Mécanique 2- TD-1- Sujet - Géométrie des masses (matrice d'inertie) ISSAT de Sousse LGM-01 TD- Géométrie des masses -ISSATSO -LGM-01 (Mars 2020) L’usinage est une opération de transformation d’un produit par enlèvement de matière. Cette opération est à la base de la fabrication de produits dans les industries mécaniques. On appelle le moyen de production associé à une opération d’usinage une machine-outil ou un centre d’usinage. La génération d’une surface par enlèvement de matière est obtenue grâce à différents outils munis d’au moins une arête coupante. Axe Z Broche + Outil Axe Y Pièce Axe B Un chargeur d’outils est un système permettant de charger automatiquement l’outil utile stocké dans un magasin sur la broche pour une phase d’usinage donnée. Les différentes formes de pièces sont ensuite obtenues par des translations et des rotations de l'outil par rapport à la pièce à usiner. Bâti Axe C Axe X Exemple de pièce complexe obtenue par usinage On s’intéresse donc au chargeur d’outils équipant la machine outils dont on donne une description structurelle ainsi qu’une modèle cinématique. Pour déterminer le couple moteur et résoudre les problèmes d’équilibrage, il est nécessaire de déterminer la matrice d’inertie de l’ensemble tournant 2. y ------------------06//03/2020 Page 1 sur 5 Mécanique 2- TD-1- Sujet - Géométrie des masses (matrice d'inertie) ISSAT de Sousse LGM-01 Déterminer la matrice d’inertie en O1 de l’ensemble 2 lorsque le bras est équipé de deux outils montés symétriquement. 1 1.1 Déterminer les éléments de symétrie de l’ensemble 2. 1.2 Montrer que la matrice d’inertie de l’ensemble 2au point O1 dans la base ( x , y , z ) IO ( 2 ) est diagonale. 1 1 1 1 ( x1 , y1 , z1 ) 1.3 Déterminer la matrice d’inertie de l’ensemble E au point O1 (par le théorème de Huygens). 1.4 Déduire la matrice d’inertie en O1 de l’ensemble 2 au point O1 dans la base ( x , y , z ) . 1 2 1 1 Déterminer la matrice d’inertie en O1 de l’ensemble 2 lorsque le bras n’est équipé que d’un seul outil. 2.1 Déterminer les éléments de symétrie de l’ensemble 2 2.2 Déduire la forme générale de la matrice d’inertie de l’ensemble 2 au point O1 dans la base ( x1 , y1 , z1 ) 2.3 Déduire la matrice d’inertie en O1 de l’ensemble 2 au point O1 dans la base ( x1 , y1 , z1 ) Remarque : La matrice d’inertie de la plaque de centre de gravité O1 est : mS 2 2 12 (b + c ) IO1 ( S ) = 0 0 0 mS 2 2 (b + e ) 12 0 0 mS 2 2 (e + c ) 12 ( x1 , y1 , z1 ) 0 Réponses 1 Reposes au 1 1.1 Réponse 1.1 L’ensemble 2 = bras pivotant + deux ensembles E montés symétriquement. Ce