9782100701674 capteurs 2e corriges

“dassonvalle_70167” (Col. : Science Sup 17x24) — 2013/10/3 — 15:46 — page 1 — #349
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LES CAPTEURS
CORRIGÉS
Les capteurs, ouvrage écrit par Pascal Dassonvalle dont la deuxième édition est parue
en 2013 aux éditions Dunod (www.dunod.com), 9782100701674.
EXERCICES
26 Capteur à courants de Foucault – Mesure de résistivité
27 Relation mesurande-signal de mesure – Dérive thermique
30 Résistance thermométrique en montage potentiométrique
31 Capteur de déplacement capacitif – Non-linéarité
37 Capteur de débit à tube Venturi – Tension de mode commun
PROBLÈMES
5 Capteur résistif non linéaire
7 Linéarisation aval
18 Interféromètre de Mach-Zender utilisé en capteur d’angle
19 Étude d’une thermistance en utilisation bolométrique pour la détermination à
distance de la température d’un corps
21 Capteur angulaire robuste
24 Photodiode à effet latéral unidirectionnelle
©DUNOD, Paris, 2013

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26 EXERCICE :
Capteur à courants
de Foucault – Mesure
de résistivité
Corrigé détaillé
26.1 Le champ alternatif hautes fréquences créé par la bobine induit dans la plaque
métallique des courants de Foucault. Ces courants produisent à leur tour un champ
magnétique opposé au champ magnétique créé par la bobine. La superposition de ces
deux champs modifie l’impédance apparente de la bobine.
26.2 On a simplement e=(R1+jL1ω)i1+jMωi2.
26.3 Le secondaire (la cible métallique) du transformateur ainsi réalisé étant en
court-circuit, on a jMωi1+(R2+jL2ω)i2=0.
26.4 En éliminant i2entre les deux dernières équations et en posant
e=(r+jLω)i1, il vient par identification :
r=R1+R2M2ω2
R2
2+L2 2ω2et L=L1−L2M2ω2
R2
2+L2 2ω2(26.1)
26.5 Dans le cas d’une cible constituée par un bon conducteur, soit pour R2L2ω
et avec M=k√L1L2, (26.1) devient :
r=R1+k2R2L1
L2et L=L1(1 −k2) (26.2)
26.6 Compte tenu de la présence de la contre réaction, on a :
H1(p)=V2(p)
V1(p)=−R R
26.7 En procédant comme demandé, il vient :
V4(p)=I2(p)
Cp et I2(p)=V(p) Lp +r+1/Cp =V(p)Cp
1+rC p +LC p2(26.3)
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Corrigé 26
Soit en éliminant I2(p) dans (26.3) :
V4(p)=V(p)
1+rC p +LC p2
De même, on a :
V(p)=Zeq(p)
R+Zeq(p)V3(p)avecZeq(p)=1 Cp r+Lp +1 Cp
Calcul fait, on obtient :
H2(p)=1
RLC2p3+(RrC +L)Cp
2+(r+2R)Cp+1
26.8 Les connections V4=V1et V3=V2doivent permettre la réalisation d’un
oscillateur sinusoïdal et imposent donc la condition dite de Barkhausen, à savoir :
H1(jωoscil)=V2(jωoscil)/V1(jωoscil)=V3(jωoscil)/V4(jωoscil)=1/H2(jωoscil)
Cette expression conduit donc à H(jωoscil)=1.
Ceci peut se récrire sous forme de deux conditions :
|H(jωoscil)|=1et arg
(H(jωoscil))=0
26.9 La condition arg(H2(jωoscil))=0 impose −jω3
oscilRLC2+j(r+2R)Cωoscil=0.
Ceci fournit la pulsation d’oscillation de l’oscillateur qui est donnée par
ω2
oscil =(r+2R)/RLC et qui compte tenu de (26.2) s’écrit encore :
ωoscil =2R+R1+k2R2L1/L2
RCL1(1 −k2)=2R+R1 RCL1(1 −k2)1+k2L1R2
L2(2R+R1)
=ω01+k2L1
L2(2R+R1)R2(26.4)
26.10 L’oscillateur fonctionnant, la transmittance H2(jωoscil) se réduit à :
H2(jωoscil)=1−(RrC +L)Cω2
oscil−1
Avec ω2
oscil =(r+2R)/RLC,ilvient:
H2(jωoscil)=1−r+2R
RL (RrC +L)−1
=−RL
RCr(r+2R)+L(R+r)(26.5)
Pour une cible parfaitement conductrice, on a r=R1et L=L1(1 −k2). Dans ce cas
(26.5) devient :
H2(jωoscil)=−RL1(1 −k2)
RCR1(R1+2R)+L1(1 −k2)(R+R1)
©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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Les capteurs
La condition |H(jωoscil)|=|H1(jωoscil)H2(jωoscil)|=1 impose alors :
R
R=RCR1(R1+2R)+L1(1 −k2)(R+R1)
RL1(1 −k2)
26.11 On a immédiatement :
R
R=3R2
1C+2L1(1 −k2)
L1(1 −k2)=2,1etω0=3 CL1(1 −k2)=2.106rad.s−1
Ce qui amène une fréquence f0318 kHz.
26.12 Si ωoscil reste proche de ω0, (26.4) peut s’écrire :
ωoscil =ω01+k2L1
L2(2R+R1)R2=ω01+k2L1 3R1L2αρ ω01+k2L1α 6R1L2ρ
26.13 Le cuivre étant un bon conducteur, on peut estimer que ωoscil ω0.Lapro-
fondeur de peau et donc l’épaisseur testée par cette méthode de mesure est de l’ordre
de δ=2/γω0μ00,1mm.
26.14 Compte tenu de l’hypothèse faite à la question 26.10, si le conducteur
s’écarte trop du conducteur parfait, le rapport fixé R/Rne permet plus de vérifier la
condition de Barkhausen et l’oscillateur décroche. Il faut donc réserver ce capteur à
la mesure de la résistivité de très bons conducteurs.
On peut inversement utiliser le capteur pour détecter des défauts structurels (cavités,
concentrations d’impuretés, etc.) situés sous la surface qui, en augmentant de façon
importante la résistivité apparente du matériau, font alors décrocher l’oscillateur.
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EXERCICE :
Relation
mesurande-signal
de mesure
– Dérive thermique
27
Corrigé détaillé
En avant-propos : bien que ce ne soit pas l’usage habituellement dans l’écriture de
l’application numérique relative à l’expression analytique d’une grandeur physique,
il est conseillé au débutant de faire figurer explicitement les unités dans l’expression
de l’application numérique. Ceci permet de vérifier que le résultat obtenu est bien
homogène et donc par-là, de repérer un oubli de conversion, une mauvaise compré-
hension et utilisation des données fournies. . .
Les corrections des exercices suivants seront effectuées dans ce sens.
27.1 Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit :
Vmes(x,T)=Sr(T0)·Valim ·(1+αS(T−T0))·x
=20 mV/μm/V·10 V ·1+0,1%
◦C−1·(25 −20)◦C·10 μm
=2,01 V (27.1)
27.2 Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit :
Vmes(x,T)=Sr(T0)·Valim ·(1+αS(T−T0))·x(27.2)
On en déduit immédiatement :
x=Vmes(x,T)
Sr(T0)·Valim ·(1+αS(T−T0))
=41 mV
1mV/μm/V·5V·1+0,5%
◦C−1·(25 −20)◦C=8μm (27.3)
©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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