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TD2 Force de laplace et induction

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TD d’électromagnétisme 2ème Année
Série N°2 : Force de Laplace et Induction
électromagnétique
Année universitaire : 2019/2020
Exercice 1
Une tige conductrice homogène (OA), de masse m et de longueur L, peut
tourner sans frottements dans un plan vertical, autour d’un axe horizontal Ox
(voir figure 1.1). Son extrémité mobile affleure dans une cuve à mercure, ce
qui permet le passage d’un courant permanent I. On applique un champ
r
r
magnétique B(M ) = azu x où z est l’abscisse de M suivant l’axe vertical (Oz)
et a une constante algébrique.
1- Déterminer sans calcul le sens du champ magnétique pour que le sens du
moment de la force de Laplace s’oppose à celui du poids de la tige.
2- Exprimer la force et le moment de Laplace qui s’exercent sur la tige.
3- Déterminer la position de repos de la tige.
Indication / Réponse :
Exercice 2
On considère un cadre carré vertical (voir figure 2.1),
indéformable, de centre O, de côté d constitué de N
spires parcourues par un courant stationnaire I, peut
tourner autour d'un axe vertical (Oz) parallèle à deux
de ses côtés dans le référentiel R lié au sol (supposé
galiléen).On applique un champ magnétique extérieur
r
r
B = Bu x uniforme et stationnaire (on négligera le
champ magnétique propre du circuit électrique).
r r
r
On repère le plan du cadre par l'angle θ = ( u x , n ) que fait sa normale n (dont le sens est donné par
r
l'orientation électrique des fils) avec u x .
r
Exprimer le moment MO en O des forces de Laplace appliquées au cadre, en utilisant :
1) Le travail de la force de Laplace ;
2) Le moment magnétique du circuit.
Indication / Réponse :
Exercice 3
Le système suivant (figure 3.1) est constitué de :
• Une roue de Barlow de rayon a,
de résistance négligeable,
= uz uniforme et stationnaire.
immergée dans un champ • Une charge résistive de valeur R.
• Un interrupteur K.
L’interrupteur K étant ouvert, la roue tourne à la vitesse angulaire ω0 constante dans le sens indiqué sur le
schéma. A t=0, on ferme K.
1- Décrire brièvement ce que va se passer.
2- Déterminer le moment de la force de Laplace exercée sur la roue. On suppose que le courant i circulera
dans la roue suivant le rayon [OI].
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3- Déterminer la f.e.m induite dans la roue, en fonction de a, B et ω.
4- On note J le moment d’inertie de la roue de Barlow par rapport à son axe.
a- Ecrire l’équation mécanique décrivant le mouvement de la roue. On suppose que seule la force de
Laplace qui a un moment non nul.
b- Ecrire l’équation électrique du système.
c- En déduire les lois d’évolution dans le temps de i(t) et de ω (t).
5- On relie maintenant deux roues de Barlow identiques par l’intermédiaire d’une résistance R (voir
figure3.2). A t=0 on suppose que ω1 =ω0 et ω2 =0.
a- Etablir une équation électrique et deux équations
mécaniques caractéristiques de l’évolution du
système.
b- Combiner les équations précédentes pour faire
apparaître un bilan énergétique.
c- Déterminer ω1 (t) , ω2 (t) et i(t) .
Indication / Réponse :
Exercice 4
Une tige métallique de masse m, de résistance R, ferme un circuit auquel on impose une tension continue E.
La tige se déplace sur deux rails parallèles distants de a, dont on néglige la Resistance, tout en étant soumise
r
r
à un champ magnétique vertical uniforme B = B e z . On néglige les frottements et on repère la position de la
tige par son abscisse x(t). Le système est disposé dans un plan horizontal (voir figure 4.1).
dϕ
1) Exprimer la fem induite e = − .
dt
2) Déterminer la force de Laplace exercée sur la tige.
3) Ecrire les équations mécanique et électrique du système.
4) Monter que la vitesse de la tige est régie par l’équation
différentielle :
v& + αv = βE
Avec α et β sont deux coefficients à exprimer en fonction de m, R, a et B.
5) Déterminer les lois de v(t) et i(t). Représenter les graphes de v(t) et i(t).
6) Effectuer un bilan énergétique entre deux instants infiniment proches t et t+dt. Commenter le résultat.