Solide 2 possède alors deux plans de symétrie perpendiculaires : (o1, x1, y1 ) et (o1, x1, z1 ) 1.2 Forme diagonale de IO ( 2 ) 1 La forme générale de la matrice d’inertie est : A2,O1 IO1 ( 2 ) = − F2,O1 − E2,O1 − F2,O1 B2,O1 − D2,O1 − E2,O1 − D2,O1 C2,O1 ( x1 , y1 , z1 ) Les deux plans de symétrie montrent que : ▪ (o1, x1, y1 ) plan de symétrie. Soit P(x1, y1, z1 ) , le point symétrique correspondant est P ' (x1 , y1 , −z1 ) . On peut avoir alors D2,O1 = y1 z1 dm = 0 et E2,O1 = x1 z1 dm = 0 ▪ (o1, x1, z1 ) plan de symétrie. Soit P(x1, y1, z1 ) , le point symétrique correspondant est P ' (x1 , − y1 , z1 ) . ------------------06//03/2020 Page 2 sur 5 Mécanique 2- TD-1- Sujet - Géométrie des masses (matrice d'inertie) ISSAT de Sousse LGM-01 alors D2,O1 = y1 z1 dm = 0 et F2,O1 = x1 y1 dm = 0 Suite à l’existence de deux plans de symétrie, la forme de IO1 ( 2 ) sera diagonale alors : A2,O1 IO1 ( 2 ) = 0 0 0 C2,O1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 0 B2,O1 0 1.3 Les composantes diagonales de la matrice d’inertie de l’outil E au point O 1 Rappels du cours Le passage d’une matrice d’inertie définie en G, centre d’inertie de S, à la matrice d’inertie en A (figure 1) s’écrit : AS ,O xG ; IO ( S) ( x , y , z ) = − FS ,O OG yG z − ES ,O G ( x , y , z ) IO ( S) ( x , y , z ) 1 1 1 AS ,O − FS ,O − ES ,O − FS ,O BS ,O − DS ,O ------------------06//03/2020 − ES ,O − DS ,O CS ,O mS ( yG2 + zG2 ) = IG ( S) ( x , y , z ) + −mS xG yG 1 1 1 −mS xG zG ( x1 , y1 , z1 ) AS ,G = − FS ,G − ES ,G − FS ,G BS ,G − DS ,G − ES ,G − DS ,G CS ,G − FS ,O BS ,O − DS ,O − ES , O − DS ,O C S ,O ( x , y , z ) −mS xG yG mS ( xG2 + zG2 ) −mS yG zG −mS xG zG −mS yG zG mS ( xG2 + yG2 ) mS ( yG2 + zG2 ) + −mS xG yG −mS xG zG ( x , y ,z ) 1 1 1 ( x, y,z ) −mS xG yG mS ( xG2 + zG2 ) −mS yG zG −mS xG zG −mS yG zG mS ( xG2 + yG2 ) Page 3 sur 5 ( x, y,z ) Mécanique 2- TD-1- Sujet - Géométrie des masses (matrice d'inertie) AE ,O1 x1G O1G y1G ; IO1 ( E ) ( x , y , z ) = − FE ,O1 1 1 1 z 1G − EE ,O1 IO1 ( S) ( x1 , y1 , z1 ) mS ( y + z ) = IG ( S) ( x , y , z ) + −mS xG yG 1 1 1 −mS xG zG 2 G 2 G ISSAT de Sousse LGM-01 − EE ,O1 − DE ,O1 C E ,O1 − FE ,O1 BE ,O1 − DE ,O1 ( x1 , y1 , z1 ) −mS xG zG −mS yG zG mS ( xG2 + yG2 ) −mS xG yG mS ( xG2 + zG2 ) −mS yG zG ( x, y,z ) AE ,O1 = AE ,G + mE ( y1G 2 + z1G 2 ) ; BE ,O1 = BE ,G + mE ( x1G 2 + z1G 2 ) , CE ,O1 = CE ,G + mE ( x1G 2 + y1G 2 ) et FE ,O1 = mE xG yG , EE ,O1 = mE xG zG et DE ,O1 = mE yG zG 1.4 Forme finale de la matrice d’inertie en O 1 de l’ensemble 2 La matrice IO1 ( 2 ) est une sommation de