Cours Elm5

Électromagnétisme
Cours Élm5 : Champ magnétique en régime
stationnaire
I Symétries du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.1. Le champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2. Lignes de champ et tube de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3. Exemples de cartes de champ magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
a. ✿✿✿✿✿✿✿✿ Champ✿✿✿✿✿ créé ✿✿✿✿ par✿✿✿✿ une✿✿✿✿✿✿ spire✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
b. ✿✿✿✿✿✿✿✿ Champ✿✿✿✿✿ créé ✿✿✿✿ par✿✿✿ un✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ensemble✿✿✿ de✿✿✿✿✿✿✿ spires✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ coaxiales . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.4. Propriétés de symétrie du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
a. ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ Symétrie
✿✿✿✿✿✿✿
plane ................................. 4
b. ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ Antisymétrie ✿✿✿✿✿✿ plane............................... 5
c. ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ Invariances ................................... 5
II Équation de Maxwell-Thomson et conservation du flux magnétique . . . . . . . . . . . . . . 6
II.1. Équation de Maxwell-Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II.2. Conservation du flux magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
a. ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
b. ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ Conséquences.................................. 7
III Équation de Maxwell-Ampère et théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III.1. Équation de Maxwell-Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III.2. Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IV Calcul de champs magnétiques avec le théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV.1. Méthode d’application du théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV.2. Champ magnétostatique créé par un cylindre de courant infini . . . . . . . . . . . . . 11
IV.3. Champ magnétostatique créé par un fil infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
IV.4. Champ magnétostatique créé par un solénoïde infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
IV.5. Champ magnétostatique créé par une bobine torique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
V ForcedeLaplace .......................................... 16
V.1. Expression ......................................... 16
V.2. Exercice d’application : définition de l’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
VI Analogies entre les champs électrostatique et magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1

Physique
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Électromagnétisme
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Électromagnétisme
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Ce que dit le programme
Introduction
En 1819, le physicien danois Hans Christian Œrsted observe la déviation d’une boussole au voisinage
d’un fil métallique parcouru par un courant continu. Les expériences ultérieures d’Ampère, Laplace, Biot
et Savart dans les années 1820 précisent la notion de champ magnétique.
Nous verrons que la création d’un champ magnétostatique est due à des courants. Le lien entre sources
et champ magnétique est explicité par l’équation de Maxwell-Ampère dont la forme intégrale s’appelle le
théorème d’Ampère.
Figure 1 – Représentation de l’expérience d’Oersted.
I Symétries du champ magnétique
I.1. Le champ magnétique
En première année, vous avez abordé certaines applications du magnétisme, dont l’induction.
Vous avez également étudié le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique, sous l’effet
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de la force de Lorentz.
On rappelle ici quelques notions sur le champ magnétique.
Ce champ est créé par des aimants permanents ou des courants. Son unité est le tesla (T).
On donne ci-dessous quelques ordres de grandeurs des champs magnétiques :
– champ magnétique terrestre B≃10−5T ;
– aimant courant B≃10 mT ;
– électroaimant ordinaire B≃1T ;
– champ en IRM B≃1T ;
– bobine supraconductrice B≃20 T ;
– record de champ artificiel B≃91,4T ;
– champ magnétique interstellaire B≃10−2T ;
– champ magnétique dans une tache solaire B≃0,1T ;
– champ magnétique dans un tokamak B≃5 T ;
– champ magnétique d’une étoile à neutrons B≃108T ;
I.2. Lignes de champ et tube de champ
On appelle ligne de champ magnétostatique une courbe tangente en chacun de ses
points au champ magnétostatique et orientée dans le sens du champ.
Définition :
On peut visualiser les lignes de champ magnétostatique en plaçant de petites boussoles réparties
dans l’espace et pouvant prendre toutes les orientations. Les boussoles s’orientent naturellement
dans le sens du champ magnétostatique.
Remarques
Figure 2 – Les aimants génèrent un champ magnétostatique au même titre que les ditributions de courants.
Les lignes de champ sont visualisées à l’aide de limaille de fer.
On appelle tube de champ l’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur une courbe
fermée.
Définition :
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Figure 3 – Tube de champ.
I.3. Exemples de cartes de champ magnétostatique
a. ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ Champ ✿✿✿✿✿ créé
✿✿✿✿✿
par✿✿✿✿✿ une✿✿✿✿✿✿✿ spire✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ circulaire
La figure 4 représente les lignes de champ magnétique créé par une spire circulaire parcourue par un
courant permanent.
Figure 4 – Carte de champ d’une spire parcourue par un courant.
On remarque que :
⋆Le plan Πscontenant la spire est un plan de symétrie pour la distribution de courant. En chacun des
points de ce plan de symétrie, le champ magnétostatique est orthogonal à Πs. Par ailleurs, le champ
est antisymétrique par rapport au plan Πs.
⋆Tout plan perpendiculaire au plan de la spire et passant par son centre est un plan d’antisymétrie
pour la distribution de courants. En particulier, le plan médian perpendiculaire au plan de la figure
est un plan d’antisymétrie. On remarque que le champ est symétrique par rapport à ce plan d’anti-
symétrie.
⋆Les lignes de champ encerclent les sources de courant et se referment sur elles-mêmes.
b. ✿✿✿✿✿✿✿✿✿ Champ✿✿✿✿✿ créé
✿✿✿✿✿
par
✿✿✿✿
un✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ ensemble✿✿✿ de
✿✿✿✿✿✿✿✿
spires✿✿✿✿✿ ✿✿✿✿✿✿ coaxiales
La figure 5 représente les lignes de champ magnétostatique créé par un ensemble de 4 spires (à gauche)et
par un grand nombre de spires coaxiales (à droite).
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