9782100701674 capteurs 2e corriges

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L ES
CAPTEURS
C ORRIGÉS
PROBLÈMES
EXERCICES
Les capteurs, ouvrage écrit par Pascal Dassonvalle dont la deuxième édition est parue
en 2013 aux éditions Dunod (www.dunod.com), 9782100701674.
26 Capteur à courants de Foucault – Mesure de résistivité
27 Relation mesurande-signal de mesure – Dérive thermique
30 Résistance thermométrique en montage potentiométrique
31 Capteur de déplacement capacitif – Non-linéarité
37 Capteur de débit à tube Venturi – Tension de mode commun
5 Capteur résistif non linéaire
7 Linéarisation aval
18 Interféromètre de Mach-Zender utilisé en capteur d’angle
19 Étude d’une thermistance en utilisation bolométrique pour la détermination à
distance de la température d’un corps
21 Capteur angulaire robuste
24 Photodiode à effet latéral unidirectionnelle
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26
E XERCICE :
Capteur à courants
de Foucault – Mesure
de résistivité
Corrigé détaillé
26.1 Le champ alternatif hautes fréquences créé par la bobine induit dans la plaque
métallique des courants de Foucault. Ces courants produisent à leur tour un champ
magnétique opposé au champ magnétique créé par la bobine. La superposition de ces
deux champs modifie l’impédance apparente de la bobine.
26.2 On a simplement e = (R1 + jL1 ω) i1 + jMω i2 .
26.3 Le secondaire (la cible métallique) du transformateur ainsi réalisé étant en
court-circuit, on a jMω i1 + (R2 + jL2 ω) i2 = 0.
26.4 En éliminant i2 entre les deux dernières équations et en posant
e = (r + jLω)i1 , il vient par identification :
r = R1 +
R 2 M 2 ω2
R22 + L22 ω2
et
L = L1 −
L 2 M 2 ω2
R22 + L22 ω2
(26.1)
26.5 Dans le cas d’une cible constituée par un bon conducteur, soit pour R2 L2 ω
√
et avec M = k L1 L2 , (26.1) devient :
r = R1 + k 2 R2
L1
L2
et
L = L1 (1 − k2 )
(26.2)
26.6 Compte tenu de la présence de la contre réaction, on a :
H1 (p) =
R
V2 (p)
=−
V1 (p)
R
26.7 En procédant comme demandé, il vient :
V4 (p) =
2
I2 (p)
Cp
et
I2 (p) =
V(p)C p
V(p)
=
Lp + r + 1/C p 1 + rC p + LC p2
(26.3)
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Corrigé 26
Soit en éliminant I2 (p) dans (26.3) :
V4 (p) =
V(p)
1 + rC p + LC p2
De même, on a :
Zeq (p)
V3 (p) avec
V(p) =
R + Zeq (p)
1
1
r + Lp +
Zeq (p) =
Cp
Cp
Calcul fait, on obtient :
H2 (p) =
1
RLC 2 p3 + (RrC + L)C p2 + (r + 2R)C p + 1
26.8 Les connections V4 = V1 et V3 = V2 doivent permettre la réalisation d’un
oscillateur sinusoïdal et imposent donc la condition dite de Barkhausen, à savoir :
H1 ( jωoscil ) = V2 ( jωoscil )/V1 ( jωoscil ) = V3 ( jωoscil )/V4 ( jωoscil ) = 1/H2 ( jωoscil )
Cette expression conduit donc à H( jωoscil ) = 1.
Ceci peut se récrire sous forme de deux conditions :
|H( jωoscil )| = 1 et
arg (H( jωoscil )) = 0
26.9 La condition arg(H2 ( jωoscil ))=0 impose − jω3oscil RLC 2 + j(r+2R)Cωoscil =0.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Ceci fournit la pulsation d’oscillation de l’oscillateur qui est donnée par
ω2oscil = (r + 2R)/RLC et qui compte tenu de (26.2) s’écrit encore :
k 2 L1 R2
2R + R1 + k2 R2 L1 /L2
2R + R1
=
1+
ωoscil =
L2 (2R + R1 )
RCL1 (1 − k2 )
RCL1 (1 − k2 )
k 2 L1
R2
(26.4)
= ω0 1 +
L2 (2R + R1 )
26.10 L’oscillateur fonctionnant, la transmittance H2 ( jωoscil ) se réduit à :
−1
H2 ( jωoscil ) = 1 − (RrC + L)Cω2oscil
Avec ω2oscil = (r + 2R)/RLC, il vient :
−1
r + 2R
RL
(RrC + L)
=−
H2 ( jωoscil ) = 1 −
RL
RCr(r + 2R) + L(R + r)
(26.5)
Pour une cible parfaitement conductrice, on a r = R1 et L = L1 (1 − k2 ). Dans ce cas
(26.5) devient :
H2 ( jωoscil ) = −
RL1 (1 − k2 )
RCR1 (R1 + 2R) + L1 (1 − k2 )(R + R1 )
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Les capteurs
La condition |H( jωoscil )| = |H1 ( jωoscil )H2 ( jωoscil )| = 1 impose alors :
RCR1 (R1 + 2R) + L1 (1 − k2 )(R + R1 )
R
=
R
RL1 (1 − k2 )
26.11 On a immédiatement :
3R2C + 2L1 (1 − k2 )
R
= 2,1
= 1
R
L1 (1 − k2 )
et
ω0 =
3
= 2.106 rad.s−1
CL1 (1 − k2 )
Ce qui amène une fréquence f0 318 kHz.
26.12 Si ωoscil reste proche de ω0 , (26.4) peut s’écrire :
ωoscil = ω0
k 2 L1
R 2 = ω0
1+
L2 (2R + R1 )
k 2 L1
k 2 L1 α
1+
αρ ω0 1 +
ρ
3R1 L2
6R1 L2
26.13 Le cuivre étant un bon conducteur, on peut estimer que ωoscil ω0 . La profondeurde peau et donc l’épaisseur testée par cette méthode de mesure est de l’ordre
de δ = 2/γω0 μ0 0,1 mm.
26.14 Compte tenu de l’hypothèse faite à la question 26.10, si le conducteur
s’écarte trop du conducteur parfait, le rapport fixé R /R ne permet plus de vérifier la
condition de Barkhausen et l’oscillateur décroche. Il faut donc réserver ce capteur à
la mesure de la résistivité de très bons conducteurs.
On peut inversement utiliser le capteur pour détecter des défauts structurels (cavités,
concentrations d’impuretés, etc.) situés sous la surface qui, en augmentant de façon
importante la résistivité apparente du matériau, font alors décrocher l’oscillateur.
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E XERCICE :
Relation
mesurande-signal
de mesure
– Dérive thermique
27
Corrigé détaillé
En avant-propos : bien que ce ne soit pas l’usage habituellement dans l’écriture de
l’application numérique relative à l’expression analytique d’une grandeur physique,
il est conseillé au débutant de faire figurer explicitement les unités dans l’expression
de l’application numérique. Ceci permet de vérifier que le résultat obtenu est bien
homogène et donc par-là, de repérer un oubli de conversion, une mauvaise compréhension et utilisation des données fournies. . .
Les corrections des exercices suivants seront effectuées dans ce sens.
27.1 Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit :
Vmes (x,T ) = S r (T 0 ) · Valim · (1 + αS (T − T 0 )) · x
= 20 mV/μm/V · 10 V · 1 + 0,1 %◦ C−1 · (25 − 20)◦ C · 10 μm
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
= 2,01 V
(27.1)
27.2 Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit :
Vmes (x,T ) = S r (T 0 ) · Valim · (1 + αS (T − T 0 )) · x
(27.2)
On en déduit immédiatement :
Vmes (x,T )
S r (T 0 ) · Valim · (1 + αS (T − T 0 ))
41 mV
= 8 μm
=
1 mV/μm/V · 5 V · 1 + 0,5 %◦ C−1 · (25 − 20)◦ C
x=
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(27.3)
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Les capteurs
Si on ne tient pas compte de la dérive thermique, le déplacement apparent xapp est
donné par :
Vmes (x,T )
S r (T 0 ) · Valim
41 mV
= 8,2 μm
=
1 mV/μm/V · 5 V
xapp =
(27.4)
L’erreur relative commise est donc
(xapp − x)/x = 2,5 %.
27.3 Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit :
Vmes (p,T 0 ) = S r (T 0 ) · Valim · (p − p0 ) + Vmes (p0 ,T 0 )
= S r (T 0 ) · Valim · (p − p0 ) + V0
= 100 mV/105 Pa/105 Pa/V · 5 V · (1,5 − 1) · 105 Pa + 1 V = 1,25 V
(27.5)
À T = 30 ◦ C, on a :
Vmes (p,T 0 ) = S r (T 0 ) · (1 + αS (T − T 0 )) · Valim · (p − p0 ) + V0
= 100 mV/105 Pa/V · 1 + 1 %◦ C−1 · (30 − 20) ◦ C
· 5 V · (1,5 − 1) · 105 Pa + 1 V
= 1,275 V
(27.6)
27.4 Pour un débit D à la température de référence T 0 , la tension de mesure s’écrit :
Vmes (D,T 0 ) = S (T 0 ) · (D − D0 ) + Vmes (D0 ,T 0 )
= S (T 0 ) · (D − D0 ) + V0
= 200 mV/L.s−1 · (20 − 50) L.s−1 + 1 V = −5 V
(27.7)
Pour ce même débit, à T = 40 ◦ C la tension de mesure s’écrit :
Vmes (D,T ) = S (T ) · (D − D0 ) + Vmes (D0 ,T )
= S (T 0 ) · (1 + αS (T − T 0 )) · (D − D0 ) + V0 1 + αV0 (T − T 0 )
= 200 mV/L.s−1 · 1 − 0,1 %◦ C−1 · (40 − 20) ◦ C · (20 − 50) L.s−1
+ 1 V · 1 − 0,2 %◦ C−1 · (40 − 20) ◦ C
= −4,92 V
(27.8)
27.5 a) On ne dispose que d’une seule valeur de la pression pour différentes va-
leurs de la température en tant que grandeur d’influence. On ne peut donc pas estimer
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Corrigé 27
la sensibilité de ce capteur qui par définition relie ici les variations de la tension de
mesure aux variations de la pression.
b) Par régression au sens des moindres carrés, en considérant qu’à pression constante
la tension de mesure s’écrit Vmes = aT + b, on obtient a = 0,275 mV/◦ C et
b = −2,850 mV.
c) Si on désire que Vmes (p0 ,T 0 ) = 0 où T 0 désigne la température de référence, la
tension de mesure doit s’écrire :
Vmes (p,T ) = S (T ) · (p − p0 ) + CDT Z · (T − T 0 )
(27.9)
En p0 , on a simplement Vmes (p0 ,T ) = CDT Z · (T − T 0 ) que l’on doit identifier à
Vmes (p0 ,T ) = aT + b. On en déduit :
⎧
◦
⎪
⎪
⎨ CDT Z = a = 0,275 mV/ C
(27.10)
⎪
⎪
⎩ T 0 = −b/a = 10,38 ◦ C
27.6 a) L’étendue de mesure du capteur peut être adaptée à celle du courant en éloignant plus ou moins le capteur du conducteur puisque le champ créé est inversement
proportionnel à la distance pour un conducteur rectiligne.
b) Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit :
Vmes (B,T ) = S (T 0 ) · (1 + αS ΔT ) · B + αV0 · ΔT
c) On a :
(27.11)
ΔVmes = S (T 0 ) · B − S (T 0 ) · (1 + αS · ΔT ) · B + αV0 · ΔT
= − S (T 0 ) · αS · B + αV0 · ΔT
= − 1,3 mV/G · 0,2 %◦ C−1 · B − 1 mV/◦ C · ΔT
(27.12)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Cette dernière expression est extrémale pour B = −900 G et T = −20 ◦ C soit
ΔT = −45 ◦ C et vaut ΔVmes = 150,3 mV.
d) En terme de valeur de champ ceci conduit à une erreur ΔB de l’ordre de :
ΔVmes
= 116 G
(27.13)
ΔB S (T 0 )
e) L’erreur relative commise est :
116
ΔB
=
−13 %
(27.14)
B
−900
Ceci constitue une erreur bien trop importante pour une mesure de qualité. Il est donc
nécessaire soit de mesurer la température et de corriger la réponse de la dérive thermique soit d’inclure le capteur de champ dans un montage ad hoc avec un capteur de
température judicieusement dimensionné afin de compenser la dérive thermique.
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30
E XERCICE :
Résistance
thermométrique
en montage
potentiométrique
Corrigé détaillé
30.1 Sans avoir poussé plus loin l’étude, on choisit T 0 au milieu de l’étendue de
mesure pour a priori minimiser les non-linéarités, soit T 0 = +20 ◦ C.
