Exercice 1: Calculer la résistance de Thévenin dans chacune des branches du réseau suivant . F i g u r Solution : L’étudiant complètera sur les figures les valeurs des résistances et indiquera la technique e de transformation 1 Rth = Rth = 51 Rth = Rth = Rth = Rth = 52 Exercice 2 : Calculer le courant dans les différentes branches du réseau ci-contre . : A.N : R1 = 2 Ω ; R2 = 9 Ω ; R3 = 7 Ω ; R4 = 6 Ω ; R5 = 3 Ω ; E2 = 18 V ; E5 = 3V Solution : Calculons les courants dans le réseau électrique suivant par la méthode de Maxwell - Choisissons des courants de mailles et fixons les mêmes sens de parcours I1 ; I3 ; I5 -Ecrivons les matrices des résistances, des courants et des F.e.m. R2 0 I1 E2 R1 R 2 R 2 R 2 R 3 R 4 R 4 I3 E2 0 R4 R 4 R 5 I5 E5 Calculons les déterminants des résistances, des courants I1 ; I3 ; I5 , et écrivons les solutions : I1 I1 R 1.231 A ; I3 I3 R 0.496 A ; I5 I5 ; R 0.664 A I2 I1 I3 I4 I3 - I5 ( attention au signe ) Solution : Calculons les courants dans le réseau électrique par la méthode de Thévenin; L’étudiant complètera le tableau. 53 [(R4//R5)+R3]//R2 R 4 R5 R3 R2 R 4 R5 R th R 4 R5 R R 3 2 R 4 R5 3 chemins possibles ix ? Par Maxwell VAB oxR 1 (1)E2 R2(ix) (suite du calcul page suivante 1) [(R4//R5)+R3]//R1 3 voies possibles R= VA VB (1)E2 R1(ix )' ix ? Par Maxwell (suite du calcul page suivante 2) 4 chemins possibles (R1//R2)+(R4//R5) VA VB (1)E2 R= R 2(ix )' R 4(i y) ix et iy par la loi à la maille (suite du calcul page suivante 3) VA VB E5 R5 i' ' [(R1//R2)+R3]//R5 R= i’’ par Maxwell (suite du calcul page suivante 4) [(R1//R2)+R3]//R4 VA VB E5 R= R 4 i"2 i’’2 par Maxwell (suite du calcul page suivante 5) Vth = ith = Vth R th R branchecoupée 54 1) VAB oxR 1 (1)E2 R2(ix) - Kirchoff ix ? : R2 R3 R4 R4 -R R R 4 4 5 - Maxwell I x E2 I E 5 z - Thévenin - Superposition ( I y Courant de branche commune ; I x; I z même sens courant de maille) Ix ix R R Ix ix VAB Rth R1 2) VA VB 3 voies possibles VA VB (1)E2 R1(ix)' choix sur la maille (R1, R2, E2) Maxwell I x et I z courants fictifs de Maxwell R1 R3 R4 R4 -R R R 4 5 4 Ix 0 I E z 5 Ix ix R - R 4 E5 R R VA VB E2 R1R4 R E5 I th Vth Rth R2 Rechercher I x par Thévenin ? 3) VA VB E5 R4 I 2" R1 R2 R2 -R R R R 2 3 4 2 I 2' ? I 2' E2 I " E2 2 4) et 5) à compléter par l’étudiant. 