CHapitre0

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Logique Formelle …
Historique et fondements
de Logique Formelle
ISIGK
– 2019/2020
Historique & Introduction
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Aristote
père de la ‘Logique’ définit les concepts de la logique
divise la logique en 3 parties : l’étude de la conception,
du jugement et du raisonnement
En 300 av. J.C.
Historique & Introduction
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Aristote
Machine puisse raisonner : Enchaîner des propositions
élémentaires pour faire des déductions
En 1646 - 1713
Leibniz
Historique & Introduction
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Aristote
Logique mathématique avec calcul de vérité : les processus
logiques peuvent être modélisés par des opérations logiques
(ET, OU,NON). Migration de la logique de la philosophie vers
La logique mathématique
En 1854
Leibniz
Boole

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Historique & Introduction
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Aristote
Extension de LM en tenant compte des notions de
variables fondement de la science des systèmes
formels et inventions du calcul des prédicats
Vers la fin du XIX siècle
Leibniz
Boole Frege
Historique & Introduction
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Aristote
Théorie de la référence: comment
relier les objets d’un système formel
logique et les objets du monde réel.
Au début du XX siècle
Leibniz
Boole Frege
Tarski
Historique & Introduction
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Aristote
Algorithmique
Lambda-Calcul et machine de Turing
Naissance de premier langage
de programmation
Migration de la logique mathématique
à la logique informatique
1950-1960
Leibniz
Boole Frege
Tarski
Turing, Church
Définitions
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Logique
est un mot provenant du grec logos qui signifie « science de la raison ».
La logique étudie le discours, et plus particulièrement le(s) raisonnement(s).
C’est une telle codification et une description d’un certain type de réalité
afin de nous aider à trouver la vérité. Nous voulons par exemple savoir si
une affirmation est vraie ou fausse ou si quelqu’un a raison ou tort,
relativement à la logique considérée.
est l’art de mener des raisonnements justes.
•Une règle dite formelle si elle ne dépend pas de son contenu
•La règle ne dépend que de sa forme d’où la notion de logique formelle.

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Définitions
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Logique
Nous avons une sorte d’arbre d’héritage entre ces différentes logiques
Définitions
Logique Formelle ou logique mathématique, ou
métamathématique est une discipline des mathématiques introduite à la
fin du XIXe siècle, qui s'est donnée comme objet l'étude des
mathématiques en tant que langage.
Les objets fondamentaux de la logique mathématique sont:
Formules modélisant les énoncés mathématiques,
Dérivations ou démonstrations formelles modélisant les
raisonnements mathématiques
Sémantiques ou modèles qui définissent le « sens » des formules (et
parfois même des démonstrations) comme certains invariants (e.g.
l'interprétation des formules du calcul des prédicats dans les structures
permet de leur affecter une valeur de vérité)
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Définitions
En logique : un raisonnement valide utilise des règles d’inférence valides.
Une règle d’inférence permet le passage d’un certain nombre de
prémisses à une conclusion .
Une règle de déduction (ou d’inférence) est valide à cause de sa forme et
non pas à cause du sens des prémisses
Parmi les règles d’inférence valides, nous citons :
Règle Modus Ponens
Règle Modus Tollens
Règle du Syllogisme
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Définitions
Assertion: est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer la
valeur de vérité: vraie (V) ou faux (F) mais jamais les deux à la
fois. C’est le principe du tiers-exclu.
• Exemple:
L’énoncé « 24 est un multiple de 2 » est vrai (V).
L’énoncé « 19 est un multiple de 2 » est faux (F).
L’énoncé « Tunis est la capitale de la Tunisie » est vrai (V).
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Définitions
Prédicat : est un énoncé mathématique contenant des lettres
appelées variables tel que quand on remplace chacune de ces variables
par un élément donné d’un ensemble, on obtient une assertion.
• Exemple:
P(n) = « n est un multiple de 2 » est un prédicat car il devient une
assertion quand on donne une valeur à n.
•P(10) = «10 est un multiple de 2» est une assertion vraie.
•P(11) = «11 est un multiple de 2» est une assertion fausse.
P(x, A) = « x ∈A » est un prédicat à deux variables.
•P(1, N) est une assertion vraie,
•P(
√
2, Q) est une assertion fausse.
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Correspondance
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