30.2 Avec T = T 0 + ΔT , il vient :
(30.1)
Rc (T ) = Rc (0)(1 + AT + BT 2 )
= Rc (0) 1 + A(T 0 + ΔT ) + B(T 0 + ΔT )2
= Rc (0) 1 + AT 0 + BT 02 + (A + 2BT 0 )ΔT + B(ΔT )2
⎛
⎞
⎜
⎟⎟⎟
B
A
+
2BT
0
⎜
2 ⎜
2
⎟⎟⎠
ΔT
+
(ΔT
)
= Rc (0) 1 + AT 0 + BT 0 ⎜⎜⎝1 +
1 + AT 0 + BT 02
1 + AT 0 + BT 02
= R0 1 + αΔT + β(ΔT )2
L’application numérique donne :
R0 = 111,27 Ω,
α = 5,18.10−3 ◦ C−1
et
β = 6,02.10−6 ◦ C−2
30.3 On a immédiatement :
ΔRc = Rc (T ) − Rc (T 0 ) = R0 αΔT + β(ΔT )2
(30.2)
Le fonctionnement du capteur est non-linéaire.
30.4 Au premier ordre en ΔT , ΔRc s’écrit ΔRc αR0 ΔT . On en déduit la sensibilité
S c du capteur :
ΔRc
αR0 = 0,577 Ω/◦ C
(30.3)
Sc =
ΔT
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Corrigé 30
30.5 La tension de mesure Vmes (T ) est donnée par :
Vmes (T ) =
Rc (T )
R0 + ΔRc
Vg =
Vg
R + Rc (T )
R + R0 + ΔRc
(30.4)
30.6 On en déduit :
ΔVmes = Vmes (T ) − Vmes (T 0 ) =
=
R0 + ΔRc
R0
Vg −
Vg
R + R0 + ΔRc
R + R0
RΔRc
Vg
ΔR
c
(R + R0 )2 1 +
R + R0
(30.5)
Le conditionneur du capteur est non-linéaire.
30.7 Au premier ordre en ΔRc , ΔVmes s’écrit :
ΔVmes (T ) RΔRc
Vg
(R + R0 )2
(30.6)
On en déduit une approximation de la sensibilité S cond du conditionneur.
S cond =
ΔVmes
R
Vg
ΔRc
(R + R0 )2
(30.7)
30.8 En utilisant (30.2) dans (30.6), on obtient :
ΔVmes
RR0 αΔT + β(ΔT )2
=
⎞ Vg
⎛
⎜⎜⎜
R0 1 + αΔT + β(ΔT )2 ⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
(R + R0 )2 ⎜⎜⎜⎝1 +
⎠
R + R0
(30.8)
La mesure est non linéaire.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
30.9 Au premier ordre en ΔT de ΔVmes , on a :
ΔVmes RR0
αVg ΔT
(R + R0 )2
(30.9)
On en déduit l’approximation de la sensibilité S mes de la mesure :
S mes =
RR0
ΔVmes
αVg
ΔT
(R + R0 )2
(30.10)
30.10 Il suffit de chercher la valeur de R annulant la dérivée de (30.10).
dS mes R0 (R + R0 )2 − 2(R + R0 )RR0
=
αVg = 0
dR
(R + R0 )4
(30.11)
On en déduit R = R0 .
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Les capteurs
30.11 (30.7) et (30.10) deviennent alors :
⎧
Vg
⎪
⎪
⎪
S cond = 11,23 mV/Ω
⎪
⎪
⎪
4R0
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
αVg
⎪
⎪
⎩ S mes = 6,48 mV/◦ C
4
(30.12)
30.12 Pour que la valeur de R maximalise la linéarité autour de la température T 0 , il suffit que Vmes (T ) présente alors un point d’inflexion en T 0 soit à avoir
d2 Vmes (T )/dT 2 T = 0. On a :
0
⎧
Rc (T )
⎪
⎪
⎪
Vg
Vmes (T ) =
⎪
⎪
⎪
R + Rc (T )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
R
dRc (T )
⎪
⎪
⎨ dVmes (T ) =
V
2 g dT
⎪
dT
⎪
(R + Rc (T ))
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡
2 ⎤
⎪
⎪
2 R (T )
⎪
⎢⎢⎢
⎥⎥⎥
⎪
R
d
dR
(T
)
d2 Vmes (T )
c
c
⎪
⎪
⎥⎥⎦
=
Vg ⎢⎢⎣(R + Rc (T ))
−2
⎪
⎪
2
3
2
⎩
dT
dT
dT
(R + Rc (T ))
(30.13)
Il vient alors :
2 2
T
α
0
− 1 = 385,30 Ω
− Rc (T 0 ) = R0
β
d2 Rc (T ) dT 2 T 0
R=
dRc (T )
2
dT
(30.14)
30.13 On a alors :
⎧
ΔVmes
R
β Vg
⎪
⎪
⎪
Vg = (α2 − β) 4
= 7,81 mV/Ω
S cond =
⎪
⎪
2
⎪
ΔRc
⎪
(R + R0 )
α R0
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
RR0
ΔVmes
β
⎪
⎪
⎪
αVg = (α2 − β) 3 Vg = 4,51 mV/◦ C
⎩ S mes = ΔT 2
(R + R0 )
α
(30.15)
L’amélioration de la linéarité conduit à une baisse de 30 % de la sensibilité de la
mesure S mes .
La figure 30.1 montre l’effet du choix de l’optimisation de la sensibilité ou de l’optimisation de la linéarité.
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Corrigé 30
ΔVmes (V)
Optimisation de la sensibilité
0, 4
0, 2
0
Optimisation de la linéarité
−0, 2
−0, 4
−20
0
20
T (°C)
Figure 30.1– Variation de la tension de mesure
Dans ce type de montage et selon l’effet recherché, on privilégie via le choix de la
résistance fixe R, d’optimiser soit la sensibilité soit la linéarité.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Le choix d’optimiser la linéarité n’est pas toujours possible car, selon la forme de
la caractéristique du capteur, l’équation (30.14) peut conduire à une valeur négative
de R.
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31
E XERCICE :
Capteur de déplacement
capacitif – Non-linéarité
Corrigé détaillé
31.1 À partir du montage de la figure 31.1, on a :
R4
R3 Z1 − R4 Z2
Z1
Vg cos ωg t
−
Vg cos ωg t =
Vmes (t) =
Z1 + Z2 R3 + R4
(Z1 + Z2 )(R3 + R4 )
L’amplitude Vmes de Vmes (t) est donc :
Vmes =
R3 Z1 − R4 Z2
Vg
(Z1 + Z2 )(R3 + R4 )
(31.1)
31.2 Avec Z1 (m0 ) = Z2 (m0 ) = Z0 pour m = m0 , l’équilibre du pont, i.e.
Vmes (m0 ) = 0, conduit à R3 = R4 . A priori, on choisit pour m0 le milieu de l’étendue de mesure afin de minimiser les non-linéarités.
(31.1) devient alors :
Vmes =
Z1 − Z2 Vg
Z1 + Z2 2
(31.2)
Le conditionnement est non linéaire puisque les impédances des capteurs figurent au
dénominateur de l’expression (31.2).
31.3 Les deux capteurs sont des condensateurs plans, de surface en regard S /2 et
d’entrefer e de permittivité ε. En négligeant les effets de bord leur capacité C0 dans
la configuration de la figure 31.2 dite de repos est C0 = εS /2e. Ces condensateurs
étant alimentés en sinusoïdal à la pulsation ωg , leur impédance dans la configuration
de repos est donnée par :
1
2e
=
(31.3)
Z0 =
jC0 ωg
jεS ωg
31.4 L’armature mobile se déplaçant de Δx vers la droite, la surface en regard des
armatures de C1 devient S 1 = S (L/2 + Δx)/L. Pour C2 , on a S 2 = S (L/2 − Δx)/L. Il
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Corrigé 31
vient donc :
⎧
⎪
ε S L
⎪
⎪
⎪
+ Δx = C0 1 +
C1 =
⎪
⎪
⎪
eL 2
⎨
⎪
⎪
⎪
ε S L
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ C2 = e L 2 − Δx = C0 1 −
2Δx
L
2Δx
L
soit
⎧
Z0
⎪
⎪
⎪
Z1 =
⎪
⎪
⎪
2Δx
⎪
⎪
⎪
1+
⎪
⎨
L
⎪
⎪
Z0
⎪
⎪
⎪
Z2 =
⎪
⎪
2Δx
⎪
⎪
⎪
1−
⎩
L
(31.4)
On est en présence de deux capteurs non-linéaires fonctionnant en push-pull.
31.5 (31.4) reportée dans (31.2) conduit à :
Vmes =
Δx
Z1 − Z2 Vg
= − Vg
Z1 + Z2 2
L
Grâce au fonctionnement push-pull des deux capteurs, la mesure est ici linéaire en
Δx bien que le conditionnement ne soit pas linéaire.
31.6 La sensibilité S mes de la mesure est donnée par :
S mes =
Vg
ΔVmes Vmes
=
=−
= −1 V/mm
Δx
Δx
L
31.7 Le fonctionnement push-pull des capteurs fait que C2 s’écrit :
,
, C2 = C0 1 − k1 (Δx L) + k2 (Δx/L)2 − k3 (Δx L)3
31.8 À partir des expressions de la question 31.4, par identification on a immédiatement k1 = 2.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
31.9 Comme précédemment et en utilisant (31.3), on a maintenant :
⎧
Z0
Z0
⎪
⎪
⎪
,
=
Z1 = ⎪
⎪
⎪
D1
⎪
1 + k1 (Δx L) + k2 (Δx/L)2 + k3 (Δx/L)3
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
Z0
Z0
⎪
⎪
⎪
,
=
Z2 = ⎪
⎪
⎪
2
3
D
⎩
2
1 − k1 (Δx L) + k2 (Δx/L) − k3 (Δx/L)
On en déduit :
⎧
−2Z0 ⎪
⎪
⎪
k1 (Δx/L) + k3 (Δx/L)3
Z1 − Z2 =
⎪
⎪
⎪
D1 D2
⎨
⎪
⎪
⎪
2Z0 ⎪
⎪
⎪
1 + k2 (Δx/L)2
Z1 + Z2 =
⎩
D1 D2
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(31.5)
(31.6)
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Les capteurs
La variation de la tension de mesure devient alors :
ΔVmes
2
k3 Δx
1+
k1 L
k1 (Δx/L) + k3 (Δx/L)3 Vg
Δx Vg
= −k1
=−
(31.7)
2
2
2
L 2
1 + k2 (Δx/L)
Δx
1 + k2
L
⎡
⎤
2
4
⎥⎥
k3
Δx Vg ⎢⎢⎢⎢
Δx
k3
Δx
− k2
− k2
− k2
+ · · ·⎥⎥⎥⎦
−k1
⎢⎣1 +
L 2
k1
L
k1
L
31.10 La non linéarité de la mesure est d’ordre 3 alors que celle des capteurs était
d’ordre 2.
31.11 Compte tenu du modèle utilisé pour les capteurs (polynôme d’ordre 3 en
Δx/L), l’expression de la variation de la tension de mesure donnée par (31.7) devient linéaire en Δx/L si on réalise k3 = k1 k2 soit encore en utilisant le résultat de la
question 31.8, k3 = 2k2 . ΔVmes s’écrit alors :
ΔVmes = −k1
Δx
Δx Vg
= − Vg
L 2
L
31.12 On a :
Δx(t)
Δx
Vg (t) = −
cos ωt · Vg cos ωg t
L
L
Δx = − Vg cos(ωg − ω)t + cos(ωg + ω)t
2L
ΔVmes (t) = −
Le spectre de ΔVmes (t) est donc constitué des pulsations ωg − ω et ωg + ω. L’information est donc véhiculée sous forme d’une modulation d’amplitude sans porteuse.
31.13 D’après (31.7), avec k1 = 2 on a :
ΔVmes
3
Vg cos ωg t
Vg cos ωg t
Δx(t)
(k3 − 2k2 )
Δx(t) −
=−
L
2
L
+
Vg *
Δx 2 cos ωt cos ωg t +2K(cos 3ωt − 3 cos ωt) cos ωg t
2L
Vg *
= − Δx 1 − 3K cos(ωg − ω)t + cos(ωg + ω)t
2L
+
+K cos(ωg − 3ω)t + cos(ωg + 3ω)t
=−
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Corrigé 31
Dans cette dernière expression, on a posé :
2
k3 − 2k2 Δx
K=
8
L
Le spectre de ΔVmes (t) est constitué des pulsations ωg −ω, ωg +ω, ωg −3ω et ωg +3ω.
L’information est toujours véhiculée sous forme d’une modulation d’amplitude sans
porteuse.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
31.14 Le développement limité effectué à la question 31.9 ne donnant que des
puissances impaires de cos ωt qui après linéarisation ne donnent jamais de termes
constants, l’apparition d’un terme en cos ωg t après linéarisation est impossible. L’information reste donc véhiculée sous forme d’une modulation d’amplitude sans porteuse.
