La th´eorie de la production La production d’une entreprise, d’une branche ou d’une nation est souvent exprim´ee par une fonction de production. S’il y a un seul output on peut ´ecrire: q = f(x1, x2, . . . , xr ) o`u q est le bien produit et xi ; i = 1, . . . , r les facteurs de production. Si l’entreprise produit plusieurs biens, il faut utiliser une forme implicite et ´ecrire: Φ(q1, . . . , qm; x1, . . . , xr ) = 0 Rendement marginal et rendement d’´echelle Les marginalistes ont ´etudi´e la variation de la production lorsqu’on augmente l’utilisation d’un facteur de production. On obtient la productivit´e marginale qui est donn´ee par la d´eriv´ee partielle ∂q ∂xi = fi . Les marginalistes ont observ´e que le rendement marginal (ou la productivit´e marginale) diminue lorsqu’on augmente l’utilisation du facteur. En d’autres termes, la d´eriv´ee deuxi`eme est n´egative [ ∂ 2 q ∂x2 i = fii < 0]. Cette constatation est g´en´erale et on parle alors de la loi des rendements marginaux d´ecroissants. Par cons´equent, il faut utiliser une fonction strictement concave pour repr´esenter la production. En effet, une matrice hessienne d´efinie n´egative a des valeurs n´egatives sur la diagonale [fii < 0] et elle implique une fonction strictement concave. Lorsque tous les facteurs varient on parle de rendement d’´echelle. Supposons que tous les facteurs soient multipli´es par γ. On aura alors: f(γx1, γx2, . . . , γxm) = α(γq) γ > 1 Si α > 1 le rendement d’´echelle est croissant, si α = 1 le rendement est constant et si α < 1 il est d´ecroissant. Le rendement d’´echelle peut varier selon la valeur de la production et la valeur de γ. Par exemple, si la fonction de production est: q = 3x 2 1 x 2 2 − x 3 1 x 3 2 /8 et x1 = x2 = 2, alors α = 3.2 lorsque γ = 2 mais α = 0.66 lorsque γ = 2.4. Si la fonction de production est homog`ene, alors le rendement restera toujours le mˆeme car α = γ s−1 o`u s est le degr´e d’homog´en´eit´e de la fonction. Si s > 1 alors le rendement d’´echelle est toujours croissant, s’il est ´egal `a 1 il sera toujours constant et s’il est inf´erieur `a 1 il sera toujours d´ecroissant. Au niveau d’une nation le rendement d’´echelle est approximativement constant. Les estimations de la fonction Cobb-Douglas g´en´eralis´ee: q = AKaL b A, a, b > 0 o`u K est le capital, L le travail et A, a, b des coefficients, donnent des valeurs de s = a + b proches de l’unit´e. Un rendement d’´echelle constant n’est pas incompatible avec un rendement marginal d´ecroissant. Par exemple, les rendements marginaux de la fonction ci-dessus sont: fKK = a(a − 1)AKa−2L b < 0 si a < 1 fLL = b(b − 1)AKaL b−2 < 0 si b < 1 Lorsque s = a + b = 1, le rendement d’´echelle est constant mais les rendements marginaux sont d´ecroissants. La fonction est concave si s = 1 et strictement concave si s < 1. Si la fonction de production est de type Cobb-Douglas g´en´eralis´e, alors le rendement marginal est proportionnel au rendement moyen. En effet: fK = a q K ; fL = b q L 1 D’autre part, le taux de substitution technique (T ST), c’est-`adire le rapport des rendements marginaux (pente de l’isoquante) d´epend uniquement du rapport des facteurs. Ceci est le cas pour toute fonction homog`ene. On a ici: T ST = | dK dL | = fL fK = bAKaL b−1 aAKa−1Lb = b a K L L’´elasticit´e de substitution L’utilisation des facteurs d´epend des techniques de production. La fonction de production exprime ces relations techniques. A court terme, les proportions sont souvent fixes mais `a plus ou moins long terme il est possible de changer de technique. Par exemple, la fabrication de voitures devient de plus en plus robotis´ees: plus de capital et moins de travail. Le taux de substitution technique indique les facilit´es ou les difficult´es de remplacement d’un facteur par un autre. Il a toutefois un inconv´enient majeur: il d´epend des unit´es de mesure des facteurs. On a alors propos´e une mesure ind´ependante des unit´es. Il s’agit de l’´elasticit´e de substitution. Comme toute ´elasticit´e, elle est le rapport de deux variations en pourcentage. On prend ici les pourcentages de variation du rapport des facteurs [d ln( K L )] et du taux de substitution technique [d ln T ST = d ln(fL/fK )]: σ = d ln( K L ) d ln fL fK = L K d( K L ) fK fL d( fL fK ) Si la fonction est homog`ene de degr´e s, cette expression devient: σ = fLfK sqfLK +fLfK (1−s) La fonction Cobb-Douglas g´en´eralis´ee a une ´elasticit´e de substitution ´egale `a l’unit´e. Si l’on veut estimer l’´elasticit´e de substitution, il faut choisir une fonction plus g´en´erale. On a alors propos´e une fonction qui a une ´elasticit´e de substitution constante. Cette fonction, appel´ee CES (constant elasticity of substitution) est donn´ee par l’expression suivante: q = A[aK−ρ + (1 − a)L −ρ ] −s/ρ avec T ST = 1−a a ( K L ) 1+ρ ; σ = 1 1+ρ Si ρ = 0 (σ = 1) , on obtient la fonction Cobb-Douglas g´en´eralis´ee. Si ρ = ∞ (σ = 0) les deux facteurs doivent ˆetre utilis´es dans des proportions fixes et la fonction de production est q = min(aK, bL). On l’appelle aussi la fonction de production de Leontief. Si ρ = −1 (σ = ∞) on peut substituer un facteur par l’autre sans aucune difficult´e. La fonction de production est q = aK + bL et l’isoquante est une droite. La fonction CES peut mˆeme donner des isoquantes concaves. Il suffit de prendre ρ < −1. Choix des facteurs et du niveau de production Le choix des facteurs d´epend du prix. Supposons que l’entreprise doit prod
