TD n°1 - Troisième - La trigonométrie TD n°1 - Troisième La trigonométrie Ce Td propose des rédactions types et des exercices très simples d’application directe du cours. Le formulaire Théorème 1 Si le triangle ABC est rectangle en C , l’hypoténuse est [AB] et alors on a : b= cos A sin Ab = b= tan A b AC Côté adjacent à A = AB Hypoténuse Côté b CB Côté opposé à A = AB Hypoténuse adjacent à Ab CB Côté opposé à Ab = AC Côté adjacent à Ab A b Hypoténuse C b Mémo b B Côté opposé à Ab COS-ADJ-HYP / SIN-OPP-HYP / TANGE-OPP-ADJ Calculer des distances dans un triangle rectangle avec un angle et 1 côté Si l’on connaît un angle et un côté d’un triangle rectangle, il est alors possible de déterminer les autres côtés très rapidement. La rédaction de ce genre d’exercice est minimale et la méthode sera donc privilégiée. Méthode 1 Soit E F G un triangle rectangle en G tel que E F = 5 cm et E F G = 40°. Calculer une valeur approchée au dixième de EG. 1. Étape 1 : on fait un schéma (à main levée) en indiquant les données de l’énoncé et la longueur cherchée (par un symbole ?). 2. Étape 2 : on cherche la formule de trigonométrie correspondante. Ici on cherche le côté opposé à l’angle connu E F G et on a l’hypoténuse E F = 5 cm. La formule liant hypoténuse et côté opposé est le sinus. F b 40° 3. Étape 3 : rédaction sur la copie. Le triangle EFG est rectangle en G donc : sin E FG = sin 40° EG GE ⇐⇒ = EF 1 5 Puis par produit en croix et en arrondissant au dixième EG = www.math93.com / M. Duffaud 5 cm G b b E ? 5 × sin 40° ≈ 3, 2 cm 1 1/4 TD n°1 - Troisième - La trigonométrie Exemple 1 Soit E F G un triangle rectangle en G tel que E F = 5 cm et E F G = 40°. Calculer une valeur approchée au dixième de F G. • • Analyse de la question (au brouillon) : Ici on cherche le côté adjacent à l’angle connu E F G et on a l’hypoténuse E F = 5 cm. La formule liant hypoténuse et côté adjacent est le cosinus. F b Rédaction sur la copie. Le triangle EFG est rectangle en G donc : cos E FG = 40° ? cos 40° F G FG = ⇐⇒ EF 1 5 Puis par produit en croix et en arrondissant au dixième FG = 5 cm b E b G 5 × cos 40° ≈ 3, 8 cm 1 Exemple 2 Soit E F G un triangle rectangle en G tel que EG = 4 cm et E F G = 40°. Calculer une valeur approchée au dixième de F G. • • Analyse de la question (au brouillon) : Ici on cherche le côté adjacent à l’angle connu E F G et on a le côté opposé EG = 4 cm. La formule liant côté opposé et côté adjacent est la tangente. F b Rédaction sur la copie. Le triangle EFG est rectangle en G donc : tan E FG = 40° ? tan 40° 4 EG ⇐⇒ = FG 1 FG Puis par produit en croix et en arrondissant au dixième FG = Exercice 1. b b E 4 cm 4 × 1° ≈ 4, 8 cm tan 40° Calculer des distances = 50°. Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 10 cm et ABC Calculer une valeur approchée au dixième de BC et de AC . Exercice 2. G Réponses BC ≈ 6, 4 cm et AC ≈ 11, 9 cm Avec le cercle circonscrit Théorème 2 (Rappel très souvent utile) D b Si un point M appartient au cercle de diamètre [AB], en étant distinct des points A et B, Alors le triangle AB M est rectangle en M. 5.1 cm A b b 31˚ b B = 31° et Soit C un cercle de diamètre [AB] et D un point du cercle C tel que ABD BD = 5, 1 cm. 1. Montrer que le triangle ABD est rectangle. 