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37
E XERCICE :
Capteur de débit à tube
Venturi – Tension
de mode commun
Corrigé détaillé
37.1 Le liquide étant parfait, la vitesse du liquide est identique en tout point d’une
section droite du tube. On appelle respectivement v1 et v2 les vitesses du liquide au
travers des sections droites situées à l’endroit des deux capteurs, on a : QV1 = πr12 · v1
et QV2 = πr22 · v2 . Le fluide étant incompressible, ces deux débits sont égaux et on
les notera QV . On obtient finalement, en notant S 1 = πr12 et S 2 = πr22 les aires des
sections droites à l’endroit des capteurs :
v1 =
QV
S1
et
v2 =
QV
S2
(37.1)
37.2 Le théorème de Bernoulli s’écrit :
1
ρgh + ρv2 + p = constante
2
(37.2)
Dans cette expression g est l’accélération de la pesanteur, h la hauteur du point considéré par rapport à la référence et p la pression statique en ce point.
Appliquée au niveau des capteurs de pression et compte tenu des hypothèses, (37.2)
donne ici :
1
1
(37.3)
ρgh0 + ρv21 + p1 = ρgh0 + ρv22 + p2
2
2
Les capteurs de pression étant situés à la même hauteur, le terme statique ρgh0 est
identique au niveau des deux capteurs et (37.3) peut encore s’écrire en utilisant (0.1) :
ρ S 12 − S 22
ρ 2
2
v − v1 =
Q2
p1 − p2 =
2 2
2 S 12 S 22 V
soit
QV = S 1 S 2
2 p1 − p2
ρ S 12 − S 22
(37.4)
Connaissant la géométrie du Venturi, la mesure de la différence de pression p1 − p2
permet d’évaluer le débit volumique QV .
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Corrigé 37
II. AmpliÞcateur de différence – Tension de mode commun
37.3 Les tensions sur les entrées inverseuse et non-inverseuse sont respectivement
données par :
⎧
R1
R2
R1
⎪
⎪
⎪
(V s − VA ) =
VA +
Vs
e− = VA +
⎪
⎪
⎨
R1 + R2
R1 + R2
R1 + R2
(37.5)
⎪
⎪
R2
⎪
+
⎪
⎪
e
=
V
B
⎩
R1 + R2
L’amplificateur étant parfait, la contre-réaction conduit à e+ = e− , soit :
Vs = −
R2
R2
(VA − VB ) = − Vmes = −1 V
R1
R1
(37.6)
37.4 Le facteur de réjection du mode commun étant fini, la tension de sortie de
l’amplificateur s’écrit :
(e+ − e− )
2
En posant K1 = R1 /(R1 + R2 ) et K2 = R2 /(R1 + R2 ), (37.5) devient :
⎧ −
⎪
⎪
⎨ e = K2 VA + K1 V s
⎪
⎪
⎩ e+ = K2 VB
V s = Ad (e+ − e− ) + Amc
(37.7)
(37.8)
En reportant (37.8) dans (37.7), il vient :
Vs =
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
Avec τ = Ad /Amc et Vmes
−K2 Ad (VA − VB ) + K2 Amc
(VA + VB )
2
(37.9)
Amc
2
= VA − VB , en posant Vmc = (VA + VB )/2, (37.9) devient :
1 + K1 Ad − K1
Vmc
Vmc
−Vmes +
R2
K2 −Vmes + τ
τ
=
Vs =
1
1
1
K1
R1 R1 (1 + Ad ) + R2
1+
−
−
K1 Ad 2τ
R1 Ad
2τ
Compte tenu des valeurs numériques de R1 , R2 , τ et Ad , on a :
R2 Vmc = −0,9 V
Vmes −
Vs −
R1
τ
(37.10)
Comparant (37.6) et (37.10), on constate qu’un facteur de réjection du mode commun fini fausse la valeur de la tension de sortie du montage puisque l’erreur relative
commise est de 10 %. La valeur V s donnée par (37.10), interprétée pour en extraire
p1 − p2 donnera finalement selon (0.4) une valeur fausse de la mesure du débit.
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Les capteurs
III. AmpliÞcateur d’instrumentation
37.5 En appliquant (37.7) à ce nouveau montage électronique, on a :
VA = Ad (e+ − e− ) + Amc
(e+ − e− )
2
(37.11)
D’après le schéma de la figure 37.3, on a :
⎧
V − VB
⎪
RG
R
⎪
⎪
⎨ e− = VB + RG A
=
VA +
VB = KG VA + KVB
R + RG
R + RG
R + RG
⎪
⎪
⎪
⎩ e+ = V
A
(37.12)
Reportant (37.12) dans (37.11), il vient :
Amc
Amc K Ad (VA − VB ) +
(VA + VB ) + KG Ad +
VA
2
2
VA =
1
Amc 2
1 + KG Ad −
2
On obtient de même :
Amc
Amc K −Ad (VA − VB ) +
(VA + VB ) + KG Ad +
VB
2
2
VB =
2
1
Amc
1 + KG Ad −
2
(37.13)
(37.14)
37.6 (37.13) et (37.14) conduisent à l’expression suivante de VA − VB :
Amc 2K + KG 1 +
2KAd + KG Ad +
2
(VA − VB ) =
VA − VB =
Amc 1
1 + KG Ad −
+ KG 1 −
2
Ad
2R
2K + KG
(VA − VB ) = 1 +
(VA − VB )
KG
RG
1
2τ
(VA − VB )
1
2τ
Pour VA + VB , on obtient :
K
1
+ KG 1 +
τ
2τ
(VA + VB ) (VA + VB )
VA + VB =
1
1
+ KG 1 −
Ad
2τ
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Corrigé 37
VA et VB sont les tensions d’entrée du deuxième étage de l’amplificateur d’instrumentation de la figure 37.3, étage étudié à la partie II. Par identification, on a donc :
VA + VB
2R
(VA + VB )
− 1+
(VA − VB ) +
V s − (VA − VB ) −
τ
RG
τ
Vmc
2R
Vmes −
=− 1+
RG
τA
Dans cette dernière expression, on a posé :
2R
τA = τ 1 +
RG
On désire garder le même gain que précédemment, on doit donc avoir :
1+
2R
2R R2
=
= 103 soit RG 3
RG R1
10
Numériquement, on obtient τA = τ (1 + 2R/RG ) = 107 = 140 dB.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
L’amplificateur d’instrumentation permet donc d’augmenter très fortement le taux de
réjection du mode commun par rapport au simple montage amplificateur. Compte
tenu de cette valeur, on a V s −1 V et on retrouve pratiquement la valeur calculée
dans le cas d’un amplificateur supposé parfait (voir (37.6)), l’erreur relative n’étant
plus que de 0,01 %.
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P ROBLÈME :
Capteur résistif
non linéaire
Corrigé détaillé
I. Capteur résistif
5.1 L’écart à la linéarité est le plus grand écart sur l’étendue de mesure entre la
caractéristique réelle et son approximation linéaire, valeur ici obtenue pour m = 0 ou
m=2:
(5.1)
δRc = max Rc − Rc,lin m∈[0;2] = 0,19 Ω
5.2 L’erreur de linéarité est l’écart de linéarité (5.1) normalisé à l’excursion de la
grandeur de sortie du capteur, ici sa résistance, soit :
ε = δRc /(max(Rc ) − min(Rc )) = 0,19/(121,20 − 100) =0,9 %
5.3 Sous l’approximation linéaire, la sensibilité S c du capteur est donnée par :
Sc =
ΔRc
= b = 10,6 Ω/unité de m
Δm
5.4 Il vaut mieux choisir comme point de référence le milieu de l’étendue de me-
sure, soit ici m0 = 1, afin de disposer de la même excursion de chaque côté et
par la suite, diminuer la non-linéarité. D’après les données du tableau 5.1, on a
Rc (m0 ) = Rc0 = 110,30 Ω.
5.5 Il vient aisément :
ΔRc = Rc (m) − Rc0 = Rc (m0 + Δm) − Rc0
= a(m0 + Δm)2 + b(m0 + Δm) + c − (am20 + bm0 + c)
= aΔm2 + (b + 2am0 )Δm = AΔm2 + BΔm
L’application numérique donne A = 0,3 Ω/(unité de m)2 et B = 10,6 Ω/unité de m.
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Corrigé 5
II. Montage potentiométrique – Alimentation en tension
5.6 La tension de mesure est donnée par :
Vmes =
Rc
Rc0 + ΔRc
Vg =
Vg
Rc + R
Rc0 + ΔRc + R
5.7 On a simplement :
ΔVmes = Vmes − Vmes0 =
=
RΔRc
2
(Rc0 + R) 1 +
Rc0 + ΔRc
Rc0
Vg −
Vg
Rc0 + ΔRc + R
Rc0 + R
ΔRc
Rc0 + R
Vg
(5.2)
5.8 On peut chercher la valeur de R qui rend maximale l’évolution de la tension
de mesure (5.2), c’est-à-dire la valeur donnant dΔVmes /dR = 0. Après dérivation, il
vient :
Rc − Rc0
dΔVmes
2
=
V
R
−
R
R
=0
g
c
c0
dR
(Rc0 + R)2 (Rc + R)2
Rc évoluant autour de Rc0 , on choisit donc R = Rc0 (il est simple de vérifier que ce
choix conduit effectivement à un maximum de la variation de la tension de mesure).
La variation de la tension de mesure s’écrit alors :
ΔVmes =
ΔRc
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4Rc0 1 +
ΔRc
2Rc0
Vg =
AΔm2 + BΔm
Vg
AΔm2 + BΔm
4Rc0 1 +
2Rc0
La non-linéarité provient de la combinaison de la non-linéarité du conditionneur potentiométrique et de la non-linéarité du capteur.
5.9 L’approximation linéaire ΔVmes,lin de ΔVmes est simplement donnée par le développement au premier ordre de ΔVmes en Δm, soit :
ΔVmes,lin =
BVg
Δm
4Rc0
5.10 Sous cette approximation, la sensibilité réduite de la mesure est donnée par :
Sr =
B
1 ΔVmes,lin
=
= 24 mV/unité de m/V
Vg Δm
4Rc0
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Les capteurs
5.11 Le calcul de l’erreur s’effectue sans difficulté :
ε1 =
AΔm2 + BΔm
BΔm
Vg
Vg −
2
4Rc0
AΔm + BΔm
4Rc0 1 +
2Rc0
AΔm2 + BΔm
Vg
AΔm2 + BΔm
4Rc0 1 +
2Rc0
A
B
A
Δm2
−
Δm −
B 2Rc0
2Rc0
(5.3)
=
A
1 + Δm
B
Le développement à l’ordre 2 en Δm de (5.3) donne :
B
A
A2
−
Δm − 2 Δm2 = −1,97.10−2 Δm − 8,01.10−4 Δm2
ε1 B 2Rc0
B
Cette expression est maximale pour Δm = 1 et donne ε1 = −2,10 %.
III. Montage potentionmétrique – Alimentation en courant
5.12 Dans le cas d’une alimentation en courant, l’expression de la tension de mesure devient :
Vmes = Rc Ig = (Rc0 + ΔRc )Ig
Toujours avec la même référence que précédemment, ceci conduit à :
ΔVmes = Ig ΔRc = (AΔm2 + BΔm)Ig
Le conditionneur est ici linéaire et la non-linéarité de la mesure ne provient que de la
non-linéarité du capteur.
5.13 L’approximation linéaire est immédiate :
ΔVmes,lin = BΔmIg
5.14 La comparaison de ce résultat au cas d’une alimentation en courant doit être
faite toutes choses égales par ailleurs. Le courant circulant
, dans le capteur doit donc
être identique dans les deux cas, ce qui conduit à Ig Vg 2Rc0 . On a alors :
,
ΔVmes,lin = BΔmIg BΔmVg 2Rc0
La sensibilité apparaît donc comme doublée par rapport à l’alimentation en tension.
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Corrigé 5
5.15 L’erreur de linéarité ε2 est donnée par :
ε2 =
(AΔm2 + BΔm)Ig − BΔmIg
AΔm
= 2
(AΔm + BΔm)Ig
B 1 + AB Δm
Évaluée à l’ordre 2 en Δm, cette expression devient :
A A
ε2 Δm 1 − Δm = 28,30.10−3 Δm 1 − 28,30.10−3 Δm
B
B
Cette erreur est maximale pour Δm = −1 et vaut alors ε2 = −2,91 %.
IV. Montage en quart de pont
5.16 L’expression s’établit simplement :
Vmes
R3
Rc R2 − R1 R3
Rc
Vg
=
−
Vg =
Rc + R1 R3 + R2
(Rc + R1 )(R3 + R2 )
(5.4)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
5.17 Équilibrer le pont pour la valeur m0 du mesurande équivaut à
Rc0 R2 − R1 R3 = 0. Il convient de choisir R1 = Rc0 pour avoir une meilleure
sensibilité dans la branche potentiométrique contenant le capteur (voir question 5.8).
Ceci entraîne R2 = R3 . Enfin, pour avoir la même puissance dissipée par effet Joule
sur chacune des résistances (capteur y compris) de façon à équilibrer les échauffements, on choisit R1 = R2 = R3 = Rc0 = 110,30 Ω. La tension de mesure (5.4) s’écrit
alors :
Rc − Rc0 Vg
Vmes =
Rc + Rc0 2
En m0 , on a donc Vmes0 = 0 si bien que pour une évolution Δm de m à partir de m0 ,
la variation de la tension de mesure n’est plus superposée à Vmes0 ce qui permet une
bien meilleure précision de la mesure.
