TD n°1 - Troisième - La trigonométrie
TD n°1 - Troisième
La trigonométrie
Ce Td propose des rédactions types et des exercices très simples d’application directe du cours.
Le formulaire
Si le triangle ABC est rectangle en C, l’hy-
poténuse est [AB] et alors on a :
cos b
A=AC
AB
=Côté adjacent à b
A
Hypoténuse
sin b
A=CB
AB
=Côté opposé à b
A
Hypoténuse
tan b
A=CB
AC
=Côté opposé à b
A
Côté adjacent à b
A
Côté opposé à b
A
Côté
adjacent à b
A
Hypoténuse
A
B
C
Théorème 1
Mémo
COS-ADJ-HYP / SIN-OPP-HYP / TANGE-OPP-ADJ
Calculer des distances dans un triangle rectangle avec
un angle et 1 côté
Si l’on connaît un angle et un côté d’un triangle rectangle, il est alors possible de déterminer les autres côtés très
rapidement. La rédaction de ce genre d’exercice est minimale et la méthode sera donc privilégiée.
Soit E F G un triangle rectangle en G tel que E F =5 cm et
E F G =40°. Calculer une valeur approchée au
dixième de EG.
1. Étape 1 : on fait un schéma (à main levée) en indiquant les données
de l’énoncé et la longueur cherchée (par un symbole ?).
2. Étape 2 : on cherche la formule de trigonométrie correspondante.
Ici on cherche le côté opposé à l’angle connu
EFG et on a l’hypoténuse
EF =5 cm. La formule liant hypoténuse et côté opposé est le sinus.
3. Étape 3 : rédaction sur la copie.
Le triangle EFG est rectangle en G donc :
sin
EFG =GE
EF
⇐⇒ sin40°
1
=EG
5
Puis par produit en croix et en arrondissant au dixième
EG =5×sin 40°
1
≈3,2 cm
?
5 cm
F
E
G
40°
Méthode 1
www.math93.com / M. Duffaud 1/4
TD n°1 - Troisième - La trigonométrie
Soit E F G un triangle rectangle en G tel que E F =5 cm et
E F G =40°. Calculer une valeur approchée au
dixième de F G.
•Analyse de la question (au brouillon) :
Ici on cherche le côté adjacent à l’angle connu
EFG et on a l’hypoté-
nuse EF =5cm. La formule liant hypoténuse et côté adjacent est le
cosinus.
•Rédaction sur la copie.
Le triangle EFG est rectangle en G donc :
cos
EFG =FG
EF
⇐⇒ cos40°
1
=FG
5
Puis par produit en croix et en arrondissant au dixième
FG =5×cos40°
1
≈3,8 cm
?
5 cm
F
E
G
40°
Exemple 1
Soit E F G un triangle rectangle en G tel que E G =4 cm et
E F G =40°. Calculer une valeur approchée au
dixième de F G.
•Analyse de la question (au brouillon) :
Ici on cherche le côté adjacent à l’angle connu
EFG et on a le côté
opposé EG =4cm. La formule liant côté opposé et côté adjacent est
la tangente.
•Rédaction sur la copie.
Le triangle EFG est rectangle en G donc :
tan
EFG =EG
FG
⇐⇒ tan40°
1
=4
FG
Puis par produit en croix et en arrondissant au dixième
FG =4×1°
tan40°
≈4,8 cm
4 cm
?
F
E
G
40°
Exemple 2
Exercice 1. Calculer des distances
Soit ABC un triangle rectangle en Atel que AB =10 cm et
ABC =50°.
Calculer une valeur approchée au dixième de BC et de AC.
Réponses
BC ≈6,4 cm et AC ≈11,9 cm
Exercice 2. Avec le cercle circonscrit
Si un point M appartient au cercle de diamètre [AB], en étant distinct des
points Aet B,
Alors le triangle ABM est rectangle en M.
Théorème 2 (Rappel très souvent utile)
Soit Cun cercle de diamètre [AB] et Dun point du cercle Ctel que
ABD =31° et
BD =5,1 cm.
1. Montrer que le triangle ABD est rectangle.
2. Calculer une valeur approchée au dixième du diamètre AB du cercle C.
A
B
D
5.1 cm
31˚
Réponses
AB ≈5,9 cm.
www.math93.com / M. Duffaud 2/4
TD n°1 - Troisième - La trigonométrie
Calculer une mesure d’angle dans un triangle
rectangle connaissant 2 côtés
Si l’on connaît deux côtés d’un triangle rectangle, il est alors possible de déterminer la mesure des angles (autres que
le droit évidemment).