55 Solution : Calculons les courants dans le réseau électrique par la méthode de Superposition -Fixons le sens des courants choisis pour chaque branche (S) -Décomposition du circuit ( S ) en sous-circuit ( S' ) et ( S'' ) : autant de sous-circuit que de branche contenant des générateurs. ( les deux générateurs sont dans des branches différentes ). Après avoir décomposé le circuit, nous utiliserons la technique de Maxwell pour un calcul rapide des courants. +- Choisissons la technique de Maxwell : - fixons le sens des courants de Maxwell dans chaque sous-circuit. - fixons le sens des courants dans chaque branche du circuit ( S ) (sauf dans les branches communes) Voici la matrice de Maxwell appliquée aux circuits ( S' ) et ( S'' ) R2 0 I1' E2 R1 R 2 ' R 2 R 2 R 3 R 4 R 4 I3 E2 0 R4 R 4 R 5 I5' 0 R2 0 I1'' 0 R1 R 2 '' R R R R R 2 2 3 4 4 I3 0 0 R4 R 4 R 5 I5'' E5 Calcul des courants du circuit (S’) et (S’’) ' I1' I1 R ; ' I'3 I3 R ' ; I5' I5 R '' et I1'' I1 R ; '' I'3' I3 R '' ; I5' ' I5 R 56 - Calcul des courants du circuit ( S ) en tenant compte du sens choisi pour les courants dans les branches des sous-circuits :: I1 I1' I1'' ; I3 I'3 I'3' ; I5 I5' I5'' - Calcul des courants de branches communes sur ( ( S' ) et ( S'' ) avec le choix du 1er terme pour indiquer le sens du courant : I'2 I1' I'3 et I'4 I'3 I5' I'2' I1'' I'3' I'4' I'3' I5'' - Calcul des courants de branches communes sur ( S ) : fixons sur ( S ) le sens des courants communs I2 I'2 I'2' ( en tenant compte du sens de I2 choisi dans le circuit ( S ) ). I4 I'4 I'4' Solution : Application de la méthode de Kirchoff Loi aux nœuds: A i1=i2+i3 B i3=i4+i5 C i1= i2+ (i4+i5) Loi aux mailles (indépendantes) : (R1, R2, R3) :R1i1+R2i2-(+1)E2=0 (R2, R3, R4, E2) : R2(-i2)+R3i3+ R4i4 -(-1)E2=0 (R4, E5, R5,) : R4(-i4) -(-1)E5+R5i5=0 Pour résoudre le système :Je remplace les courants de branches communes I2=i1-i3 i4=i3-i5 (R1 R 2) i1 R 2 i3 0 i5 E2 R 2 i1 (R 2 R 3 R 4) i3 R 4 i5 E2 0 i1 R 4 i3 (R 4 R 5) i5 E5 R2 0 i1 E2 R1 R 2 R 2 R 2 R 3 R 4 R 4 i3 E2 R4 R 4 R 5 i5 E5 0 R ; i1 i1 R i3 i3 i3 R 57 i5 i5 R i5 Solution : Application de la méthode de Millmann : Fixons le sens du courant dans chaque branche et choisissons un nœud de référence - Loi d’Ohm pour chaque branche du réseau après avoir fixé le sens du courant : VN VM R 3 i 31 ( N ) VN 0 R 4 i 4 V 0 R i ( 1) E 5 5 5 N VM 0 R 1 i 1 ( M ) VM 0 R 2 i 2 ( 1) E 2 V V R i N 3 3 M - Loi aux nœuds : I 0 (en N et M) E n remplaçant chaque courant VM 0 VM ( 1) E 2 0 VM VN 0 (M) R R2 R3 1 VN VM VN 0 VN ( 1) E 5 0 0 (N) R 3 R4 R5 VM V M 1 E2 1 1 1 VN R2 R1 R 2 R 3 R 3 1 E 1 1 1 VN 5 ( ) R3 R5 R3 R4 R5 1 1 1 R1 R 2 R 3 1 R3 Mettons sous forme de facteurs Choisissons l’écriture matricielle 1 R3 VM 1 1 1 VN R 3 R 4 R 5 ; E2 R2 E5 R5 ; Constatons les matrices (1/R) , (V) et ( I ) courants de branche contenant des f.e.m -Remplaçons les conductances par y et les indices indiquant l’intervalle de n° des résistances prises en compte dans la sommation : y 13 y3 y 3 VM y 35 VN E2 R2 E5 R5 58 y y1 3 y3 y3 y3 5 VM