5.18 Conséquemment la tension de mesure s’écrit :
Vmes = ΔVmes
A BΔm
1
+
Δm
Vg
Vg
ΔRc
B
=
=
2
2
4R
ΔRc
AΔm + BΔm
c0
2Rc0 1 +
1+
2Rc0
2Rc0
5.19 L’approximation linéaire ΔVmes,lin de ΔVmes est donnée par le développement
au premier ordre en Δm, soit :
ΔVmes,lin =
BVg
Δm
4Rc0
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Les capteurs
5.20 La sensibilité réduite S r de la mesure s’en déduit immédiatement :
Sr =
B
1 ΔVmes,lin
=
= 24 mV/unité de m/V
Vg Δm
4Rc0
5.21 L’erreur de linéarité se calcule comme dans le cas du montage potentiomé-
trique alimenté en tension. On obtient :
B
A
A
−
Δm2
Δm −
B 2Rc0
2Rc0
ε3 =
A
1 + Δm
B
Le développement à l’ordre 2 en Δm de (5.5) donne :
B
A
A2
−
Δm − 2 Δm2 = −1,97.10−2 Δm − 8,01.10−4 Δm2
ε3 B 2Rc0
B
Cette expression est maximale pour Δm = 1 et donne ε3 = −2,10 %.
(5.5)
V. Montage en demi-pont push-pull
5.22 Rc = Rc0 + ΔRc , R1 = Rc0 + ΔR1 et R2 = R3 = Rc0 , la variation de la tension
de mesure autour de Vmes0 = 0 s’écrit :
Vg
Rc0
ΔRc − ΔR1
Rc0 + ΔRc
−
Vg =
Vmes =
Rc0 + ΔRc + Rc0 + ΔR1 Rc0 + Rc0
2Rc0 + ΔR1 + ΔR1 2
5.23 Les deux capteurs étant identiques et le fonctionnement push-pull, on a :
ΔRc = Rc (m0 + Δm) − Rc (m0 ) = AΔm2 + BΔm
et
ΔR1 = Rc (m0 − Δm) − Rc (m0 ) = AΔm2 − BΔm
5.24 ΔVmes s’écrit alors :
ΔVmes =
Vg
BΔm
=
2
Rc0 + AΔm 2
BVg
Δm
AΔm2
2Rc0 1 +
Rc0
(5.6)
5.25 Par approximation linéaire de (5.6), on tire :
ΔVmes,lin =
BVg
Δm
2Rc0
5.26 La sensibilité réduite S r de la mesure est donnée par :
Sr =
24
B
1 ΔVmes,lin
=
= 48 mV/unité de m/V
Vg Δm
2Rc0
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Corrigé 5
5.27 L’erreur de linéarité est :
BVg
2Rc0 1 +
AΔm2
Δm −
BVg
Δm
2Rc0
Rc0
BVg
Δm
AΔm2
2Rc0 1 +
Rc0
ε4 =
=−
AΔm2
Rc0
Cette expression est maximale aux extrémités de l’étendue de mesure donc pour
Δm = ±1 et donne ε4 = −0,27 %.
VI. Linearisation amont – Montage en quart de pont actif
5.28 L’amplificateur opérationnel étant supposé idéal, on a :
VA = Vmes + Rc
Vg − Vmes
Rc
Rc0
=
Vg +
Vmes
Rc + Rc0
Rc + Rc0
Rc + Rc0
et VB =
Vg
2
5.29 La contre-réaction impose VA = VB , soit :
Vmes = ΔVmes =
BVg
ΔRc Vg
Rc0 − Rc Vg
A =−
=−
Δm 1 + Δm
Rc0
2
Rc0 2
2Rc0
B
Le conditionneur est parfaitement linéaire et la non-linéarité de la mesure ne provient
que du capteur.
5.30 L’approximation linéaire ΔVmes,lin de ΔVmes est donnée par :
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
ΔVmes,lin = −
BVg
Δm
2Rc0
5.31 La sensibilité réduite vaut ici :
Sr =
B
1 ΔVmes,lin
=−
= −48 mV/unité de m/V
Vg Δm
2Rc0
5.32 L’erreur de linéarité se calcule comme précédemment :
BVg
BVg
AΔm
−
+
Δm 1 +
Δm
2Rc0
B
2Rc0
AΔm
=
ε5 =
BVg
B + AΔm
AΔm
−
Δm 1 +
2Rc0
B
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Les capteurs
À l’ordre 2 en Δm, on obtient :
AΔm
AΔm
1−
ε5 B
B
Cette expression est maximale sur l’étendue de mesure pour Δm = −1 et donne
ε5 = −2,91 %.
VII. Avantages et inconvénients des différents
conditionneurs
Le tableau 5.3 récapitule les différents résultats de l’étude. Ce tableau permet d’établir
un certain nombre de critères de choix du conditionneur le mieux adapté au capteur.
Tableau 5.3– Récapitulatif des signaux de mesure
et des erreurs de linéarité
Montage
Signal de mesure
Potentiomètre
alimenté
Variation autour
de Vmes0 = Vg /2 :
BVg
ΔVmes,lin =
Δm
4Rc0
Variation autour
de Vmes0 = Vg /2* :
BVg
ΔVmes,lin =
Δm*
2Rc0
Mesure différentielle,
Vmes0 = 0 :
BVg
ΔVmes,lin =
Δm
4Rc0
Mesure différentielle,
Vmes0 = 0 :
BVg
ΔVmes,lin =
Δm
2Rc0
Mesure différentielle,
Vmes0 = 0 :
BVg
ΔVmes,lin = −
Δm
2Rc0
en tension
Potentiomètre
alimenté
en courant
Quart de pont
Demi-pont
push-pull
Quart de pont
actif
Erreur
de linéarité
maximale
ε1 = −2,10 %
Origine
Non-linéarités
du conditionneur
et du capteur
ε2 = −2,91 %
Non-linéarité
du capteur
ε3 = −2,10 %
Non-linéarités
du conditionneur
et du capteur
ε4 = −0,27 %
Non-linéarité
du capteur
ε5 = −2,91 %
Non-linéarité
du capteur
∗ Pour une alimentation en courant Ig = Vg /2Rc0 .
Les deux conditionneurs potentiométriques présentent des variations de tension associées aux variations du mesurande qui sont superposées à une valeur de référence
non nulle. Par la suite, la précision avec laquelle on en extrait l’évolution du mesurande est pratiquement imposée par la valeur de référence. Pour une bonne précision,
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Corrigé 5
les montages potentiométriques sont donc à éviter. On peut montrer de plus qu’ils
sont particulièrement sensibles aux dérives de la source d’alimentation et au bruit
électromagnétique.
En ce qui concerne la sensibilité, toutes choses égales par ailleurs, elle est doublée
pour une alimentation en courant par rapport à une alimentation en tension.
Bien que le montage avec l’alimentation en courant constitue un conditionneur linéaire, on peut s’étonner que l’erreur de linéarité obtenue soit plus importante que
celle obtenue avec une alimentation en tension. Il se trouve qu’ici la non-linéarité du
conditionneur potentiométrique alimenté en tension se combine avec la non-linéarité
du capteur pour donner au final une mesure de non-linéarité plus faible.
Le premier avantage des mesures en pont est la suppression de la composante de
référence puisque celle-ci est fixée à zéro par l’équilibrage du pont.
Le montage en quart de pont présente la même sensibilité et la même non-linéarité
que le montage potentiométrique alimenté en tension. Le passage au demi-pont pushpull augmente d’un facteur 2 la sensibilité et réduit très fortement la non-linéarité.
Le conditionneur est linéaire et le mode push-pull réduit d’un ordre la non-linéarité
propre du capteur.
L’utilisation du quart de pont actif est ici peu intéressante. Bien qu’il permette de
n’utiliser qu’un capteur contrairement au demi-pont push-pull, bien qu’il possède la
même sensibilité au signe près que le demi-pont et qu’il constitue un conditionneur linéaire, la non-linéarité du capteur n’est ici pas compensée par celle du conditionneur
et au total la non-linéarité de la mesure est supérieure à celle du demi-pont.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
De plus, ce conditionnement en quart de pont actif isole le capteur de la masse ce
qui peut éventuellement être problématique avec certains capteurs. En revanche, la
tension de mesure se trouve référencée à la masse ce qui est un avantage en cas de
nécessité d’une amplification (pas d’amplification de mode commun).
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Les capteurs
5.1
Ce problème présente deux types de non-linéarité qui sont d’origines différentes
et qu’il ne faut pas confondre.
La première est la non-linéarité résultant de l’écart entre la caractéristique réelle
et la droite de régression par les moindres carrés. C’est le cas ici lorsque l’on calcule l’erreur de linéarité du capteur. Par définition, l’erreur de linéarité est égale
au plus grand écart entre la caractéristique réelle et la droite de régression au
sens des moindres carrés, écart normalisé à l’excursion de la grandeur considérée sur l’étendue de mesure (ici la résistance du capteur). Pour la déterminer, il
est nécessaire que la grandeur soit étalonnée (ici, la résistance présentée par le
capteur).
La deuxième est la non-linéarité provenant du fait que pour extraire l’information
utile, on utilise l’approximation linéaire de la tension de mesure et non la valeur
théorique supposée exacte. Ici, il n’est pas besoin d’étalonner la mesure, il suffit
seulement que le capteur ait été étalonné par le constructeur pour que l’on en
ait un modèle suffisamment fiable et utilisable dans l’expression théorique du
signal de mesure.
0, 03
1
3
2
5
0
4
0, 03
m (USI )
0
1
2
Figure 5.4 – Évolution des erreurs calculées pour les quatre montages
en fonction de l’évolution du mesurande
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P ROBLÈME :
Linéarisation aval
7
Corrigé détaillé
I. Calculs préliminaires
7.1 La tension de mesure est donnée par :
Vmes =
Vg
Rc R2 − R1 R3
(Rc + R1 )(R2 + R3 )
(R + R1 )(R2 + R3 )
(Rc + R1 )(R2 + R3 ) Rc + R1 + R2 + R3
3456 Rg + c
3456
Rc + R1 + R2 + R3
impédance du pont
mesure différentielle
3456
courant délivré par la source
3456
tension aux bornes du pont
Rc R2 − R1 R3
Vg
=
(Rc + R1 )(R2 + R3 ) + Rg (Rc + R1 + R2 + R3 )
(7.7)
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
7.2 Le pont est équilibré pour la valeur m0 du mesurande, soit Rc0 R2 = R1 R3 . On
choisit R1 = Rc0 de façon à obtenir un maximum de sensibilité de la branche potentiométrique contenant le capteur. Il vient alors R2 = R3 . On choisit R2 = R3 = Rc0 de
façon à ce qu’à l’équilibre, la puissance dissipée par effet joule soit la même pour chacune des résistances. On minimise ainsi le déséquilibre du pont lié à l’échauffement
si les caractéristiques thermiques des quatre résistances sont proches.
7.3 Avec ΔRc = Rc − Rc0 , (7.7) devient :
Rc0 ΔRc
Vg
Vmes = Vmes,0 +ΔVmes =
3456
2Rc0 (2Rc0 + ΔRc0 ) + Rg (4Rc0 + ΔRc )
=0
=
ΔRc
4(Rc0 + Rg )
=
k1 ΔRc
Vg
1 + k2 ΔRc
1
Vg
2Rc0 + Rg
ΔRc
1+
4Rc0 (Rc0 + Rg )
(7.8)
Le conditionnement n’est pas linéaire et donc la mesure ne sera pas linéaire.
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Les capteurs
7.4 Sous une approximation linéaire comme pour un fonctionnement en faibles signaux, on a ΔVmes = k1 Vg ΔRc soit une sensibilité du conditionneur donnée par :
S cond =
Vg
ΔVmes
= 16,7 mV/Ω
= k1 Vg =
ΔRc
4(Rc0 + Rg )
7.5 En présence d’une variation de la source (qui passe de Vg à Vg + ΔVg ), que
cette variation corresponde à une dérive réelle ou à un parasite capté par un des fils
alimentant le pont, ΔVmes devient :
ΔVmes =
k1 ΔRc
k1 ΔRc
Vg +
ΔVg
1 + k2 ΔRc
1 + k2 ΔRc
En plus du terme précédent, il existe un terme croisé couplant variation du mesurande
(via la variation de la résistance du capteur) et variation de la force électromotrice de
la source. Ce terme lié à la variation de la source est bien évidemment gênant car il
sera interprété comme lié à une variation de la résistance du capteur donc du mesurande.