deux matrices des solides élémentaires (S et les deux outils E) mais en tenant compte uniquement des composantes de la matrice IO1 ( E ) . On a alors : A2,O1 − F2,O1 = 0 − E2,O1 = 0 IO1 ( 2 ) = − F2,O1 = 0 B2,O1 − D2,O1 = 0 C2,O1 − E2,O1 = 0 − D2,O1 = 0 A2,O1 = 2 AE ,O + AS ,O1 IO1 ( 2 ) = − F2,O1 = 0 − E2,O1 = 0 − F2,O1 = 0 B2,O1 = 2 BE ,O + BS ,O1 2 I G , x + 2mE ( y1G 2 + z1G 2 ) IO1 ( 2 ) = IO1 ( S ) + 0 ( x, y,z ) 0 − D2,O1 = 0 ( x1 , y1 , z1 ) − D2,O1 = 0 C2,O1 = 2CE ,O1 + CS ,O1 ( x1 , y1 , z1 ) − E2,O1 = 0 0 2I G , y + 2mE ( x1G 2 + z1G 2 ) 0 0 0 2I G , z + 2mE ( x1G 2 + y1G 2 ) ( x, y,z ) Tel que la matrice IO1 ( S ) est définie par : ( x1 , y1 , z1 ) mS 2 2 12 (b + c ) IO1 ( S ) = 0 0 2 0 mS 2 2 (b + e ) 12 0 0 mS 2 2 (e + c ) ( x1 , y1 , z1 ) 12 0 Reposes au 1 2.1 Réponse 2.1 L’ensemble 2 = bras pivotant + un seul ensemble E montés symétriquement. Cet ensemble 2 possède un seul plan de symétrie (O1, x1, y1 ) 2.2 Forme diagonale de IO ( 2 ) 1 La forme générale de la matrice d’inertie est : ------------------06//03/2020 Page 4 sur 5 Mécanique 2- TD-1- Sujet - Géométrie des masses (matrice d'inertie) A2,O1 IO1 ( 2 ) = − F2,O1 − E2,O1 − F2,O1 B2,O1 − D2,O1 ISSAT de Sousse LGM-01 − E2,O1 − D2,O1 C2,O1 ( x1 , y1 , z1 ) Le plan de symétrie (O1, x1, y1 ) implique si P(x1, y1, z1 ) , le point symétrique correspondant est P ' (x1 , y1 , −z1 ) . On peut avoir alors D2,O1 = y1 z1 dm = 0 et E2,O1 = x1 z1 dm = 0 La forme de la matrice d’inertie IO1 ( 2 ) n’est plus diagonale : ( x1 , y1 , z1 ) A2,O1 IO1 ( 2 ) = − F2,O1 0 − F2,O1 B2,O1 0 0 C2,O1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 2.3 Forme finale de la matrice d’inertie en O1 de l’ensemble 2 La matrice IO1 ( 2 ) est une sommation de deux matrices des solides élémentaires (S et l’ensemble E) mais en tenant compte uniquement des composantes AE ,O1 ; BE ,O1 , CE ,O1 et FE ,O1 , de la matrice IO1 ( E ) . On a alors : A2,O1 − F2,O1 − E2,O1 = 0 IO1 ( 2 ) = − F2,O1 B2,O1 − D2,O1 = 0 C2,O1 − E2,O1 = 0 − D2,O1 = 0 ( x1 , y1 , z1 ) A2,O1 = AE ,O + AS ,O1 IO1 ( 2 ) = − F2,O1 = 0 − E2,O1 = 0 − F2,O1 = 0 B2,O1 = BE ,O + BS ,O1 − D2,O1 = 0 I G , x + mE ( y1G 2 + z1G 2 ) IO1 ( 2 ) = IO1 ( S ) + −mE xG yG ( x, y,z ) 0 − D2,O1 = 0 C2,O1 = CE ,O1 + CS ,O1 ( x1 , y1 , z1 ) − E2,O1 = 0 −mE xG yG I G , y + mE ( x1G 2 + z1G 2 ) 0 0 0 I G , z + mE ( x1G 2 + y1G 2 ) ( x, y,z ) Tel que la matrice IO1 ( S ) est définie par : ( x1 , y1 , z1 ) mS 2 2 12 (b + c ) IO1 ( S ) = 0 0 ------------------06//03/2020 0 mS 2 2 (b + e ) 12 0 0 mS 2 2 (e + c ) 12 ( x1 , y1 , z1 ) 0 Page 5 sur 5
