Cours Elm5

Électromagnétisme
Cours Élm5 : Champ magnétique en régime
stationnaire
I
II
III
IV
V
VI
Symétries du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1. Le champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2. Lignes de champ et tube de champ . . . . . . . . . . . . . . .
I.3. Exemples de cartes de champ magnétostatique . . . . . . . .
a.
Champ créé par une spire circulaire . . . . . . . .
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
b.
Champ créé par un ensemble de spires coaxiales . .
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I.4. Propriétés de symétrie du champ magnétique . . . . . . . . .
a.
Symétrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
b.
Antisymétrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
c.
Invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Équation de Maxwell-Thomson et conservation du flux magnétique .
II.1. Équation de Maxwell-Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2. Conservation du flux magnétique . . . . . . . . . . . . . . . .
a.
Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
b.
Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Équation de Maxwell-Ampère et théorème d’Ampère . . . . . . . . .
III.1. Équation de Maxwell-Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2. Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcul de champs magnétiques avec le théorème d’Ampère . . . . . .
IV.1. Méthode d’application du théorème d’Ampère . . . . . . . . .
IV.2. Champ magnétostatique créé par un cylindre de courant infini
IV.3. Champ magnétostatique créé par un fil infini . . . . . . . . .
IV.4. Champ magnétostatique créé par un solénoïde infini . . . . .
IV.5. Champ magnétostatique créé par une bobine torique . . . . .
Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.1. Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2. Exercice d’application : définition de l’Ampère . . . . . . . .
Analogies entre les champs électrostatique et magnétostatique . . . .
1
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1
1
2
3
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
7
8
8
9
11
11
11
13
13
14
16
16
16
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Électromagnétisme
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Ce que dit le programme
Introduction
En 1819, le physicien danois Hans Christian Œrsted observe la déviation d’une boussole au voisinage
d’un fil métallique parcouru par un courant continu. Les expériences ultérieures d’Ampère, Laplace, Biot
et Savart dans les années 1820 précisent la notion de champ magnétique.
Nous verrons que la création d’un champ magnétostatique est due à des courants. Le lien entre sources
et champ magnétique est explicité par l’équation de Maxwell-Ampère dont la forme intégrale s’appelle le
théorème d’Ampère.
Figure 1 – Représentation de l’expérience d’Oersted.
I Symétries du champ magnétique
I.1. Le champ magnétique
En première année, vous avez abordé certaines applications du magnétisme, dont l’induction.
Vous avez également étudié le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique, sous l’effet
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de la force de Lorentz.
On rappelle ici quelques notions sur le champ magnétique.
Ce champ est créé par des aimants permanents ou des courants. Son unité est le tesla (T).
On donne ci-dessous quelques ordres de grandeurs des champs magnétiques :
– champ magnétique terrestre B ≃ 10−5 T ;
– aimant courant B ≃ 10 mT ;
– électroaimant ordinaire B ≃ 1 T ;
– champ en IRM B ≃ 1 T ;
– bobine supraconductrice B ≃ 20 T ;
– record de champ artificiel B ≃ 91, 4 T ;
– champ magnétique interstellaire B ≃ 10−2 T ;
– champ magnétique dans une tache solaire B ≃ 0, 1 T ;
– champ magnétique dans un tokamak B ≃ 5 T ;
– champ magnétique d’une étoile à neutrons B ≃ 108 T ;
I.2. Lignes de champ et tube de champ
Définition :
On appelle ligne de champ magnétostatique une courbe tangente en chacun de ses
points au champ magnétostatique et orientée dans le sens du champ.
Remarques
On peut visualiser les lignes de champ magnétostatique en plaçant de petites boussoles réparties
dans l’espace et pouvant prendre toutes les orientations. Les boussoles s’orientent naturellement
dans le sens du champ magnétostatique.
Figure 2 – Les aimants génèrent un champ magnétostatique au même titre que les ditributions de courants.
Les lignes de champ sont visualisées à l’aide de limaille de fer.