II. Linéarisation aval par multiplication et sommation
7.6 On a immédiatement V = V s ΔVmes /V0 et V s = V + ΔVmes , soit :
Vs =
k1 ΔRc Vg
ΔVmes
=
k1 ΔRc Vg
ΔVmes
1−
1 + k2 ΔRc −
V0
V0
(7.9)
7.7 Pour supprimer la non-linéarité du conditionnement liée aux termes en ΔRc du
dénominateur de (7.9), il suffit d’ajuster V0 à valeur donnée par :
V0 =
k1
Rc0
Vg =
Vg = 4 V
k2
2Rc0 + Rg
7.8 L’expression de la tension de sortie est alors :
V s = k1 Vg ΔRc
(7.10)
Cette expression est parfaitement linéaire. La sensibilité du conditionneur est donnée
par S cond = V s /ΔRc = k1 Vg = 16,7 mV/Ω. Cette sensibilité a la même valeur que
pour le fonctionnement en faibles signaux de la question 7.5.
7.9 Si on considère de nouveau une variation de la source qui passe de Vg à
Vg + ΔVg , un terme croisé persiste :
V s = k1 ΔRc Vg + k1 ΔRc ΔVg
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Corrigé 7
III. Linéarisation par diviseur
7.10 L’amplificateur opérationnel étant idéal, la contre-réaction amène e− = e+ = 0
soit :
V = −RI = −R
k1 ΔRc
ΔVmes
= −ΔVmes = −
Vg
R
1 + k2 ΔRc
(7.11)
7.11 Les impédances d’entrée du diviseur pondéré étant considérées comme infi-
nies, on a :
K
KR
V=
V
KR + R
K+1
Vg + KV
R
=
VD = V + (Vg − V)
KR + R
K+1
VN =
(7.12)
7.12 En combinant (7.11) et (7.12), il vient :
VN
KV
KΔVmes
= 10
= 10
VD
KV + Vg
KΔVmes − Vg
Kk1 ΔRc
= 10
Kk1 ΔRc − (1 + k2 ΔRc )
V s = 10
7.13 Pour que le conditionnement soit linéaire, il faut fixer :
K=
k2 2Rc0 + Rg
=
= 2,5
k1
Rc0
7.14 L’expression de la tension de sortie est alors :
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
V s = −10Kk1 ΔRc = −
2Rc0 + Rg
10ΔRc
4Rc0 (2Rc0 + Rg )
(7.13)
Ce qui conduit à la sensibilité :
S cond = −10
2Rc0 + Rg
= −41,7 mV/Ω
4Rc0 (2Rc0 + Rg )
Le conditionnement est maintenant linéaire et la sensibilité est plus importante que
précédemment.
7.15 Si on considère de nouveau une variation de la source qui passe de Vg à
Vg + ΔVg , comme le résultat (7.13) est indépendant de la force électromotrice de
la source, en plus de la linéarisation on obtient une tension de sortie indépendante
des variations de la source.
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Les capteurs
7.1
En toute rigueur, ces techniques de linéarisation peuvent très bien être utilisées
sur des montages de type potentiométrique. Il suffit que le conditionnement
donne une variation de la tension de mesure de la forme de l’équation (7.8).
Il faut être vigilant à ce que la correction des non-linéarités entraînées par le
conditionneur peut parfois être un pis-aller. En effet, il se peut que dans le cas
d’un capteur non linéaire, non-linéarité du capteur et non-linéarité du conditionneur se compensent. La correction de la non-linéarité du conditionneur entraînera
alors une non-linéarité sur la mesure plus importante.
Considérons un capteur dont l’évolution de la résistance en fonction de son mesurande m est donnée par ΔRc = aΔm2 + bΔm.
D’après (7.8), la tension de mesure est donnée
* par Vmes = k1 ΔRc Vg /(1 ++ k2 ΔRc ). En
développant ceci en Δm, on obtient Vmes k1 Vg bΔm + (a − k2 b2 )Δm2 + · · · .
La tension de mesure linéarisée par exemple par la méthode de multiplicationsommation est donnée par (7.10), soit V s = k1 Vg ΔRc = k1 Vg (aΔm2 + bΔm).
Il est clair que dans ce cas si a k2 b2 , la non-linéarité du capteur compense celle
du conditionneur et que vouloir linéariser le signal va augmenter au final la nonlinéarité.
C’est ce qu’illustre la figure 7.4 où, en utilisant les données numériques du problème, sont tracés les écarts de Vmes et de son expression linéarisée V s par rapport
à la meilleure droite V approchant au sens des moindres carrés Vmes . On a pris
b = 1 Ω/unité de m et a = k2 b2 = 4,167.10−3 Ω/(unité de m)2 .
(V)
0, 05
Vs V
Vmes V
0, 01
0
0, 01
m (USI )
10
0
10
Figure 7.4 – Linéarisation par division
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P ROBLÈME :
Interféromètre
de Mach-Zender utilisé
en capteur d’angle
18
Corrigé détaillé
18.1 Le chemin optique étant identique selon les deux trajets, il n’y a pas de déphasage entre les deux ondes arrivant sur la photodiode, Δφ = 0. L’éclairement sur la
photodiode est donc maximum et uniforme.
18.2 Les deux lames étant identiques, elles introduisent des variations identiques
des deux chemins optiques de (n − 1)e. Le déphasage reste donc nul et l’éclairement
maximum.
18.3 Par rapport au cas de la question 1, l’introduction de la lame L1 entraîne une
variation (n − 1)e du chemin optique alors que l’introduction de la lame L2 entraîne
une variation du chemin optique égale à nIJ − IH (voir figure 18.2).
e
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r
J
H
I
1
n
Figure 18.2 – Calcul de la différence de marche ΔL
Comme IJ = e/cos r et IH = IJ cos(θ − r), la différence de chemin optique entre les
deux ondes s’écrit :
ΔL =
e
[n − cos(θ − r)] − (n − 1)e
cos r
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(18.14)
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Les capteurs
18.4 La loi de la réfraction de Descartes (sin θ = n sin r) donne aux petits angles :
θ = nr. Il vient :
r2
θ2
1
1+
1+ 2
cos r
2
2n
2
θ2 n − 1
1
1+
et cos(θ − r) cos θ 1 −
n
2
n
(18.15)
En utilisant (18.15) dans (18.14), on obtient au premier ordre non nul en θ :
ΔL n−1 2
eθ
2n
(18.16)
La figure 18.3 montre que l’erreur relative engendrée par cette approximation reste
inférieure à 1 % tant que l’angle θ reste inférieur à 0,2 rad.
1%
0,1
0
(en rad)
Figure 18.3 – Erreur relative liée à l’approximation de ΔL
18.5 Le déphasage Δφ entre les deux ondes sur la photodiode est alors donné à
partir de (18.16) par :
2π n − 1 2
2π
ΔL eθ
(18.17)
Δφ =
λ
λ 2n
18.6 L’éclairement de la photodiode est le résultat de l’interférence de deux ondes
cohérentes, isochrones, de même polarisation et de même amplitude si on considère les lames séparatrices identiques. Le coefficient de transmission énergétique des
lames étant de 50 %, l’intensité résultante sur la photodiode est de la forme :
I0
πn−1 2
I0 1 + cos(Δφ) 1 + cos
eθ
(18.18)
I(θ) =
2
2
λ n
18.7 Cette intensité est nulle pour :
θ=
34
(2k + 1)
n λ
n−1e
avec
k∈N
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Corrigé 18
Elle est maximale pour :
θ=
2k
n λ
n−1e
avec
k∈N
Numériquement les premières intensités maximales et nulles sont obtenues pour les
valeurs de θ récapitulées dans le tableau 18.1. La figure 18.4 donne l’évolution de
l’intensité reçue par la photodiode en fonction de l’angle θ.
Tableau 18.1 – Intensité sur le récepteur en fonction de l’angle θ
θ (10−2 rad)
θ (◦ )
I(θ)/I0
0
0
1
4,36
2,50
0
6,16
3,53
1
7,55
4,32
0
8,72
4,99
1
9,74
5,58
0
10,67
6,12
1
11,53
6,61
0
12,33
7,06
1
13,07
7,49
0
Pour ces valeurs de θ, l’approximation (18.16) est bien justifiée.
I ( ) I0
1
0,1
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0
(en rad)
Figure 18.4 – Évolution de l’intensité sur la photodiode
18.8 L’angle θmax doit être tel qu’il n’entraîne qu’une différence de marche
ΔL(θmax ) faible devant la longueur de cohérence temporelle lc de la source laser.
D’après (18.16), il vient :
ΔL(θmax ) n−1 2
eθmax = 0,3 μm lc = 10 μm
2n
18.9 Compte tenu de la divergence de la diode laser, le diamètre du faisceau à la
hauteur de la photodiode est donné par ∅ = ∅d + 2l tan d = 74 μm. La puissance recueillie par la diode est maximale quand le transfert énergétique de l’interféromètre
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Les capteurs
est égal à l’unité (par exemple pour θ = 0). La puissance recueillie est donc égale à
la puissance émise par la diode laser pondérée du rapport de la surface active de la
photodiode à la section du faisceau au niveau de cette photodiode, soit :
P p, max =
π∅2p /4
π∅/4
Pd =
∅ 2
p
∅
Pd = 1,97 mW
Avec une sensibilité S p = 0,85 A.W−1 , ceci correspond à un courant maximum donné
par imax = S p P p, max = 1,68 mA.
18.10 Compte tenu de la linéarité entre courant et puissance reçue sur la photo-
diode, on a :
i(θ) =
πn−1 2
imax
1 + cos
eθ
2
λ n
(18.19)
En différentiant l’expression (18.19), on obtient :
πn−1 2
π n − 1 2 dθ
di(θ)
eθ sin
eθ
=−
imax
λ n
λ n
θ
En passant aux accroissements finis autour de θ = θmax /2, tous calculs faits il vient :
√
Δi
π 2 Δθ
Δi(θmax /2)
=
=
imax
imax
4 θmax
On en déduit la résolution angulaire Δθ du système au voisinage de θmax /2 :
Δi 4
n λ
Δi 4
= 7,85.10−4 rad = 2 42
Δθ =
√ θmax =
√
imax π 2
imax π 2 n − 1 e
18.11 On peut améliorer la résolution de ce capteur de plusieurs façons.
Premièrement, en utilisant une diode laser de longueur d’onde plus faible mais dont
on sait que le coût est beaucoup plus élevé et la technique de mise au point plus
délicate pour une même puissance disponible.
On peut penser augmenter l’épaisseur des lames de verre mais tout en restant attentif à ce que la différence de marche reste très inférieure à la longueur de cohérence
temporelle de la diode laser. Cette augmentation de l’épaisseur des lames de verre
augmente l’encombrement du dispositif ce qui peut être gênant dans le cas d’un capteur intégré.
Il peut être plus intéressant de travailler non pas entre θ = 0 et l’angle donnant le
premier minimum nul, mais entre un maximum et le minimum suivant plus éloignés
(voir courbe figure 18.4). Dans ce cas on améliore la résolution, la linéarité s’en
trouve aussi améliorée mais on diminue alors l’étendue de mesure du capteur.
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Corrigé 18
18.1
Comme il est expliqué dans la présentation de ce problème, ce type de montage
peut être réalisé selon une technologie d’optique intégrée. On peut alors éventuellement remplacer les parcours des rayons dans le vide par des guides d’onde.
Les miroirs et les séparatrices peuvent être alors intégrés au guide lui-même.
L’avantage de cette technique et qu’elle s’adresse à tout mesurande (pression,
température, champ électrique ou magnétique, etc.) susceptible de modifier le
chemin optique (voire la polarisation de l’onde) le long d’un des bras de l’interféromètre (voir figure 18.5).
S1
M1
DL
P
S2
Zone d’action
du mesurande
M2
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Figure 18.5 – Principe d’un interféromètre Mach-Zender intégré
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19
P ROBLÈME :
Étude d’une thermistance
en utilisation bolométrique
pour la détermination
à distance de la
température d’un corps
Corrigé détaillé
19.1 En effectuant le rapport des expressions de R(T ) prises pour T 1 et T 2 puis en
prenant le logarithme népérien, on a immédiatement :
B=
R(T 1 )
T1 T2
= 3433,70 K
ln
T 2 − T 1 R(T 2 )
Le coefficient de température de cette thermistance est donné par :
α=
B
1 dR(T )
=− 2 <0
R(T ) dT
T
B étant possitive, α est négatif et la thermistance est donc du type CTN.
19.2 En combinant les expressions de R(T ) et R(T 1 ) tirées de (19.1), on obtient :
1
1
−
R(T ) = R(T 1 ) exp B
T T1
(19.20)
Les valeurs de R(T ) sur l’étendue de mesure 25 ◦ C ≤ t ≤ 30 ◦ C sont reportées dans
le tableau 19.1.
Tableau 19.1– Valeurs de R(T ) sur l’étendue de mesure 25 ◦ C t 30 ◦ C
t en ◦ C
38
R(T) en Ω
25
5000,00
26
4811,17
27
4630,65
28
4458,05
29
4292,95
30
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Corrigé 19
19.3 Le calcul est immédiat et donne :
R(T )
1 (R(T ) + R1 ) 2R1
R(T ) − R1
=
−
Ig =
R1 Ig
R(T ) + R1 2
R(T ) + 3R1
R(T ) + 3R1
Vmes
(19.21)
Soit en inversant (19.21) :
R(T ) =
R1 Ig + 3Vmes
R1
R1 Ig − Vmes
(19.22)
19.4 De façon simpliste on peut penser que la thermistance se trouve à la température t = ta = t1 et comme R(T 1 ) = R1 , on obtient alors Vmes = 0.