VN VN y1 3 y3 5 y32 ; E E2 y 3 5 5 y 3 R2 R5 y 13 y 35 y 32 y 1 3 y3 E2 R2 VM E 5 R5 y3 y 3 5 E E2 y 3 5 5 y 3 R2 R5 E E2 1 1 1 1 ( ) 5 ( ) R2 R3 R4 R5 R5 R3 1 1 1 1 1 1 1 ( )( ) 2 R1 R 2 R 3 R3 R4 R5 R3 E2 E E R2 5 y 13 2 y 3 E5 R5 R2 R5 E5 E y 13 2 y 3 R5 R2 y 13 y 35 y 32 E5 E 1 1 1 1 ( ) 2 ( ) R 5 R1 R 2 R 3 R2 R3 1 1 1 1 1 1 1 ( )( ) 2 R1 R 2 R 3 R3 R4 R5 R3 Connaissant VM et VN on calcule les courants des branches (attention au signe de VN et VM ) V M E2 y I1 VM 0 1 VM R1 R1 y I2 I3 1 VM VN R 3 y I4 VN 1 VN R 4 R 4 y I5 1 R2 VN E 5 1 VN E5 R5 R 5 y Exercice 3: Calculer les courants dans les branches du réseau suivant par la méthode de Millmann Solution :Méthode de Millmann : 1) Ecrivons l’expression de la ddp entre B et M : VBM = VB – V M par la loi d’Ohm généralisée Cette ddp peut s’exprimer de 3 manières différentes, selon la branche du circuit : VB VM e1 r1I1 VB VM e 2 r2 I 2 , on peut déduire les V V RI M B 59 e 1 VB VM I 1 r1 e 2 VB VM 2) expressions des courants dans les différentes branches sous la forme : I 2 ; r2 VB VM I R en choisissant VM = 0, on obtient : I 1 e1 VB e 2 VB V ; I2 ; I B r1 r2 R 3) Aux nœuds M et B, nous avons : I1 = I + I2 , en remplaçant les différents termes par leurs expressions, on a : e1 VB e 2 VB VB e e V V V soit : 1 2 B B B d’où : r1 r2 R r2 r1 r1 r2 R e1 e 2 r1 r2 e1r2 e 2 r1 VB R Equation en VB. 1 1 1 r1r2 R r1 r2 R r2 r1 A partir de cette expression de VB, on peut maintenant calculer celles des différents courants : Expression du courant I : I V VB on remplace VB par son expression, soit : I B R R I R e1r2 e 2 r1 r1r2 R r1 r2 d’où : R e1r2 e 2 r1 r1r2 R r1 r2 Expression du courant I1 : I1 e1 VB e1 VB e1 R e1r2 e 2 r1 ; en effectuant, on a : r1 r1 r1 r1 r1 r1r2 R r1 r2 I1 e1 r2 R e 2 R r1r2 R r1 r2 Expression du courant I2 : I2 e1 R e 2 r1 R VB e 2 VB e 2 R e1r2 e 2 r1 e 2 , ce qui conduit à : I 2 r1r2 R r1 r2 r2 r2 r2 r2 r1r2 R r1 r2 r2 Les autres méthodes seront pratiquées par l’étudiant Exercice 4 : Par les différentes méthodes connues, calculer le courant Ic(t) et la tension Vc(t) à travers le condensateur, lorsque l’interrupteur est fermé. Donner la constante de temps. 60 Solution : Maxwell 2R R R 3R R 6R 2R iC q R e1 C 5 R 2 e1 q 5 R C 2 2 q C iC iC 2R q 5 R C e1 5 R ; 2 dq dt dq ; dt iC 5 R R e1 i1 2 q C R e1 5 R équation différentielle du 1er ordre à coefficients constants dq dt q e1 5 R 5 RC 2 avec Constante de temps en (s) Changement de variable q Q t e1 dq ; dQ d'où dq dQ 5 R En revenant à la variable : q La tension VC : VC courant : t e1 5 R Condition initiale : à t = 0, q = 0 dQ Q 0 ; Q dQ dt A e ; q et A e1 5 R e1 t A e e1 e1 5 R , q 5 R t e1 q ; VC 1 5RC