Définition :
On appelle tube de champ l’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur une courbe
fermée.
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Figure 3 – Tube de champ.
I.3. Exemples de cartes de champ magnétostatique
a.
Champ créé par une spire circulaire
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La figure 4 représente les lignes de champ magnétique créé par une spire circulaire parcourue par un
courant permanent.
Figure 4 – Carte de champ d’une spire parcourue par un courant.
On remarque que :
⋆ Le plan Πs contenant la spire est un plan de symétrie pour la distribution de courant. En chacun des
points de ce plan de symétrie, le champ magnétostatique est orthogonal à Πs . Par ailleurs, le champ
est antisymétrique par rapport au plan Πs .
⋆ Tout plan perpendiculaire au plan de la spire et passant par son centre est un plan d’antisymétrie
pour la distribution de courants. En particulier, le plan médian perpendiculaire au plan de la figure
est un plan d’antisymétrie. On remarque que le champ est symétrique par rapport à ce plan d’antisymétrie.
⋆ Les lignes de champ encerclent les sources de courant et se referment sur elles-mêmes.
b.
Champ créé par un ensemble de spires coaxiales
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La figure 5 représente les lignes de champ magnétostatique créé par un ensemble de 4 spires (à gauche)et
par un grand nombre de spires coaxiales (à droite).
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Figure 5 – Carte de champ d’un ensemble de spires coaxiales.
On remarque que :
⋆ Le plan Πs médian de la distribution de courant et orthogonal à l’axe des spires est un plan de
symétrie pour la distribution de courant. On remarque que le champ est antisymétrique par rapport
au plan Πs .
⋆ Tout plan contenant l’axe de la distribution de courant est un plan d’antisymétrie pour la distribution de courants. En particulier, le plan perpendiculaire au plan de la figure et contenant l’axe des
spires est un plan d’antisymétrie. On remarque que le champ est symétrique par rapport à ce plan
d’antisymétrie.
⋆ Les lignes de champ encerclent les sources de courant et se referment sur elles-mêmes. Dans le cas
du solénoïdes, les lignes de champ ne peuvent se refermer qu’à l’extérieur du dispositif.
I.4. Propriétés de symétrie du champ magnétique
a.
Symétrie plane
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Propriété
Le champ magnétostatique n’est pas un vrai vecteur car son image par un plan de
symétrie Πs de la distrbution de courant est l’opposé de son symétrique
h−
i
→ ′
−
→
B (M ) = −SymΠs B (M)
→
−
où M ′ = SymΠs (M). On dit que B est un vecteur axial ou un pseudo-vecteur.
h−
i
→
−
→
Si le point M appartient au plan Πs de symétrie, B (M) = −SymΠs B (M) : le champ magnétosta→
−
tique en M est égal à l’opposé de son symétrique, ce qui n’est possible que si B (M) est orthogonal au
plan de symétrie.
Propriété
En un point d’un plan de symétrie Πs pour la distribution de courant, le champ
magnétostatique est orthogonal à ce plan.
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−→
dB(M)
M
−
→
B (M)
×
−−→′
dB (M)
P
P′
−→′ −→
dC = dC
−→
dC
Πs
Figure 6 – En un point d’un plan de symétrie pour les courants, le champ magnétique est perpendiculaire
à ce plan.
b.
Antisymétrie plane
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Propriété
Le champ magnétostatique est symétrique par rapport à un plan d’antisymétrie Πa
pour les courants
h−
i
→ ′
−
→
B (M ) = SymΠa B (M)
où M ′ = SymΠa (M).
h−
i
→
−
→
Si le point M appartient au plan Πa d’antisymétrie, B (M) = SymΠa B (M) : le champ magné→
−
tostatique en M est égal à son symétrique, ce qui n’est possible que si B (M) appartient au plan de
symétrie.
Propriété
En un point d’un plan d’antisymétrie Πa pour la distribution de courant, le champ
magnétostatique appartient à ce plan.
c.
