Proposition d’épreuve de Mathématique 1 3- Démontre que les points A1, A2, A3 et A4 sont cocycliques puis déduis-en que le restaurant est à équidistance des quatre arrondissements. 4- Justifie que le 1er arrondissement est à 1km du 4è arrondissement. Contexte : Organisation des TD dans une commune. Dans le souci de mieux aider les candidats aux divers examens de sa commune, le Maire décide de leur organiser des travaux dirigés pouvant les aider à bien réussir. Un Coordonnateur est donc choisi par le conseil communal pour une meilleure organisation et un bon suivi. Le coordonnateur pour bien maitriser les domaines d’activités a sollicité l’aide d’un Architecte qui réalisa le plan localisant les arrondissements, le lieu d’hébergement et le lieu de restauration des professeurs invités pour la dite occasion. Les quatre arrondissements à savoir : 1er arrondissement, 2è arrondissement, 3è arrondissement et 4è arrondissement sont représentés respectivement par les points A1, A2, A3 et A4. Le restaurant et le lieu d’hébergement sont représentés respectivement par les points O et C. Voici ci-dessous le plan présenté par l’Architecte : L’unité de longueur est l’hectomètre O milieu de [𝐴2 𝐴4 ] 2 𝐴 2 𝐶 = 𝐴2 𝐴4 𝑂 𝐴4 = 5 − 2√6 5 + 2√6 1 − √2 5 + 2√6 𝐴 3 𝐴4 = On donne 𝐴1 𝐶 = 2√6 ℎ𝑚 𝑒𝑡 𝐴3𝐴4 = 6ℎ𝑚 5- Déterminer les distances A2A3, A4A1 et A1A2 6- a) Justifie que les triangles 𝐴2 𝐴3 𝐴4 et 𝐴2 𝐴3 𝐸 sont semblables puis détermine le rapport de similitude du triangle 𝐴2 𝐴3 𝐴4 au triangle 𝐴2 𝐴3 𝐸. b) Déduis-en que 𝐴2 𝐴3 2 = 𝐴2 𝐴4 × 𝐴2 𝐸 puis calcule A2E, A4E, A3E et ER. 7- Calculer l’aire du domaine CERA1 8- Etablis les relations trigonométriques de l’angle 𝐴2̂ 𝐴4 𝐴1 Puis déduis-en 𝐴2̂ 𝐴4 𝐴1 . ̂ 9- Calculer mes 𝐴̂ 2 𝑂 𝐴1 et mes 𝐴1 𝑂 𝐴4 10- Montrer que les angles 𝑅̂ 𝐴4 𝐸 et 𝐴1̂ 𝐴2 𝐴4 sont complémentaires. Problème 3 5 𝐴1 𝐶 = Problème 2 − (49 − 20√6 − √24) + √24 + √50 − √48 1 7 − 4√3 − 1 − √48 Après évaluation des dépenses effectuées pour réussir l’organisation, le coordonnateur constate que le coût M dépensé est 𝑀 = (100√6 + 100) milliers de francs. On considère les intervalles : 𝐼 = [100000 𝐹 ; 300000𝐹] ; 𝐽 = ]200000𝐹; 3460000𝐹]; 𝐾 = [344000𝐹; 500000𝐹[ ; 𝑆 = 𝐼 ∪ 𝐽 𝑒𝑡 𝑇 = 𝑆 ∩ 𝐾 Impressionné par la forme de ce plan, le coordonnateur souhaite avoir plus de compréhensions mathématiques afin d’atteindre son objectif. Tâche : Aide le coordonnateur à atteindre son objectif en résolvant les trois problèmes suivants. Problème 1 1- Donne la nature précise des domaines A2A3A4 et CERA1. 2- Ecris plus simplement OA4, A1C et A3A4. 11- On donne 1,414 < √2 < 1,415 𝑒𝑡 1,732 < √3 < 1,733. Encadre M par deux réels consécutifs d’ordre 2. 12- Traduis S et T sous forme d’inégalités. 13- Justifie que M appartient à 𝑇.