C e 1 dt donc Q A e d'où VC t 5 R e1 2 e et q e1 5 R t 1 e t 1 e e1 t i C (t) e 5 R Solution : méthode de Thévenin : Calcul de la tension Thévenin : VA-VB = -(+1)q/C + R (+ ix) = - q/C + R(+ ix) Recherche du courant ix ? Loi à la maille (ix): Rix + Rix -(+1)e1= 0 donc ix Vth dq ith iC d'où dt Rth 2R dq dt q C e1 2 e1 2 R et VA-VB = -q/C + e1/2 1 5 R 2 61 dq dt e1 q 5 5 R RC 2 q e1 5 R dq dt ou encore Exercice 5 : On considère le circuit suivant, où à l’instant t = 0 l’interrupteur est fermé. 1°) Ecrire la loi de Kirchhoff relative aux courants et aux tensions. 2°) Calculer le courant IH(t) qui circule dans L, par l’établissement et résolution de l’équation différentielle. 3°) Donner la constante de temps . 4°) Donner l’allure de la courbe IH(t). 5°) Calculer les autres courants. 6°) Facultatif : Appliquer les autres méthodes. Solution par la méthode de Kirchhoff Loi aux nœuds : i1 i2 il ( 1 ) R1 i1 Loi aux mailles : E R2 i2 0 ( 2 ) ( 1 ) L ( 1 ) dans ( 2 ) donne E tirons i2 R1 ou encore L R1 il E dil R2 i2 0 ( 3 ) dt R1 R2 i2 R1 il 0 dil L dt dans (3) cela donne : R2 R1 R2 dil R1 R2 dt il E R1 R1 E R1 il R1 R2 0 : t = 0 , il = 0 E il 1 R1 constante de temps : R2 R2 L R1 R2 exp R1 R2 R1 t R2 L ( s) courbe : E donne : i2 les autres courants : (1) dans (2) R1 R1 il R2 , connaissant il i2 E R1 R2 1 1 exp t E R1 R2 exp t 62 courant principal : i1 i2 E 1 R1 il R2 R1 R2 t ( exp Solution par la méthode de Thévenin R1 R2 1°) Calcul de la résistance de Thévenin : Rth R1 R2 2°)Calcul de la tension de Thévenin VA dil E ( maille 1 ) ; ix VB R2 ix- (+1) L R1 R2 dt Vth VA R2 VB R1 R2 E L R2 ith il R1 R2 E L dil d'où dt dil R1 R2 dt R1 R2 On retrouve : il L R1 R2 dil E R1 R2 dt R1 Solution par la méthode de Maxwell Les courants de maille choisis dans le même sens, on obtient R1 R2 R2 R2 R2 i1 il E L dil dt L’étudiant développera le calcul des déterminants Solution par la méthode de Par superposition Le circuit est décomposé en sous circuit, et on appliquera la technique de Maxwell. La matrice relative à chacun des sous-circuit est établie R1 R2 R2 R2 R2 i1 il 0 L dil dt (S') et R1 R2 R2 R2 R2 i1 E il 0 (S'') 63 Exercice 6 : Lorsque le régime stationnaire est établi dans le circuit de la figure (1) suivante : 1°) Donner le nouveau circuit (S’) obtenu 2°) Calculer les courants (I’1, I’2, I’3) dans chacune des branches de ce circuit par la méthode des courants fictifs((I’1, I’3) de Maxwell, dont on établira directement la matrice. 