Invariances
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
D’après le principe de Curie, le champ magnétostatique possède les même propriétés d’invariance que
la distribution qui le crée.
Propriété
Si une distribution de courant est invariante par translation suivant un vecteur ~ux ,
alors les composantes du champ magnétostatique ne dépendent pas de la variable x
associée.
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−
→
B (M)
−−→′
dB (M)
−→
dB(M)
×
M
P
×
−→
dC
Πa
P′
−→′
−→
dC = −dC
Figure 7 – En un point d’un plan d’antisymétrie pour les courants, le champ magnétique est contenu dans
ce plan.
Propriété
Si une distribution de courant est invariante par rotation, repérée par un angle θ,
autour d’un axe ∆, alors les composantes du champ magnétostatique ne dépendent
pas de θ.
II Équation de Maxwell-Thomson et conservation du flux magnétique
II.1. Équation de Maxwell-Thomson
Propriété
Le champ magnétique vérifie l’équation de Maxwell-Thomson :
→
−
div( B ) = 0
→
−
où div( B ) est la divergence du champ magnétique.
Remarques
Cette équation est également valable en régime variable.
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II.2. Conservation du flux magnétique
a.
Démonstration
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Exprimons l’équation de Maxwell-Thomson sous forme intégrale en l’intégrant sur un volume fixe V (Σ)
entouré par une surface fermée Σ et utilisons le théorème de Green-Ostrogradsky :
ZZZ
ZZ
→
→
−
→ −−
−
div B = 0 ⇒
B · d2 S ext = 0
V (Σ)
Σ
Propriété
Le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est toujours nul :
ZZ
→
→ −−
−
B · d2 S ext = 0
surface
fermée
Remarques
Par analogie avec le théorème de Gauss pour le champ magnétique, cette relation montre qu’il
n’existe pas de "charge" (ou monopôle) magnétique.
b.
Conséquences
✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿
Considérons un tube de champ. L’ensemble {section initiale S1 + section finale S2 + surface latérale SL }
constitue une surface fermée Σ. On peut donc écrire
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
→
→
→
→
→ −−
−
→ −−
−
→ −−
−
→ −−
−
2
2
2
2
B · d S ext =
B ·d S+
B ·d S+
B
·
d
| {z S}
Σ
S1
S2
SL
=0
Le dernier terme est nul car le champ magnétostatique est tangent aux lignes de champ ce qui implique
−−→
−
→
B ⊥ d2 S sur la surface latérale.
Figure 8 – Tube de champ magnétique.
Appelons Φ1 et Φ2 les flux du champ magnétostatique à travers S1 et S2 compté algébriquement dans
le sens des lignes de champ :
ZZ
→
→ −−
−
Φ1 = −
B · d2 S
ZZ S1
→
→ −−
−
Φ2 =
B · d2 S
S2
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→
−
Le flux de B à travers Σ étant nul, on a
ZZ
→
→ −−
−
B · d2 S ext = 0 =⇒ Φ1 = Φ2
Σ
Propriété
Le flux du champ magnétostatique se conserve le long d’un tube de champ. On dit
que le champ magnétique est à flux conservatif.
Si on considère un tube de champ de section S1 et S2 ≪ 1, normales au champ magnétostatique et en
considérant B uniforme sur chaque section, on trouve
B1 S1 = B2 S2
soit B2 = B1
S1
≫ B1
S2
où B1 et B2 sont les valeurs du champ magnétostatique respectivement sur les section S1 et S2 .
Propriété
Le champ magnétostatique est d’autant plus intense que les lignes de champ se resserrent et vice-versa.
Le champ magnétostatique est uniforme dans les zones où les lignes de champ sont
parallèles.
Figure 9 – La conservation du flux magnétique impose B3 < B1 < B2 .
III Équation de Maxwell-Ampère et théorème d’Ampère
III.1. Équation de Maxwell-Ampère
Propriété
Le champ magnétique en régime stationnaire vérifie :
→
−
→−
→
rot( B ) = µ0 −

→
−
→−
→
où rot( B ) est le rotationnel du champ magnétique et −
 le vecteur densité de courant
−7
−1
électrique et µ0 = 4π.10 H.m est la perméabilité du vide.