Indication / Réponse :
Exercice 5
Deux tiges métalliques identiques parallèles, chacune de résistance
R
électrique
et de masse m, peuvent glisser sans frottement sur
2
deux rails conducteurs parallèles fixés, de résistances négligeables et
écartés d’une distance a. L’ensemble, horizontal, est soumis à un
champ magnétostatique uniforme vertical B. Le système est
initialement au repos.
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A l’instant t = 0, On communique à l’une des deux tiges une vitesse v0 le long des rails, puis on laisse le
système évoluer tout seul.
•
On résume les conditions initiales comme suit : A t=0, x 0 = 0, x 0 = 0,
•
y0 = d ,
•
y 0 = v0 .
•
On désigne par x, y les positions des deux tiges par rapports à (Ox) et x, y leurs vitesses.
1- Décrire brièvement l’évolution du système après l’instant initial.
•
•
2- Donner l’expression de la fem induite dans le circuit fermé, en fonction de B, a, x et y. (On pourra utiliser
dφ
).
dt
3- Exprimer la force de Laplace qui s’exerce sur chacune des deux tiges.
4- Appliquer la relation fondamentale de la dynamique pour chacune des deux tiges puis écrire une équation
électrique.
•
•
mR
5- On pose X= y − x et τ = 2 2 . Etablir une équation différentielle du premier ordre en X.
2a B
la relation : fem = −
•
•
6- Déduire alors les lois d’évolution dans le temps de x , y et i (courant induit), puis tracer les courbes
correspondantes.
7- Quelle est la vitesse limite des deux tiges ? Faire un bilan énergétique.
Indication / Réponse :
Exercice 6 (Galvanomètre à cadre mobile)
ABCD est un cadre conducteur, de côté 2a, de résistance R, de coefficient d'auto-induction négligeable, de
moment d'inertie J par rapport à l'axe Ωz, constitué d'un enroulement de N spires identiques, de surface S. Il
est suspendu à un fil de torsion ΩO, de constante de torsion C (on rappelle que le couple de rappel qui
s'exerce sur le fil s'écrit Γ = -Cα, où α est l'angle de torsion du fil).
= L'ensemble est plongé dans un champ magnétique radial, de norme constante : , où =
. La position du cadre est repérée par l'angle α entre l'axe Ox et la
est le vecteur unitaire colinéaire à Page 3/6
normale au cadre. Quand le système est à l'équilibre, α = 0. Au cours de son mouvement, le cadre est
soumis à un couple de frottement fluide −ℎ
.
Le cadre est fermé sur un circuit électrique comportant en série un générateur de fém E et une résistance r.
Le système est abandonné sans vitesse dans une position définie par l'angle ≠ 0 .
1/ Déterminer le moment des forces de Laplace par rapport à l'axe Ωz et la fém induite. En déduire l'équation
mécanique du système puis l'équation électrique du circuit. On posera = 4 .
2/ Montrer que l'équation du mouvement du cadre se met sous la forme :
2 +
+ ! = ! "
où τ , " et ω0 sont des constantes à déterminer en fonction des caractéristiques du système. Discuter des
différents mouvements possibles selon les paramètres du problème.
3/ Montrer que la mesure de la position d'équilibre du cadre permet de déterminer le courant i circulant dans
le circuit électrique.
Indication / Réponse :
Exercice 7
Une ligne bifilaire est constituée de deux fils infinis identiques rectilignes, cylindriques, parallèles, parcourus par des
courants de même intensité mais circulant en sens inverses. On désignera par a le rayon de chacun des deux fils et par
D la distance qui sépare leurs axes.
1. Quel est le champ magnétique en tout point M situé entre les deux fils et appartenant au plan Oxz contenant les axes
des deux fils. L’axe Oz est confondu avec l’axe du premier cylindre.
2. Calculer le flux de ce champ à travers une surface rectangulaire du plan Oxz définie en z par une hauteur h et en x
par la distance (D-2a) séparant les bords des deux fils.
3. En déduire l’inductance propre par unité de longueur Lu de la ligne bifilaire.
Indication / Réponse :
Exercice 8 (Pince ampèremétrique)
Une pince ampèremétrique est un instrument de mesure de l’intensité de courant
dans un conducteur électrique enserré par la pince (voir photo).
