CHapitre1-f

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Logique des propositions
Introduction
Une proposition (en anglais : sentence) est un assemblage de mots d’une
langue naturelle vérifiant les trois propriétés suivantes :
1. Il est reconnu syntaxiquement correct ;
2. Il est sémantiquement correct ;
3. Il est possible de lui assigner sans ambiguïté une valeur de vérité (vrai
ou faux).
Exemple
Louis 14 est un nombre premier.
la propriété (1) est vérifiée mais pas la propriété (2). Ce n’est pas une proposition.
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des cotés de l’angle droit.
Les propriétés (1, 2 et 3) sont vérifiées : c’est une proposition (vraie).
Le facteur est il arrivé ?
les propriétés (1) et (2) sont vérifiées, mais pas la (3). Ce n’est donc pas une
proposition.
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Logique des propositions
Introduction
Dans la logique des propositions, les opérations qui lient les propositions
pour en former d’autres plus complexes sont appelées des connecteurs.
Un connecteur binaire permet de composer deux propositions pour en
obtenir une troisième.
Un connecteur unaire permet d’obtenir une proposition à partir d’une
autre.
Le langage propositionnel est composé de formules représentant des
propositions et il est caractérisé par sa syntaxe et sa sémantique
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Logique des propositions
Syntaxe du langage propositionnel
La syntaxe d’un langage définit l’alphabet et les règles d’écriture
(grammaire) des expressions du langage. Elle ne s’intéresse pas à leurs
sens.
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Constantes : 0 (Faux, F), 1 (Vrai, V), …
Lettres propositionnelles : p, q, r, s, . . .
opérateurs logiques ou connecteurs logiques : ¬, , ,⇒,⇔, . . .
parenthèses : ()
Une lettre propositionnelle est une formule : p, q, r, s, t, . . .
Si p est une formule, (p) et ¬p sont des formules
Si p et q sont des formules, (p q), (p q), (p⇒q) sont des formules
Logique des propositions
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.
Négation :
Les connecteurs logiques permettent de créer de nouveaux prédicats (dits
prédicats composés) à partir de prédicats P, Q.
Soit P un prédicat. La négation du prédicat P est le prédicat noté non(P)
qui:
est vrai lorsque P est faux,
est faux lorsque P est vrai.
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Négation :
Exemple:
L’assertion P = «24 est un multiple de 2» est une assertion vraie (V).
L’assertion non(P) est définie par : non(P) = «24 n’est pas un multiple de 2».
C’est une assertion fausse (F).
A partir du prédicat « x ∈A », on définie le prédicat non (x ∈A) = «x /
A».
L’assertion « 1/2 Z » est vraie car l’assertion « 1/2 ∈Z » est fausse.
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Logique des propositions
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.
Conjonction :
Soient P et Q deux prédicats. Le prédicat « P et Q », appelé conjonction de
P et de Q, est un prédicat qui:
est vrai lorsque P et Q sont vrais simultanément,
est faux dans tous les autres cas.
On résume ceci dans la table de vérité:
On écrit par fois : P Q au lieu de P et Q
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Logique des propositions
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.
Disjonction :
Soient P et Q deux prédicats. Le prédicat « P ou Q », appelé disjonction
de P et de Q, est un prédicat qui:
est vrai lorsque l’un au mois des deux prédicat P et Q est
vrais,
est faux lorsque les deux sont faux.
On résume ceci dans la table de vérité:
On écrit par fois : P Q au lieu de P ou Q.
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Logique des propositions
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.
Conjonction & Disjonction:
Exemple:
Considérons les deux assertions P et Q suivantes :
• P = «10 est divisible par 2»,
• Q = «10 est divisible par 3».
L’assertion P est vraie tandis que l’assertion Q est fausse.
• P et Q = «10 est divisible par 2 et 10 est divisible par 3»,
• P ou Q = «10 est divisible par 2 ou 10 est divisible par 3 ».
L’assertion « P Q » est une assertion fausse.
L’assertion « P Q » est une assertion vraie.
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Logique des propositions
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.

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Implication:
Soient P et Q deux prédicats. Le prédicat « P ⇒Q » appelé implication de P
vers Q est un prédicat qui:
est faux lorsque P est vrai et Q faux,
est vrai dans tous les autres cas.
(Lue Si P alors Q)
On résume ceci dans la table de vérité :
On dit que P est une condition suffisante pour Q.
Q ⇒P s’appelle l’implication réciproque de P ⇒Q.
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Logique des propositions
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.
Equivalence:
Soient P et Q deux prédicats. Le prédicat « P ⇔Q » appelé équivalence de
P et de Q est un prédicat qui:
est vrai lorsque P et Q sont simultanément vrai ou faux,
est faux dans tous les autres cas.
(Lue P si et seulement si Q)
On résume ceci dans la table de vérité :
• (P Q) et (Q R) se note: P Q R.
• (P ⇔Q) et (Q ⇔R) se note: P ⇔Q ⇔R.
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Logique des propositions
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.
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Supprimer les parenthèses entourant les variables
Tenir compte de la priorité des connecteurs
Les connecteurs sont appliqués dans l’ordre standard suivant :
¬, ∧ , ∨ , ⇒ , ⇔
Considérer qu’un opérateur unaire l’emporte toujours sur un
opérateur binaire
Logique des propositions
Aspects syntaxiques
Règles d’élimination des parenthèses
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Logique des propositions
Priorité des connecteurs

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Logique des propositions
Sémantique du langage propositionnel
Comment déterminer la valeur de vérité d’une formule??
L’étude sémantique d’un langage pour le calcul des propositions a pour
but de donner une valeur de vérité aux formules du langage. Elle est aussi
appelée la théorie de modèles.
La sémantique associe une fonction de valuation (ou interpretation)
unique à chacun des connecteurs logiques.
V : vp → {1, 0},
(où vp est l’ensemble des variables propositionnelles, 1 signifie vrai et 0
signifie faux)27
Valeurs de vérité
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Logique des propositions
Table de vérités: On définit l’interprétation associée à chaque
connecteur grâce aux tables de vérité
Aspects sémantiques: Définitions
Une formule qui est vraie quelque soit la valeur de vérité de chaque
variable propositionnelle est une tautologie (noté |=). On dit aussi que la
formule est valide
Considérons un prédicat P. Ce prédicat peut prendre la valeur Vrai ou Faux.
Considérons le prédicat composé :
R = « P ou non (P) ».
Ce prédicat est toujours vrai et ce indépendamment de P. Vérifions-le :
Le prédicat composé R est appelé une tautologie
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Logique des propositions
Aspect sémantique: Propriétés
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Logique des propositions
Aspect sémantique: Propriétés
Formule insatisfiable
Formule satisfiable

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On dit que deux prédicats composés sont incompatibles si leur conjonction
est fausse quelles que soient les valeurs de vérité des prédicats qui les
composent.
Soit P un prédicat. Considérons le prédicat composé :
« P et non (P) ».
Ce prédicat est toujours faux. Vérifions-le :
On dit que les prédicats P et non(P) sont incompatibles.
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Logique des propositions
Aspect sémantique: Propriétés
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Logique des propositions
Propriétés
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Logique des propositions
Propriétés
Forme Normale Conjonctive
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Logique des propositions
Propriétés
Forme Normale Conjonctive