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Remarques
– Cette équation montre que la création d’un champ magnétique est liée à des courants électriques.
→!
−
∂
E
→
−
→
−
→−
→
– La forme générale de l’équation de Maxwell-Ampère s’écrit : rot( B ) = µ0 −
 +
où E
∂t
est le champ électrique.
→
−
En régime stationnaire, E ne dépend pas du temps, d’où la formulation simplifiée donnée
précédemment.
III.2. Théorème d’Ampère
Exprimons l’équation de Maxwell-Ampère sous forme intégrale en l’intégrant sur une surface Σ s’appuyant sur un contour fermé Γ et utilisons le théorème de Stokes :
ZZ
ZZ
I
→
−−
→
→
→ −−
→ −
−
−
→−
→
−
2
2
rot B · d S =
Σ(Γ)µ0  · d S ⇒
B · dℓ = µ0 Ienlacée
Σ(Γ)
Σ
Γ
Théorème d’Ampère :
→
−
La circulation du champ magnétostatique B le long d’un contour fermé Γ est égale au
produit de µ0 par l’intensité enlacée par Γ :
I
→
→ −
−
B · dℓ = µ0 Ienlacée
Γ
Remarques
Une fois choisie l’orientation de Γ, l’intensité enlacée Ienlacée est comptée algébriquement suivant
la règle du tire-bouchon :
⋆ si tourner le long de Γ fait visser dans le sens du courant, Ienlacée > 0 ;
⋆ si tourner le long de Γ fait visser dans le sens opposé au courant, Ienlacée < 0.
I2
I
Γ
Ienlacée > 0
I
Γ
I1
I3
Γ
Ienlacée < 0
Ienlacée = I1 − I2 + I3
Figure 10 – Convention de signe pour l’intensité enlacée.
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Remarques
Si la distribution de courant n’est pas filiforme, Ienlacée correspond au flux du vecteur densité
→
volumique de courant −
 à travers une surface définie par le contour :
ZZ
−−→
→
−
Ienlacée =
 · d2 S
Σ(Γ)
−−→
où Σ(Γ) est une surface s’appuyant sur Γ et d2 S est un vecteur élément de surface orienté à
partir de Γ suivant la règle du tire-bouchon.
Σ1 (Γ)
Σ2 (Γ)
− −−→
→
d2 S
−−
→
d2 S
−
→
Γ
Ienlacée =
Γ
ZZ
−→
− · −
→
d2 S =
Σ1 (Γ)
ZZ
−→
− · −
→
d2 S
Σ2 (Γ)
Figure 11 – On peut choisir n’importe quelle surface s’appuyant sur Γ pour calculer Ienlacée .
Remarques
Si le contour Γ choisi enlace N fois un conducteur traversé par l’intensité I
I
→
→ −
−
Ienlacée = NI et
B · dℓ = µ0 NI
Γ
Γ
I
××××××
Ienlacée = 6I
Figure 12 –
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IV Calcul de champs magnétiques avec le théorème d’Ampère
IV.1. Méthode d’application du théorème d’Ampère
Méthode :
Pour calculer un champ magnétique avec le théorème d’Ampère, il faut :
1. Analyser les symétries et les invariances de la distribution de courants pour dé→
−
terminer la direction de B et les variables dont dépendent ses composantes.
2. Choisir un contour fermé pertinent (voir plus loin) qu’on appelle contour d’Ampère.
→
−
3. Exprimer la circulation de B sur ce contour.
4. Exprimer l’intensité enlacée.
→
−
5. En déduire l’expression de B .
Afin d’appliquer le théorème d’Ampère, il faut choisir un contour orienté Γ. Bien qu’en principe, une
infinité de contours conviennent, seuls quelques-uns permettent de mener les calculs aisément à leur terme.
