Logique des propositions
Logique des propositions
Introduction
Introduction
Une proposition (en anglais : sentence) est un assemblage de mots d’une
langue naturelle vérifiant les trois propriétés suivantes :
1. Il est reconnu syntaxiquement correct ;
2. Il est sémantiquement correct ;
3. Il est possible de lui assigner sans ambiguïté une valeur de vérité (vrai
ou faux).
Exemple
Louis 14 est un nombre premier.
la propriété (1) est vérifiée mais pas la propriété (2). Ce n’est pas une proposition.
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des cotés de l’angle droit.
Les propriétés (1, 2 et 3) sont vérifiées : c’est une proposition (vraie).
Le facteur est il arrivé ?
les propriétés (1) et (2) sont vérifiées, mais pas la (3). Ce n’est donc pas une
proposition.
Dans la logique des propositions, les opérations qui lient les propositions
pour en former d’autres plus complexes sont appelées des connecteurs.
Un connecteur binaire permet de composer deux propositions pour en
obtenir une troisième.
Un connecteur unaire permet d’obtenir une proposition à partir d’une
autre.
Le langage propositionnel est composé de formules représentant des
propositions et il est caractérisé par sa syntaxe et sa sémantique
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Logique des propositions
Logique des propositions
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.
Syntaxe du langage propositionnel
La syntaxe d’un langage définit l’alphabet et les règles d’écriture
(grammaire) des expressions du langage. Elle ne s’intéresse pas à leurs
sens.
Négation :
Les connecteurs logiques permettent de créer de nouveaux prédicats (dits
prédicats composés) à partir de prédicats P, Q.
Soit P un prédicat. La négation du prédicat P est le prédicat noté non(P)
qui:
est vrai lorsque P est faux,
est faux lorsque P est vrai.
Constantes : 0 (Faux, F), 1 (Vrai, V), …
Lettres propositionnelles : p, q, r, s, . . .
opérateurs logiques ou connecteurs logiques : ¬, , , ⇒, ⇔, . . .
parenthèses : ()
Une lettre propositionnelle est une formule : p, q, r, s, t, . . .
Si p est une formule, (p) et ¬p sont des formules
Si p et q sont des formules, (p q), (p q), (p⇒q) sont des formules
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Logique des propositions
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.
Négation :
Conjonction :
Exemple:
L’assertion P = «24 est un multiple de 2» est une assertion vraie (V).
L’assertion non(P) est définie par : non(P) = «24 n’est pas un multiple de 2».
C’est une assertion fausse (F).
A partir du prédicat « x ∈ A », on définie le prédicat non (x ∈ A) = «x /
A».
L’assertion « 1/2 Z » est vraie car l’assertion « 1/2 ∈ Z » est fausse.
Soient P et Q deux prédicats. Le prédicat « P et Q », appelé conjonction de
P et de Q, est un prédicat qui:
est vrai lorsque P et Q sont vrais simultanément,
est faux dans tous les autres cas.
On résume ceci dans la table de vérité:
On écrit par fois : P Q au lieu de P et Q
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Logique des propositions
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.
Disjonction :
Conjonction & Disjonction:
Soient P et Q deux prédicats. Le prédicat « P ou Q », appelé disjonction
de P et de Q, est un prédicat qui:
est vrai lorsque l’un au mois des deux prédicat P et Q est
vrais,
est faux lorsque les deux sont faux.
Exemple:
Considérons les deux assertions P et Q suivantes :
• P = «10 est divisible par 2»,
• Q = «10 est divisible par 3».
L’assertion P est vraie tandis que l’assertion Q est fausse.
• P et Q = «10 est divisible par 2 et 10 est divisible par 3»,
• P ou Q = «10 est divisible par 2 ou 10 est divisible par 3 ».
L’assertion « P Q » est une assertion fausse.
L’assertion « P Q » est une assertion vraie.
On résume ceci dans la table de vérité:
On écrit par fois : P Q au lieu de P ou Q.
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Logique des propositions
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.
Connecteurs logiques: négation, conjonction ,
disjonction , implication & équivalence.
Implication:
Equivalence:
Soient P et Q deux prédicats. Le prédicat « P ⇒ Q » appelé implication de P
vers Q est un prédicat qui:
est faux lorsque P est vrai et Q faux,
est vrai dans tous les autres cas.
(Lue Si P alors Q)
On résume ceci dans la table de vérité :
Soient P et Q deux prédicats. Le prédicat « P ⇔ Q » appelé équivalence de
P et de Q est un prédicat qui:
est vrai lorsque P et Q sont simultanément vrai ou faux,
est faux dans tous les autres cas.
(Lue P si et seulement si Q)
On résume ceci dans la table de vérité :
• (P
Q) et (Q
R) se note: P
Q
R.
• (P ⇔ Q) et (Q ⇔ R) se note: P ⇔ Q ⇔ R.
On dit que P est une condition suffisante pour Q.
Q ⇒ P s’appelle l’implication réciproque de P ⇒ Q.
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Priorité des connecteurs
Aspects syntaxiques
Règles d’élimination des parenthèses
Supprimer les parenthèses entourant les variables
Tenir compte de la priorité des connecteurs
Les connecteurs sont appliqués dans l’ordre standard suivant :
¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔
Considérer qu’un opérateur unaire l’emporte toujours sur un
opérateur binaire
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Logique des propositions
Sémantique du langage propositionnel
Aspects sémantiques: Définitions
Comment déterminer la valeur de vérité d’une formule??
L’étude sémantique d’un langage pour le calcul des propositions a pour
but de donner une valeur de vérité aux formules du langage. Elle est aussi
appelée la théorie de modèles.
Table de vérités: On définit l’interprétation associée à chaque
connecteur grâce aux tables de vérité
Valeurs de vérité
La sémantique associe une fonction de valuation (ou interpretation)
unique à chacun des connecteurs logiques.
V : vp → {1, 0},
(où vp est l’ensemble des variables propositionnelles, 1 signifie vrai et 0
signifie faux)
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Logique des propositions
Aspect sémantique: Propriétés
Aspect sémantique: Propriétés
Une formule qui est vraie quelque soit la valeur de vérité de chaque
variable propositionnelle est une tautologie (noté |=). On dit aussi que la
formule est valide
Considérons un prédicat P. Ce prédicat peut prendre la valeur Vrai ou Faux.
Considérons le prédicat composé :
R = « P ou non (P) ».
Ce prédicat est toujours vrai et ce indépendamment de P. Vérifions-le :
Le prédicat composé R est appelé une tautologie
Formule insatisfiable
Formule satisfiable
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Logique des propositions
Aspect sémantique: Propriétés
Propriétés
On dit que deux prédicats composés sont incompatibles si leur conjonction
est fausse quelles que soient les valeurs de vérité des prédicats qui les
composent.
Soit P un prédicat. Considérons le prédicat composé :
« P et non (P) ».
Ce prédicat est toujours faux. Vérifions-le :
On dit que les prédicats P et non(P) sont incompatibles.
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Propriétés
Propriétés
Forme Normale Conjonctive
Forme Normale Conjonctive
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Propriétés
Propriétés
Forme Normale Disjonctive
Règles de transformation
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Propriétés
Propriétés
Règles de transformation
Algorithmes de transformation
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