2. Calculer une valeur approchée au dixième du diamètre AB du cercle C . Réponses AB ≈ 5, 9 cm. www.math93.com / M. Duffaud 2/4 TD n°1 - Troisième - La trigonométrie Calculer une mesure d’angle dans un triangle rectangle connaissant 2 côtés Si l’on connaît deux côtés d’un triangle rectangle, il est alors possible de déterminer la mesure des angles (autres que le droit évidemment). Méthode 2 Soit E F G un triangle rectangle en G tel que E F = 10 cm et EG = 8 cm. Calculer une valeur approchée à l’unité de la mesure de l’angle E F G. 1. Étape 1 : on fait un schéma (à main levée) en indiquant les données de l’énoncé et l’angle cherché (par un symbole ?). 2. Étape 2 : on cherche la formule de trigonométrie correspondante. Ici on cherche l’angle E F G et on connait l’hypoténuse E F = 10 cm et le côté opposé à l’angle cherché EG = 8 cm. La formule liant hypoténuse et côté opposé est le sinus. F b ?° 3. Étape 3 : rédaction sur la copie. Le triangle EFG est rectangle en G donc : sin E FG = 8 GE ⇐⇒ sin E F G = EF 10 b E b G La calculatrice donne alors arrondi au degré : µ ¶ 8 ≈ 53° E F G = arcsin 10 Sur la calculatrice 10 cm 8 cm Seconde puis Sin puis (8/10) puis enter 4. Pour l’autre angle Pour calculer l’autre angle on peut alors utiliser le fait que dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires. Attention, il est préférable d’utiliser la valeur exacte exprimée en arcsin : Eb = 90° − Fb = 90° − arcsin µ ¶ 8 ≈ 37° 10 Exemple 3 Soit E F G un triangle rectangle en G tel que EG = 4 cm et F G = 3 cm. Calculer une valeur approchée à l’unité de l’angle E F G. • • Analyse de la question (au brouillon) : Ici on cherche l’angle E F G et on connait son côté opposé EG = 4 cm et son adjacent F G = 3 cm. La formule liant côté opposé et côté adjacent est la tangente. F b Rédaction sur la copie. Le triangle EFG est rectangle en G donc : tan E FG = EG 4 ⇐⇒ tan E FG = FG 3 La calculatrice donne alors arrondi au degré : µ ¶ 4 E F G = arctan ≈ 53° 3 Sur la calculatrice ?° 3 cm G b b E 4 cm Seconde puis Tan puis (4/3) puis enter www.math93.com / M. Duffaud 3/4 TD n°1 - Troisième - La trigonométrie Exemple 4 Soit E F G un triangle rectangle en G tel que E F = 2,5 cm et F G = 1.5 cm. Calculer une valeur approchée à l’unité de l’angle E F G. • • Analyse de la question (au brouillon) : Ici on cherche l’angle E F G et on connait l’hypoténuse E F = 2, 5 cm et son adjacent F G = 1.5 cm. La formule liant hypoténuse et côté adjacent est le cosinus. F b Rédaction sur la copie. Le triangle EFG est rectangle en G donc : cos E FG = ?° 2.5 cm 1.5 cm 1.5 FG ⇐⇒ cos E FG = EF 2.5 La calculatrice donne alors arrondi au degré : ¶ µ 1.5 ≈ 53° E F G = arccos 2.5 Sur la calculatrice G b b E Seconde puis Cos puis (1.5/2.5) puis enter Exercice 3. Calcul d’angles Soit DST un triangle rectangle en T tel que : ( DS = 6 cm DT = 5 cm . . 1. Calculer une valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle SDT . 2. En déduire une une valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle DST Réponses ≈ 34° et DST ≈ 56° SDT Exercice 4. Avec le cercle circonscrit Théorème 3 (Rappel très souvent utile) Si un triangle est isocèle, Alors les angles à la base sont de même mesure. D b 3 cm Soit C un cercle de centre O, de diamètre [AB] ( AB = 6 cm et D un point du cercle C tel que : AD = 3 cm 1. Montrer que le triangle ABD est rectangle. A . b O 6 cm b ?˚ b B . 2. Calculer une valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle ABD 3. En déduire une une valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle B AD. 4. Montrer que le triangle ADO est isocèle en O. 5. En déduire une une valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle AOD. Vérifier que cette mesure est égale à deux fois celle de ABD. Réponses = 30° ; B = 60°. ABD AD = 60° et AOD www.math93.com / M. Duffaud 4/4