→
−
En particulier, le calcul de la circulation du champ B le long de Γ,
I
→
− −
→
B · dℓ ,
Γ
→
→
→ −
−
− −
→
se calcule aisément si B ⊥ dℓ ou B //dℓ.
Remarques
→
−
On choisira un contour d’Ampère de sorte que son vecteur tangent, donné par dℓ, soit parallèle
ou perpendiculaire aux lignes de champ.
IV.2. Champ magnétostatique créé par un cylindre de courant infini
On considère un conducteur cylindrique infini d’axe (O, ~uz ), de section circulaire de rayon R. Le cylindre
est parcouru par un courant de densité volumique homogène
− = j ~u
→
z
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z
R
−
→
B
×
−
→
Figure 13 –
À l’aide du théorème d’Ampère, déterminer le champ magnétostatique en tout point de l’espace.
1. Invariances et symétries
Tout plan contenant l’axe (Oz) est plan de symétrie pour la distribution de courant : le champ en
→
−
tout point est donc de la forme B (M) = Bθ ~uθ .
Il y a invariance par translation parallèlement à (Oz) et par rotation autour de (Oz) donc Bθ = Bθ (r).
2. Choix d’un contour d’Ampère
Les lignes de champ sont des cercles centrés sur (Oz) et la norme du champ est la même en tout
point d’une ligne de champ. On choisit donc comme contour d’Ampère un cercle d’axe (Oz) et de
rayon r.
La circulation s’écrit alors :
I
→
− −
→
B · dℓ =
Γ
I
2π
Bθ (r) ~uθ · r dθ ~uθ = Bθ 2πr
0
3. Application du théorème d’Ampère
• A l’intérieur du cylindre :
Ienlacée =
ZZ
→
− −−
→
j · d2 S = j πr 2
ΣΓ 1
r
On a alors Bθ = µ0 j pour tout point à l’intérieur du cylindre.
2
• A l’extérieur du cylindre :
Ienlacée =
Gaudeline WAGNER
ZZ
→
− −−
→
j · d2 S = j πR2
ΣΓ 2
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On a alors Bθ = µ0 j
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R2
pour tout point à l’intérieur du cylindre.
2r
r→
−
→
B (r < R) = µ0 j −
uθ
2
et
R2 →
−
→
B (r > R) = µ0 j −
uθ
2r
Remarques
Le champ est continu à la traversée du cylindre (distribution volumique de courant).
IV.3. Champ magnétostatique créé par un fil infini
On cherche à déterminer le champ magnétostatique créé par un fil infini d’axe Oz et parcouru par un
courant d’intensité I.
On utilise l’étude précédente puisque le fil est la limite du cylindre lorsque son épaisseur tend vers zéro.
Ainsi, on n’utilisera que l’expression du champ créé à l’extérieur.
−−→
RR −
→
Par ailleurs, on pourra assimiler le cylindre à un fil avec la relation : I =
 · d2 S = j π R2 .
µ0 I
→
−
~uθ
Le champ créé par un fil infini est donc : B =
2πR
IV.4. Champ magnétostatique créé par un solénoïde infini
Définition :
On appelle solénoïde circulaire un enroulement régulier de fil conducteur sur un cylindre.
Figure 14 – Représentation d’un solénoïde.
On considère un solénoïde circulaire infini d’axe (O, ~uz ), parcouru par un courant d’intensité I constante
et comportant n spires par unité de longueur.
On peut parler de solénoïde infini si sa longueur ℓ est très grande devant son rayon R.
À l’aide du théorème d’Ampère, déterminer le champ magnétostatique à l’intérieur du solénoïde, en
admettant que le champ est nul à l’extérieur.
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1. Invariances et symétries
Tout plan perpendiculaire à l’axe (Oz) est plan de symétrie pour la distribution de courant : le
→
−
champ en tout point est donc de la forme B (M) = Bz ~uz .
Il y a invariance par translation parallèlement à (Oz) et par rotation autour de (Oz) donc Bz = Bz (r).