3°) Calcul de Ic Par la méthode de Thévenin . On calculera a) la résistance Thévenin Rth b) la tension Thévenin Vth , pour cela on considèrera les résultats précédents du (2°). c) Ecrire l’expression du courant Thévenin Ith d) Ecrire l’expression du courant de charge IC e) Etablir l’équation différentielle de la charge du condensateur q( t ) f) Donner l’expression de la charge q( t ), en considérant qu’au temps t = 0, q = 0. g) Donner la constante de temps , et son unité. H) DONNER L’ENERGIE W MAXIMALE EMMAGASINEE DANS LE CONDENSATEUR. CHAQUE RESULTAT SERA DONNE EN FONCTION DE R, C ET E, SACHANT QUE R1 = R, R2 = 3R, R3 = R , E1 = E E3 = E / 4 64 Solution : Matrice 5R 4R I'3 E 4 4R 4R I1' E R 4R 2 régime statique Q cte , I'3 4R( 5E ) 4 I1' 6R E IC , dQ 0 dt I'3 5 E 4 R I1' 3 E 2 R I'2 I1' I'3 1 E 4 R 3°) a) Calcul de R th R th 3R // R 3R 4 b) Calcul de Vth 65 VA VB R I'3 R(I'2) (1) q C q C Vth E c) Calcul de I Thévenin : I th Vth E q C 4 E 4 q 3R R th 0 3 R 3 R C 4 IC d) Calcul du courant de charge : dq dt I th IC e) Equation différentielle : dq q 4 4 E dt 3 R C 3 R f) Constante de temps 3 R C ( en seconde ) 4 : à t 0 , q0 Solution de l’équation différentielle : dq q 4 dt 3 R C d’où q t Ae Avec 2nd membre : q E C ( c – à – d à Solution : q t Ae sans 2nd membre t ; q( t ) ) EC à t 0 , q A E C 0 , A -E C alors q(t) t E C (1 e ) ou q(t) 4 t E C ( 1 e 3R C ) 66 g) Energie maximale : quand qmax E C t ; q est max. 2 , q Wmax 1 max 1 C E2 2 C 2 Solution par la méthode de Maxwell : CHAQUE RESULTAT SERA DONNE EN FONCTION DE R, C ET E, SACHANT QUE R1 = R, R2 = 3R, R3 = R , E1 = E E3 = E / 4 1°) Par la méthode des courants fictifs((I1, I2, I3) de Maxwell, établir directement la matrice et calculer les courants (I1, I2, I3) dans chacune des mailles de ce circuit en régime variable, fonction de q, R, C et E. 2°) Donner l’expression de Ic en fonction des courants fictifs 3°) Ecrire l’expression du courant de charge IC 4°) Etablir l’équation différentielle de la charge du condensateur q( t ) 5°) Donner l’expression de la charge q( t ), en considérant qu’au temps t = 0, q = 0. 6°) Donner la constante de temps , et son unité. 7°) Donner l’énergie W maximale emmagasinée dans le condensateur E 4R 3R R I1 3R 3R 0 I 2 E 4 q C R 0 2 R I q C 3 R 4R(6R2) 3R(6R2) R(3R2) 3R3 E I1 E 4 q C qC 3R R 3R 0 0 E(6R2) 3R(E 4 q C)2R 3R2 q C 2R q q 6ER 2 6 ER 2 6R2 3R2 4 C C q 15 ER 2 9R2 2 C 67 4R R E I 2 3R E 4 q C R qC q 0 4R(E 4 q C)2R E(6R 2) R(3R) R(E 4 q C) C 2R q 31 ER 2 4R 2 4 C 4R I 3 3R R 3R 3R 0 E q q E 4 q C 4R(3R ) 3R(3R ) R(E 4 q C) E(3R 2) C C qC 15 ER 2 4 q q q I I I (31 ER 2 4R2 ) 15 ER 2 1 4ER 2 4R2 1 4 E 4 C 2 3 C 4 C 3R3 3 R 3 RC 4 3R3 dq dt Ce qui nous l’équation différentielle précédemment résolue. Exercice 5 : En utilisant la méthode de superposition : a) Décomposer le circuit (S) ci dessous en deux circuits (S’) et (S’’) que l’on représentera, en donnant le sens des courants. b) Donner les relations entre les courants des circuits (S), (S’) et (S’’). c) Calculer les courants dans les branches de chacun des circuits (S’) et (S’’) par la méthode de Maxwell. d) A partir de ces résultats calculer les courants I1, I2 et I3 dans chacune des branches du circuit (S). 