Déterminants de Cayley

n(E, q)ER
n q E β
V= (v1,· · · , vp)p E V
(V) = ((β(vi, vj)1≤i,j≤p
(V)V
( (V)) >0V E
Vx∈V( (V ∪ {x})) = 0 x∈E
OV(V)
( (V)) = 0
V(V, q|V)
β|V×V(V)q|VV V0V
q|V P V
V0(V) = tP P ( (V)) = (P)2>0M
V ≤ r
S ⊂ V r+ 1 ( (S)) = 0
(V)≤r
OV E V
3.⇒2.≥r+ 1
2.S V r+ 1 (V)≤r
2.⇒1.
(V)≤r s ≥r+1 (V)
1.⇒3.M
(E, q)ω
V= (v1,· · · , vn)n E
ω(v1,· · · , vn)2= ( (v1,· · · , vn))
O(ei)1≤i≤nE u ∈R(E)
u(ei) = vi1≤i≤n A u (ei)1≤i≤n
(v1,· · · , vn) = A A
( (v1,· · · , vn)) = (A)2= (u)2

ω(v1,· · · , vn) = ω(u(e1),· · · , u(en)) = (u)ω(e1,· · · , en) = (u)
M
n≥2Z[Xi,j /0≤i<j≤n]n(n+ 1)
2
Γn=
0 1 1 1 · · · 1
1 0 X2
0,1X2 0,2· · · X2 0,n
1X2
0,10X2 1,2· · · X2 1,n
1X2
0,2X2 1,20· · · X2 2,n
1X2
0,n X2 1,n x2 2,n · · · 0
∈Z[Xi,j /0≤i<j≤n]
n+ 1 x0,· · · , xnX
n E
di,j =d(xi, xj) 0 ≤i, j ≤n
( ( −→ x0x1,· · · ,−→ x0xn)) = (−1)n+1
2nΓn((di,j )0≤i<j≤n)
O(ei)1≤i≤nE O
X
−→
O xi=
n
X
j=0
xi,j ej0≤i≤n
ω(−→ x0x1,· · · ,−→ x0xn) = 
x1,1−x0,1· · · x1,n −x0,n
xn,1−x0,1· · · xn,n −x0,n
=
x0,1· · · x0,n 1
x1,1· · · x1,n 1
· · · 1
xn,1· · · xn,n 1
A=
x0,1· · · x0,n 1
x1,1· · · x1,n 1
· · · 1
xn,1· · · xn,n 1
exii0≤i≤n
A A = (ex0,· · · ,exn)=(β(
−→
O xi,
−→
O xj) + 1)0≤i,j≤n

ω(−→ x0x1,· · · ,−→ x0xn)2=
β(
−→
O x0,
−→
O x0)+1 · · · β(
−→
O x0,
−→
O xn)+1
β(
−→
O xn,
−→
O x0)+1 · · · β(
−→
O xn,
−→
O xn)+1
=
β(
−→
O x0,
−→
O x0)+1 · · · β(
−→
O x0,
−→
O xn) + 1 0
· · ·
β(
−→
O xn,
−→
O x0)+1 · · · β(
−→
O xn,
−→
O xn) + 1 0
1· · · 1 1
=
β(
−→
O x0,
−→
O x0)· · · β(
−→
O x0,
−→
O xn)−1
· · ·
β(
−→
O xn,
−→
O x0)· · · β(
−→
O xn,
−→
O xn)−1
1· · · 1 1
=−
β(
−→
O x0,
−→
O x0)· · · β(
−→
O x0,
−→
O xn) 1
· · ·
β(
−→
O xn,
−→
O x0)· · · β(
−→
O xn,
−→
O xn) 1
1· · · 1−1
n
( (
−→
Ox0,· · · ,
−→
Oxn)) = 0
−→
Ox0,· · · ,
−→
OxnE E n
ω(−→ x0x1,· · · ,−→ x0xn)2=−
β(
−→
O x0,
−→
O x0)· · · β(
−→
O x0,
−→
O xn) 1
· · ·
β(
−→
O xn,
−→
O x0)· · · β(
−→
O xn,
−→
O xn) 1
1· · · 1 0
=−1
2n
2β(
−→
O x0,
−→
O x0)· · · 2β(
−→
O x0,
−→
O xn) 1
· · ·
2β(
−→
O xn,
−→
O x0)· · · 2β(
−→
O xn,
−→
O xn) 1
1· · · 1 0
2β(
−→
O xi,
−→
O xi) = q(
−→
O xi) + q(
−→
O xj)−d2
i,j 0≤i, j ≤n
0≤i, j ≤n2β(
−→
O xi,
−→
O xi)
0≤i≤n i q(
−→
O xi)

0≤j≤n j q(
−→
O xj)
( ( −→ x0x1,· · · ,−→ x0xn)) = ω(−→ x0x1,· · · ,−→ x0xn)2
=−1
2n
0−d2
0,1· · · −d2 0,n 1
−d2
1,00· · · −d2 1,n 1
−d2
n,0−d2 n,1· · · 0 1
1 1 · · · 1 0
=(−1)n+1
2n
0d2
0,1· · · d2 0,n 1
d2
1,00· · · d2 1,n 1
d2
n,0d2 n,1· · · 0 1
1 1 · · · 1 0
=(−1)n+1
2nΓn((di,j )0≤i<j≤n)
M
n+1 x0,· · · , , xnn
di,j 0≤i < j ≤n X
Γn((di,j )0≤i<j≤n)=0
O−→ x0x1,· · · ,−→ x0xn
( ( −→ x0x1,· · · ,−→ x0xn)) 6= 0
Γn((di,j )0≤i<j≤n)6= 0
M
(x0,· · · , xn)x0,· · · , xn
(x0,· · · , xn) = {
n
X
i=0
tixi/ ti≥0 0 ≤i≤n
n
X
i=0
ti= 1}
n( (x0,· · · , xn))2=(−1)n+1
2n(n!)2Γn((di,j )0≤i<j≤n)
O(x0,· · · , xn)
(x0,· · · , xn) = {x0+
n
X
i=0
ti
−→
x0xi/0≤ti≤1 0 ≤i≤n}
x0,· · · , xn
n( (x0,· · · , xn)) = |ω(−→
x0x1,· · · ,−→ x0xn)|

n( (x0,· · · , xn)) = 1
n!n( (x0,· · · , xn))
M
X n = 2 ABC
x0=A x1=B x2=C
a=d0,1=AB b =d1,2=BC c =d0,2=AC
Γ2(a, b, c) =
0 1 1 1
1 0 a2c2
1a20b2
1c2b20
=b4−2a2b2−2c2b2+c4−2c2a2+a4
=−(a+b+c) (−a+b+c) (a−b+c) (a+b−c)
AABC
A=1
4p(a+b+c) (−a+b+c) (a−b+c) (a+b−c)