Une pince ampèremétrique à induction est constituée d’un tore de section carrée
de côté a d’axe (Oz), de rayon intérieur 2a et de rayon extérieur 3a, sur lequel
sont bobinées N spires carrées de côté a. Cette bobine torique, de résistance R, est
fermée sur elle-même à travers un ampèremètre de résistance négligeable. Le
conducteur étudié (figure 8.1), enserré par la pince, est assimilé à un fil infini
confondu avec (Oz) et parcouru par un courant sinusoïdal de pulsation ω,
r r r
d’intensité I(t)=Imcos(ω
ωt). L’espace est rapporté à la base cylindrique ( er , eθ , e z ) .
1- Justifier, qualitativement, l’existence d’un courant i(t) dans la bobine torique de la pince
ωt+ϕ
ϕ) l’intensité du courant traversant la bobine torique en régime
ampèremétrique.Soit i(t)=imcos(ω
sinusoïdal forcé.
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r
2- Déterminer le champ magnétique propre B p
(crée par le courant i(t)) à l’intérieur du tore. En
déduire le flux ϕp traversant une seule spire carrée
−a
a
du tore (telle que 2 a ≤ r ≤ 3 a et
≤ z ≤ ) puis
2
2
le flux propre total Φp traversant la bobine torique.
3- Montrer que l’inductance propre du tore est:
3
µ0 N 2 a ln( )
2 .
L=
2π
4- Déterminer le flux mutuel ϕ (crée par I(t))
traversant une seule spire carrée du tore (telle que 2 a ≤ r ≤ 3 a et
−a
a
≤ z ≤ ). En déduire le flux mutuel
2
2
total traversant la bobine torique.
5- Montrer que l’inductance mutuelle du tore et le fil infini est: M =
µ0 Na ln(
2π
3
)
2 .
6- Etablir l’expression de la force électromotrice e(t) induite dans la bobine torique en fonction de M, L,
di
dt
dI
.
dt
7- La bobine torique est de résistance R. Sachant qu’elle est fermée sur elle-même à travers un ampèremètre
de résistance négligeable. Ecrire une relation simple entre e(t), i(t) et R.
i
8- En utilisant la méthode complexe, déterminer le rapport H = en fonction de M, L, ω et R.
I
et
9- Déterminer l’expression du module H en fonction de M, L, ω et R. Que devient H en basses et en
hautes fréquences ? Ce dispositif permet-il de mesurer les intensités dans toutes les gammes de fréquences ?
10- Quel est l’intérêt d’utiliser une pince ampèremétrique par rapport à un ampèremètre classique?
Indication / Réponse :
Exercice 9 (Haut parleur)
Un haut parleur est un système qui permet la conversion d’une information électrique en onde sonore, il est représenté
r
r
dans les figures ci-dessous: L’aimant permanent fournit champ magnétique radial dans l’entrefer B = Bur . La bobine
de N spires, de rayon a, de résistance interne R et d’inductance propre L est solidaire d’une membrane mobile. Elle est
alimentée par un générateur de tension idéal de fem eG(t)= Umcos(ωt). L’ensemble membrane et bobine est de masse
m et est maintenu dans une position d’équilibre par une suspension que l’on modélisera par une force de rappel
élastique de raideur k. Enfin l’interaction de la membrane avec l’air afin de créer l’onde sonore est modélisée par une
force de frottement fluide−#$. Le mouvement de la partie mobile se fait suivant un axe horizontal. On pose:
l = 2πNa
Pièces mécaniques: 1. saladier; 2. suspension externe; 3. membrane+cache poussière; 4. Spider.
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Pièces du moteur: 5. bobine mobile; 6. noyau; 7. aimant permanent ;
8. Entrefer.
1. Calculer le champ électromoteur %
& puis la force électromotrice
induite dans la bobine du fait de son mouvement dans le champ
magnétique de l’aimant.
2- Exprimer la force de Laplace qui s’exerce sur la bobine. On note
i(t) le courant traversant la bobine.
3- Ecrire les équations mécanique et électrique du système.
4- Déterminer l’impédance Z =
eG (t )
du haut
i(t )
parleur. En déduire son schéma électrique
équivalent. Ce schéma doit comporter 2 éléments
en série R et L ainsi que 3 éléments en parallèle
Rm, Lm et Cm. Etablir l’expression de ces 3
éléments en fonction des données de l’exercice.
5- Etablir un bilan de puissance.
6- En passant en valeurs moyennes, établir
l’expression du rendement du haut parleur.
Sur quels paramètres faut-il agir pour
maximiser ce rendement.
Indication / Réponse :
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