analyse temp et freq des SA

Chap3: Réponses temporelle et
Fréquentielle des systèmes linéaires
 L’analyse temporelle consiste à étudier la réponse d’un système
représenté par sa fonction de transfert à un signal d’entrée variant
dans le temps.
 Impulsion de Dirac: réponse impulsionnelle
 Signal Echelon: réponse indicielle
S  p   H  p  .E  p  
N  p
D1  p  D2  p 
 Les pôles de S(p) sont la réunion des pôles de H(p) et de E(p)
s  t    fi  t e   f j  t e
pi t
i
p jt
j
• 1er terme: une somme des epit qui ne dépendent que des pôles de
H(p) c’est la réponse transitoire
• 2 ème terme: une somme epjt qui ne dépendent que des pôles de E(p)
c’est la répones forcée ou régime permanent
1
Réponses temporelles des systèmes
linéaires
s  t   st  t   s p  t 
lim st  0 
s  sp
• Système est stable
lim st  
s
• Système est instable
t 
t 
2
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du premier ordre
E ( p) 
1
p
H ( p) 
K
1 p
Y ( p) 
1 K
p 1 p

y (t )  k 1  e
t


3
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du premier ordre

Réponse à une impulsion (réponse
impulsionnelle) :

En entrée, nous appliquons un dirac : E(p) = 1
 On a donc :
K
K  t
Y ( p) 
d ' où y(t ) 
e
1 p

K
 Et :
K t T
s '(t )   2 e
T
t  0 s(0) 
K  1
K
t   s ( ) 
e  0.368

t lim
s(t)  0
t

4
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du premier ordre

Réponse à une impulsion (réponse
impulsionnelle) :
Tangente en (0, K/T)y:  
K
2
x
K

5
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du premier ordre
 Réponse à une rampe :
 En entrée, nous appliquons une rampe : E(p) = 1 / p²
 On a donc :
t
K
S(p)  2
d'où s(t)  K(t T  T e T)
p (1T p)
 Et :
s '(t )  K (1  e
t

t  0, s(0)  0
) t   , s( )  Ke1 0.368K
 Tangente horizontale en t=0
 Asymptote :
y(t)  K(tT)
6
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du second ordre

Un système est dit du second ordre s’il est
régi par une équation différentielle :
d²s(t)
ds(t)
b2
 b1
 b0 s(t)  a0 e(t)
dt²
dt
D’où :
S(p)
a
0
H(p) 

E(p) b2 p²  b1 p  b0
que nous mettons
sous la forme :
a0
b0
H(p) 
b2 p²  b1 p 1
b0
b0
7
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du second ordre
a0
b0
K
H(p) 

2
b2 p²  b1 p 1  p 
 p 1

2
 
b0
b0
0
 0
a0
K

On définit : le gain statique :
b0
la pulsation naturelle : 0  b0 en rad /s
b2
le facteur d’amortissement :  
b1
2 b0b2
8
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du second ordre
H(p) 


K
 p   2  p 1
 
0
 0
2
On appelle PÔLES les racines du dénominateur
On appelle ZEROS les racines du numérateur
On recherche la valeur des pôles de H(p) afin d’écrire s(t) :
 p   2  p 1  0
 
0
 0
2
9
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du second ordre
On obtient alors :
  42 ( 2 1)
0
Le signe des racines dépend donc de ² - 1

 > 1:
nous avons deux pôles réels p1 et p2 :
p1  0 (  ² 1)
p2  0 (  ² 1)
à partir de cette écriture, nous pouvons facilement écrire la
fonction sous la forme :
K 2
H(p) 
d’où :
H(p) 
0
(p p1 )(p p2)

K0 
1
1



2 ²1 p0 (  ²1) p0 (  ²1) 
10
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du second ordre
 = 1:
Dans ce cas, nous avons :
p1  p2  0
2
K

0
H(p) 
(p 0)2
 < 1:
Dans ce cas, nous avons deux pôles imaginaires :
p1  0  j0 1²
p2  0  j0 1²


K

0 
1
1

H(p) 


2j 1²  p0 (  j 1² p0 (  j 1² 
11
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du second ordre

Réponse à un échelon (réponse indicielle ) :
E(p) = 1/p

Si  > 1 :
On a :
S(p) 

K0 
1
1



2 ²1 p(p p1 ) p(p p2) 
1
T

1
En posant :
0 (  ² 1)
T2 
Avec :
T1 T2  12
On obtient :
0
1
0 (  ² 1)
et
T2 T1 
2 ²1
0
s(t)  K1 T1 et T1  T2 et T2 
T2 T1
 T2 T1

12
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du second ordre
Nous obtenons bien une réponse apériodique
13
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du second ordre
Nous obtenons bien une réponse apériodique
14
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du second ordre
Nous obtenons une réponse apériodique critique
15
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du second ordre

Réponse à un échelon (réponse indicielle ) :

Si  < 1 :
S(p) 