19.5 La température de la thermistance n’est donc pas égale à t1 = 25 ◦ C.
D’après (19.21), Vmes étant négatif, on conclut que la thermistance est à une température plus élevée que t1 . Le circuit électrique étant isolé et thermostaté, l’échauffement
de la thermistance ne peut être qu’un auto-échauffement provenant de la puissance
qu’elle dissipe par effet Joule.
(19.22) permet de calculer la résistance présentée par la thermistance, ce qui donne
R(T ) = 4970,04 Ω pour Vmes = −15 mV.
De (19.20), on tire :
R(T )
1
1
+ ln
T =
T 1 B R(T 1 )
−1
= 298,31 K
Ce qui donne t = 25,16 ◦ C, d’où l’auto échauffement Δta = 0,16 ◦ C.
19.6 Le bilan thermique sur une durée dτ donne :
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
P J dτ − Ka (T − T a )dτ = MCdT
(19.23)
En régime permanent, l’expression précédente devient :
P J = Ka (T − T a ) = Ka ΔT a
(19.24)
19.7 Pour ta = 25 ◦ C, on a déterminé R(T ) = 4970,04 Ω à la question 19.5. En
revenant au circuit et en notant IR le courant circulant dans la thermistance, on a :
2
1
2R1 (R(T ) + R1 )
2
Ig
(19.25)
P J = R(T )IR = R(T )
R(T ) + R1 R(T ) + 3R1
2
2R1
Ig = 4,98 mW
= R(T )
R(T ) + 3R1
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Les capteurs
19.8 De (19.24), (19.25) et de la valeur de l’auto-échauffement déterminée à la
question 19.5, on déduit la valeur du coefficient d’échange thermique de Ka :
Ka =
P
= 0,032 W.K−1
Δta
(19.26)
19.9 Pour une température t sur l’étendue de mesure 25 ◦ C ≤ t ≤ 30 ◦ C, on
détermine la résistance R(T ) de la thermistance (équation (19.20)) puis la puissance P J (équation (19.25)) dissipée par effet Joule. En considérant le coefficient
d’échange thermique (équation (19.26)) constant, on déduit l’auto-échauffement
(équation (19.24)). Les résultats numériques sont reportés dans le tableau 19.2.
Tableau 19.2– Évolution de la puissance dissipée par effet Joule
et de l’auto-échauffement
t en ◦ C
R(T) en Ω
PJ (t) en mW
Δt a en ◦ C
25
5000,00
5,00
0,16
26
4811,17
4,90
0,15
27
4630,65
4,81
0,15
28
4458,05
4,71
0,15
29
4292,95
4,61
0,14
30
4135,00
4,52
0,14
On constate que la puissance dissipée et l’auto-échauffement sont pratiquement
constants. Pour la suite ils seront fixés à leurs valeurs moyennes soit P̄ J = 4,76 mW
et Δta = 0,15 ◦ C. Les erreurs introduites sont alors au maximum de 5 %.
19.10 Le bilan thermique sur une durée dτ s’écrit maintenant :
P J dτ + φa dτ − Ka (T − T a )dτ = MCdT
(19.27)
Pendant l’intervalle de temps dτ, φa dτ est l’énergie radiative absorbée, P J dτ l’énergie dissipée par effet Joule et Ka (T − T a )dτ l’énergie cédée à l’enceinte ; ce bilan
thermique provoquant une augmentation dT de la température de la thermistance.
En régime permanent, (19.27) devient :
T − T a = ΔT =
P + φa
Ka
Les calculs précédents ont montré que l’on pouvait considérer que
P J P̄ J = 4,76 mW. Grâce à ceci, il est possible de découpler l’échauffement
dû à l’absorption du rayonnement de l’auto-échauffement par effet Joule et on a
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Corrigé 19
P J /Ka P̄ J /Ka = ΔT a = 0,15 K. L’échauffement total de la thermistance s’écrit
alors :
φa
+ ΔT a
(19.28)
ΔT = T − T a =
Ka
19.11 La paroi, considérée comme un corps noir, émet une puissance de rayonne4 .
ment par unité de surface φcn donnée par la loi de Stefan-Bolzmann : φcn = σ T cn
Une fraction φa de φcn , ne dépendant que de la géométrie, est absorbée par la thermistance et provoque un déséquilibre Vmes = −250 mV du pont. De (19.22), on déduit
immédiatement la résistance présentée par la thermistance, soit R(T ) = 4512,20 Ω et
de (19.20), l’échauffement total Δt = 2,68 ◦ C. Le résultat (19.28) permet d’en déduire
la puissance absorbée à savoir φa = Ka (ΔT − ΔT a ) = 81,12 mW.
19.12 La température de la paroi étant maintenant de tcn , elle émet une puissance
de rayonnement par unité de surface φcn = σ T cn4 dont la fraction φa est absorbée par
la thermistance provoquant la nouvelle déviation du pont Vmes = −100 mV. Les calculs étant similaires à ceux de la question précédente, on trouve : R(T ) = 4801,98 Ω,
Δt = 1,05 ◦ C et φa = 28,86 mW.
19.13 Comme il n’y a pas modification de la géométrie du problème, les puissances
absorbées sont dans le rapport des puissances émises, on a :
φa φcn σT cn4
=
=
4
φa φcn σT cn
On en déduit que T cn = T cn (φa /φa )1/4 = 751,60 K soit tcn = 478,45 ◦ C.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
L’hypothèse faite sur le fait que la paroi peut être considérée comme un corps noir
n’est pas une nécessité. Le résultat serait le même si on postulait simplement que son
émissivité est constante dans l’intervalle des températures considérées.
19.1
Le dispositif qui vient d’être décrit correspond à un pyromètre optique sans
contact à poste fixe. D’autres techniques peuvent être utilisées utilisant non plus
une thermistance mais une photopile ou un détecteur optique classique Si ou Ge
(pour les températures supérieures à 1000 ◦ C) et plus récemment InGaAs pour des
températures inférieures. Cependant, ces matériaux ne peuvent travailler dans la
gamme de rayonnement basses températures (inférieures à 200 ◦ C) sans être euxmêmes refroidis. Pour cette gamme de température, le bolomètre constitue une
solution de remplacement économique.
Le principe du bolomètre a connu récemment un nouvel essor avec l’arrivée des
caméras bolométriques où chaque pixel est en soi un microbolomètre comme
celui précédemment décrit.
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Les capteurs
Il y a quarante ans, les caméras thermiques n’étaient accessibles qu’aux militaires
et nécessitaient un refroidissement de leurs capteurs optiques à −200 ◦ C. Les composants optoélectroniques (InSb, PtSi. . . ) et méthodes de refroidissement (effet
Peltier, cycle Stirling. . . ) se sont améliorés mais les caméras thermiques restaient
d’un coût élevé et parfois d’une utilisation délicate.
L’arrivée des caméras bolométriques est en train de changer cet état de fait. Sont
proposées actuellement sur le marché des caméras de 80 000 pixels pour des
résolutions meilleures que 0,1 ◦ C.
Figure 19.5 – Schéma et images en microscopie à balayage d’un pixel bolométrique
(documentation Ulis∗ )
Ces caméras commencent à être utilisées pour des mesurandes primaires qui
s’accompagnent de production de chaleur donc d’une évolution de la température. Des expériences ont déjà abouti, permettant d’étudier les contraintes
mécaniques subies par des structures. Par effet thermoélastique, le champ de
contrainte dans la structure, lié à une excitation extérieure, s’accompagne d’une
très faible augmentation de la température locale proportionnelle à la somme des
contraintes principales. Comme ces variations de température sont très faibles,
on cycle de façon périodique l’excitation sur la structure et on synchronise la
prise d’images thermiques sur cette excitation. Un traitement des images permet
de n’extraire que les variations locales de température en phase avec l’excitation
∗ D’après Uncooled amorphous silicon technology enhancement for 25 μm pixel pitch achievement
E. Mottin, A. Bain, J.L. Martin, J.L. Ouvrier-Buffet, S. Bisotto, J.J. Yon (LETI/CEA-DOPT/LIR) et J.L.
Tissot (ULIS).
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Corrigé 19
donc avec la contrainte. On mesure dans ce cas directement l’énergie associée
à contrainte et non la déformation comme c’est le cas lorsque l’on utilise des
jauges de contrainte collées.
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Figure 19.6 – Mesure de contrainte (documentation Cedip)
Concentration de contrainte autour de trou de rivet (industrie aéronautique) et
mesure de contrainte sur support de fusée (industrie automobile)
Figure 19.7 – Mesure de contrainte (documentation Cedip)
Mécanique de la rupture, ßexion 3 points sur éprouvette en titane
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P ROBLÈME :
Capteur angulaire
robuste
21
Corrigé détaillé
21.1 À partir de l’étude des figures 21.4 et 21.5, les variations des forces électromotrices s’écrivent aux premiers ordres en θ, x, y et z :
Δeb1 = −kθ θ + kx − k y − kz z
Δeh1 = −kθ θ + kx − k y + kz z
Δeb2 = +kθ θ + kx + k y − kz z
Δeb3 = −kθ θ + k x + ky − kz z
Δeh2 = +kθ θ + kx + k y + kz z
Δeh3 = −kθ θ + k x + ky + kz z
Δeb4 = +kθ θ − k x + ky − kz z
Δeb5 = −kθ θ − kx + k y − kz z
Δeh4 = +kθ θ − k x + ky + kz z
Δeh5 = −kθ θ − kx + k y + kz z
Δeb6 = +kθ θ − kx − k y − kz z
Δeb7 = −kθ θ − k x − ky − kz z
Δeh6 = +kθ θ − kx − k y + kz z
Δeh7 = −kθ θ − k x − ky + kz z
Δeb8 = +kθ θ + k x − ky − kz z
Δeh8 = +kθ θ + k x − ky + kz z
k, k , kθ et kz représentent les dérivées partielles des forces électromotrices induites en
fonction des variables de déplacement. Elles dépendent de la géométrie des bobines,
de la différence des rayons du stator et du rotor, du nombre de spires des bobinages. . .
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
21.2 D’après la forme des variations des forces électromotrices, il est clair qu’il
suffit de réaliser avec les bobines indicées h la même configuration que celle réalisée
avec les bobines indicées b puis de connecter ces deux ensembles en série pour que
la variation ΔVmes de la tension de mesure aux bornes de l’ensemble soit indépendante de la variable z. On peut donc se limiter à l’étude du branchement des bobines
indicées b en éliminant provisoirement la variable z.
Sous forme matricielle on a alors (Δeb1 , · · · ,Δeb8 ) = (θ,x,y) · K où la matrice K est
donnée par :
⎤
⎡
⎢⎢⎢ −kθ +kθ −kθ +kθ −kθ +kθ −kθ +kθ ⎥⎥⎥
⎥
⎢
+k
+k
−k
−k
−k
−k
+k ⎥⎥⎥⎥
(21.29)
K = ⎢⎢⎢⎢ +k
⎦
⎣
−k
+k
+k
+k
+k
−k
−k
−k
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Les capteurs
On doit connecter entre elles les différentes bobines de telle façon que la tension V
aux bornes de cet ensemble subisse une variation ΔV maximale et uniquement fonction de θ. Ceci revient à résoudre :
(a1 , · · · ,a8 )T · (Δeb1 , · · · ,Δeb8 ) = (a1 , · · · ,a8 )T · (θ,x,y) · K
(21.30)
= max (ΔV(θ))|(a1 ,··· ,a8 )
Le symbole T tient ici pour la transposée.
(21.30) conduit à résoudre, quels que soient kθ , k, k , x, y et θ, le système :
⎧
⎪
(−a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + a6 − a7 + a8 ) kθ θ = max (V(θ))|(a1 ,··· ,a8 )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
[(+a1 + a2 − a5 − a6 ) k + (+a3 − a4 − a7 + a8 ) k ] x = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ [(+a3 + a4 − a7 − a8 ) k + (−a1 + a2 + a5 − a6 ) k ] y = 0
Les deuxième et troisième lignes de ce système amènent a1 = a5 , a2 = a6 , a3 = a7 et
a4 = a8 .
Selon la première équation du système, on doit alors avoir −a1 +a2 −a3 +a4 maximum.
Les bobines ne pouvant être connectées en série que dans le même sens ou en opposition, on a nécessairement ai = ±1. Pour avoir une solution maximale, on peut choisir
a1 = −1, a2 = +1, a3 = −1 et a4 = +1. On obtient alors ΔV(θ) = 8kθ θ et en tenant
compte des bobines indicées h et connectées de la même façon, ΔVmes (θ) = 16kθ θ.