2. Choix d’un contour d’Ampère
On choisit un contour rectangulaire de longueur L, à cheval entre l’intérieur et l’extérieur du solénoïde. À l’intérieur, le contour passe par le point M où on souhaite calculer le champ.
Figure 15 – Contour d’Ampère choisi pour calculer le champ créé par le solénoïde infini.
3. Application du théorème d’Ampère
→
−
– Circulation de B :
I
→
− −
→
B · dℓ = B(r) L − Bext L = B(r) L
Γ
– Intensité enlacée :
Ienlacée = Nspires I = n L I
– Champ magnétique :
−
→
B = µ0 n I ~uz
On remarque que le champ ne dépend pas de r : le champ magnétique est donc uniforme à l’intérieur
d’un solénoïde infini.
IV.5. Champ magnétostatique créé par une bobine torique
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Soit, en coordonnées cylindriques d’axe (O, ~uz ),
une spire rectangulaire S contenue dans le plan
θ = 0 ayant ses côtés définis par r = r1 , r = r2 et
z = ±h/2. La spire S est orientée positivement
par le vecteur ~uθ .
Une bobine torique est modélisée par une distribution D de N (N ≫ 1) spires déduites de S
par des rotations autour de (O, ~uz ) d’angle
θp = p 2π/N, p = 1, . . . , N et parcourues par la
même intensité I.
On cherche à déterminer le champ magnétique créé par cette bobine.
1. Symétries : Le plan passant par le point M de coordonnées (r, θ, z) et contenant l’axe (O, ~uz ) du tore
Figure 16 – Schéma de la bobine torique.
est un plan de symétrie pour la distribution de courant.
Le champ magnétostatique au point M est nécessairement perpendiculaire au plan de symétrie pas→
−
sant par M. On en déduit, en coordonnées cylindriques : B (M) = Bθ ~uθ
Invariances : La distribution de courant est invariante par rotation d’un angle θ autour de l’axe
(O, ~uz ) du tore. On en déduit que la norme du champ magnétostatique ne dépend pas de l’angle θ
Bθ = Bθ (r, z)
→
−
Finalement, on a : B (M) = Bθ (r, z) ~uθ
2. Choix d’un contour d’Ampère :
Choisissons comme contour fermé Γ un cercle d’axe (O, ~uz ), de rayon r, de cote z et orienté dans le
sens de +~uθ .
3. Application du théorème d’Ampère :
Le théorème d’Ampère appliqué à ce contour s’écrit
I
→
→ −
−
B · dℓ = µ0 Ienlacée
Γ
−
→
où dℓ = rdθ ~uθ et Ienlacée est l’intensité des courants enlacés par Γ.
⋆ Circulation du champ magnétostatique
Le contour Γ est caractérisé par r = cste et z = cste. La circulation du champ magnétostatique
sur Γ se calcule aisément
I
Z 2π
→
→ −
−
B · dℓ =
Bθ (r, z)rdθ = 2πrBθ (r, z)
Γ
0
⋆ Intensité des courants enlacés par Γ
Remarquons que pour |z| > h/2, le contour C n’enlace aucun courant.
Supposons alors que |z| < h/2.
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– Pour r < r1 , le contour C n’enlace aucun courant.
– Pour r > r2 , le contour C enlace autant de courants comptés positivement que de courants
comptés négativement. L’intensité des courants enlacés est donc nulle pour r > r2 .
– Pour r1 < r < r2 , le contour C enlace N spires traversées par le même courant d’intensité I.
Finalement, le théorème d’Ampère devient

0,



0,
2πrBθ (r, z) =
µ0 NI,



0,
si
si
si
si
|z| > h/2 ;
|z| < h/2 et r < r1 ;
|z| < h/2 et r1 < r < r2 ;
|z| < h/2 et r2 < r.
Le champ est donc confiné à l’intérieur du tore et vaut

µ0 NI



~uθ , à l’intérieur du tore ;
→
−
2πr
B (M) =

 −
→

0
sinon.