Soit E F G un triangle rectangle en G tel que E F =10 cm et EG =8 cm. Calculer une valeur approchée à
l’unité de la mesure de l’angle
E F G .
1. Étape 1 : on fait un schéma (à main levée) en indiquant les données
de l’énoncé et l’angle cherché (par un symbole ?).
2. Étape 2 : on cherche la formule de trigonométrie correspondante.
Ici on cherche l’angle
EFG et on connait l’hypoténuse EF =10 cm et le
côté opposé à l’angle cherché EG =8 cm. La formule liant hypoténuse et
côté opposé est le sinus.
3. Étape 3 : rédaction sur la copie.
Le triangle EFG est rectangle en G donc :
sin
EFG =GE
EF
⇐⇒ sinEFG =8
10
La calculatrice donne alors arrondi au degré :
EFG =arcsinµ8
10 ¶≈53°
8 cm
10 cm
F
E
G
? °
Sur la calculatrice
Seconde puis Sin puis (8/10) puis enter
4. Pour l’autre angle
Pour calculer l’autre angle on peut alors utiliser le fait que dans un triangle rectangle, les angles aigus sont
complémentaires. Attention, il est préférable d’utiliser la valeur exacte exprimée en arcsin :
b
E=90° −b
F=90° −arcsinµ8
10 ¶≈37°
Méthode 2
Soit E F G un triangle rectangle en G tel que EG =4 cm et F G =3 cm. Calculer une valeur approchée à
l’unité de l’angle
E F G .
•Analyse de la question (au brouillon) :
Ici on cherche l’angle
EFG et on connait son côté opposé EG =4cm
et son adjacent F G =3cm. La formule liant côté opposé et côté
adjacent est la tangente.
•Rédaction sur la copie.
Le triangle EFG est rectangle en G donc :
tan
EFG =EG
FG
⇐⇒ tan
EFG =4
3
La calculatrice donne alors arrondi au degré :
EFG =arctanµ4
3¶≈53°
4 cm
3 cm
F
E
G
? °
Sur la calculatrice
Seconde puis Tan puis (4/3) puis enter
Exemple 3
www.math93.com / M. Duffaud 3/4
TD n°1 - Troisième - La trigonométrie
Soit E F G un triangle rectangle en G tel que E F =2,5 cm et F G =1.5 cm. Calculer une valeur approchée
à l’unité de l’angle
E F G.
•Analyse de la question (au brouillon) :
Ici on cherche l’angle
EFG et on connait l’hypoténuse E F =2,5 cm
et son adjacent FG =1.5 cm. La formule liant hypoténuse et côté
adjacent est le cosinus.
•Rédaction sur la copie.
Le triangle EFG est rectangle en G donc :
cos
EFG =FG
EF
⇐⇒ cos
EFG =1.5
2.5
La calculatrice donne alors arrondi au degré :
EFG =arccosµ1.5
2.5 ¶≈53°
1.5 cm
2.5 cm
F
E
G
? °
Sur la calculatrice
Seconde puis Cos puis (1.5/2.5) puis enter
Exemple 4
Exercice 3. Calcul d’angles
Soit DST un triangle rectangle en Ttel que : (DS =6 cm
DT =5 cm .
1. Calculer une valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle
SDT .
2. En déduire une une valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle
DST .
Réponses
SDT ≈34° et
DST ≈56°
Exercice 4. Avec le cercle circonscrit
Si un triangle est isocèle,
Alors les angles à la base sont de même mesure.
Théorème 3 (Rappel très souvent utile)
Soit Cun cercle de centre O, de diamètre [AB]
et Dun point du cercle Ctel que : (AB =6 cm
AD =3 cm .
1. Montrer que le triangle ABD est rectangle.
2. Calculer une valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle
ABD .
3. En déduire une une valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle
B AD.
4. Montrer que le triangle ADO est isocèle en O.
5. En déduire une une valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle
AOD.
Vérifier que cette mesure est égale à deux fois celle de
ABD.
A
B
6 cm
O
D
3 cm
?˚
Réponses
ABD =30°;
B AD =60° et
AOD =60°.
www.math93.com / M. Duffaud 4/4
1
/
4
100%
