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Interference et diffraction

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1
Points essentiels:
 Nature ondulatoire de la lumière.







2
1) Le phénomène de diffraction.
2) Diffraction de la lumière par une fente.
Diffraction de la lumière par une fente.
Les caractéristiques.
Diffraction de Fresnel .
Principe de Huygens
Diffraction de Fraunhofer.
Interférence et diffraction combinées.
Étude qualitative.
a. Nature ondulatoire de la lumière.
1) Le phénomène de diffraction:

3
Ce phénomène apparaît lorsqu’un faisceau de lumière éclaire un écran opaque percé
d’une petite ouverture. Là encore les dimensions sont relatives à la longueur d’onde de
la lumière incidente. La tache lumineuse observée sur un écran placé en arrière de l’écran
percé montre un étalement angulaire du faisceau transmis. Par exemple, si un faisceau
incident tombe sur une fente, l ’ouverture angulaire du faisceau émergent augmente
lorsque la largeur de la fente diminue.
Ouverture carrée
Ouverture circulaire
a . Nature ondulatoire de la lumiere
2) Le phénomène de diffraction:
Ecart angulaire θ :
θ=
λ
a
 λ : longueur d’onde (m)
 a : dimension caractéristique de l’obstacle
 Phénomène significatif si a ≈
λ ou a < λ (lumiere : a ≈ 10-7 m)
4
B. Diffraction de la lumière par une fente :
θ faible : tan θ ≈ θ
 Largeur de la tache centrale :
 d=2
λD
a
 Utilisation : mesure de λ ou
taille de petits objets
(cheveu…)
5
c. Les caractéristiques :
*Figure de diffraction*
La nature ondulatoire de la lumière révélée par une simple lame de rasoir.
6
En 1819, l'Académie des sciences de
Paris mettait au concours la question
de la diffraction de la lumière.
Augustin Fresnel, un jeune provincial,
proposa dans son mémoire une
solution qui nous est aujourd'hui
familière, fondée sur l'hypothèse d'une
lumière constituée d'ondes qui
interfèrent entre elles.
7
« Si la source ou l’écran se trouve
près de l’ouverture ou de l’obstacle,
les fronts d’onde sont sphériques et
la figure est assez complexe .C’est ce
que l’on appelle la diffraction de
Fresnel. Une partie de la lumière
pénètre dans la région d’ombre
géométrique et l’on observe des
franges près des bords de l’obstacle »
8
e. Principe de Huygens:
Tout élément de la surface dS centré en M de la surface d’onde  (t) peut-être considéré
comme une source élémentaire, secondaire, d’ondes sphériques dont l’amplitude complexe en
un point P est proportionnel à :
e jk r
K  A incidentdS
r
Où K() est un facteur d ’inclinaison
L’amplitude en un point P est proportionnelle à la
somme des amplitudes de toutes les ondes émises par
les sources fictives réparties sur la surface  (t) .
Dans la suite nous nous placerons dans le cas particulier
où  est petit  K() = 1.
Diffraction de Fraunhofer
9
f. Diffraction de Fraunhofer
Tentons d'écrire la répartition
d’intensité ou d’amplitude
créer par un objet diffractant
quelconque (ouverture
rectangulaire ou circulaire, …)
et observée sur écran placé a
une grande distance de l ’objet.
Nous utiliserons ici
l’approximation de Fraunhofer
qui suppose que les rayons
lumineux incidents sont
faiblement inclinés par rapport
à l ’axe.
10
L’objet diffractant est caractérisé par sa transparence en amplitude définie comme le rapport de
l’amplitude complexe émergent par l’amplitude complexe incidente :
Aémergent


 x, y 
Aincident
 Objet totalement opaque :   x, y   0
 Objet totalement transparent :   x, y   1
L’amplitude incidente est de la forme : Ai M   e
L’amplitude émergente peut s ’écrire :
D’après le principe de Huygens :
 jk
AM     x, y e
dAM , P     x, y .e
Avec : r  MP  D 2   x      y   
2
11
x2  y 2
2D
2
 jk
 jk
x2  y 2
2D
x2  y 2
2D
e jkr
.
.dS
r
Finalement l’amplitude complexe du champ électrique en P :
AP    dAM , P     x, y .e
 jk
x2  y 2
2D
e jkr
.
.dx.dy
r
La distance d’observation étant grande on peut écrire :
rD
2
2

x     y  
1

D2
D2
  x   2  y   2 

 D1 

2
2 
2D
2D 

2
2

x     y  
r  D

2D
2D
L’amplitude en P devient :
A P     x, y .e
 jk
x2  y 2
2D
.
e

 x  2  y  2 
jk  D 


2D
2 D 

2
2

x     y  
D

2D


12
e
jk D
D
e
jk D
D
  x, y .e
  x, y .e
x2  y 2
 jk
2D
 jk
x2  y 2
2D
.e
.e
2D
  x  2  y  2 
jk 


2 D 
 2 D
jk
x2  y 2
2D
.dx.dy
.e
jk
.dx.dy
 2  2
2D
.e
 jk
x y
D
.dx.dy
On obtient après simplification : AP   A ,   e
jk
 2  2
2D
 jk
e jkD



x
,
y
.
e
D 
Constante
x y
D
.dx.dy
On négligera ce terme car il va s’annuler lorsqu’on cherchera l’expression de
l’intensité obtenue en multipliant par le conjugué complexe de A.
A ,     x, y .e
 
 
 j 2 
x
y
 D D 
.dx.dy
On reconnaît dans cette dernière écriture l’expression de la transformée de Fourier de la
transparence (x,y).
   