V Force de Laplace
V.1. Expression
Propriété
La force élémentaire de Laplace exercée sur un volume dτ de conducteur, soumis au
→
−
champ magnétique B , a pour expression
→
−
→
−
→
dF L = −
 ∧ B dτ
− est la densité volumique de courant.
où →
→
− dτ → I −
Pour un conducteur filiforme, →
dℓ. On en déduit l’expression de la force
→
−
élémentaire de Laplace exercée sur un élément de courant I dℓ :
→ −
−
→
−
→
d F L = I dℓ ∧ B
V.2. Exercice d’application : définition de l’Ampère
On considère deux fils rectilignes infinis, parallèles entre eux et distants de r = 1 m, traversés par
le même courant, de même sens et de même intensité constante I1 = I2 = I. Déterminer la force de
Laplace exercée par un fil sur une longueur L = 1 m de l’autre si I = 1 A.
Le champ magnétostatique créé par le fil 1 en un point M du fil 2 vaut
µ 0 I1
−
→
B1 =
~uy
2πr
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r
~uz
I1
I2
×
−
→
I2 dℓ
→
−
d F 1→2
L
~uy
× −→
B1 =
fil 1
~ux
µ 0 I1
~uy
2πr
fil 2
Figure 17 –
où le trièdre (~ux , ~uy , ~uz ) est représenté sur la figure ci-dessus.
→
−
La force élémentaire de Laplace exercée par le fil 1 sur un élément de courant I2 dℓ = I2 dℓ ~uz du fil 2
vaut donc
µ 0 I1 I2
µ 0 I1 I2
→ −
−
→
−
→
dℓ ~uz ∧ ~uy = −
dℓ ~ux
d F 1→2 = I2 dℓ ∧ B 1 =
2πr
2πr
La force de Laplace qui s’exerce sur une longueur L du fil 2 vaut donc
−
→
F 1→2 =
Z
µ 0 I1 I2
→
−
d F 1→2 = −
L ~ux
2πr
On remarque que la force de Laplace entre deux fils parcourus par un courant de même sens est une
force attractive !
Pour I1 = I2 = I = 1 A, r = 1 m et L = 1 m et µ0 = 4π.10−7 H.m−1 :
µ0
→
−
= 2.10−7 N
|| F 1→2 || =
2π
La valeur de cette force permet de définir l’ampère (A), qui est l’une des unités fondamentales du
système d’unités international (S.I.).
Définition :
L’ampère est l’intensité d’un courant continu qui, maintenu dans deux fils distants
de 1 m, produit entre eux une force de 2.10−7 N par unité de longueur.
VI Analogies entre les champs électrostatique et magnétostatique
Les principaux résultats concernant les champs électrostatique et magnétostatique sont reportés cidessous. Ce tableau met en valeur les grandes similarités qui existent entre ces deux champs.
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−
→
E
−
→
B
Symétries
vecteur polaire
vecteur axial
Plan de symétrie
Plan de symétrie pour les charges
→
−
= Plan de symétrie pour le champ E
Plan de symétrie pour les courants
→
−
Plan d’antisymétrie pour le champ B
Plan de d’antisymétrie
Plan d’antisymétrie pour les charges
→
−
= Plan d’antisymétrie pour le champ E
Plan d’antisymétrie pour les courants
→
−
Plan de symétrie pour le champ B
ρ
→
−
div E =
ε0
→
−
div B = 0
Divergence/convergence
des ldc à partir/vers les charges
→ −
→
−
→−
rot E = 0
Conservation du flux
magnétique
→
−
→−
→
rot B = µ0 −

Conséquence
topographique
ldc ouvertes
ldc fermées et
s’enroulant autour des courants
Théorème intégral
Gauss
→
RR −
Qint
→ −−
E · d2 S ext =
ε0
Ampère
H−
→
→ −
B · dℓ = µ0 Ienlacée
Divergence
Conséquence
topographique
Rotationnel
Continuité des champs
Potentiel
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volumique de charges
−−→
→
−
E = −gradV
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