Comme à l’équilibre toutes les forces électromotrices sont égales, la tension de mesure est alors nulle et on peut écrire Vmes (θ) = ΔVmes (θ) = 16kθ θ ce qui conduit à une
expression instantanée donnée par vmes (t) = Vmes cos ωg t.
21.3 À la fréquence f du spectre utile de Vmes (t) correspond une composante
Vmes, f cos ωt de Vmes (t) et donc une composante v f (t) = Vmes, f cos ωt cos ωg t. Pour
celle-ci, on obtient en sortie du multiplieur, une composante de signal donnée par :
vmes, f (t)vg (t) RIg Vmes, f cos ωt cos2 ωg t
=
v f (t) =
E
E
RIg Vmes, f cos ωt 1 + cos 2ωg t
=
E
2
cos(2ωg + ω)t cos(2ωg − ω)t
RIg Vmes, f
cos ωt +
+
=
2E
2
2
En généralisant à tout le spectre utile de Vmes (t), le spectre du signal v(t) peut être
schématisé comme à la figure 21.9.
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Corrigé 21
Amplitude
RI gVmes , f
RI gVmes , f
4E
4E
RI gVmes , f
2E
0
2
u
g
u
2
g
2
g
u
Figure 21.9 – Spectre du signal de sortie du multiplieur
21.4 D’après le circuit de la figure 21.7, on a :
⎧
i3
i1
⎪
⎪
⎪
V(p) =
+
⎪
⎪
⎪
Y3 Y1
⎪
⎪
⎨
i5
i3
i3
i4
i2
i3
i3
⎪
⎪
V s (p) = − = − =
−
=
−
−
⎪
⎪
⎪
Y5
Y5 Y3 Y4 Y2 Y3 Y5
⎪
⎪
⎪
⎩ i1 = i2 + i3 + i4
(21.31)
La résolution de (21.31) conduit à :
H(p) =
Y1 Y3
V s (p)
=−
V(p)
Y3 Y4 + Y5 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 )
(21.32)
21.5 Avec Y1 = Y3 = Y4 = 1/R, Y5 = C p et Y2 = kC p (21.32) devient :
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
H(p) = −
1
=
1 + 3RC p + kR2C 2 p2
H(0)
2ξ
p2
1+
p+ 2
ω0
ω0
(21.33)
√
√
Par identification, on a immédiatement ω0 = 1/ kRC et ξ = 3/2 k.
√
21.6 Avec ξ = 1/ 2 on a immédiatement k = 4,5 et le gain G(ω) du filtre s’écrit à
partir de (21.33) :
|H(0)|
|H(0)|
= G(ω) = |H( jω)| = 2
√ ω
ω ω2 ω
1 + j2ξ
1 + j 2
−
−
ω0 ω20 ω0 ω20 G0
G0
= = ⎛
⎞2
4
2⎟
2
⎜⎜⎜
ω
ω
ω
⎟
⎟
⎜⎜⎝1 −
⎟⎟⎠ + 2
1+
ω0
ω20
ω20
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Les capteurs
Ceci correspond bien à un filtre passe-bas du
√ second ordre de pulsation de coupure
à −3 dB obtenue en résolvant G(ωc ) = G0 / 2 soit ωc = ω0 . En dehors de la bande
passante, donc à hautes fréquences, le gain a pour asymptote G(ω) G0 ω20 /ω2 . Si ω
est multiplié par un facteur 10 le gain chute d’un facteur 100, ce qui correspond à une
pente de −40 dB/décade.
21.7 Le filtre étant du second ordre, une perte de −80 dB correspond à 2 décades.
On a donc en première approximation ωc /2ωg 1/100 soit fc = 2 kHz. Avec
√
fc = f0 = 1/2π kRC, il vient C = 37,5 nF.
21.8 Compte tenu de l’action du filtre sur v(t) on a :
v s (t) RIg
Vmes (t)
2E
(21.34)
La détection synchrone effectuée a permis de démoduler le signal issu du capteur du
signal de l’alimentation.
21.9 La régression linéaire à partir des données du tableau 21.1 et
de (21.1) amène une approximation linéaire Vmes,lin de Vmes donnée par
Vmes,lin 2,95.10−3 · θ − 0,02.10−3 où Vmes,lin est exprimé en volt et θ en degré. Ceci permet de calculer les valeurs de Vmes,lin de θ. Ces valeurs sont reportées
dans le tableau 21.2.
Tableau 21.2 – Approximation linéaire de la caractéristique
θ (◦ )
Vmes,lin (mV)
−40
−30
−20
−10
−0
+10
+20
+30
+40
−118,19
−88,64
−59,10
−29,56
−0,02
+29,52
+59,07
+88,61
+118,15
Le plus grand écart Vmes,lin − Vmes est de 12,52 mV pour θ = +40◦ . L’erreur de linéarité est donc de 12,52/((105,63) − (−105,74)) 6 % de l’excursion de Vmes .
Le signal de sortie v s étant proportionnel à Vmes (facteur de proportionnalité
RIg /2E = 2, voir (21.34)), la sensibilité de la mesure est de 5,90 mV/◦ et l’erreur
de linéarité de 6 % de l’étendue de mesure.
La figure 21.10 présente la caractéristique réelle du capteur et la droite des moindres
carrés.
21.10 De façon générale, la relation non linéaire v s (θ) peut s’écrire :
∞
v s = a0 + a1 θ + a2 θ2 + · · · =
an θn
n=0
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Corrigé 21
Réciproquement, il est donc possible d’écrire :
∞
θ = b0 + b1 v s + b2 v2s + · · · =
bn vms
(21.35)
m=0
Linéariser, c’est réaliser un signal v s = Kθ soit :
v s = Kθ = K b0 + b1 v s + b2 v2s + · · · = K
∞
bn vms
m=0
300
(mV)
Droite des moindres carrés
0
Caractéristique réelle
300
(°)
30
0
30
Figure 21.10 – Signal de sortie v s et droite des moindres carrés
21.11 Compte tenu de l’excursion des valeurs de v s , on peut se contenter
pour (21.35) d’une relation approximative de (21.2) donnée par :
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θ = A · v3s + B · v s = 1,504.104 · v3s + 202,823 · v s
(21.36)
2 .
Le signal de sortie des multiplicateurs est en volt vm = v3s /Vre
f
D’après le montage 21.8, l’amplificateur opérationnel étant idéal, on a :
e+ =
R 3 R 5 v s + R 3 R 4 vm
R3 R4 + R3 R5 + R4 R5
et
e− =
R1 v s
R1 + R2
(21.37)
La contre-réaction amène compte tenu de R1 = R3 :
R1 + R2
R1 + R2
R3 R4
R3 R5
vm +
vs
R1 R3 R4 + R3 R5 + R4 R5
R1 R3 R4 + R3 R5 + R4 R5
v3s
(R1 + R2 )R4
(R1 + R2 )R5
=
+
vs
(21.38)
2
R1 R4 + R1 R5 + R4 R5 Vre f R1 R4 + R1 R5 + R4 R5
vs =
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Les capteurs
En identifiant (21.38) et v s = Kθ = K(Av3v + Bv s ), il vient :
(R1 + R2 )R4
2
= KAVre
f = A
R1 R4 + R1 R5 + R4 R5
(R1 + R2 )R5
= KB = B
R1 R4 + R1 R5 + R4 R5
(21.39)
K = 100 mV/◦ , en résolvant (21.39), on obtient :
R4 =
(R1 + R2 ) − R1 (A + B )
= 3,235 kΩ
R1 A
R5 =
(R1 + R2 ) − R1 (A + B )
= 4,350 kΩ
R1 B
Le tableau 21.3 donne les valeurs de v s calculer d’après (21.38) ainsi que son approximation linéaire v s,lin obtenue en utilisant (21.1) (voir figure 21.11).
Tableau 21.3 – Tension de sortie du dispositif de mesure
θ (◦ )
−40
−30
−20
−10
−0
+10
+20
+30
+40
us (V)
−3,928
−3,165
−1,973
−0,910
−0,023
+0,951
+2,031
+3,063
+3,921
us,lin (V)
−4,000
−3,001
−2,002
−1,003
−0,004
+0,995
+1,995
+2,994
+3,993
4
(V)
vs
0
v s ,lin
4
θ( )
40
0
40
Figure 21.11 – Tension de sortie du système de mesure
La sensibilité de la mesure est de 99,91 mV/◦ et le plus grand écart
v s,lin − v s est de −164 mV pour θ = −30◦ . L’erreur de linéarité est donc de
0,164/((3,921) − (−3,928)) 2 % de l’étendue de mesure. On constate que la linéarisation a permis de fortement diminuer la non-linéarité du signal de mesure.
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Corrigé 21
21.1
Le capteur angulaire inductif étudié ici fonctionne sur le même principe qu’un
potentiomètre inductif dont on aurait multiplié le nombre de primaires et de secondaires de façon à le rendre insensible aux grandeurs d’influence que sont
les déplacements parallèlement l’un à l’autre et l’un sur l’autre des axes des
bobinages primaires (rotor) et secondaires (stator). Ces déplacements parasites
existent à cause de l’absence volontaire de liaisons mécaniques entre le rotor et
le stator.
Pour résoudre le problème posé, une autre solution aurait consisté à utiliser un
aimant permanent et une série de sondes à effet Hall à l’image des capteurs
angulaires développés ces dernières années.
(a)
(b)
(c)
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Figure 21.12 – Principe de
capteurs angulaires à sonde
à effet Hall (documentation TWK)
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P ROBLÈME :
Photodiode à effet
latéral unidirectionnelle
Corrigé détaillé
I. La photodiode – Sensibilité
24.1 L’éclairement E étant la densité surfacique de flux lumineux, la puissance re-
çue φ0 est simplement le produit de l’éclairement E par la surface de réception S , soit
φ0 = ES .
24.2 La puissance dφ(z) absorbée par une tranche élémentaire d’épaisseur dz à
l’abscisse z dans la zone de déplétion s’obtient par différentiation de la puissance
à l’abscisse z, soit :
dφ(z) = −β(1 − R)φ0 exp(−αlP ) exp(−βz)dz
(24.40)
24.3 L’énergie d’un photon étant hν, le nombre dn de photons absorbés par
la tranche d’épaisseur dz à l’abscisse z et par unité de temps est donné par
dn = −dφ(z)/hν (comme d’après (24.40) dφ(z) est négatif, il convient de prendre la
valeur opposée de dφ(z)/hν de façon à obtenir un nombre dn positif).
24.4 Puisqu’il y a η photoélectrons créés par photon absorbé, le nombre dn phot de
photoélectrons libérés par unité de temps dans la tranche d’épaisseur dz à l’abscisse
z est dn phot = −ηdφ(z)/hν.
24.5 Le nombre total n phot de photoélectrons créés par unité de temps dans la zone
de déplétion d’épaisseur totale lZD s’obtient en intégrant l’expression précédente. Il
vient :
ηφ0
(1 − R) exp(−αlP ) 1 − exp(−βlZD )
(24.41)
n phot =
hν
24.6 Si on considère que l’épaisseur de la zone de déplétion est importante, c’est-
à-dire lZD 1/β, (24.41) devient :
n phot 52
ηφ0
(1 − R) exp(−αlP )
hν
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Corrigé 24
24.7 Puisque l’on néglige la recombinaison, le photocourant dû aux électrons est
donné par :
eη
λφ0 (1 − R) exp(−αlP )
hc
Le courant dû aux trous étant égal au courant dû aux électrons, le photocourant total
I phot est donc :
2eη
λφ0 (1 − R) exp(−αlP )
I phot =
hc
24.8 Le courant inverse Ir de la diode est la somme du photocourant et du courant
d’obscurité (approximativement Is ), soit :
Ir = I phot + Is =
2eη
λφ0 (1 − R) exp(−αlP ) + AT 3 exp(−Eg /kT )
hc
24.9 Pour T = T max = 330 K avec Eg = 1,12 eV soit Eg = 1,79.10−19 J, on obtient
alors I s = 100 nA.
24.10 La sensibilité de la photodiode est donnée par :
S phot =
ΔIr
2eη
λ(1 − R) exp(−αlP ) = 0,4 A/W
=
Δφ0
hc
(24.42)
Le courant inverse étant proportionnel à la puissance lumineuse, la photodiode constitue un capteur linéaire.
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II. La photodiode – Puissance lumineuse maximale
et effet thermique
24.11 À l’équilibre thermique la puissance dissipée par effet Joule est entièrement
évacuée vers le milieu extérieur. Pour une température maximale T max de fonctionnement, on a donc :
Pmax = K(T max − T ext ) = 7,2 μW
2 . On obtient alors I
24.12 On a dans ce cas Pmax = RImax
max = 12 μA.