A ,    
,


D

D


ou
avec
tg   
tg   
L ’intensité s ’écrira :
I ,   A , A , 

13
  
A ,      , 
  

D

D
       
   
 
,
,
,
 
  

 D D   D D 
 D D 
2


f.1. Exemples
f.1.1. Fente infiniment longue
La fonction transparente peut-être décrite par la
fonction rectangle de largeur e :
x
  x   rect 
e
L’amplitude en un point P de l’écran est
proportionnelle à la transformée de Fourier de  :
  
A( P)  A( )  e.sin c
e

D


Donc pour l’intensité, on a :
  
I( )  I 0 .sin c 2 
e
 D 
Avec I0 l’éclairement maximal pour =0
14
f.1.2. Fente rectangulaire
La fonction transparente peut-être décrite par la fonction rectangle à deux
dimensions :
x y
y
y
  x, y   rect ,   rect rect 
a b
b
b
L’amplitude en un point P :
  
  
A( , )  ab.sin c
a .sin c
b

D

D




Donc pour l’intensité, on a :
  
  
I( , )  I 0 .sin c 2 
a .sin c 2 
b
 D 
 D 
Avec I0 l’éclairement maximal pour =0 et =0
15
*Répartition en intensité de la diffraction
d’une fente rectangulaire.
16
f.2. Ouverture circulaire
 La fonction transparente peut-être décrite par la fonction :
  x, y   Circ , 
x y
R R
Fonction de Bessel de
première espèce
 L’amplitude en un point P :
J Z 
A ( , )  2 1
Z
 2  2
Z  2R
D
avec
 Donc pour l’intensité, on a :
 J Z 
I( )   1 
 Z 
17
2
Cette tache de diffraction est plus connue sous le nom de
“Tache d’Airy”. On peut en première approximation donner la
valeur du rayon de l’anneau central :
  1.22
18

2R
Avec R rayon du trou
* Deux fentes infiniment longues:
y
x

 a  L 2,a  L 2
1
si
x



 x   
a  L 2, a  L 2
0 ailleurs

 xmin
A(u )   e
 j 2ux
 xmax
xmax
dx   e
xmin

 j 2ux
dx
avec
 xmax  a  L 2

 xmin  a  L 2

 1 j 2uxmin
j 2uxmax
 j 2uxmax
 j 2uxmin
e
e
e
e
j 2u
1
 sin 2uxmin   sin 2uxmax 
u

u

2
avec
D
 sin uL  cos2ua 
u
A (u ) 
19
Finalement :
I(u )  sin c 2 uL cos2 2ua 
Diffraction
20
Interférences
f.3.Théorème de Babinet
Les figures de diffraction produites par deux écrans complémentaires sont identiques, sauf au
voisinage immédiat de l’image géométrique.
Prenons l’exemple d’une fente, on sait que la figure de diffraction est :

 a a
1 si x   , 
  x 
 2 2
0 ailleurs

I(u)  I 0 .sin c 2 ua 
L’écran complémentaire :

 a a
0 si x   , 
 c  x 
 2 2
1 ailleurs

a 2
A c (u )   e

 j 2ux

dx   e
 j 2ux
a 2
a 2
dx   e
 j 2ux
L
avec L  a
 1 jua

e
 e j 2uL  e  j 2uL  e  jua 
j 2u
A c (u )  sin c2uL   sin cua 
A c (u ) 
21
L
dx   e  j 2uxdx
a 2
 Ic (u )  Ac (u )  sin c2uL   sin cua 
2
2
Ic (u )  sin c 2 ua   2 sin cua sin c2uL   sin c 2 2uL 
1.5
Ic
I
1
1.2
1
0.8
0.6
0.5
0.4
0.2
0
0
L=100*a
L=1000*a
Les figures de diffraction sont uniquement différentes dans la zone
proche de l’axe.
22
Répartition en amplitude
Répartition en intensité
23
g. Interférence et
diffraction
combinées:
 Dans la description de l’expérience
de Young, nous n’avons pas tenu
compte de la figure de diffraction
produite par chaque fente. Si l’écran
est très éloigné, les fentes
produisent des figures de diffraction
qui se superposent. On observe la
figure de diffraction d’une fente
simple avec des maxima d’intensité
plus élevée. On dit que la figure
d’interférence a pour enveloppe la
figure de diffraction produite par
une fente simple.
24
 Lors de l’étude de l’interférence à 2 fentes (ou plus), nous avons
supposé qu’il s’agissait de fentes étroites. Ainsi l’intensité due à une
fente était la même Io pour tous les points P sur l’écran, peu importe
l’angle d’observation .
 Si la fente n’est pas étroite, mais possède une largeur a, l’intensité
sur l’écran n’est pas indépendante de l’angle  mais décroît à
mesure que l’angle augmente.
Spectre continu
25
25
*Interférence*
I
n
t
e
n
s
i
t
é
1.
La majeure partie de la lumière est concentrée dans le maximum central lorsque sin
 varie de –/a à + /a .
2.
Le premier minimum apparaît lorsque sin  = /a .
3.
La largeur du maximum central décroît si a augmente.
26 26
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