68 RESULTAT LITTERAL DANS UN TABLEAU SUIVI DE L’APPLICATION NUMERIQUE (OU ENCADRE) Figure 2 : Circuit (S), r = 1 Solution : a) et b) : Système (S’) 10r 4r 4r I ' 1 e1 e' 1 7r I ' 3 0 Système (S’’) 10r 4r 4r I ' ' 1 0 7r I ' ' 3 e3 c) et d) : (S’) (S’’) (S) e e' 1 7 5 1, 3A I '1 7 1 54 r 27 e I ' ' 1 2 3 2 6 0, 44A 27 r 27 I1 = I’1- I’’1 = 23/27 = e e' 1 2 10 0, 74A I '3 2 1 27 r 27 e I ' ' 3 5 3 5 6 1, 11A 27 r 27 I3 = -I’3+ I’’3 = 10/27 = e e' 1 3 5 0, 56A I'2 3 1 54 r 27 I2 = I’2 + I’’2 = 33/27 = e I ' ' 2 3 3 3 6 2 A 0, 66A 27 r 27 3 1,22A 0,85A 0,37A 69 Exercice 7 Un réseau électrique est donné par le circuit suivant (fig. 2): fig. 2 1°) A l’instant t = 0, l’interrupteur est fermé. Lorsque le régime permanent est établi : a) Représenter le circuit b) Calculer le courant dans chaque branche par la méthode de Thévenin ( On donnera toujours Rth, Vth, Ith, pour chaque branche). 2°) En régime variable, calculer le courant et la tension dans chaque branche du condensateur par la méthode de Thévenin ( on donnera Rth, Vth, q(t), Ith, et la constante de temps). 3°) Déduire le courant dans les autres branches. 70 Solution : A compléter par l’étudiant Rth= VA- VB = Rth= VA- VB = Rth= VA- VB = Rth= VA- VB = Ith= (VA- VB)/( Rth + …) = Ith= (VA- VB)/( Rth + …) = Ith= (VA- VB)/( Rth + …) = Ith= (VA- VB)/( Rth + …) = dq/dt dq/dt = 71 Exercice 8: Soit le dipôle RLC ci-contre : 1°) Calculer l’impédance totale ZT dans la forme polaire. 2°) Tracer le diagramme d’impédance. 3°) Calculer la valeur de C en microfarads et de L en henrys. 4°) Calculer le courant i et les tensions VR ,VL ,et VC sous la forme de vecteur de phase. 5°) Tracer le diagramme de phase des tensions E, VR , VL et VC ainsi que du courant I. 6°) Vérifier la loi des tensions sur le trajet fermé. 7°) Calculer la puissance moyenne fournie au circuit. 8°)Calculer le facteur de puissance du circuit et indiquer s’il est inductif ou capacitif. 9°) Déterminer les expressions sinusoïdales de la tension et du courant. 