K0 
1
1



p
(
p

p
)
p
(
p

p
)
2j 1² 
1
2 
Après calculs, on obtient :



cos(0t 1²) 

sin
(

t
1


²
)
0


1


²


0t
s(t)  K  Ke
Autre écriture possible :

Ke0t
1²
s(t)  K 
sin 0t 1²  arctan

1²





16
Réponses temporelles des systèmes linéaires
Systèmes du second ordre
 La valeur de la pulsation propre non amortie influe sur le temps de
réponse du système même en régime apériodique
 Amortissement faible (ζ <0,7) : réponse peu amortie, fortes oscillations,
fort dépassement, réponse d'autant plus rapide que ξ est faible
 Amortissement fort (ζ>0,7) : réponse très amortie, pas d'oscillations,
dépassement à peine visible
 Amortissement (souvent utilisé) ζ=0,7 Dépassement D ≈ 5% et
17
Analyse Fréquentielle des Systèmes
Introduction :
 Dans la pratique, les performances d’un système
asservis sont souvent jugées sur sa réponse
temporelle.

Pour des ordres élevés de système, ou pour définir
d’autres performances, l’analyse fréquentielle est
utilisée : on applique un signal sinusoïdal en entrée.

Nous balayons le comportement du système en
fréquence et nous observons le signal de sortie.
18
Analyse Fréquentielle des Systèmes
Considérons le système linéaire suivant
e(t) = A1sin(t)
H(p)
s(t) = ?
La sortie est de forme sinusoïdale de
même pulsation mais d’amplitude
différente et déphasé par rapport au signal
d’entrée:
s(t)  A1  M()  sin  t  () 
19
Analyse Fréquentielle des Systèmes
Analyse fréquentielle :
 L’écriture en Laplace est une écriture fréquentielle.
Cependant, pour notre analyse, nous remplaçons tout
simplement :
p par j

Nous pouvons définir :
 La fonction de transfert harmonique : G(j)
 Le gain :
G()  G(j)  A'
A
G(j)  G(j) e j()
 La phase :()  Arg G(j)
20
Analyse Fréquentielle des Systèmes
LIEU DE BODE :


Les diagrammes de Bode représentent séparément le module G(ω)
et la phase φ(ω ) en fonction de ω dans le plan semi-logarithmique.
Le gain est exprimé en dB
G()  20log  M()
21
Analyse Fréquentielle des Systèmes
LIEU DE NYQUIST :

C’est la représentation dans le plan complexe de l’extrémité du
vecteur image H(jw) lorsque w varie de 0 à l’infini.
H(j )  Re( )  j Im( )
22
Analyse Fréquentielle des Systèmes
 Lieu de Black
On représente la phase φ(ω )en abscisse et le gainG(ω) comme
coordonnée.
23
Analyse Fréquentielle des Systèmes
Réponses fréquentielles des systèmes du 1er ordre :
H(p)  K
1p
H()  H(j) 

H(j)
H ()
K
1²²
0
K
0
H(j)  K
1 j
d'où
H()  Arg H(j)  arctan 
1/ 

K
2
0

4

2
24
Réponses fréquentielles des systèmes du 1er ordre :

Lieu de Bode :
Pour représenter rapidement Bode, nous pouvons utiliser le
diagramme asymptotique avec o = 1/, la pulsation naturelle ou
pulsation propre.
  << O
  = O
H ( j )  20log K
H(j) 20log K 10 log 2  20log K 3dB
H ()  
4
  >> O
H(j) 20log K  20 log
H ()  
2
25
Réponses fréquentielles des systèmes du 1er ordre :
Lieu de Bode :
20 log K
26
Réponses fréquentielles des systèmes du 1er ordre :
Lieu de Nyquist
Le lieu de Nyquist d’un premier ordre est un demi-cercle
27
Réponses fréquentielles des systèmes du 1er ordre :

Lieu de Black :
28
Réponses fréquentielles des systèmes du seconde ordre :
H(j) 
K

K
2
2

j




 2
1


j
2

j


1
2
 

0
0

0
 0
On en déduit les valeurs du gain et de la phase :
H()  H(j) 
K
2
2

2


2
1  2   4  2
0
0

 ()   arctan
2 
0
2
1 2
0
29
Réponses fréquentielles des systèmes du seconde ordre :
Étude du Gain :
En développant, nous obtenons
:
K
H()  H(j) 
4 2
 2 
4 2
2 2 1 1
0
Nous avons donc 2 cas à envisager :
0
2 2 1 0

 1
2 2 1 0

 1
2
2
Pulsation de résonnance
Si   1
2
 0
H ( )
K
0 1 2 2
K
2 1  2
Coefficient
de
surtension


 0
Si
 1
2 H ( ) K
0
0
30
Réponses fréquentielles des systèmes du seconde ordre :
Lieu de Nyquist
31
Réponses fréquentielles des systèmes du seconde ordre :
Lieu de Bode
 1
2
 1
2
  1
2
32
Réponses fréquentielles des systèmes du seconde ordre :
Lieu de Black
 1
2
  1
2
 1
2
33