24.13 En utilisant (24.42) et la valeur du courant d’obscurité déterminée à la ques-
tion 24.10, il vient :
φmax =
Imax − Is
Imax
= 29,5 μW
S phot
S phot
24.14 On a alors Emax = Emax /S = 9,84 W.m−2 1 mW.cm−2
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Les capteurs
III. Réponse spectrale
24.15 En première approximation et d’après (24.42), la sensibilité de la photodiode
croît linéairement avec la longueur d’onde. À λ = 1000 nm, on a donc :
S phot (1000 nm) =
1000
S phot (670 nm) 0,6 A/W
670
24.16 Lorsque la longueur d’onde augmente, l’énergie des photons diminue et la
longueur d’onde maximale utilisable est celle pour laquelle l’énergie du photon est
égale à la largeur de la bande interdite du semi-conducteur, soit Eg = 1,12 eV. La
longueur d’onde maximale utilisable est donc λmax = hc/Eg = 1108 nm. Au-delà
de cette longueur d’onde, l’énergie des photons est insuffisante pour créer une paire
électron-trou.
24.17 Schématiquement, la réponse spectrale de la photodiode a l’allure suivante.
S phot en A W
0,6
0,4
400
800
1200
en nm
Figure 24.9 – Allure de la réponse spectrale de la photodiode
IV. Principe de fonctionnement du détecteur de position
(PSD)
24.18 Les résistances R1 et R2 étant en parallèle, R1 I1 = R2 I2 . En considérant que
les différents matériaux sont parfaitement homogènes, le rapport des résistances est
égal au rapport des longueurs de ces résistances. On a donc I1 l1 = I2 l2 .
24.19 Le faisceau étant centré, on a R1 = R2 = 100 kΩ. La constante de temps de
la photodiode est donnée par τ = (R1 //R2 )C j = 62,5 ns et sa fréquence de coupure
par fc = 1/2πτ = 2,55 MHz.
24.20 On a Imax /I s = (I phot + I s )/I s 120, on peut donc négliger le courant d’obs-
curité et écrire I1 + I2 I phot . En utilisant le résultat de la question 24.18 et en posant
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Corrigé 24
l1 = l/2 − x et l2 = l/2 + x, il vient :
⎧
⎪
l2
⎪
⎪
⎪
I phot = 1 +
I1 =
⎪
⎪
⎪
l1 + l2
⎨
⎪
⎪
⎪
l1
⎪
⎪
⎪
=
I
=
1−
I
⎪
⎩ 2 l + l phot
1
2
2x I phot
l
2
2x I phot
l
2
La tension de mesure Vmes = a(I1 − I2 )/(I1 + I2 ) s’écrit alors :
Vmes = 2a
x
l
24.21 La sensibilité S c du capteur réalisé s’en déduit immédiatement, on trouve
S c = 2a/l.
Sous les hypothèses faites, on a réalisé un capteur linéaire de l’écart x de la position
du faisceau lumineux par rapport au centre de la photodiode.
V. Électronique de conditionnement
24.22 Les amplificateurs opérationnels étant idéaux, position et puissance lumi-
neuse étant constantes, on a simplement V1 = −Rc I1 et V2 = −Rc I2 . L’étage d’entrée
du conditionneur réalise donc une conversion courant-tension.
24.23 Les amplificateurs étant idéaux et munis d’une contre-réaction, on a e+ = e− .
Comme l’entrée non-inverseuse est à la masse, il vient e− = 0. L’impédance d’entrée
de l’étage est donc nulle. La conversion courant-tension réalisée par le premier étage
du conditionneur ne perturbe donc pas l’étage en amont, c’est-à-dire ici le capteur.
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24.24 Pour le calcul de VN , on peut écrire :
e+ =
V2
2
et
e− =
V N − V1
2
L’amplificateur étant idéal et muni d’une contre-réaction (e+ = e− ), on en déduit :
V N = V2 − V1 =
I1 − I2
Rc
De même pour VD , il vient :
VD = −R s
I1 + I2
V2 V1
+
= − (V1 + V2 ) =
Rs Rs
Rc
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24.25 On en déduit l’expression de la tension de sortie de l’étage de conditionne-
ment :
VN
I1 − I2
x
=V
= 2V
VD
I1 + I2
l
Compte tenu des approximations faites, ce résultat est indépendant de I phot et permet donc d’affranchir la mesure d’éventuels effets de la variation de la puissance du
faisceau.
Vmes = V
24.26 On en déduit la sensibilité de la PSD réalisée :
Sc =
2V
= 6,667 V/mm = 6,667 mV/μm
l
VI. Principe de fonctionnement du détecteur de position
à triangulation
24.27 En utilisant que les triangles O
ΩB et O
ΩA sont respectivement sem-
et OΩA
(voir figure 24.7), il vient :
blables aux triangles OΩB
X
x
=−
d
D
(24.43)
24.28 On en déduit l’expression de la sensibilité de la mesure :
S mes =
Vmes Vmes x
d
=
= −S c
X
x X
D
24.29 Compte tenu de ce qui précède, il vient :
d δVmes = 0,15
= D
S c δX 24.30 On obtient alors :
S mes = −S c
d
= −1 mV/μm
D
24.31 L’étendue de mesure du capteur à triangulation est reliée à celle de la PSD
par la relation (24.43), on obtient donc :
D
(24.44)
E.M.(X) = E.M.(x) = [−1 cm, + 1 cm]
d
VII. Optimisation de la géométrie du capteur à triangulation
24.32 Compte tenu du résultat (24.43), il est clair que l’on peut augmenter la résolution de ce capteur en diminuant le rapport D/d. Cette diminution ne peut évidemment s’effectuer qu’en respectant les contraintes mécaniques d’encombrement
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Corrigé 24
de la diode laser et de son condenseur, et, de la PSD et de sa lentille de focalisation.
D’après le résultat (24.44), cette augmentation de la résolution et de la sensibilité du
capteur s’accompagne d’une diminution dans le rapport inverse de son étendue de
mesure.
De plus, si on suppose que la cible peut être assimilée à un réflecteur lambertien,
l’intensité lumineuse réfléchie est maximale dans la direction de la normale à la surface et varie selon I = I0 cos θ où θ est l’angle entre la normale à la surface et la
direction d’observation. En augmentant la résolution par diminution du rapport D/d,
on augmente le flux lumineux reçu par la PSD, facilitant ainsi la détection. En effet,
plus le flux lumineux est important (évidemment sans aller jusqu’à engendrer des
non-linéarités), plus le photocourant est prédominant devant le courant d’obscurité et
plus les approximations faites sont justifiées.
24.33 Graphiquement, l’effet de l’inclinaison est évident. La sensibilité de la mesure est divisée par cos ϕ. On a donc intérêt à choisir ϕ suffisamment grand.
24.34 Les inclinaisons des directions O X et Ox doivent être telles qu’elles respectent les lois de formation des images par la lentille de focalisation. En effet, bien
que ceci n’ait pas été étudié en début de problème, il est intuitif de penser que la précision sur la localisation du point d’impact du faisceau sur la PSD sera d’autant plus
grande que la section de ce dernier sera faible. En cas de défocalisation la précision
de la mesure sera donc dégradée.
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La compréhension du problème nécessite de revenir à la construction géométrique de
la formation des images du point cible sur la PSD.
On forme classiquement les points A, O et B images respectives des points objets
A , O et B du plan objet incliné d’un angle α par rapport au plan de la lentille et
dont la trace est l’axe O X (voir figure 24.10). Ces points permettent de former l’axe
Ox, trace du plan image. La construction montre que la trace du plan image, la trace
du plan de la lentille et la trace du plan objet se croisent au même point S (règle de
Scheimpflug) et que la parallèle à la trace du plan objet passant par le centre optique
de la lentille, la trace du plan focal image et la trace du plan image se croisent au
même point H (règle de Hinge).
Cette construction géométrique permet de déterminer la relation entre la position X
(point de réflexion du faisceau laser sur la surface cible) et la position x, point de
focalisation sur la PSD de la lumière se réfléchissant sur la cible et collectée par la
lentille de focalisation.
On pose do = O Ω, di = ΩO et f la focale de la lentille.
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Les capteurs
Plan de la lentille
Plan image
A
B
x
Fo
O
Fi O
B
X
A
H
Plan objet
S
Figure 24.10 – Règles de Scheimpßug et de Hinge
On applique la formule de conjugaison des lentilles minces entre les points conjugués
O et O. Il vient :
1
1
1
(24.45)
+
=
di do
f
De même, on applique la formule de conjugaison aux projetés de X et x sur l’axe
optique, repérés par les mesures algébriques po = −do − X sin α et pi = di + x sin β
par rapport à Ω, on obtient :
1
1
1
(24.46)
−
=
pi po
f
En résolvant (24.45) et (24.46) en x, il vient :
x=
f 2 X sin α
1
sin β ( f − (do + X sin α)) (do − f )
(24.47)
Selon la règle de Scheimpflug, on doit avoir di tan β = do tan α. Ceci permet de déduire l’expression de sin β :
sin β = (do − f ) tan α
f 2 + (do − f )2 tan2 α
L’expression (24.47) de x en devient :
2
f 2 cos2 α + (do − f )2 sin2 α
f
X
x=−
(do − f + X sin α)
(do − f )2
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24.35 Pour α = 35◦ , on obtient β = 75,30◦ . De (24.48), on déduit la nouvelle
expression de la sensibilité :
S mes
f2
Vmes Vmes x
=
= −S c
=
X
x X
(do − f )2
f 2 cos2 α + (do − f )2 sin2 α
(do − f + X sin α)
La mesure est de façon évidente non-linéaire.
Cette non-linéarité entraîne une dissymétrie de l’étendue de mesure du capteur par
rapport à la valeur de référence (X = 0 et Vmes = 0), soit :
E.M. = [−8,59 mm ; 10,75 mm]
pour
x ∈ [−1,5 mm ; + 1,5 mm]
La courbe de la figure 24.11 donne l’évolution de la tension de mesure en fonction de
l’excursion X de la surface cible pour les valeurs caractéristiques données du système.
10
Vmes (V)
0
X (cm)
0,6
0
1
Figure 24.11 – Évolution de la tension de mesure
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24.36 On pratique sur les données précédentes une régression linéaire au sens des
moindres carrés. Sur l’étendue de mesure, l’approximation linéaire de Vmes est, pour
Vmes en volt et X en centimètre, Vmes,lin = −10,358X + 0,004.
L’écart à la linéarité, plus grand écart entre la caractéristique réelle et son approximation linéaire au sens des moindres carrés, est donné pour X = 1,075 cm et vaut
ε = 759,93 mV.
L’erreur de linéarité donnée par ε/(max(Vmes ) − min(Vmes )) s’en déduit aisément, elle
a pour valeur 3,80 %.
Cette erreur de linéarité n’est pas négligeable et il est intéressant dans ce cas de numériser Vmes et de construire une table de conversion dont la sortie est le déplacement
X corrigé des effets de non-linéarité.
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Les capteurs
24.1
Le faisceau réfléchi par la cible a une certaine extension latérale. En raison des
défocalisations possibles au point de focalisation sur la PSD, l’intensité lumineuse du faisceau est moyennée sur l’extension latérale de l’image par la PSD.
Ceci entraîne des non-linéarités particulièrement sensibles lorsque l’on se trouve
en limite de l’étendue de mesure. Une des résistances R1 ou R2 du problème est
faible, ce qui entraîne que les approximations faites dans le problème traité ici
ne sont plus valables comme par exemple le fait de négliger les impédances de
contact semiconducteur-électrode collectrice. De plus, à la limite une partie du
faisceau illuminant une électrode ne contribue plus au photocourant. Ces effets
sont d’autant plus importants que l’extension latérale du faisceau est importante. C’est pourquoi on obtient une bien meilleure résolution avec les capteurs
utilisant la réflexion spéculaire où par définition, le faisceau réfléchi a la même
extension que le faisceau incident.
Pour corriger en partie cet effet, certains capteurs à triangulation utilisent maintenant comme photodétecteur une CCD à la place de la PSD. Si on s’intéresse à
la résolution, une PSD a communément une résolution de quelques micromètres.
Une CCD a des pixels de surface de l’ordre de 7 μm × 7 μm, et donc une résolution de 7 μm si on néglige l’espace isolant entre deux pixels. Le faisceau réfléchi
ayant une extension latérale, il est focalisé sur une surface supérieure à la taille
des pixels. Plusieurs pixels sont donc illuminés par le faisceau réfléchi. Par traitement mathématique de l’intensité lumineuse mesurée par chaque pixel, notamment en calculant simplement le centroïde de cette répartition, on peut atteindre
une résolution de quelques dixièmes de micromètres.
Cette amélioration de la résolution du capteur s’accompagne malheureusement
d’une baisse de la rapidité du capteur. Si on peut atteindre une fréquence de
coupure de l’ordre du mégahertz avec une PSD, l’utilisation d’une CCD ne permet qu’une fréquence d’échantillonnage de quelques kilohertz.
Pour conclure, citons que des PSD bidirectionnelles existent et qu’elles peuvent
donc être utilisées pour la détermination des coordonnées en x et y du point
d’impact d’un faisceau lumineux.
Faisceau incident
I x2
I y2
Figure 24.12 –
Principe d’une PSD
à deux dimensions
(type duo-lateral)
I x1
y
60
I y1 I y 2
I y1
x
I x1 I x 2
I x1 I x 2
I y1 I y 2
©DUNOD, Paris, 2013
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