10°) Tracer les formes d’onde des tensions et du courant sur un même diagramme. A.N : e = 70,7sin(377 t+30°) R= 2 XL= 6 XC= 10 Solution : 1 2 1°) Impédance totale Z : Z R XL XC ; Z 2 4j 4,46 63,4 tg XL XC angle de phase entre courant et tension R ( tg 6 10 2 ; = arctg(-2) = -63,43°) 2 2°) Triangle d’impédance du RLC XL XC pour 0 u en avance sur i XL XC pour 0 u en retard sur i 2 2 3°) Valeur de C et de L : 377 rd / s (265µF) XC 1 C 1 C XC L XL (0,0159H) 4°) Calcul de i ; vR ; vC ; vL ; sous forme de vecteur de phase (valeur efficace, phase : X ). XL L i Im sin( t i) Em Z I m I m Em Z Ieff = 11,2 93,43 ( Ieff Im ) 2 vR R Im sin( t i) VR sin( t i) avec VR R Im R i , VR eff 22,4 93,43 v L XL Im sin( t i) VL cos( t i) avec VL XL Im 2 L i 183,43 ; VLeff 67,2 183,43 2 _ _ _ Arg u Arg Z Arg i 30 i i 30 - 93,43 ( 63,43 ) i 0 circuit capacitif 72 vC XC Im sin( t i) VC cos( t i) avec VC XC Im 2 L i 3,43 ; VCeff 112 3,43 2 5°) Diagramme de phase : 6°) Vérification de la loi des tensions Em VR2 (VL VC)2 ; v R v L vC e Im R 2 (X L XC)2 7°) Puissance moyenne fournie au circuit _ ; P Eeff Ieff cos (251W) , Eeff Em 2 Ieff Im 2 8°) Facteur de puissance – Inductif ou capacitif ? = -63,43° 0 circuit capacitif tg XL XC R 9°) Expressions sinusoïdales des tensions et du courant( courant et tensions instantanés ) : i Im sin( t i) Em Z I m I m Em _ _ _ Z Arg u Arg Z Arg i vR R Im sin( t i) VR sin( t i) avec VR R Im 30 i v L XL Im sin( t i) VL cos( t i) avec VL XL Im i 30 - 93,43 2 ( 63,43 ) vC XC Im sin( t i) VC cos( t i) avec VC XC Im i 0 2 ( Remarque : VR+VL+VC Em car quantités variantes de façon harmonique, circuit capacitif on devrait tenir compte de leur phase; v R v L vC e ) 10°) Représentation : 73 Exercice 9: Déterminer le courant dans chacune des branches du réseau de la figure ci dessous. A.N : E1= E2 = R1=50; XL= 20; XC= 60 fig. 5 Solution : Z1 R ; Z2 j L e 2 j et Z3 1 e 2 C METHODE DE MAXWELL Z1 Z2 Z2 i1 e e2 1 ; Z ? Z2 Z2 Z3 i3 e2 i 1 ? i 3 ? Zi et ei dans la forme symbolique MILLMANN VM e1 i1 Z1 V M e2 i 0 ; i2 Z2 VM i3 Z3 VM e1 VM e2 VM 0 Z1 Z2 Z3 VM 1 1 1 e1 e2 Z1 Z2 Z3 Z1 Z2 74 soit : VM e1 / Z1 e2 / Z2 1 / Z1 1 / Z2 1 / Z3 ; i3 VM Z3 Z1 e2 Z2 e1 Z1 Z3 Z1 Z2 Z2 Z3 THEVENIN Z th Z1 Z 2 Z1 Z 2 ; VA VB Z1 i x 1 e1 Loi à la maille : Z1 i x 1 e1 Z 2 i x 1 e 2 0 d’où i x i Th C e1 e 2 Z1 Z 2 v Th Z Th Z 3 e1 e 2 Z1 e 2 Z 2 e 1 e1 Z1 Z 2 Z1 Z 2 ; VA VB Z1 Z1 e 2 Z 2 e1 Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z 3 Z1 Z 2 Z Z1 e 2 Z 2 e 1 1 Z 3 Z1 Z 2 Z 2 Z 3 KIRCHOFF - i1,i2 i3 nœud maille (1) Z1i1 Z2(i2) (1)e2 (1)e1 0 - maille (2) Z 3 i 3 ( 1)e 2 Z 2 i 2 0 Remplacer le courant de branche commune : i 2 i 3 i1 Z1 i 1 Z 2 ( i 1 i 3 ) e 1 e 2 (Z1 Z2)i1 Z2i3 e1 e2 Z2i1 (Z3 Z2)i3 e2 Z3i3 Z2(i3 i1) e2 Z2 Z1 Z2 soit : e e2 Z2 i1 1 Z2 Z3 i3 e2 SUPERPOSITION Relation des courants ' " i1 i1 i1 , " ' i2 i2 i2 Z2 Z1 Z2 Système (S’) : Z1 Z 2 Système (S’’) : Z2 ' " et i3 i3 i3 e 0 Z2 i'1 1 Z2 Z3 i'3 0 0 e2 Z 2 i' ' 1 e2 Z 2 Z 3 i' 3 75 76
