, Facult´e des Sciences, Universit´e Mohammed V Agdal-Rabat, Maroc; et ´egalement
pour les doctorants en physique th´eorique de l’Universit´e de Zaragoza, Espagne. Ce sont
des notes pr´eliminaires d´estin´ees pour des jeunes chercheurs.
Remerciement:
Je tiens `a exprimer mes profonds remerciements `a ma ch`ere m`ere pour le soutien moral
et le support social sans ´egal.

Contents
1 Introduction G´en´erale 5
2 Notions sur les alg`ebres de Lie 7
2.1 D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 D´efinitions................................ 7
2.1.2 Relations entre les g´en´erateurs d’une alg´ebre de Lie . . . . . . . . . 8
2.1.3 Exemples ................................ 9
2.2 Sous alg`ebres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 D´efinitions................................ 9
2.2.2 Exemples ................................ 10
2.3 Alg`ebres quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Homomorphismes d’une alg`ebre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 D´efinitions................................ 11
2.4.2 Repr´esentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Alg`ebre de Lie des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.1 Alg`ebre sl(n, C)............................. 14
2.5.2 Alg`ebre su(n, C) ............................ 15
2.5.3 Alg`ebres de Lie so(n) et sp(n)..................... 16
2.5.4 Classification des alg`ebres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Alg`ebre de Lie sl(2, C)et ses repr´esentations 22
3.1 Alg`ebre de Lie sl(2, C) ............................. 22
3.2 Repr´esentations de l’alg`ebre de Lie sl(2, C) ................. 23
2

CONTENTS 3
3.2.1 R´ealisations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2 Repr´esentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Les modules de sl(2, C)............................. 24
3.3.1 D´efinitions................................ 25
3.3.2 Poid maximal et vecteur maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Modules irr´eductibles de sl(2, C) ....................... 26
4 Sous alg`ebres de Cartan et syst`emes des racines 30
4.1 Sous alg`ebre de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.1 Sous alg`ebre Torique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 D´ecomposition de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 FormedeKilling ................................ 33
4.4 Syst`emederacines ............................... 35
5 Syst`eme des racines 39
5.1 EspaceEuclidien ................................ 39
5.1.1 R´eflexions ................................ 40
5.2 Syst`emes des Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 GroupedeWeyl ................................ 43
5.4 Classification des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4.1 Positions relatives des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4.2 Syst`eme de racines de rang 1 ..................... 45
5.4.3 Syst`eme de raciness de rang 2..................... 45
5.5 Racinessimples ................................. 47
6 Matrices de Cartan et diagrammes de Dynkin 49
6.1 MatricedeCartan ............................... 49
6.1.1 D´efinition ................................ 49
6.1.2 Exemples ................................ 50
6.1.3 Propri´et´es de la matrice de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2 Graphes de Coxter et diagrammes de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . 51